2.2.2直线的两点式方程（课件）高二数学（2019选择性）

目录/CONTENTS新知探究情景导入学习目标课堂小结随堂检测错因分析学习目标1.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线的两点式方程.(重点)2.了解直线的截距式方程的形式特征及适用范围.情景导入

我们知道已知两点可以确定一条直线，在平面直角坐标系中，给定一个点P0(x0，y0)和斜率k，可得出直线方程.如图，若给定直线上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2，y1≠y2)，你能否得出直线的方程呢？1.直线的两点式方程新知探究课本例3

已知直线l上的两点A(2,1)和B(5,2)，求直线l的方程.

例3的实质是求过平面直角坐标系中横坐标不相同的两点的直线方程．

那么这种方法可以推广到任意两点吗？设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是平面直角坐标系中的任意两点

当x1≠x2时，直线

l

的斜率

取直线上一点P1(x1，y1)，由点斜式方程，得

当x1=x2时，由于P1，P2是不同的点，必然y1≠y2．此时直线垂直于x轴，

方程为x

=

x1．也满足方程(y2－y1)(x－x1)－(x2－x1)(y－y1)=0．

也可以去分母，化成(y2－y1)(x－x1)－(x2－x1)(y－y1)=0的形式．

我们把过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线方程

(y2－y1)(x－x1)－(x2－x1)(y－y1)=0称为直线的两点式方程，简称两点式．

如果直线既不平行于x轴也不平行于y轴，则x1≠x2且y1≠y2，两点式方程可以写成

思考：将方程（4）做一个变形，得到

它的左右两边各具有怎样的几何意义?该方程代表完整的一条直线吗?

当x≠x1且x1≠x2时，因为P(x，y)，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)都在直线

l

上，所以式子的左右两边均表示的直线

l

的斜率．

当x=x1时上述方程不成立，故方程不表示整条直线，表示的是一条直线但不包含点P1(x1，y1)．例5

如图，三角形的顶点分别为A(－3,2)，B(5，－4)，C(0，－2).(1)求BC边所在直线的方程；整理得2x＋5y＋10＝0.这就是BC边所在直线的方程.课本例题(2)求BC边上的中线所在直线的方程.整理得10x＋11y＋8＝0.这就是BC边上的中线AM所在直线的方程.注：两点式方程不必记忆，可先用过两点的直线的斜率公式算出斜率，再用点斜式写成方程．

典例剖析例1

已知三角形的顶点是A(1,3)，B(－2，－1)，C(1，－1)，求这个三角形三边所在直线的方程.直线AC垂直于x轴，故边AC所在直线的方程为x＝1.直线BC平行于x轴，故边BC所在直线的方程为y＝－1.归纳总结利用两点式求直线的方程(1)首先要判断是否满足两点式方程的适用条件，若满足即可考虑用两点式求方程.(2)在斜率存在的情况下，也可以先应用斜率公式求出斜率，再用点斜式写出方程.1.(1)过点(－2,1)，(3，－3)的直线方程为_________________.因为直线过点(－2,1)和(3，－3)，4x＋5y＋3＝0化简得4x＋5y＋3＝0.练一练(2)已知直线经过点A(1,0)，B(m,1)，求这条直线的方程.由直线经过点A(1,0)，B(m,1)，因此该直线斜率不可能为零，但有可能不存在.当直线斜率不存在，即m＝1时，直线方程为x＝1；即x－(m－1)y－1＝0.综上可得，当m＝1时，直线方程为x＝1；当m≠1时，直线方程为x－(m－1)y－1＝0.练一练课本例4已知两点A(a，0)，B(0，b)，其中ab≠0，求直线

l

的方程．

解：过A(a，0)，B(0，b)的两点式方程为

，

即

．

（5）

直线l与x轴的交点(a，0)的横坐标称为直线l在x轴上的截距（横截距），此时直线在y

轴上的截距是b．方程（5）由直线

l

在两个坐标轴上的截距

a

和b

确定，称为直线的截距式方程．注：垂直于坐标轴和经过原点的直线不能用截距式表示．

2.直线的截距式方程新知探究典例剖析例2

求过点(3,4)，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线

l的方程.(2)当直线l在两坐标轴上的截距互为相反数且为0时，即直线l过原点时，设直线l的方程为y＝kx，综上，直线l的方程为x－y＋1＝0或4x－3y＝0.典例剖析例3

