第17讲圆与圆的位置关系（三大题型归纳分层练）（原卷版）

第17讲圆与圆的位置关系【苏教版2019选修一】目录TOC\o"13"\h\z\u题型归纳 1题型01圆与圆的位置关系的判断 3题型02两圆相切问题 6题型03两圆相交问题 10分层练习 14夯实基础 14能力提升 21创新拓展 29一、圆与圆的位置关系的判断1．代数法：设两圆的一般方程为C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0(Deq\o\al(2,1)＋Eeq\o\al(2,1)－4F1>0)，C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0(Deq\o\al(2,2)＋Eeq\o\al(2,2)－4F2>0)，联立方程得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，,x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，))则方程组解的个数与两圆的位置关系如下：方程组解的个数2组1组0组两圆的公共点个数____个____个____个两圆的位置关系相交外切或内切外离或内含2.几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系如下：位置关系图示d与r1，r2的关系外离d____r1＋r2外切d____r1＋r2相交|r1－r2|<d<r1＋r2内切d____|r1－r2|内含d____|r1－r2|注意点：(1)利用代数法判断两圆的位置关系时，当方程无解或有一解时，无法判断两圆的位置关系．(2)在判断两圆的位置关系时，优先使用几何法二、两圆相切问题处理两圆相切问题的两个步骤(1)定性，即必须准确把握是内切还是外切，若只是告诉相切，则必须分两圆内切还是外切两种情况讨论．(2)转化思想，即将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值(内切时)或两圆半径之和(外切时)题型01圆与圆的位置关系的判断【解题策略】判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围有以下几个步骤(1)化成圆的标准方程，写出圆心和半径．(2)计算两圆圆心的距离d.(3)通过d，r1＋r2，|r1－r2|的关系来判断两圆的位置关系或求参数的范围，必要时可借助于图形，数形结合【典例分析】课本例1判断下列两个圆的位置关系：(1)(x＋2)2＋(y－2)2＝1与(x－2)2＋(y－5)2＝16；(2)x2＋y2－2x－3＝0与x2＋y2－4x＋2y＋3＝0.【例1】当实数k为何值时，两圆C1：x2＋y2＋4x－6y＋12＝0，C2：x2＋y2－2x－14y＋k＝0相交、相切、外离？【变式演练】【变式1】（2324高二上·浙江金华·期末）圆C：与圆的位置关系不可能（

）A．内含 B．内切 C．相交 D．外切【变式2】（2324高二上·河北承德·阶段练习）已知圆：和圆：，则这两个圆的位置关系为．【变式3】（2324高二上·广西百色·期末）已知圆经过点和，且圆心在直线上.(1)求圆方程；(2)若圆的方程为，判断圆与圆的位置关系.题型02两圆相切问题【解题策略】通过圆与圆的位置关系，建立数学模型，利用方程思想，解决求圆的方程问题【典例分析】【例2】已知圆x2＋y2－4ax＋2ay＋20a－20＝0.(1)求证：对任意实数a，该圆恒过一定点；(2)若该圆与圆x2＋y2＝4相切，求a的值．【变式演练】【变式1】（2223高二上·江苏连云港·开学考试）与两圆，都相切，且半径为3的圆一共有（

）个.A．2 B．3 C．5 D．7【变式2】（2324高二上·山西朔州·阶段练习）以为圆心的圆与圆相切，则圆的方程为.【变式3】（2324高二上·山西吕梁·阶段练习）已知的边所在的直线方程分别为．(1)求以点A为圆心，与圆相切的圆的方程；(2)若为边的中点，求边所在的直线方程．题型03两圆相交问题【解题策略】(1)求两圆的公共弦所在直线的方程的方法：将两圆方程相减即得两圆公共弦所在直线的方程，但必须注意只有当两圆方程中二次项系数相同时，才能如此求解，否则应先调整系数．(2)求两圆公共弦长的方法：一是联立两圆方程求出交点坐标，再用距离公式求解；二是先求出两圆公共弦所在的直线方程，再利用半径长、弦心距和弦长的一半构成的直角三角形求解．(3)已知圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则过两圆交点的圆的方程可设为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)【典例分析】【例3】已知圆C1：x2＋y2＋6x－4＝0和圆C2：x2＋y2＋6y－28＝0.(1)求两圆公共弦所在直线的方程及弦长；(2)求经过两圆交点且圆心在直线x－y－4＝0上的圆的方程．【变式演练】【变式1】（2324高二上·山东济宁·期末）圆与圆的公共弦的长度为（

