专题02 相交线 平行线（重点+难点）（解析版）

专题02相交线平行线（重点+难点）一、单选题1．（2021下·上海浦东新·七年级校考期中）下列说法中正确的是（

）A．同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线B．过一点有且只有一条线平行于已知直线C．两条直线的位置关系是相交、平行、垂直D．从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离【答案】A【分析】根据垂线的性质，平行公理，两直线的位置关系，点到直线的距离解答即可．【解析】解：A、同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线，说法正确，符合题意；B、经过直线外一点，有且只有一条线平行于已知直线，说法错误，不符合题意；C、同一平面内，两条直线的位置关系是相交、平行、重合，说法错误，不符合题意；D、从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到这条直线的距离，说法错误，不符合题意；故选：A【点睛】本题考查了垂线的性质，平行公理，直线的位置关系以及点到直线的距离，解题的关键是正确把握相关定义和性质．2．（2021下·上海宝山·七年级校考期中）如图，直线AB和CD相交于点O，下列选项中与∠AOC互为邻补角的是（）A．∠BOC B．∠BOD C．∠DOE D．∠AOE【答案】A【解析】解：图中与互为邻补角的是和，故选：A．【点睛】本题考查了邻补角，熟练掌握邻补角的定义（两个角有一条公共边，且它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角互为邻补角）是解题关键．3．（2023下·上海普陀·七年级统考期中）如图，的同位角是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】在两条直线的同一侧，在截线的同一旁，所得的两个角是同位角，根据定义判断．【解析】解：与不是同位角，故A不符合题意；与不是同位角，故B不符合题意；与是同位角，故C符合题意；与不是同位角，故D不符合题意；故选：C．【点睛】此题考查了同位角的定义，正确理解定义及图形特征是解题的关键．4．（2023下·上海静安·七年级上海市回民中学校考期中）下列说法中，正确的个数有（

）①在同一平面上垂直于同一条直线的两条直线平行；②同位角相等；③两直线平行，内错角相等；④经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】D【分析】根据平行线的判断和性质，平行公理分别判断即可．【解析】解：①在同一平面上垂直于同一条直线的两条直线平行，故正确；②两直线平行，同位角相等，故错误；③两直线平行，内错角相等，故正确；④经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故正确；∴正确的个数有3个，故选：D．【点睛】本题考查了平行公理，平行线的判断和性质，是基础概念题，熟记概念是解题的关键．5．（2021下·上海静安·七年级上海市风华初级中学校考期末）如图，在下列条件中，能判定的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据平行线的判定方法逐一分析即可．【解析】解：，根据内错角相等，两直线平行，能判定，故A符合题意；不能判定，故B不符合题意；不能判定，故C不符合题意；，结合同旁内角互补，两直线平行，可得，故D不符合题意；故选A【点睛】此题考查了平行线的判定，熟记“同位角相等，两直线平行”、“内错角相等，两直线平行”、“同旁内角互补，两直线平行”是解题的关键．6．（2023下·上海浦东新·七年级上海市进才中学校考期末）已知在同一平面内有三条不同的直线，，，下列说法错误的是（

）A．如果，，那么 B．如果，，那么C．如果，，那么 D．如果，，那么【答案】C【分析】根据平行公理的推论进行分析判断即可．【解析】解：A．如果，，那么，故A正确，不符合题意；B．如果，，那么，故B正确，不符合题意；CD．如果，，那么，而不是，故C错误，符合题意，D正确不符合题意．故选：C．【点睛】本题主要考查了平行公理及推理，解题关键在于掌握“如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行”和“垂直于同一条直线的两直线平行”．7．（2019下·上海浦东新·七年级统考期末）已知a//b，点在直线上，且，，那么（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先根据∠1=36°，由AB⊥BC求出∠3的度数，再a//b即可得出答案．【解析】解：∵AB⊥BC，∠1=36°，∴∠3+∠1=90°．∴∠3=54°，∵a//b，∴∠2=∠3=54°．故选：B．【点睛】本题考查的是平行线的性质、垂线的性质，熟练掌握垂线的性质和平行线的性质是解决问题的关键．8．（2023下·上海普陀·七年级统考期中）如图，已知，下列说法中正确的是（

）

A． B．C． D．【答案】D【分析】根据平行线的性质对每一项判断即可解答．【解析】解：项∵由得不到，故项不符合题意；项∵由得不到，故项不符合题意；项∵由得不到，故项不符合题意；项∵由可得到，故项符合题意．故选．【点睛】本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．9．（2021下·上海崇明·七年级统考期末）如图，已知，点A、E在直线a上，点B、C在直线b上，且，则下列说法中正确的是（

