2023–2024学年七年级数学下册单元速记与巧练（人教版）第五章 相交线与平行线知识突破（原卷版）

第五章相交线与平行线（知识归纳+题型突破）1.熟练掌握对顶角，邻补角及垂线的概念及性质，了解点到直线的距离与两平行线间的距离的概念；2.区别平行线的判定与性质，并能灵活运用；3.了解命题的概念及构成，并能通过证明或举反例判定命题的真假；4.了解平移的概念及性质.知识点一相交线1.对顶角、邻补角两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系，它们的概念及性质如下表：图形顶点边的关系大小关系对顶角112∠1与∠2有公共顶点∠1的两边与∠2的两边互为反向延长线对顶角相等即∠1=∠2邻补角有公共顶点∠3与∠4有一条边公共，另一边互为反向延长线.邻补角互补即∠3+∠4=180°特别说明：⑴对顶角是成对出现的，对顶角是具有特殊位置关系的两个角.对顶角的特征:有公共顶点，角的两边互为反向延长线.⑵如果∠α与∠β是对顶角，那么一定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那么∠α与∠β不一定是对顶角.⑶如果∠α与∠β互为邻补角，则一定有∠α+∠β=180°；反之如果∠α+∠β=180°，则∠α与∠β不一定是邻补角.邻补角的特征:有公共顶点，有一条公共边，另一边互为反向延长线．⑶两直线相交形成的四个角中，每一个角的邻补角有两个，而对顶角只有一个.2.垂线及性质、点到直线的距离（1）垂线的定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.如图1所示，符号语言记作：AB⊥CD，垂足为O.特别说明：要判断两条直线是否垂直，只需看它们相交所成的四个角中，是否有一个角是直角，两条线段垂直，是指这两条线段所在的直线垂直.（2）垂线的性质：垂线性质1：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直(与平行公理相比较记).垂线性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简称：垂线段最短.（3）点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，如图2：PO⊥AB，点P到直线AB的距离是垂线段PO的长.特别说明：垂线段PO是点P到直线AB所有线段中最短的一条.知识点二平行线1．平行线的判定判定方法1：同位角相等，两直线平行．判定方法2：内错角相等，两直线平行．判定方法3：同旁内角互补，两直线平行．特别说明：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的判定方法还有：（1）平行线的定义：在同一平面内，如果两条直线没有交点（不相交），那么两直线平行.（2）如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行（平行线的传递性）.（3）在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行.（4）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.2．平行线的性质性质1：两直线平行，同位角相等；性质2：两直线平行，内错角相等；性质3：两直线平行，同旁内角互补.特别说明：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的性质还有：（1）若两条直线平行，则这两条直线在同一平面内，且没有公共点．（2）如果一条直线与两条平行线中的一条直线垂直，那么它必与另一条直线垂直．3．两条平行线间的距离如图3，直线AB∥CD，EF⊥AB于E，EF⊥CD于F，则称线段EF的长度为两平行线AB与CD间的距离.特别说明：（1）两条平行线之间的距离处处相等.（2）初中阶级学习了三种距离,分别是两点间的距离、点到直线距离、平行线间的距离.这三种距离的共同点在于都是线段的长度,它们的区别是两点间的距离是连接这两点的线段的长度,点到直线距离是直线外一点引已知直线的垂线段的长度,平行线间的距离是一条直线上的一点到与之平行的另一直线的距离.（3）如何理解“垂线段”与“距离”的关系：垂线段是一个图形，距离是线段的长度，是一个量，它们之间不能等同.知识点三命题及平移1.命题：判断一件事情的语句，叫做命题．每个命题都由题设、结论两部分组成.题设是已知事项；结论是由已知事项推出的事项.2.平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移．特别说明：平移的性质：（1）平移后，对应线段平行（或共线）且相等；（2）平移后，对应角相等；（3）平移后，对应点所连线段平行（或共线）且相等；（4）平移后，新图形与原图形是一对全等图形.【题型一对顶角、领补角的定义理解】例题1：（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）下列各图中，与是对顶角的是（

）A．B．C．D．例题2．（2023下·福建泉州·七年级校考期中）下列图形中，与是邻补角的是（

）A．

B．

C．

D．

【变式训练】1.（2022上·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）下列图中，和是对顶角的有（

