2022高考二轮复习新高考题型之导数解答题含解析

2022届高考二轮复习新高考题型之导数解答题

学校：姓名：班级：_

一、解答题

1.已知函数/(x)=e*sinx-41asin卜一；1x£|0,n].

(1)若a4l,判断函数/(x)的单调性；

(2)证明：ex(7t-x)+l>sinx-cosx.

2.已知函数f(x)=-x+\nx,g(x)=xec-2x-m.

(1)求函数f(x)的极值点；

(2)若/(x)<g(x)恒成立，求实数〃?的取值范围.

3.己知函数/(x)=l-ln(x+l),g(x)=ax2-x+\.

⑴求证：1—xW/(x)K---;

l+x

⑵当OWxWl时，若/(x)Ng(x)恒成立，求a的取值范围.

4.已知函数/(x)=e*+sinx(其中e=2.71828…为自然对数的底数).

(1)求证：当xe[-l,+oo)时，/(x)>-；；

(2)若不等式/(x)Nor+l对任意xeR恒成立，求实数”的值.

5.设函数〃x)=x+ar2+01nx,曲线y=/(x)过P(1,O),且在尸点处的切线斜率为2.

⑴求a,6的值；

(2)证明：f(x)<2x-2.

6.已知函数/(力=/+x+2

⑴求曲线〃x)在点处的切线方程

(2)求经过点A(l,3)的曲线“X)的切线方程

7.已知函数/(x)=lnx-2or+l.

⑴若x=l是/(幻的极值点，确定〃的值；

⑵当人之1时，/«>0,求实数。的取值范围.

8.设函数/(x)=alnx+x且(工)="+%.

9

⑴讨论函数/(X)的单调性；

(2)令力(x)=/(x)-g(x),当a=2时,证明g)<21n2-4.

9.已知函数/'(X)=x(e*-a)-a(lnx-a)(a>0).

(1)若。=6,讨论/(X)的单调性；

(2)证明：f{x}>2a.

10.已知函数/（x）=e*-2-x.

（1）求函数〃x）的极值；

xinx3x

（2）求证：f（x）＞-.

11.已知函数/（》）=62，一〃*-1）.

⑴讨论函数“X）的单调性；

⑵若a＞0,设/'（X）为〃x）的导函数，若函数〃x）有两个不同的零点％,X2,求证:

尸（岩）＜0

12.己知函数/*）=〃1111一不+」（〃工0,0＞0）.

x

（1）当。=2时，比较f（x）与0的大小，并证明；

（2）若/（X）存在两个极值点不/，证明：/（芭）,702）＜。・

13.已知函数/(*)=，-4)(犬一4),。6R,且/(-I)=0.

(1).讨论函数/(x)的单调性；

(2).求函数/(x)在12,2］上的最大值和最小值.

14.已知函数/(x)=xe可

(1)求函数/(X)的极值;

⑵若直线卜=机与函数〃x)的图象有两个不同交点A(XQJ,8(々，%)，求证:

X+£<-2.

参考答案

47r

1.答案：(l)OWx<二时，r(x)>0,f(x)为增函数；三兀时，r(x)<0,/(x)为

44

减函数.

(2)证明过程见解析.

解析：(1)因为/(x)=e*sinx-J5asin(x-：),

所以/"(X)=e*sinx+evcosx-a(sinx+cosx)=(ev-a)(sinx+cosx).

因为aMl,所以在［0,兀］上e'-aNO,

由(3=0,解得x=宁.

当04x<芝时，/'(x)>0,/(x)为增函数；

4

当27r卫兀时，r(x)<0,/(x)为减函数.

4

(2)证明:由(1)知，当a=］时,

/(x)=e'sinx-&sin(x-£)在0,7)上为增函数，在1个，兀上为减函数.

因为/(0)=1,/(兀)=—1,

所以/(X)2/(兀)，

71

故eAsinx-\/2sinx--2—1,

所以e"sinxNsinx-cosx-l,

所以e'sinx+1>sinx-cosx.

设^(x)=7c-x-sin=-l-cosx<0，

所以g(x)在［0,71］上为减函数.