）A． B． C． D．无法确定．【答案】C【分析】先根据平行线之间的距离可得点到直线的距离相等，再利用三角形的面积公式即可得．【解析】解：，点到直线的距离相等，设点到直线的距离为，则点到直线的距离也为，，，故选：C．【点睛】本题考查了平行线之间的距离，掌握理解平行线之间的距离是解题关键．10．（2023下·上海浦东新·七年级校考期末）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图所示的方式叠放在一起，其中，，，当且点在直线的上方时，如果三角板的直角边与边平行，那么的度数为（

）．

A．30或60 B．60或120 C．45或60 D．30或120【答案】D【分析】分两种情况：当时；当时，然后分别利用平行线的性质是解题的关键．【解析】解：分两种情况：当时，如图：

∵，，，；当时，如图：

∵，；综上所述：如果三角板的直角边与边平行，那么的度数为或，故选：D．【点睛】本题考查了平行线的性质，分两种情况讨论是解题的关键．二、填空题11．（2021下·上海徐汇·七年级校考期中）如图，，，垂足为，线段的长表示点到直线的距离．

【答案】/【分析】根据点到直线的距离为这一点到直线的垂线段的距离，即可求解．【解析】解：由题意可得：，线段的长表示点到直线的距离，故答案为：．【点睛】此题考查了点到直线的距离，解题的关键是理解点到直线的距离的概念．12．（2023下·上海·七年级专题练习）如图直线被直线所截，且，已知比大，则．

【答案】65【分析】本题考查了平行线的性质，根据题意可得，然后利用平行线的性质可得，进行计算即可解答．【解析】解：∵比大，∴，∵，∴，∴，∴，故答案为：65．13．（2021下·上海徐汇·七年级校考期中）如图，直线和交于点，，垂足为，，则度．

【答案】40【分析】根据题意易得，则有，然后根据对顶角可进行求解．【解析】解：∵，∴，∵，∴，∴；故答案为40．【点睛】本题主要考查垂线的定义及对顶角，熟练掌握垂线的定义及对顶角是解题的关键．14．（2023下·上海·七年级校考期中）如图，直线，交于点，交于点，若，，则度．【答案】【分析】本题考查了平行线的性质，过点作，得出，进而根据即可求解．【解析】解：如图所示，过点作，则，∵，∴，∴，∴，∴，故答案为：．15．（2023下·上海·七年级校考期中）如图，有一条直的宽纸带，按图折叠，已知，则度．【答案】/76度【分析】本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质是解题关键．根据平行线的性质可得，，再结合折线的性质可得，即可得到的度数．【解析】解：如图由折叠的性质可得∶故答案为∶．16．（2023下·上海·七年级专题练习）如图，于A点，过A点作，若，则．【答案】45°/45度【分析】本题考查平行线的性质和垂线的定义．解题的关键是熟练掌握平行线的性质：两直线平行，内错角相等．先根据补角的定义求出的度数，再由平行线的性质求出的度数，再由直角三角形的性质即可得出结论．【解析】解：∵，∴．∵，∴．∵，∴，∴．故答案为：．17．（2023上·上海青浦·八年级校考期中）如图，平分，，，则．【答案】【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线．熟练掌握平行线的性质，角平分线的定义是解题的关键．由平行线的性质，角平分线的定义可得，，，计算求解即可．【解析】解：∵，，∴，，∵平分，∴，∴，故答案为：．18．（2021下·上海崇明·七年级统考期末）如图，已知，那么度．【答案】80【分析】首先过点E作EF∥AB，易得AB∥EF∥CD，然后由两直线平行，同旁内角互补，求得∠1+∠B=180°，∠2+∠D=180°，又由∠B=150°，∠D=130°，即可求得答案．【解析】解：过点E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥EF∥CD，∴∠1+∠B=180°，∠2+∠D=180°，∵∠B=150°，∠D=130°，∴∠1=30°，∠2=50°，∴∠BED=∠1+∠2=80°．故答案为：80．【点睛】此题考查了平行线的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．三、解答题19．（2022下·上海宝山·七年级校考阶段练习）按下列要求画图并填空：如图，直线AB与CD相交于点O，P是CD上的一点．(1)过点P画出CD的垂线，交直线AB于点E；(2)过点P画PF⊥AB，垂足为点F；(3)点O到直线PE的距离是线段的长；(4)点P到直线CD的距离为．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)OP(4)0【分析】（1）根据垂线的定义，利用三角板的两条直角边画图即可；（2）根据垂线的定义，利用三角板的两条直角边画图即可；（3）根据直线外一点到这条直线的垂线段的长度是这点到直线的距离解答即可；（3）根据直线上的点到这条直线的距离等于0解答即可．【解析】（1）解：如图，直线PE即为所求；（2）解：如图，直线PF即为所求；（3）解：点O到直线PE的距离是线段OP的长．故答案为：OP；（4）解：由图可知，点P到直线CD的距离为0，故答案为：0．【点睛】本题考查了垂线的作法，点到直线的距离等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．20．（2021下·上海青浦·六年级校联考期末）如图，已知直线AB和直线CD交于点O，，OE平分，求和的度数．【答案】∠AOC＝36°，∠EOB＝108°．【分析】根据对顶角的性质求出∠AOC，利用邻角互补求得∠AOD，利用角平分线的定义求得∠EOD的度数，再用∠EOB＝∠EOD+∠DOB即可求得∠EOB的度数．【解析】解：∵∠AOC和∠DOB是对顶角，，∴∠AOC＝∠DOB＝36°，∵∠AOD＋∠AOC＝180°，∴∠AOD＝180°－∠AOC＝144°，∵OE平分∠AOD，∴∠EOD＝∠EOA＝∠AOD＝72°，∴∠EOB＝∠EOD+∠DOB＝72°+36°＝108°．【点睛】本题主要考查了对顶角和角平分线的定义，熟练掌握对顶角的性质和角平分线的定义是解答本题的关键．21．（2022下·上海·七年级阶段练习）如图，直线AB与CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF⊥OE于点O，若∠AOC＝60°，求∠BOF的度数．解：∵∠BOD＝∠AOC（对顶角相等），∠AOC＝60°（）∴∠＝°∵OE平分∠BOD（