）个．

A．个 B．个 C．个 D．个2．（2023下·河北承德·七年级统考期末）下列四个选项中，与互为邻补角的是（

）A．

B．

C．

D．

【题型二对顶角、领补角性质的应用】例题：（2023上·山东滨州·七年级校考期中）如图，直线相交于点O，平分．(1)若，求的度数；(2)若，求的度数．【变式训练】1．（2023下·河南驻马店·七年级统考期中）如图，直线相交于点O．

(1)写出的邻补角．(2)写出的对顶角．(3)如果，求的度数．2．（2023下·陕西渭南·七年级统考期末）如图，直线和相交于点O，把分成两部分，且，平分．(1)的对顶角为，的邻补角为；(2)若，求度数．【题型三垂线的定义的理解与应用】例题：如图，，，垂足为，则下面的结论中，不正确的是（）A．点到的垂线段是线段B．与互相垂直C．与互相垂直D．线段的长度是点到的距离【变式训练】1．过点C向AB边作垂线段，下列画法中正确的是（）A．B．C．D．2．如图所示，∠BAC=90°，AD⊥BC，则下列结论中，正确的个数为（）①AB⊥AC；②AD与AC互相垂直；③点C到AB的垂线段是线段AB；④点A到BC的距离是线段AD；⑤线段AB的长度是点B到AC的距离；⑥∠BAD=∠C．A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【题型四利用垂线的定义求角的度数】例题：（2023上·河南商丘·七年级校考阶段练习）如图，直线、相交于点，射线在内部，且．过点作．(1)若，求的度数；(2)若，那么平分吗？为什么？【变式训练】1．（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第四十七中学校考期中）已知：如图，直线与直线交点O，，平分．(1)如图1，求证：平分；(2)如图2，，在直线的下方，若平分，平分，，求的度数．2．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第十七中学校校考阶段练习）已知：直线、相交于点．

(1)如图1，，求的度数．(2)如图2，射线、在直线的上方，且，作平分，求与的数量关系．(3)如图3，在（2）的条件下，当于，在下方作于，射线在的内部，平分，若，，求的度数．【题型五点到直线的距离与垂线段最短】例题：如图，点，，是直线上的三点，点在直线外，，垂足为，，，，则点到直线的距离是______．【变式训练】1．（2023下·七年级课时练习）如图，，垂足为D，，垂足为F，则点C到直线的距离是；点E到直线的距离是；点C到直线的距离是；点E到直线的距离是．2．如图，BC⊥AC，BC＝8cm，AC＝6cm，AB＝10cm．那么点B到AC的距离是_____，点A、B两点的距离是_____，点C到AB的距离是_____．【题型六同位角、内错角、同旁内角的辨别】例题：（2023下·黑龙江绥化·七年级校考期中）如图，的同旁内角是，的内错角是，的同位角是．

【变式训练】1．如图所示，与是_________角，是直线________和直线________被直线_____所截而形成的，与是_____角，是直线________和直线___________被直线__________所截而形成的．2．如图，（1）∠1和∠ABC是直线AB、CE被直线________所截得的________角；（2）∠2和∠BAC是直线CE、AB被直线________所截得的________角；（3）∠3和∠ABC是直线________、________被直线________所截得的________角；（4）∠ABC和∠ACD是直线________、________被直线_________所截得的________角；（5）∠ABC和∠BCE是直线________、________被直线________所截得的________角．【题型七平行线的判定】例题：（2022·山东泰安·七年级期末）如图，，，．请说明线段BE与DF的位置关系？为什么？【变式训练】1．已知如图所示，，点、、在同一条直线上，，且平分，试说明的理由．2．如图，射线BC平分∠ABD，且∠1=110°，∠2=70°．求证：AB∥CD．【题型八添加一条件使两条直线平行】例题：如图，点E在AC的延长线上，若要使，则需添加条件_______（写出一种即可）【变式训练】1．如图，填写一个能使ABCD的条件：_________．2．如图，要使，需补充一个条件，你认为这个条件应该是______（填一个条件即可）．【题型九根据平行线的性质与判定求角度】例题：（2023下·浙江温州·七年级校考期末）如图，已知，分别是射线，上的点．连接，平分，平分，．(1)试说明；(2)若，求的度数．【变式训练】1．（2023上·河北邢台·八年级校考阶段练习）如图，于点P．