又g(7t)=0,所以兀一xNsinx，

所以e"(兀-x)+lNe"sinx+1Nsinx-cosx.

2.答案：(1)元=1是/(幻的极大值点，无极小值点

(2)tn<\

解析：(1)由已知可得，函数〃x)的定义域为(0,+00),且/。)=上三,

X

当0cxe1时，/'(x)>0；当x>l时，f\x)<0,

所以/(X)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+00),

所以X=1是/(幻的极大值点，无极小值点.

(2)解法一：设〃(x)=/(x)-g(x)=lnx+x-xe"+相，XG(0,+CO),

则/⑺=，+1-(工+1封=*+1)(，一©[,

令r(x)=--ex»XG(0,+oo),

x

则t\x)=--一e"<0对任意xe(0,+oo)恒成立，

X

所以Z(x)=--ex在(0,+oo)上单调递减.

x

又(£)=2一五>0，r(l)=l-e<0,

所以玉：o£(1[]，使得，(式0)='—《与=0,即，=e",则ln1~=lneM,即一ln%=X0.

(2)玉)两与

因此，当0<x</时，r(x)>0,即“(x)>0,则力(元)单调递增；

当x>x()时，Z(x)<0,即〃'(x)<0,则人(幻单调递减,

故〃(X)max=〃(工0)=ln%0+%-x()e"+机=0-1+机40,解得m<\,

所以当机41时，/(X)<g(x)恒成立.

解法二：令机(x)二e"一工一1,m\x)=ev-1,当xvO时，/n(x)<0；当x>0时，

m{x)>0,

所以加(x)在(-CO,0)上单调递减，在(0,+oo)上单调递增，

所以m(x)>6(0)=0,

即e"Nx+l.

因为xe"=ex+m・，

所以xe'=eAinxNx+inx+l,当x+lnx=0时等号成立，

即xex-x-lnx>1,当x+lnx=0时等号成立，

所以y=xe*-%—Inx的最小值为1.

若f(x)<g(x)恒成立,则xex-x-\x\x>m,

所以当机<1时，/(x)<g(x)恒成立.

3.答案：⑴证明过程见解析；(2)〃e(-oo,l-ln2].

