高中数学新教材人教A版选择性必修培优练习：01 空间向量及其运算、空间向量基本定理（学生版+解析版）

专题01空间向量及其运算、空间向量基本定理

一、单选题

1.（2019,全国高二课时练习）已知。，5,3是不共面的三个向量，则能构成一个基底的一组向量是（）

A.2a,3-b,万+2gB.2力，b-G，b+2万

C.a,2b,h-cD.c,a+c,a-c

2.（2020•贵州省铜仁第一中学高二开学考试）如图所示，在平行六面体ABC。一A4GA中，设丽=&，

AB=b^AD^c>N是8c的中点，试用石，£表示电（）

一1__1-1

A.—cl+Z?H—CB.—+Z?+cC.-bT—CD.67-Z?H—C

222

3.（202。山东省章丘四中高二月考）如图，在四面体OABC中，。是8C的中点,G是4D的中点，则而等于

)

1―.

A.—OA+-OB+-OCB.-OA+-OB+-OC

333234

1―.1—.1-.1—.

C.-OA+-OB+-OCD.-OA+-OB+-OC

244446

4.（2020•河南省高二期末）如图在平行六面体ABCO-44G。中，E为AA的中点，设通=£，

AD=b^旃="，则分=（)

A.—ci—b+cB.ci—b+cC.ci—b—cD.ciH—b—c

2222

5.（202。广东省红岭中学高二期末）而与前共线是直线48〃。。的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

1一|一1一

6.（2020•广东省红岭中学高二期末）。为空间任意一点,三点不共线，若/=++

326

则A,8,C,尸四点

A.一定不共面B.不一定共面

C.一定共面D.无法判断

7.（2019•随州市第一中学高二期中）空间A、B、C,。四点共面，但任意三点不共线，若P为该平面外

—■5—■--1-.

一点且=-xPC——PD,则实数x的值为（）

33

1122

A.-B.----C.-D.----

3333

8.（2020•甘肃省高二期末）如图，空间四边形OABC中，OA=a>OB=b'OC=c>且=

BN=NC,则丽等于（）

1-11-

B.—ci4—b7c

222

1_21_

D.—a——br+—c

232

9.（2020.广西壮族自治区高二期末）在平行六面体ABC。—44GR中，M为A£与BQi的交点.若

AB=a>AD=b>旃=c，则下列向量中与丽相等的向量是（）.

11,11,11,11,

A.—a+—b+cB.——a+—b+cC.——a——b+cD.—a——b+c

22222222

10.（2019•新疆维吾尔自治区阿克苏市实验中学高二月考）在平行六面体ABCD-EFGH中，若而=x^-

2y阮+3z丽，，则x+y+z等于（）

D.1

二、多选题

11.（2019•山东省济南一中高二期中）已知平行六面体ABCO-AB'C'。'，则下列四式中其中正确的有

（）

A.AB-CB=ACB.AC=AB+WC+CC

C.AA=CCD.AB+BB'+BC+CC^AC

uuu

12.（2020•江苏省高二期末）如图，在正方体ABC。-44GA中，下列各式中运算的结果为AC|的有（）

A.AB+BC+CDB.

C.AB-C[C+B]C[D.丽+反+对

13.（2020•山东省高二期末）已知A,B,C三点不共线，。为平面ABC外的任一点，则“点M与点A,B,

C共面”的充分条件的是（）

A.OM=2OA-OB-OCB.OM=OA+OB-OC

C.OM=OA+-OB+-OCD.OM=-OA+-OB+-OC

23236

三、填空题

14.（2019•江苏省高二期末）直三棱柱ABC-A,4G中，若a=C方="网'=1，则瓯=

15.（2019•新疆维吾尔自治区阿克苏市实验中学高二月考）已知非零向量B，且丽=1+2以

BC=-5a+6b-CD=la-2b<则AB,C,。中一定共线的三点是.

16.（2019•浙江省诸暨中学高二期中）已知三棱锥O-ABC,点D是BC中点，P是AD中点，设

L1LUIUULOIllLUll

。尸=x（M+yOB+zOC，则x+）'+z=；产

17.（2019•江苏省高二期中）如图在正方体ABC。—44GA中，已知串=£，4瓦=反箱=2,。为

底面的A8CO的中心，G为口AGO的重心，则而=

四、解答题

18.（2018•全国高二课时练习）如图，在长方体A8C£»-A|8CiOi中48=34）=2,AA|=1,以长方体的八个顶点

中的两点为起点和终点的向量中.