已知

）∴∠BOE＝∠＝°（）∵OF⊥OE（已知）∴∠EOF＝°（）∵∠BOF+∠BOE＝∠EOF∴∠BOF＝°．【答案】已知；BOD；60；BOD；30；角平分线的定义；90；垂直定义；60【分析】利用对顶角的性质以及角平分线的定义得出∠BOE的度数，再利用垂直定义得出∠BOF的度数．【解析】解：∵∠BOD＝∠AOC（对顶角相等），∠AOC＝60°（已知），∴∠BOD＝60°，∵OE平分∠BOD（已知），∴∠BOE＝∠BOD＝30°（角平分线的定义），∵OF⊥OE（已知），∴∠EOF＝90°（垂直定义），∵∠BOF+∠BOE＝∠EOF，∴∠BOF＝60°．故答案为：已知；BOD；60；BOD；30；角平分线的定义；90；垂直定义；60．【点睛】此题主要考查了对顶角的性质，垂直定义以及角平分线的定义，得出∠BOE的度数是解题关键．22．（2023下·上海·七年级校考期中）如图，已知三点、、在同一条直线上，，，试说明的理由．

解：因为（已知）所以（

）所以______（

）因为（已知）所以_____（

）所以（

）【答案】同位角相等，两直线平行；；两直线平行，内错角相等；；等量代换；内错角相等，两直线平行【分析】本题考查了平行线的性质与判定；根据平行线的性质与判定进行填空，即可求解．【解析】解：因为（已知）所以（同位角相等，两直线平行）所以（两直线平行，内错角相等）因为（已知）所以（等量代换）所以（内错角相等，两直线平行）23．（2021下·上海静安·七年级上海市市西初级中学校考期中）已知：如图，，问吗？试说明理由．

【答案】，理由见解析【分析】先证明，根据平行线的性质和等量代换可得，证出，即可得．【解析】，理由如下：∵，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴．【点睛】本题考查平行线的判定与性质，掌握平行线的判定定理是解题的关键．24．（2021下·上海·七年级上海市南洋模范初级中学校考期中）如图，AB、CD是两条直线，，．请说明的理由．【答案】见解析【分析】根据平行线的判定得出AB∥CD，根据平行线的性质得出∠AMN=∠MND，求出∠EMN=∠MNF，根据平行线的判定得出ME∥NF，根据平行线的性质得出即可．【解析】∵∠BMN＝∠CNM（已知），∴（内错角相等，两直线平行）．∴∠AMN＝∠MND（两直线平行，内错角相等）．∵∠1＝∠2（已知），∴∠EMN＝∠MNF（等式性质）．∴（内错角相等，两直线平行）．∴∠E＝∠F（两直线平行，内错角相等），【点睛】本题考查了平行线的性质和判定的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．25．（2023上·上海浦东新·八年级校联考期中）如图，点C，D在直线上，，．(1)求证：．(2)的角平分线交于点G，过点F作交的延长线于点M．若，再求的度数．【答案】(1)证明见解析；(2)．【分析】（1）根据平角的性质进行等量代换，得到，利用同位角相等即可证明平行；（2）根据两直线平行，同旁内角互补得到，进而得到，再根据角平分线的定义，得到，最后利用平行线的性质，即可求出的度数．【解析】（1）证明：，，，；（2）解：，即，，，，，，，是的角平分线，，，，．【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定和性质是解题关键．26．（2021下·上海静安·七年级上海市市北初级中学校考期中）已知：四边形，（如图1），点P在直线上运动，点P和点C，D不重合，点P，A，B不在同一条直线上，若记，，分别为，，．

