吉林省四校联考2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试题

2024~2025（上）高二年级第一次月考数学全卷满分150分，考试时间120分钟．注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚．4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交．5．本卷主要考查内容：选择性必修第一册第一章~第二章2.3．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．直线的倾斜角为（）A． B． C． D．2．若与是两条不同的直线，则“”是“”的（）A．充要条件 B．必要不充分条件C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件3．已知直线l的一个方向向量，且直线l经过和两点，则（）A． B． C．1 D．24．已知空间向量，，则在上的投影向量为（）A． B． C． D．5．下列关于空间向量的说法中错误的是（）A．平行于同一个平面的向量叫做共面向量B．空间任意三个向量都可以构成空间的一个基底C．直线可以由其上一点和它的方向向量确定D．任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量6．在平行六面体中，点P是线段BD上的一点，且，设，，，则（）A． B．C． D．7．如图，直线交x轴于点A，将一块等腰直角三角形纸板的直角顶点置于原点O，另两个顶点M、N恰好落在直线上．若点N在第二象限内，则的值为（）A． B． C． D．8．在棱长为2的正方体中，EF是正方体外接球的直径，点P是正方体表面上的一点，则的取值范围是（）A． B． C． D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．给出下列命题，其中正确的命题是（）A．若空间向量，满足，则B．空间任意两个单位向量必相等C．在正方体中，必有D．空间向量的模为10．已知两条平行直线和之间的距离小于，则实数m的值可能为（）A．0 B．1 C．2 D．11．如图，在棱长为2的正方体中，E为的中点，F为的中点，如图所示建立空间直角坐标系，则下列说法正确的有（）A．B．向量与所成角的余弦值为C．平面AEF的一个法向量是D．点D到平面AEF的距离为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．直线，的斜率，是关于k的方程的两根，若，则实数__________．13．在通用技术课程上，老师教大家利用现有工具研究动态问题．如图，老师事先给学生准备了一张坐标纸及一个三角板，三角板的三个顶点记为A、B、C，，，．现移动边AC，使得点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上运动，则（点O为坐标原点）的最大值为__________．14．已知空间向量，，则最大值为__________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．15．（本小题满分13分）已知直线，，．（1）若这三条直线交于一点，求实数m的值；（2）若三条直线能构成三角形，求实数m满足的条件．16．（本小题满分15分）如图，在直三棱柱中，，，，，点d是棱AB的中点（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值．17．（本小题满分15分）已知直线．（1）m为何值时，点到直线l的距离最大，并求出最大值；（2）若直线l分别与x轴，y轴的负半轴交于A，B两点，求（O为坐标原点）面积的最小值及此时直线l的方程．18．（本小题满分17分）如图，在棱长为3的正方体中，点E是棱上的一点，且，点F是棱上的一点，且．（1）求异面直线与CF所成角的余弦值；（2）求直线BD到平面CEF的距离．19．（本小题满分17分）如图，在四棱锥中，四边形ABCD是边长为3的正方形，平面ABCD，，点E是棱PB的中点，点F是棱PC上的一点，且．（1）证明：平面平面PBC；（2）求平面AEF和平面AFC夹角的大小．2024~2025（上）高二年级第一次月考·数学参考答案、提示及评分细则1．D，其倾斜角为．故选D．2．C若，则，解得或，则“”是“”的充分不必要条件，故选C．3．A因为，所以，解得，，所以，故选A．4．D，故在上的投影向量为．故选D．5．B平行于平面的向量，可平移至一个平行于的平面，故为共面向量，A正确；空间任意三个向量都共面时，则不能构成空间的基底，B错误；直线的方向向量是直线任取一点，向其两个方向的任意方向作出一个向量即可得，故直线上一点和方向向量确定直线，C正确；由向量的位置的任意性，将空间两个向量某一端点移至重合位置，它们即可构成一个平面，即可为同一平面的向量，D正确．故选B．6．C．故选C．7．A设直线与y轴的交点为B，过O作于C，过N作于D．因为N在直线上且在第二象限内，设，则，．又，，即，，所以．在中，由三角形的面积公式得，，所以．在中，，，所以，即．在中，，即，解得，．因为点N在第二象限内，所以，所以，，所以，故选A．8．A记正方体的外接球的球心为O，易得，且，所以，故选A．9．CD两个向量相等需要方向相同，模长相等，所以不能得到，A错误；空间任意两个单位向量的模长均为1，但是方向不一定相同，故B错误，正方体中，，的方向相同，长度相等，故，故C正确；空间向量的模为，故D正确．故选CD．10．AC直线和平行，则，两条平行直线间距离，解得且，故0和2符合要求．故选AC．11．BCD对于A，正方体中，，故A错误；对于B，，，故向量夹角余弦值为，故B正确；对于C，，，，．故是平面AEF的一个法向量，故C正确；对于D，，则点D到平面AEF的距离为，故D正确．故选BCD．12．因为，而且斜率存在，所以，又，是关于k的方程的两根，，解得．13．1+由已知，，．如图，取AC的中点E．因为为直角三角形，故．由于为直角三角形，故，显然，当且仅当O、B、E三点共线时等号成立，故的最大值为．14．，当时，，由，所以，当且仅当，即时等号成立，故，当时，，故的最大值为．15．解：（1）由解得代入的方程，得．（2）当三条直线相交于一点或其中两直线平行时，三条直线不能构成三角形．①联立解得代入，得；②当与平行时，，当与平行时，．综上所述，当且且时，三条直线能构成三角形．（且写成或扣1分）．16．解：如图，以C为坐标原点，CA，CB，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，所以，，，，，，所以，，，设平面的一个法向量为，则即令，解得，，所以平面的一个法向量为．（1）证明：，因为，平面，所以平面；（2）解：因为，所以，所以直线与平面所成角的正弦值是．17．解：（1）已知直线，整理得，由故直线l过定点，点到直线l的距离最大，可知点Q与定点的连线的距离就是所求最大值，即为最大值．，的斜率为，可得，解得；（2）若直线l分别与x轴，y轴的负半轴交于A，B两点，则可设直线l的方程为，，则，，．（当且仅当时，取“=”），故面积的最小值为12，此时直线l的方程为．18．解：（1）如图所示，以D为坐标原点，DA，DC，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，所以，，，，所以，，所以，所以异面直线与CF所成角的余弦值是；（2）因为，，，所以，，所以，所以，又平面CEF，平面CEF，所以平面CEF，所以点D到平面CEF的距离即为直线BD到平面CEF的距离．设平面CEF的一个法向量为，则即令，解得，，所以平面CEF的一个法向量为．因为，所以点D到平面CEF的距离，即直线BD到平面CEF的距离为．19．（1）证明：如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，所以，，，设，则，解得，即．则，，，设平面AEC的一个法向量为，则即令，解得，，所