（1）单位向量共有多少个?

（2）试写出模为6的所有向量.

（3）试写出与AB相等的所有向量.

（4）试写出A、的相反向量.

19.（2020•全国高一课时练习）如图，已知一点。到平行四边形ABC。的三个顶点A,B,C的向量分别为

小弓，与，求诙.

20.（2019,三亚华侨学校高二期中）如图，在平行六面体ABCD—44GA中，AB,AO,A4,两两夹角为60。,

长度分别为2,3,1,点P在线段BC上，且38尸=BC,记2=荏石=而三=丽\

（1）试用a,反c表示£）尸;

（2）求石产模.

21.（2018•全国高二课时练习）在四棱锥P-ABCD中,ABCD为平行四边形,AC与BD交于O,G为BD上一

点,BG=2GD,乐=[,丽=6,PC=c，试用基底｛£,九2｝表示向量而.

22.（2019•全国高一课时练习）设e1,e2是不共线的空间向量，已知丽=2e1+ke2,CB=ei+3e2,CD=2ei-e2.

若A,B,D三点共线，求k的值.

23.（2018•全国高二课时练习）已知｛生咫向｝是空间的一个基底，且

次=5+262弋3,丽=-3ei+e2+2e3，G^=ei+e2-e3,试判断｛方，丽，无｝能否作为空间的一个基底喏能,试以此

基底表示向量历=2ef+3e3；若不能，请说明理由.

专题01空间向量及其运算、空间向量基本定理

一、单选题

1.(2019•全国高二课时练习)已知b,0是不共面的三个向量，则能构成一个基底的一组向量是()

A.2a,G-b，6+2hB.2b，b-，b+23

C.a,2b>b-cD.c,a+c,a-c

【答案】C

【解析】

42

对于A,因为2万=§(a-b)+-(a+2b)，得2万、a-h,1+2$三个向量共面，故它们不能构成

一个基底，A不正确；

42

对于B,因为25=1(b-a)+-(B+2万)，得2日、B-、5+2汇三个向量共面，故它们不能构成

一个基底，B不正确；

对于C,因为找不到实数Q卬使方=Q2B+M(b-c)成立，故万、2B、B--三个向量不共面,

它们能构成一个基底，C正确；

对于D,因为0=?(a+c)(a-c),得1、a+c,万-3三个向量共面，故它们不能构成一个基

22

底，D不正确

故选：C.

2.(2020•贵州省铜仁第一中学高二开学考试)如图所示，在平行六面体ABCD—44G。中，设羽="，

荏=5，莅=己，N是BC的中点，试用万，工表示硒()

B.-a+h+ca-b+-c

2

【答案】A

【解析】

QN是的中点,

A^N=AJA+^B+BN=-a+b+-BC=-a+b+-AD=-a+b+-c.

故选：A.

3.（2020.山东省章丘四中高二月考）如图，在四面体0A3C中，。是8C的中点,G是AZ）的中点，则砺等于

（）

1—,1—.1—.1—,1—.1—.

A.-OA+-OB+-OCB.-OA+-OB+-OC

333234

1—,1—.1—.1—.1—.1—.

C.-OA+-OB+-OCD.-OA+-OB+-OC

244446

【答案】C

【解析】

・・♦在四面体OABC中，。是的中点,G是的中点

OG=OA+-AD

2

—•1I―.—-

=OA+-x-(AB+AC)

22

=OA+^x(OB-OA+OC-OA)

1—.1—.1—.

=-OA+-OB+-OC

244

故选:C.

4.（2020•河南省高二期末）如图在平行六面体ABC。—44GA中，E为AA的中点，设丽=£，

A.—ci—b+cB.ci—b+cC.ci—b—cD.a+-b-c

2222

【答案】A

【解析】

由题意结合平行六面体的性质可得CE=CQ+QDj+D^E

=CC]+C[D]H—D]A=AA1-AB—AD=-ci—。+c.

故选：A.

5.（2020•广东省红岭中学高二期末）而与①共线是直线AB〃CZ）的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

根据向量共线的定义，可知若会与前共线，则它们所在的直线可能平行，也可能重:合；

若A8〃CO,则反官与①共线；

根据充分条件和必要条件的概念，可知而与①共线是直线48〃C。的必要不充分条件，

故选B

点睛：向量共线的定义：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线

向量或平行向量.