(1)如图2，当点P在线段上运动时，写出，，之间的关系并说出理由．

(2)如果点P在线段的延长线上运动，探究，，之间的关系，并说明理由．【答案】(1)(2)【分析】（1）过点作，如图1，由得，由得，则，所以；（2）如图2，根据平行线的性质由得，根据三角形外角性质得，所以，即．【解析】（1）．理由如下：过点作，如图1，，，，，，；（2）如图2，，，而，，即．

【点睛】本题考查了平行线性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．一、单选题1．一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，还在原来的方向上平行前进，那么这两次拐弯的角度应是（

）A．第一次右拐，第二次左拐 B．第一次左拐，第二次右拐C．第一次左拐，第二次左拐 D．第一次右拐，第二次右拐【答案】B【分析】根据两条直线平行的性质：两条直线平行，同位角相等．再根据题意可得两次拐弯的方向不相同，但角度相等．【解析】解：如图，第一次拐的角是，第二次拐的角是，由两次拐弯后，还在原来的方向上平行前进得：，由此可知，两次拐弯的方向不相同，但角度相等，观察四个选项可知，只有选项B符合，故选：B．【点睛】本题考查了平行线的性质，解题的关键是明确题意，利用平行线的性质解答．2．如图，已知长方形纸片ABCD，点E和点F分别在边AD和BC上，且∠EFC=37°，点H和点G分别是边AD和BC上的动点，现将点A，B，C，D分别沿EF，GH折叠至点N，M，P，K，若MNPK，则∠KHD的度数为（）A．37°或143° B．74°或96° C．37°或105° D．74°或106°【答案】D【分析】分两种情况讨论，①当在上方时，延长、相交于点，根据，推出，得到，求出的度数，再根据即可求解；②当在下方时，延长、相交于点，根据，推出，得到，再根据即可求解．【解析】解：①当在上方时，延长、相交于点，如图所示∵∴∵∴∵∴∴∴∵，∴∵翻折∴∴∴∵∴②当在下方时，延长、相交于点，如图所示∵∴∵∴∴∴∵，∴∵翻折∴∴∴∵∴故选D．【点睛】本题考查了翻折、平行线的判定和性质、对顶角等知识点，分情况讨论，画出对应图形进行求解是解答本题的关键．3．如图，已知：，，平分，，有下列结论：①；②；③；④.结论正确的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【分析】①根据平行线的传递性可以判断出来；②所以，然后根据两直线平行同旁内角互补可得，即，联立可求得结果；③根据以及，可求得结果；④根据即以及，可求得结果．【解析】解：∵，∴，∵平分，∴，即，①∵，，∴，故①正确；②∵，∴，∴，即，∵，∴，即，故②正确；③由①可得，∴，∴，即，又，∴，即，将代入，化简可得：，故③正确；④∵，，∴，∵，∴，故④正确；正确的个数共有4个，故选：D．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质、平行线的传递性、两直线平行内错角相等、两直线平行同旁内角互补、角平分线的有关计算，准确找到角度之间的关系是解题的关键．4．如图，已知和分别平分和，若，，则的度数为（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】过点E作，则，由平行线的性质得，过点C作，则有，同理，结合角平分线的定义即可求得结果．【解析】解：如图，过点E作，∵，∴，∴，∴，过点C作，则有，同理，∵和分别平分和，∴，∴，，即，解得：，故选：D．

【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，解二元一次方程组，构造平行线是解题的关键．5．如图，在四边形中，，平分，，，点在直线上，满足.若，则的值是（

）A．或 B．或 C．或 D．或【答案】C【分析】分类讨论：①当点H在点F的上方时，设，根据时平行线的性质和垂直的性质可得、，再根据角平分线的性质可得即，再结合可得，然后可得，再根据列式即可求得k；同理可求，②当点H在点F的下方时k的值．【解析】解：如图，当点H在点F的上方时，设，∵∴，∵，∵，∴∵平分，∴，∴，∵，

