2.4.2平面向量及运算的坐标表示课件高一下学期数学北师大版

第二章平面向量及其应用4.2平面向量及运算的坐标表示高中同步学案优化设计GAOZHONGTONGBUXUEANYOUHUASHEJI北师大版

数学

必修第二册目录索引基础落实·必备知识一遍过重难探究·能力素养速提升成果验收·课堂达标检测课程标准1.理解平面向量坐标的概念,会求平面向量的坐标.2.掌握平面向量的坐标运算法则,会进行坐标运算.3.掌握用坐标表示两向量共线的条件,能运用两向量共线的条件解决相关问题.基础落实·必备知识全过关知识点一

平面向量的坐标表示如图,在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j作为

.对于坐标平面内的任意向量a,以坐标原点O为起点作

唯一性

因此,a=xi+yj.我们把(x,y)称为向量a在标准正交基{i,j}下的坐标,向量a可以表示为a=(x,y).标准正交基

名师点睛1.在正交基下向量的线性表示称为正交分解.2.向量与坐标的关系:3.向量的坐标和这个向量终点的坐标不一定相同.当且仅当向量的起点是原点时,向量的坐标和这个向量终点的坐标才相同.过关自诊1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)(1)任意一个确定的向量的坐标是唯一的.(

)(2)与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量坐标分别为i=(1,0),j=(0,1).(

)(3)当向量的起点在坐标原点时,向量的坐标就是向量终点的坐标.(

)(4)相等向量的坐标相同.(

)(5)向量的平移会影响向量的坐标.(

)2.正交分解与平面向量基本定理有何联系?√√√√×提示

正交分解是平面向量基本定理的特殊形式(基中的两个向量互相垂直).知识点二

平面向量运算的坐标表示1.加法:设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a+b=

,即两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和.

2.减法:设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a-b=

,即两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差.

3.数乘:设a=(x1,y1),λ∈R,则λa=

,即实数与向量数乘的坐标等于这个实数与向量的相应坐标的乘积.

4.设点A(x1,y1),B(x2,y2),则

=

,即一个向量的坐标等于其终点的坐标减去起点的坐标.

(x1+x2,y1+y2)(x1-x2,y1-y2)(λx1,λy1)(x2-x1,y2-y1)5.中点坐标公式:若点A(x1,y1),点B(x2,y2),线段AB的中点M的坐标为(x,y),则

名师点睛1.进行平面向量的坐标运算时,应先将平面向量用坐标的形式表示出来,再根据向量的坐标运算规则进行计算.2.进行平面向量坐标运算时,先掌握向量坐标与向量起点、终点坐标的关系.过关自诊1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)(1)若a=(1,2),b=(-2,-1),则2a+b=(0,3).(

)(2)在平面直角坐标系内,若A(x1,y1),B(x2,y2),则向量

=(x1-x2,y1-y2).(

)√×2.已知平面向量a=(1,1),b=(1,-1),则向量

=(

)

A.(-2,-1) B.(-2,1)C.(-1,0) D.(-1,2)D3.已知向量a=(2,-3),b=(1,2),p=(9,4),若p=ma+nb,则m+n=

.7知识点三

平面向量平行的坐标表示在平面直角坐标系中,a=(x1,y1),b=(x2,y2),向量a,b(b≠0)共线的充要条件是

.

x1y2-x2y1=0名师点睛1.相等向量的坐标是相同的,但是两个相等向量的起点、终点的坐标可以不同.2.若两个向量(与坐标轴不平行)平行,则它们相应的坐标成比例,反之也成立.过关自诊1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)(1)向量a,b(b≠0)共线的充要条件是x1y1-x2y2=0.(

)(2)若向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),且a∥b,则

.(

)××2.[人教A版教材习题]已知|a|=3,b=(1,2),且a∥b,求a的坐标.重难探究·能力素养全提升探究点一求平面向量的坐标【例1】

(1)设i=(1,0),j=(0,1),a=3i+4j,b=-i+j,求a+b与a-b的坐标.解

因为a=3i+4j,b=-i+j,所以a+b=(3i+4j)+(-i+j)=2i+5j,a-b=(3i+4j)-(-i+j)=4i+3j.又i=(1,0),j=(0,1),所以a+b与a-b的坐标分别是(2,5),(4,3).(2)已知△ABC的三个顶点分别是A(4,6),B(7,6),C(1,8),D为BC的中点,求向量