）A． B． C． D．【变式2】圆心在直线x－y－4＝0上，且经过圆x2＋y2－4x－6＝0与圆x2＋y2－4y－6＝0的交点的圆的方程为________________．【变式3】（2324高二上·吉林延边·期末）已知圆与圆交于，两点，圆经过，两点，且圆心在直线上．(1)求；(2)求圆的方程．【夯实基础】一、单选题1．（2024高二·全国·专题练习）圆与圆的公共弦所在直线的方程为（）A． B． C． D．2．（2223高二上·广西河池·阶段练习）已知动圆与圆外切，同时又与轴相切，则圆的圆心轨迹方程为（

）A． B．和C． D．和3．（2324高二上·浙江宁波·期末）已知圆：，圆：，则两圆的位置关系为（

）A．内切 B．相交 C．外切 D．外离4．（2324高二上·江苏盐城·期末）已知圆和圆相交于A，B两点，则弦AB的长为（

）．A． B． C．4 D．2二、多选题5．（2223高二上·福建莆田·期中）下列说法正确的是（

）A．经过点且在两坐标轴上截距相等的直线只有一条B．经过点且与原点距离等于1的直线有两条C．过点且与圆相切的直线只有一条D．过点且与圆相切的圆只有一个6．（2223高二上·云南昆明·期中）已知圆C：，则下述正确的是（

）A．圆C的半径 B．点在圆C的内部C．圆C关于直线对称 D．圆：与圆C相交三、填空题7．（2324高二上·广东汕头·期中）圆：与圆：相交于A，B两点，则等于．8．（2324高二上·广东深圳·期末）圆与圆的公共弦的长为．9．（2324高二上·江苏连云港·期中）写出一个圆心在上，且与直线和圆都相切的圆的方程：.四、解答题10．（2324高二上·四川泸州·期末）已知圆过点，且与直线相切于点．(1)求圆的标准方程；(2)求圆与圆的公共弦长．11．（2324高二上·上海·课后作业）已知圆过点且与圆相切于原点，求圆的方程．【能力提升】一、单选题1．（2324高二上·湖北·期末）圆与圆的位置关系为（

）A．外离 B．相切 C．相交 D．内含2．（2324高二上·安徽·期末）已知圆：及圆：，若存在点P，使得，关于点P对称，则，的位置关系是（

）A．相离 B．相交 C．外切 D．内切3．（2324高二上·浙江湖州·期末）已知圆：（，）与圆：，则圆与圆的位置关系是（

）A．相交 B．相切 C．外离 D．与m的取值有关4．（2324高二上·山东临沂·期末）已知圆与圆相交于两点，则公共弦的长度是（

）A．2 B．1 C．3 D．5二、多选题5．（2324高二上·云南昭通·期末）已知圆的圆心坐标为，则关于圆的说法正确的是（

）A．B．圆与圆有且仅有2条公切线C．直线被圆截得的弦长为D．圆在点处的切线方程为6．（2324高二上·四川乐山·期末）已知直线l：，圆：，与圆：．则下列结论正确的是（

）A．直线l与圆的位置关系是相切 B．直线l与圆的位置关系是相离C．圆与圆的公共弦长是 D．圆上的点到直线l的距离为1的点有3个三、填空题7．（2324高二上·重庆永川·期中）圆与圆的公共弦所在的直线的方程为，弦长为．8．（2324高二上·甘肃白银·期中）圆与圆的公共弦长为9．（2324高二上·江西九江·阶段练习）经过点，且与圆相切于原点的圆的方程为.四、解答题10．（2324高二上·安徽合肥·阶段练习）已知，．(1)求两圆公共弦所在的直线方程；(2)求两圆的公共弦长．11．（2324高二上·全国·课后作业）已知圆交于A、B两点；(1)求过A、B两点的直线方程；(2)求过A、B两点，且圆心在直线上的圆的方程．【创新拓展】一、单选题1．（2324高二上·海南·期末）圆与圆（

）A．相切 B．相交 C．外离 D．内含2．（2324高二上·贵州贵阳·期末）圆与圆相交于两点，则线段的垂直平分线的方程为（

）A． B．C． D．二