∴，∵，∴，∵，∴，∴；当点H在点F的下方时，∵∴，∵，，∴∵平分，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴．故选：C．【点睛】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的定义等知识点，正确作出辅助线和灵活运用分类讨论思想成为解答本题的关键．6．如图，已知分别为的角平分线，，则下列说法正确的有（

）个．①②③平分④A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【分析】如图，延长交于，由，可得，由，可得，，进而可判断①的正误；由分别为的角平分线，则，，如图，过作，则，有，，根据，可得，可得，进而可判断④的正误；由，可知，，由，可得，进而可判断③的正误；由，可知，由于与的位置关系不确定，可知与的大小关系不确定，则不一定成立，进而可判断②的正误，进而可得答案．【解析】解：如图，延长交于，∵，∴，∵，∴，∴，∴①正确，故符合要求；∵分别为的角平分线，∴，，如图，过作，∴，∴，，∵，∴∴，∴④正确，故符合要求；∵，∴，，∵，∴，∴平分，∴③正确，故符合要求；∵，∴，∵与的位置关系不确定，∴与的大小关系不确定，∴不一定成立，∴②错误，故不符合要求；∴正确的共有3个，故选B．【点睛】本题考查了两直线平行，内错角相等；同位角相等，两直线平行；角平分线，两直线平行，同旁内角互补等知识．解题的关键在于对平行线的判定与性质的熟练掌握与灵活运用．二、填空题7．平面内不过同一点的条直线两两相交，它们交点个数记作，并且规定，则，．【答案】1..【分析】条直线相交只有一个交点，条直线相交，交点数是，条直线相交，交点数是，即，可写出，的解.【解析】解：求平面内不过同一点的条直线两两相交的交点个数，可由简入繁，当2条直线相交时，交点数只有一个；当3条直线相交时，交点数为两条时的数量第3条直线与前两条的交点2个，即交点数是；同理，可以推导当n条直线相交时，交点数是，即，，，本题的答案为：1，.【点睛】本题考查了平面内直线两两相交交点数的计算，涉及到一种很重要的数学方法数学归纳法的初步应用接触，此方法在推导证明中比较常用.8．100条直线两两相交于一点，则共有对顶角（不含平角）对，邻补角对.【答案】990019800【分析】由特殊情况总结出一般规律，应用规律即可求解．【解析】解：图①中共有2对对顶角，4对邻补角，图②中共有6对对顶角，12对邻补角，图③中共有12对对顶角，24对邻补角，，根据上面的规律，直线条数与对顶角对数之间的关系为：若有n条直线相交于一点，则可形成对对顶角．对邻补角，若100条直线相交于一点，则可形成9900对对顶角，19800对邻补角，故答案为：9900，19800．【点睛】本题考查有规律性的数学问题，关键是由特殊情况总结出一般规律．9．已知，点P，Q分别在上，如图，射线按顺时针方向以每秒的速度旋转至便立即回转，并不断往返旋转；射线按顺时针方向以每秒的速度旋转至便停止，此时射线也停止旋转．若射线先旋转45秒，射线才开始转动，当射线旋转时间为秒时，．（为旋转后对应的射线．）

【答案】或或【分析】由题意可知，射线再旋转45秒后到达，射线在此过程中旋转．作出，分类讨论旋转度数为和的情况，以及两射线分别与重合时，即可求解．【解析】解：①若旋转度数为，即，如图所示：

，，，，，解得：；②若旋转度数为，即，如图所示：

由①得：，，，解得：，③当时，与重合，与重合，此时，综上所述：或或；故答案为：或或．【点睛】本题考查平行线中的运动问题，将一元一次方程与平行线的性质结合起来．建立分类讨论的依据是解决此题的关键．10．如图，已知，点是上方一点，点分别在直线、上，连结、，平分，交的反向延长线于点，若，且，则度数为．

【答案】/52度【分析】本题考查了平行线的性质与判定的综合运用，过点作，过作，设，，利用平行线的性质以及角平分线的定义即可得出结论，解题的关键是作辅助线构造内错角，利用平行线的性质以及角的和差关系进行推算．【解析】如图，过点作，过作，

设，，∵，交于，平分，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，平分，∴，∵，∴，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，故答案为：．11．如图，，点，在直线上（在的左侧），点在直线上，，垂足为，为线段上的一动点，连接，，与的角平分线交于点，且点在直线，之间的区域，下列结论：①；

②；③若，则；④若，则，其中为正整数．上述说法正确的是（写出所有正确结论的序号）．

【答案】①③④【分析】过点H作，利用平行线的性质可得