解析：(1)令〃(x)=/(x)-(l-x)=x-ln(x+l),则“(x)=—

当Tvx<0时，/?'(%)<0,函数/z(x)递减

当x>0时，/?"(x)>0,函数九(%)递增，故力(%)在x=0处取得最小值〃(0)=0

即,对，>一1,WA(x)>//(0)=0,故，(x)之1-x

令心)=小)一入忘一皿川)，则—君‘

当—1<X40时，/'(x)20,函数/(x)递增

当x>0时，/'(x)<0,函数/(x)递减，故/(力在x=0处取得最大值/(0)=0

即，对x>-l,有/(x)4/(0)=0,故1-

(2)令F(x)=g(x)_/(x)=]n(x+])+“x2-x,则F'(x)=

①当aVO时，2a—1<0,.•.当xNO,.-.x+l>0,2ax+2a-l<0F'(x)<0,函数

y=F(x),xe[0,l]为减函数，.•.当OVxVl时，F(%)<F(0)=0,

即a40时，f(x)>g(x)成立

②当0<。己时，上必

42a

则对VXE[0,1],X--——<x-l<0»/.x+1>0,2ax4-—1<0

2a

/.Fz(x)<0，.二函数》=/(力,x£[0,l]为减函数，

・•・当OWxWl时，F(x)<F(0)=0,即Ova时，/(x)2g(x)成立

③当,<。41—1112时・，由l-ln2v,，知lOv^^vl

422a

・,・当0工冗《^^0寸，/.x+l>0,2m:+加一1<0,F\x)<0

2a

当——<x<1B4».\x+l>0,2ax+2a-\>0Fz(x)>0,

2a

二.函数y=F(x),xe[0,l]的减区间为卜，上0],增区间为「上生」

2a][_2a

又・・♦尸(0)=0,F(l)=ln2-l+«<0

.•.对X/xe[O,l],尸(x)Vmax俨(0),F⑴}40

故,当OMxMl时,f(x)2g(x)成立

④当a>l—ln2时，Wa+ln2-l>0,F(l)=a+ln2-l>0

即g⑴>〃1)，与题意矛盾

综合①②③④，6TG(-oo,l-ln2],对OKxWl,有

4.答案：(1)见解析

(2)实数。的值为2

解析：(1)f,(x)=ex4-cosx,

当xe[T,O]时，ex>0,cosx>0,则尸(幻>0；

当%£(0,+oo)时，eA>1,-1<COSX<1,则/'(x)>0,

二./(%)在[-l,+oo)上单调递增，

「•/W/(-1)=--sinl>--,

ee2

KG-1111

273+12.73e

1V31.1

O'/"，，

(2)令g(x)=/(x)-如-1=e*+sin冗一以一1,则g(x)NO对任意恒成立，

若a<0,贝！Jg(—兀)=--1-〃兀一1v0,与题意不符.

e兀

故只需考虑〃>0时的情况，g(0)=0,gf(x)=ex-Fcosx-a,g，(0)=2—a,令

/?(x)=ex4-cosx-67,则h\x)=eA-sinx,显然当x>0时，h\x)=ex-sinx>0,

故g，(x)在。”)上单调递增，

①当a>2时，则g'(0)<0,g(ln(a+1))=a+1+cos[ln(a+1)]-a=1+cos[ln(a+1)]>0,故

存在X。e(O」n(a+l)],使得g'(xo)=。，且当x£(0,与)时，g(x)单调递减，

g(x0)<g(0)=0,与题意不符；

②当0vav2时，则g'(0)>0,当一7tvxv0时，ex>0,sinx<0,

故”(x)>0,g'(x)在(一码0)上单调递增.又g'(—7t)=eF—l—a<0,故存在%£(一耳0),使

得g'(X])=0,.,・当x«X],0)时，g(x)单调递增，二.g(xJ<g(0)=0,与题意不符；

③当a=2时，则短(0)=0,当尤<0时，gr(x)=ex+cosx-2<cosx-l<0,当x>0时，

g,(x)>g,(0)=0,故g(x)在(-a),0)上单调递减，在(0,+00)上单调递增，

g(x)>g(0)=0恒成立.

综上，实数。的值为2.

5.答案：(1)tz=—1,6=3.

(2)见解析

解析：(1)r(力=1+2ax+—.

1+〃=0

由已知条件得即

k(i)=21+2。+6=2

解得。=-1,b=3.

(2)证明："X)的定义域为(0,+oo),

由1知/(x)=x-Y+3\nx,

设g(x)=/(x)-(2x-2)=2-x-f+31nx,

则g[x)=T_2x+3=_上跑+3).

XX

当Ovxvl时，g'(x)>0；当％>1时，g'(x)<0.

所以g(»在(0/)单调递增，在(l,+oo)单调递减..

而g(l)=O,故当x>0时，g(x)<0,HP/(x)<2x-2.

6.答案：(1)见解析

(2)y=x+2或y=2x+1.

解析：(1)函数/(x)=x3-x2+x+2的导数为:(x)=3/-2x+1,

可得曲线/(力在点(1J⑴)处的切线斜率为3-2+1=2,

切点为(1,3),

即有曲线/⑺在点(I"⑴)处的切线方程为3-2+1=2,

即为2x-y+1=0；

⑵设切点为(见〃),可得〃-/+m+2,

由/(x)的导数/(力=3/―2%+1,

可得切线的斜率为3M-2机+1,

切线的方程为y-(加一/+m+2)=(3机2-2m+,

由切线经过点(1,3),可得3-(加-nr+m+2)=(3，?？+,

化为机(m一1)2=0,解得帆=0或1.

则切线的方程为y-2=x或y-3=2(x-l),

即为y=x+2或y=2x+l.

7.答案：(1)(7=—.

2

(2)(7G(-00,0]-

解析：(D/(x)的定义域为(0,+oo).

f(x)=——2a»由题意f(1)=0=〃=

x2

若〃=L则/(%)=’一1=^~-»当Ovxvl时,/(x)>0；

2xx

当x>i时，r(x)v。，

所以x=l是f(x)极大值点，故4=0.

