偏微分方程-热传导方程

PAGEPAGE1偏微分方程(PartialDifferentialEquations)熱傳導方程式由於溫度不均勻，熱量從溫度高的地方往溫度低的地方轉移，這種現象叫做熱傳導。假設溫度在空間中的分布和在時間中的變化為。熱傳導的起緣是溫度的不均勻，可以用溫度梯度表示，熱傳導的強弱可用熱流強度，即單位時間通過單位截面積的熱量表示。根據實驗結果，熱傳導現象所遵循的熱傳導定律，即傅立葉定律是︰ (1)比例係數叫做熱傳導係數，是物質的特性。應用熱傳導定律和能量守恆定律，可導出沒有熱源的熱傳導方程︰ (2)其中是比熱，是密度。對於均勻物體，，和是常數，第(2)式可寫為︰ (3)第(2)式即為熱傳導方程式。若在物體中存在熱源，熱源強度(單位時間在單位體積內產生的熱量)為，則第(2)式應修改為︰ (4)所以熱傳導方程式要改寫為︰ (5)其中 (6)為按單位熱容量計算的熱源強度。其中運算子為Laplace算子，其表示形式可參照17之不同座標的表示式。19.分離變數法考慮一維熱傳導方程式︰ (7)以分離變數法處理，可分為︰無限區間： (8)半無限區間： (9)有限區間，兩端保持絕緣： (10)有限區間，兩端保持恆溫： (11)20.傅立葉變換求解熱傳導問題在處理偏微分方程時，有時會出現連續特徵值分布(例如無限域區間的波傳問題)，相映的展開定理可以產生關於譜值積分的積分變換，可利用積分變換處理之前級數展開或分離變數法無法處理的問題，常用的有傅立葉變換(Fouriertransform)以及拉卜拉斯變換(Laplacetransform)，對於無限域區間的定解問題，傅立葉變換法是一種普遍適用的方法，定義︰ (12) (13)其中在內絕對可積。傅立葉變換的基本性質︰(1)線性性質

設，，和為常數，則， (14)

(2)尺度變換性質

設為實數，則， (15)

(3)平移性質

(i) (16)

(ii) (17)

(4)微分性質

設，，，則 (18)

推論設，，且，則 (19)

(5)傅立葉轉換之微分 (20)

推論 (21)

(7)積分性質 (22)

(8)摺積定理(convolutiontheorem)(i)定義 (23)(ii)定理若，，則 (24)

(9)乘積定理

設，，則， (25)

其中表的共軛函數推廣:Parserval定理 (26)

(10)Modulation

設為實數，則， (27)

(28)

例：試求，，，初始條件：，。補充：利用傅立葉變換解無限區間波動方程式例：試求，，，初始條件：，，。21.拉卜拉斯變換求解熱傳導問題拉卜拉斯變換與傅立葉變換有些相似性質，定義︰ (29) (30)拉卜拉斯變換的基本性質︰(1)線性性質

設，，和為常數，則， (31)

(2)尺度變換性質

設為實數，則， (32)

(3)平移性質

(i) (33)

(ii) (34)

(4)微分性質 (35)

推論 (36)

(5)摺積定理(convolutiontheorem)(i)定義 (37)(ii)定理若，，則 (38)

例：試求一維半無限的熱傳導問題，，，邊界條件：，。初始條件：。例：試求一維半無限的熱傳導問題，，，邊界條件：，，。初始條件：，。22.高維以及非齊次邊界的熱傳導問題本節直接透過例題，以分離變數法處理高為熱傳導問題，例：試求三維有限區間的熱傳導問題。，，，，，邊界條件：，，，

，，。初始條件：，，，。例：設有長為，側面絕熱的均勻細桿，內部沒有熱源，初始溫度已知，兩端點的溫度保持定值，則桿上的溫度分布所滿足的定解問題為何？試求解之。Ans：，，，邊界條件：，。初始條件：。做函數轉換，則可將原定解問題轉化成齊次邊界條件的定解問題，，，，邊界條件：，。初始條件：。可解得，其中例：一均勻無限長圓柱體，柱體內無熱源，通過柱體表面延法向的熱量為常數q，若柱體的初始溫度為，求任意時刻柱體的溫度分布，若以柱體軸線為z軸建立柱座標，則柱體溫度滿足定解問題。，，，邊界條件：，。初始條件：。23.含熱源的熱傳導問題(i)齊次化原理考慮非齊次熱傳導方程 (39)由線性方程的疊加原理，可分解成兩個問題：(I) (40)以及(II) (41)第(40)式可由之前的方法求解，第(42)式則可引用