的坐标.规律方法

1.若i,j是分别与x轴、y轴同方向的单位向量,则当a=xi+yj时,向量a的坐标为(x,y).2.向量的坐标等于其终点的坐标减去起点的坐标,只有当向量的起点在坐标原点时,向量的坐标才等于终点的坐标.3.求向量的坐标一般转化为求点的坐标.解题时,常常结合几何图形,利用三角函数的定义和性质进行计算.探究点二平面向量的坐标运算【例2】

(1)已知向量a=(1,2),b=(3,-4),c=(-2,6),试求a+3b,3a-2b+c;规律方法

进行平面向量的坐标运算时,应先将向量用坐标表示出来.一般地,已知向量起点和终点的坐标,可以求出该向量的坐标.求一个点的坐标时,可以转化为求该点相对于坐标原点的向量的坐标.变式训练2(1)若向量a=(1,1),b=(-1,1),c=(4,2),则c等于(

)A.3a+b B.3a-bC.-a+3b D.a+3bB探究点三平面向量平行的条件及应用【例3】

已知a=(1,2),b=(-3,2),当k为何值时,ka+b与a-3b平行?平行时它们是同向还是反向?解

(方法一)ka+b=k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2),a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4).当ka+b与a-3b平行时,存在唯一的实数λ,使ka+b=λ(a-3b),即(k-3,2k+2)=λ(10,-4),(方法二)由方法一知ka+b=(k-3,2k+2),a-3b=(10,-4).∵ka+b与a-3b平行,规律方法

1.由向量共线求参数值的方法:2.a∥b(b≠0)的充要条件有两种表达方式:(1)a∥b⇔a=λb(λ∈R);(2)设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b⇔x1y2-x2y1=0.变式训练3已知A(2,1),B(0,4),C(1,3),D(5,-3),判断

是否共线?如果共线,它们的方向相同还是相反?本节要点归纳1.知识清单:(1)平面向量的坐标表示;(2)平面向量的加、减、数乘运算的坐标表示;(3)两个向量共线的坐标表示.2.方法归纳:转化与化归.3.常见误区:两个向量共线的坐标表示的公式易记错.成果验收·课堂达标检测1234567891011121314A级必备知识基础练1.已知向量a=(1,2),b=(2,3),c=(3,4),且c=λ1a+λ2b,则λ1,λ2的值分别为(

)A.-2,1 B.1,-2C.2,-1 D.-1,2D解析

因为c=λ1a+λ2b,所以(3,4)=λ1(1,2)+λ2(2,3).12345678910111213142.已知向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示,用基{a,b}表示c,则(

)A.c=3a-2b

B.c=-3a+2bC.c=-2a+3b

D.c=2a-3bA解析

如图建立平面直角坐标系,设正方形网格的边长为1,则a=(1,1),b=(-2,3),c=(7,-3),所以c=3a-2b.12345678910111213143.[2023重庆开州]已知平面向量a=(1,2),b=(-2,m),且a∥b,则2a+3b=(

)A.(-4,-8) B.(-8,-16) C.(4,8) D.(8,16)A解析

∵a∥b,∴1×m=2×(-2),∴m=-4,∴b=(-2,-4),∴2a+3b=(2,4)+(-6,-12)=(-4,-8).故选A.1234567891011121314A.(1,2) B.(-1,-2)C.(3,6) D.(-3,-5)A12345678910111213145.(多选)在平面上的点A(2,1),B(0,2),C(-2,1),D(0,0),下列结论正确的是(

)BC123456789101112131412345678910111213146.已知a=(2,4),b=(-1,1),则2a-3b=

.

(7,5)解析

2a-3b=2(2,4)-3(-1,1)=(4+3,8-3)=(7,5).123456789101112131412345678910111213148.已知向量a=(2,1),b=(-1,3),c=(x,y).(1)若a+b+c=0,求实数x,y的值;(2)若非零向量c与a-b共线,求

的值.解(1)由题意可知c=-(a+b),∴c=-(1,4)=(-1,-4),即x=-1,y=-4.(2)由题意得a-b=(3,-2),∵c∥(a-b),∴-2x-3y=0,1234567891011121314B级关键能力提升练AC12345678910111213141234567891011121314D1234567891011121314C1234567891011121314123456789101112131413.如图所示,已知点A(4,0),B(4,4),C(2,6),求AC和OB的交点P的坐标.12345678910111213141234567891011121314所以-6(x-2)+2(6-y)=0.②解由①②组成的方程组,得x=3,y=3,所以点P的坐标为(3,3).12