2

(2)Qf'(x)=上工竺，

X

①若。<0，则/'(x)NO，/(工)在工+oo)上单调递增，

A/(x)>/(l)=l-2a>0,满足题意.

②若0<6Z<—>则

2

当lvx<l■时，/(x)>0»/(x)单调递增；当%>-!-时,/(x)<0，/(x)单调递减.

2a2a

此时当X7+8时，y(x)<o,不合题意.

③若azg,则x>l时，/(x)<0»/(©单调递减.

/(x)</(l)=l-2tz<0,不合题意.

综上可知，当Q40，xNl时，/(x)NO，故a£(Yo,0].

8.答案：(1)在(-凡收))上单调递增，在(0,-。)上单调递减.

⑵证明过程见解析.

解析：(l)/(x)=alnx+x,x>0,

、a.x+a

./(幻=一+1=----.

XX

当&20时，/(x)=X+6Z>0,函数f(x)=alnx+x在(0,+oo)上单调递增,

x

当avO时，4/(x)=^-^=0,解得了=一。，

x

令/(X)=土於>0，解得x>-a,

x

令/(幻=〃<0，解得Ovxv-a，

x

所以函数/(x)=alnx+x在(-a,+oo)上单调递增，在(0,-a)上单调递减.

(2)Z?(x)=/(x)-g(x)=a\nx-ex,当a=2时，h(x)=21nx-ex,

2?.2

h(x)=——ex,令y=/z(x)=——ex»则y=——一e，<0,

xxx~

所以"(X)二5-/在(0,+oo)上单调递减.

X

I11

取芭=—,%2=1,则/a)=〃'(/)=4一/>0,h\x2)=h'O)=2-e<0,

7I

所以函数/7'。)=：-/存在唯一的零点不£(}1),

2

即"(小)=3一淖=0,

不

所以当了£(0,入0),hr(x)=——ex>0,

x

2

当xE(x0,4-oo),〃'(x)=——e"<0,

x

故函数/?(%)在(0,%)单调递增，在(%,+oo)单调递减，

所以当x=x。时，函数〃(处取得极大值，也是最大值〃(Xo)=21nXo-1，

922

由上一？"=0可得"。=—,Ine*=ln3即与=ln2—山与，

/与%

所以In玉)=In2-X。，

21

故〃(尤0)=2InXQ—e"—2(ln2—%。)---=2In2—2(74---)，

%与

由基本不等式可得天+工22,1二=2,

/V/

因为X。€(―,1)>所以X(>H--->2，

2%

所以h(x0)=2In2-2(x0-I--)<21n2-4,

xO

又因为4(x)4〃(x0)即〃(x)<21n2-4,

所以当a=2时，〃(x)<21n2-4成立.

9.答案：(1)xe(0,l)时，f'(x)<0,f(x)单调递减，xe(l,+oo)时，/,(x)>0,/(x)单

调递增

(2)见解析

解析：(1)当〃=e时，/(x)=x(ev-e)-e(Inx-e),

(x+l)fxer-el

r(x)=(x+l)e^-e--e=——------L,

xx

令/V)=0,得x=l,

因为y=xe'-e在(0,+8)上单调递增，

所以xe(O,l)时，f'(x)<0,/(x)单调递减，

时，f'(x)>0,/(x)单调递增.

(x+1)(xex-a]

(2)f\x)=-----------且ga)=xe*-Q在(0,+oo)上单调递增，

x

g(0)=-Q<0,g(a)=Q(e"-1)>0,

所以存在唯一的％e(0,。)，使得g(x())=O，即/(尤())=0，

所以xoe^=a,x0+Inx0=\na9

xw((Uo)时，/\x)<0,f(x)单调递减，时，尸(x)>0,/(x)单调递增,

所以，(x)N/(工0)=%)(巳*—。)=々-4山4+/,

22

f^x0)-2a=a-a\na+a-2a=a-a-a\na=a(a-1-In4?).

设〃(〃)=。一1一Ina,贝ljh\a)=l--=—―,

aa

aw(O,l)时，”(a)<0,〃(a)单调递减，

aw(l,+oo)时，”(a)>0,〃(q)单调递增.