求过点(3,4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线

l的方程.(1)当截距不为0时，所以直线l的方程为x＋y－7＝0.(2)当截距为0时，设直线l的方程为y＝kx，综上，直线l的方程为x＋y－7＝0或4x－3y＝0.归纳总结截距式方程应用的注意事项(1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式方程，用待定系数法确定其系数即可.(2)选用截距式方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直.(3)要注意截距式方程的逆向应用.练一练2.求过点A(5，2)且在x轴上的截距是在y轴上截距的2倍的直线l的方程．

3.截距式方程的应用新知探究例4.直线l过点P，且与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点.是否存在这样的直线同时满足下列条件？(1)△AOB的面积为6；(2)△AOB的周长为12.若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.所以存在这样的直线同时满足(1)，(2)，即3x＋4y－12＝0.归纳总结

例5.已知直线l经过点(1,6)和点(8，－8).(1)求直线l的两点式方程，并化为截距式方程；典例剖析(2)求直线l与两坐标轴围成的图形面积.如图所示，直线l与两坐标轴围成的图形是Rt△AOB，且|OA|＝4，|OB|＝8，故直线l与两坐标轴围成的图形面积为16.总结归纳直线的两点式方程：

过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线方程为

(y2－y1)(x－x1)－(x2－x1)(y－y1)=0．直线的截距式方程：

在两个坐标轴上的截距分别为

a

和b

的直线方程为

．注：两点式方程不必记忆，可先用过两点的直线的斜率公式算出斜率，再用点斜式写成方程．

随堂练1.过点(1,2)，(5,3)的直线方程是（）B2.在x轴、y轴上的截距分别是－3,4的直线方程是（）A3.过点P(1,2)且在两坐标轴上截距的和为0的直线方程为____________________________.2x－y＝0或随堂练x－y＋1＝04.已知点A(3,2)，B(－1,4)，则经过点C(2,5)且经过线段AB的中点的直线方程为_____________.2x－y＋1＝0错因分析易错辨析忽视截距为零引发的错误例6求过点M(3，2)，且在x、y轴上的截距相等的直线方程．

出错原因:

纠错心得：“截距相等”包含两层意思，一是截距不为零时相等，二是截距为零时相等，而后者常被忽视，造成漏解，因此对于此类题目，也要分类讨论．错因分析分层练习-基础1.过两点(－2,1)和(1,4)的直线方程为（）A.y＝x＋3 B.y＝－x＋1C.y＝x＋2 D.y＝－x－2A2.已知直线l：ax＋y－2＝0在x轴和y轴上的截距相等，则实数a的值是（）A.1 B.－1C.－2或－1 D.－2或1A3.若直线

过第一、二、三象限，则（）A.a>0，b>0 B.a>0，b<0C.a<0，b>0 D.a<0，b<0分层练习-基础C4.经过点A(2,5)，B(－3,6)的直线在x轴上的截距为（）A.2 B.－3C.－27 D.27D分层练习-基础5.(多选)下列命题中不正确的是（）A.经过点P0(x0，y0)的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示B.经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y＝kx＋b表示C.经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可用方程

(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)表示D.不经过原点的直线都可以用方程

表示ABD分层练习-基础6.已知△ABC的顶点坐标分别为A(1,2)，B(3,6)，C(5，2)，M为AB的中点，N为AC的中点，则中位线MN所在的直线方程为（）A.2x＋y－8＝0 B.2x－y＋8＝0C.2x＋y－12＝0 D.2x－y－12＝0A7.已知点P(x,2)在过M(－2,1)和N(3，－4)两点的直线上，则x的值是_____.－38.若直线l与直线y＝1，x＝7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1，－1)，则直线l的方程为____________.x＋3y＋2＝0分层练习-基础9.已知直线l过点P(4,1).(1)若直线l过点Q(－1,6)，求直线l的方程；∵直线l过点P(4,1)，Q(－1,6)，(2)若直线l在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍，求直线l的方程.由题意知，若直线l过原点，则得直线l的方程为x－4y＝0；综上，直线l的方程为x－4y＝0或2x＋y－9＝0.分层练习-基础10.如图，已知△ABC的三个顶点分别为A(0,4)，B(－2,6)，C(－8,0).(1)求边AC和AB所在直线的方程；即x－2y＋8＝0.即x＋y－4＝0.分层练习-基础(2)求AC边上的中线BD所在直线与坐标轴围成的三角形的面积.分层练习-基础由题意，得点D的坐标为(－4,2)，由两点式，即2x－y＋10＝0.分层练习-巩固11.(多选)求过点(4，－3)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线l的方程为（）A.x＋y－1＝0 B.x－y－7＝0C.3x＋4y＝0 D.4x＋3y＝0ABC12.直线l经过点A