1_.1一1一

6.（2020.广东省红岭中学高二期末）。为空间任意一点,A,5,C三点不共线，若丽=彳。4+；。5+工。（7,

326

则A5,C,尸四点

A.一定不共面B.不一定共面

C.一定共面D.无法判断

【答案】C

【解析】：点P在平面ABC内，O是平面ABC外的任意一点，则

OP^xOA+yOB+zOCRx+y+z=i.利用此推论可直接证明一定共面.

详解:

1一1一1一111

因为丽=；04+7。3+:0。，且彳+7+:=1,所以A,3,C,P四点共面.

326326

7.（2019•随州市第一中学高二期中）空间A、B、C,。四点共面，但任意三点不共线，若P为该平面外

—■5—■—■1—.

一点且P4=-PB-xPC——产。，则实数x的值为（）

33

1122

A.-B.—C.一D.--

3333

【答案】A

【解析】

因为空间A、B、C、£>四点共面，但任意三点不共线，对于该平面外一点尸都有

--5—■―-1—.511

PA=—PB-xPC一一PD,所以——无一一=1,解得x=—.

33333

故选A

8.（2020•甘肃省高二期末）如图，空间四边形OABC中，OA=a<OB=b>OC=c<且=

BN=NC,则丽等于（）

]_11一

B.一ClH—07C

222

1_21-

D.—a——br+—c

232

【答案】C

【解析】

——1—.---2—

・；BN=NC,:.ON=-(OB+OC),\-OM=2MA,:.OM=-OA,

..一i.一2.911

：.MN=ON-OM=-(OB+OC)一一OA=一一a+-b+-c,故选：C.

23322

9.（2020•广西壮族自治区高二期末）在平行六面体ABC。—44GR中，”为4G与印乌的交点.若

AB=a>AD=b<M=c）则下列向量中与两相等的向量是（）.

A.-ci4—b+cB.—a-i—>+cC.—a—b+cD.—a—Z>+c

22222222

【答案】B

【解析】

西=西+瓯=瓯+；（丽'一丽）=?+^（5—&）=-3万+；5+}

故选B.

10.（2019•新疆维吾尔自治区阿克苏市实验中学高二月考）在平行六面体ABCD-EFGH中，若而=x^-

2y锭+3zDti，，贝！jx+y+z等于（）

【答案】C

【解析】

在平行六面体ABCD-EFGH中，AG=Ag+fiC+CG-

,•1AG=^AB-2yBC+3zDH>W=DH

x=l,-2y=1,3z=1,

••x—।y—1,z-1i

-23

5

/.x+y+z=—,

故选：C.

二、多选题

11.(2019•山东省济南一中高二期中)已知平行六面体ABCO-AB'C'。'，则下列四式中其中正确的有

()

A.AB-CB=ACB.AC=AB+BrC+CC

C.AA=CCD.AB+BB>+BC+CC=AC

【答案】ABC

【解析】

作出平行六面体ABCD-A'B'C'D'的图像如图，可得而一行=旗+觉=/，则A正确;

AB+BFC+CC=AB+BC+CCi=AC'则B正确：C显然正确;

AB+BB>+BC+CC=AB+BC=AC>则D不正确.综上，正确的有ABC.

故选：ABC

UUU

12.（2020•江苏省高二期末）如图，在正方体ABC。-A4GA中，下列各式中运算的结果为AG的有（）

A.AB+BC+CDB.丽+南+和

C.AB-QC+B^D.丽+反+居

【答案】BCD

【解析】

A.AB+BC+CD=AD^AQ，故错误：

B.丽+46+D£=羽+AA+=^*,故正确；

C.AB-QC+B^=AB+CQ+B^=AB+BB^+B^Ci=AQ,故正确:

D.羽+反+耳，=丽*+丽+函=次',故正确.

故选：BCD.

13.（2020•山东省高二期末）已知A,B,C三点不共线，。为平面ABC外的任一点，贝U“点M与点A,B,

C共面”的充分条件的是（）

A.OM=2OA-OB-OCB.OM=OA+OB-OC

___一1一1一___1—1——1——

C.OM=OA+-OB+-OCD.OM=-OA+-OB+-OC

23236

【答案】BD

【解析】

当幅=加旃+〃碇时，可知点M与点A8,C共面,

所以血+西=加（而++〃（砺+元），

所以(x+y-l)OM=-OA+xOB+yOC.

=-OA+mOB+nOC=——1京+」_丽+」_灰,

加+〃-1m4-72-1m+n-1m+n-1

Imvi

不妨令--------7=x，-------------=y，------------=z，且止匕时x+y+z=l,

m+n—1m+n—1m+n—\

111

因为2+(-l)+(-l)=0wl,l+l+(-l)=l.1+LLU,+—=1

236236

由上可知：BD满足要求.