所以〃⑷之〃⑴=0,

所以f(x0)>2a,/(x)>2a.

10.答案：(1)函数/0)的极小值为t，没有极大值；(2)证明见解析.

解析：(1)*.*y(%)=er-2-x，

/'(x)=er-2-1，令/'(幻=。可得x=2，

当x>2时，/'(x)>0，函数/(x)在(2,+oo)上单调递增，

当xv2时，尸(幻<0，函数/(幻在(-0,2)上单调递减，

・••当x=2时，函数/(幻取极小值，极小值为7,函数/(九)没有极大值；

(2)设g(x)=x-l-lnx，则g*(x)=l-)

xx

当x>l时'g'(x)>0,函数g(x)在(l,+oo)上单调递增,

当0<xvl时，g'(x)v0,函数g(x)在(0,1)上单调递减,

:・g(x)Ng(l)=0，即x—l之Inx，x(x-l)>x\nx

要证明f(x)>xMx-3x,只需证明4eT_x>x]nx，

4

只需证明4/2-x>x(x—1)>只需证明e*N0»

只需证明/之竺,设人(无)=e"—勿,则/z«)=e*—e，令/f(x)=O可得x=l，

2

当x>l时，h\x)>0，函数〃(x)在(l,y)上单调递增，当Ovxvi时，h\x)<Or函数〃(x)

在(0,1)上单调递减，••・/z(x)N/z⑴=0，工/Nex，，当x>0时「之竺成立，

~2

.〜、x\nx-3x

■•/(x)>——--------

4

11.答案：(1)当“40时，/3)在(-co,”)上单调递增；

当a>0时，f(x)在可-吗峙)上单调递减，在Q呜,+00)上单调递增.

(2)见解析

解析：⑴解：由f(x)=e2*-“(x-l),得r(x)=2e2*-a,

①当”40时，,f(x)>0,/(x)在(TO,+oo)上单调递增；

②当a>0时，4r（x）=2e2'-a=0,Wx=-ln-,

22

当时，/r(x)<0,/(x)单调递减,

当xe(gln名+oo)时，f'(x)>0,/(x)单调递增.

综上所述，当。<0时，/(x)在(-00,+00)上单调递增；

当a>0时，f(x)在xe(-oo,gln5)上单调递减，在(；ln}+oo)上单调递增.

⑵解：由于函数/(冷有两个不同的零点用，x2,

282必

两式相减得。——

2(赴一%)+(炉』e*2f)

内+*2

工2一百

不妨设令r=w-Aie(0,+<»),

设奴f)=2r+(e-,-ej(r>0),则<p\t)=2-(e-+e')<2-2=(),

故虱t)在(0,+oo)上单调递减.

所以奴/)<以0)=0.

所以

12.答案：(1)见解析

(2)见解析

解析：(1)当a=2时，f(x)=21nx-x+—,

X

贝IJ/W=--l-4=-『+2xT=<0,

XXXX

所以函数f(x)=21nx-x+L在(0,+co)上单调递减，且/(1)=0,

x

所以当Ovxvl时，/(x)>0；当X>1时，/(x)<0；当x=l时，/(x)=0.

(2)函数f(x)=a\nx-x+-,则.f'(x)=@-l--v=-~~

XXX"X

当Ova<2时，/'(X)=—'-y+L0在(0,+8)上恒成立,

即“X)在(0,*»)不存在极值，与题意不符，所以。>2,

又看,七是方程-丁+分-1=0的两根，不妨设工2>司，

由韦达定理得％+x2=—>\,xtx2—1,

又/(X)在区间(占,々)上递增，且/⑴=0小<1<々，

所以/(演)<0,/(%)>0,即/(5)./区)<0.

13.答案：(1)单调递增区间为(7,-1],甘4,一)，单调递减区间为[-1,4m.

(2)/(X)的最大值为2,最小值为—竺.

227

解析：(1)函数f(x)=(f-4)(x-a)(〃£R),

f\x)=2x(x-a)+x2-4=3x3-2ax-4.f(-l)=0.­.3+2a-4=0,解得〃,:.a=-.

22

则/(x)