(1)求证：；(2)若平分，交于点C，且，求的度数．2．（2023上·浙江金华·八年级校考开学考试）如图，在三角形中，是上一点，，交于点，是上一点，．(1)与平行吗？请说明理由；(2)若，求的度数．【题型十平行线的性质在生活中的应用】例题：已知：某小区地下停车场的栏杆如图所示，当栏杆抬起到最大高度时∠ABC=150°，若此时CD平行地面AE，则_________度．【变式训练】1．光线在不同介质中的传播速度不同，因此当光线从空气射向水中时，会发生折射．如图，在空气中平行的两条入射光线，在水中的两条折射光线也是平行的．若水面和杯底互相平行，且∠1＝132°，则∠2＝______．2．如图，汽车灯的剖面图，从位于点的灯发出光照射到凹面镜上反射出的光线，都是水平线，若，，则的度数为______．【题型十一平行线的性质与判定综合应用】例题：（2023下·四川成都·八年级校考期中）如图1，中，的平分线交于O点，过O点作平行线交于D、E．(1)请写出图1中线段之间的数量关系？并说明理由．(2)如图2，若的平分线与的外角平分线交于O，过点O作平行线交于D，交于E．那么之间存在什么数量关系？并证明这种关系．【变式训练】1．（2023上·全国·八年级专题练习）已知，，直线交于点，交于点，点在线段上，过作射线、分别交直线、于点、．(1)如图，当时，求的度数；(2)如图，若和的角平分线交于点，求和的数量关系；(3)如图，在（）的基础上，当，且，时，射线绕点以每秒的速度顺时针旋转，设运动时间为秒，当射线与的一边互相平行时，请直接写出的值．2．（2023下·吉林长春·九年级校考阶段练习）如果两个角的差等于，就称这两个角互为“兄弟角”．其中一个角叫做另一个角的“兄弟角”．例如，，，则a和β互为“兄弟角”，即a是β的“兄弟角”，β也是α的“兄弟角”．

(1)已知和互为“兄弟角”．，且和互补，求的度数．(2)在中，，是的角平分线，①如图1，点P在射线上，平分，与射线交于点N，若与互为“兄弟角”，求的度数．②如图2，若，射线平分且与射线交于点N，若与互为“兄弟角”，则的度数为．③如图3，若于点P，、相交于点F，若与互为“兄弟角”，直接写出的度数．【题型十二命题的判定与逆命题】例题：下列命题是真命题的是（

）A．同位角相等B．两个锐角的和是锐角C．若两个角的和为，则这两个角互补D．相等的角是对顶角【变式训练】1．下列命题中，其逆命题是假命题的是（

）A．同旁内角互补，两直线平行 B．若，则C．锐角与钝角互为补角 D．相等的角是对顶角2．下列命题的逆命题正确的是(

)A．对顶角相等 B．直角三角形两锐角互余C．全等三角形的对应角相等 D．全等三角形的面积相等【题型十三生活中的平移现象】例题：（2023下·广西南宁·七年级校考期中）下图是德胜中学的校徽，将它通过平移可得到的图形是（

）

A．

B．

C．

D．

【变式训练】1．（2024上·黑龙江绥化·七年级校考期末）下列运动属于平移的是（

）A．荡秋千 B．地球绕着太阳转C．风筝在空中随风飘动 D．急刹车时，汽车在地面上的滑动2．（2023下·浙江温州·七年级温州市第十二中学校联考期中）下列大学校徽可以看成是由图案自身的一部分经平移后得到的为（）A．

B．

C．

D．

【题型十四图形的平移】例题：（2023下·天津东丽·七年级统考期中）如图，沿方向平移得到，已知，，则平移的距离．

【变式训练】1．（2023下·重庆·七年级统考期末）如图，边长为的正方形先向上平移，再向右平移，得到正方形，此时阴影部分的面积为．

2．（2023下·浙江温州·七年级校考阶段练习）如图，长方形中，，，现将该长方形沿方向平移，得到长方形，若重叠部分的面积为16，则长方形向右平移的距离为cm．【题型十五平移作图】例题：（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级统考期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，的顶点均在小正方形的顶点上．(1)把先向右移动5个单位长度，再向下移动3个单位长度得到，画出（其中点A的对应点为，点B的对应点为，点C的对应点为）；(2)连接，，判定与的位置关系，并写出的面积．【变式训练】1．（2022下·福建厦