故选：BD.

点睛：常见的证明空间中四点",4，民C共面的方法有：（1）证明砺=工丽+＞荻；（2）对于空间中任意一

点0,证明丽二次+工赤+》沅；（3）对于空间中任意一点0,证明

OM=xOA+yO3+zOC(x+y+z=l).

三、填空题

14.（2019•江苏省高二期末）直三棱柱ABC-A4G中，若=%屈=匠乙=^,则瓯=

【答案】a—b+c

【解析】

直三棱柱ABC-AB©中,若a=2屈=瓦Cf=

£L4j=BA+AA]=CA—CB+CC\—a-b-\-c

故答案为a-B+c

15.（2019•新疆维吾尔自治区阿克苏市实验中学高二月考•）已知非零向量B，且而=£+26，

BC=-5a+6b-CD=la-2b^则ARC,。中一定共线的三点是.

【答案】A,B,D

【解析】

由向量的加法原理：

BD=BC+CD=-5a+6b+7a-2b=2a+4b=2AB

又丽,而共点5,故A,B,。三点共线

故答案为：A,B,D

16.（2019•浙江省诸暨中学高二期中）已知三棱锥O-ABC,点D是BC中点，P是AD中点，设

LULIUUULUlULUL

OP=xOA+yOB+zOC>^]x+y+z^；卡.

【答案】1-

2

【解析】

如图，

uim1/Uiruutti、i「wiuiinUUII、］

OP=-^OA+ODj=-OA+/（zOB+OCj

Iuur1uin1uuuuuruunuuii

=-OA-i--OB^-OC=xOA+yOB^zOC.

所以x=-,y=—,z=—,所以x+y+z=l,x=—.

2442

故答案为：1；—

2

17.（2019.江苏省高二期中）如图在正方体ABCD-44G。中，已知不=£,不耳=反耳»=",0为

底面的A8C。的中心，G为口〃C。的重心，则而=

Dxi

2-1y5—

【答案】-a+-b+-c

326

【解析】

在正方体ABCD—AgCQi中，AiA=a.=b.A^Dx=c,

。为底面的ABC。的中心，G为口〃。1。的重心，

AG=AO+OG

=3+")+泉(丽+配)+西+；(通+珂+同

2-1-5-

故答案为：—a+—b+—c.

326

四、解答题

18.(2018•全国高二课时练习)如图，在长方体48CEMICB中48=3出£>=2,44|=1,以长方体的八个顶点

中的两点为起点和终点的向量中.

(1)单位向量共有多少个?

(2)试写出模为6的所有向量.

(3)试写出与AB相等的所有向量.

(4)试写出丽的相反向量.

【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）答案见解析：（4）答案见解析.

【解析】

分析：

（I）根据定义模为1的向量即为单位向量（2）在长方体中求出对角线长为逐，即可写出所求向量（3）

根据大小相等，方向相同即为相等向量可写出（4）大小相等，方向相反的向量即为相反向量.

详解：

⑴模为］的向量有不，丽，耶，西，房，区■，丽，西，共8个单位向量.

（2）由于这个长方体的左右两侧的对角线长均为逐，因此模为石的向量为酒■，林丽，

取M，季M，E

（3）与向量AB相等的向量（除它自身之外）为刎,况及酝

（4）向量羽的相反向量为平,瓦及配，丽.

19.（2020•全国高一课时练习）如图，已知一点O到平行四边形ABC。的三个顶点A,B,C的向量分别为

小法与，求诙.

【答案】丽=彳+彳一彳

【解析】

因为丽=反+①，CD=BA=OA-OB-

所以OD=OC+OA—OB=q+八—弓.

20.（2019・三亚华侨学校高二期中）如图，在平行六面体ABC。—44GA中，AB,A2M两两夹角为60。,

长度分别为2,3,1,点P在线段BC上，且38P=BC,记£=荏,5=而,"=丽

(1)试用a,5,c表示"P；

(2)求印模.

9

【答案】(1)a--b-c；(2)B

【解析】

(1)D^P=AP-A^=(,AB+BP)-(AD+A1\),

=(a+步)-(5+c)=a-^b—c.

(2)因为A8,AD,AA两两夹角为60。，长度分别为2,3,I.

------------------------3

所以,

2

网=g亨一.由『+料+年亨5-2H+步」

=74+4+1-4-2+2.

21.（2018•全国高二课时练习）在四棱锥P-AB