2018-2019学年第一学期七年级第五章图形的认识同步辅导

毽子有关的数学问题生活中有很多有趣且富有数学含义的问题，通过对这些问题的探究有助于大家经历真正的“做数学”和“用数学”的过程．这不，在周五的活动课上，侯老师说要带大家去操场踢毽子，同学们听了都非常高兴，拍手叫好．在活动过程中，“数学通”慧颖突然提出一个问题：我们班一共有５２名学生，如果毽子在全班每两个同学之间都传递一次，那么毽子一共在我们班传递了多少次呢？一石激起千层浪，许多爱好数学的同学停下活动，聚在一起，讨论起这个问题来．“小诸葛”先开了腔，我们刚刚学习了线段，为了解决这个问题，我们可以把我班人数ｎ与传递毽子次数ｓ之间的关系用线段模型（如下图所示）来表示，点表示学生人数ｎ，线段条数表示传递毽子次数ｓ．“数学通”似乎已经明白了“小诸葛”的意思，将上述模型得出的结果整理成表格：点的个数（人数）线段条数（毽子传递次数）21=33=46=510=……ns=？通过“小诸葛”画出的表格，同学们很快猜想出ｓ＝，把ｎ＝５２代入上式，容易求得ｓ＝＝１３２６，也就是说班内５２名同学每两人传递一次，共传了１３２６次．同学们通过共同的努力，解决了提出的难题，非常高兴．侯老师特意表演了单人花样踢毽子为同学们祝贺．例谈角的运算一、角的度分秒之间的换算例1（1）把14.28°化成用度分秒表示的角；（2）把72°51′36′′化成用度表示的角．分析：（1）14.28°实际上是14°＋0.28°，只要将0.28°化成分，然后再将所得的分中的小数化成秒．（2）将72°51′36′′用度表示，应先将36′′化成分，然后再将分化成度．解：（1）将0.28°化成分，可得0.28×60′＝16.8′，再把0.8′化成秒，得0.8×60′′＝48′′，所以14.28°＝14°16′48′′．（2）把36′′化成分，得36×′＝0.6′，51′＋0.6′＝51.6′，把51.6′化成度，得51.6×°＝0.86°，所以72°51′36′′＝72.86°．温馨提示：解决此类问题应注意满60进1和借1当60．1°＝60′，1′＝60′′＝°，1′′=′.二、角度的加减运算例2计算：（1）64°38′43′′＋58°27′49′′；（2）128°10′8′′-26°43′53′′．分析：（1）度和度相加，分和分相加，秒和秒相加，满60秒进1分，满60分进1度．（2）度和度相减，分和分相减，秒和秒相减，当分与分不够减时向度借1°当60′，当秒与秒不够减时向分借1′当60′′．解：（1）原式＝（64+58）°（38+27）′（43+49）′′＝122°65′92′′＝123°6′32′′；（2）原式＝128°9′68′′－26°43′53′′＝127°69′68′′-26°43′53′′＝101°26′15′′．温馨提示：进行角的加减运算，遇到加法时，先加，再满60进位；遇到减法时，若不够减，则先借位再减，要注意单位之间的换算．巧用三角尺妙画特殊角三角尺是我们平时学习的一种重要工具，它不但可以用来作直线、线段和射线，还可以用来画角．那么用一副三角尺可以作出哪些角呢？一、直接利用三角尺画出特殊角，可以画出30°、45°、60°、90°等特殊角一副三角尺中的两个三角形都是直角三角形，其中一个直角三角形的两个锐角都是45°，而另一个直角三角形的两个锐角分别是30°和60°，因此直接利用三角尺就可以画出30°、45°、60°、90°等特殊角．二、利用特殊角的差画特殊角应用三角尺先画出一些特殊角，再减去一些特殊角，就可以得到15°、120°、135°、150°等特殊角，如图1所示.三、利用特殊角的和画特殊角应用三角尺先画出一些特殊角，然后再将角叠加，就可以得到75°、105°、120°、135°、150°、165°等特殊角，如图2所示.从以上作出的特殊角可以看出，只要角的度数是15°的正整数倍，都可以通过特殊角或特殊角的和、差画出．如果将画在纸上的特殊角折叠（使角的始边和终边重合），则折痕就是这个角的角平分线，于是又可以得到等于这个角度数一半的角．图形推理下列题中的问号处应该填什么？看A，B，C，D四个选项中，哪个更符合它们的规律呢？同学们，让我们开动脑筋想一想吧！解析与答案：1.观察第一套图形，第一个是四边形，第二个是三角形，第三个图形是十字，可见其规律是笔画依次减一.再看第二套图形，第一个图形共五画，第二个图形共三画，少了两画，那么第三个图形显然应当是一画.故选D.2.在第一套图形中，前两个图形都是第三个图形的一部分，而第三个图形则是前两个图形叠加后的完整图形.这种叠加方式可以称之为有重叠直接叠加.把这一规律应用到第二套图形中，就可以得到正确选项C.同学们，你们选对了吗？消除知识的死角死角一 概念模糊例1下列说法中正确的是（）A．平角是一条直线B．直角就是90°C．大于直角的角叫做钝角D．两个锐角的和不一定是钝角错解：选A、B或C．剖析：角是由有公共端点的两条射线组成的图形，显然直线不是一个角，更不是一个平角，所以A是错误的．直角是一个几何图形，90°是一个角度值，两者不是一个概念，但两者之间有联系：直角的度数是90°，度数为90°的角是直角，所以B是错误的．大于直角的角很多，如91°的角，138°的角，215°的角等，而钝角是大于直角而小于平角的角，即角度大于90°而小于180°，所以C是错误的．D是正确的，如∠α＝21°，∠β＝46°，∠α＋∠β＝67°＜90°．正解：选D．死角二 表示混乱例1如图所示，以点A为顶点的角有几个？并把它们表示出来．错解：以点A为顶点的角有3个，分别是∠BAD，∠CAD，∠A．剖析：当一个顶点有多个角时，不能只用顶点的一个大写字母来表示．正解：以点A为顶点的角有3个，分别是∠BAD，∠CAD，∠BAC．死角三 度、分、秒的换算例3（1）把18.29°转化为度、分、秒的形式；（2）把11°24′36″转化为度的形式．错解：（1）18.29°＝18°2′9″；（2）11°24′36″＝11.2436°．剖析：角度是60进位制，1°＝60′，1′＝60″．在进行转换时，整数部分保留，小数部分应向下一级或上一级单位转化，错解在度、分、秒转化过程中没有按60进位制转换．正解：（1）18.29°＝18°＋0.29×60′＝18°17.4′＝18°17′＋0.4×60″＝18°17′24″；（2）11°24′36″＝11°24.6′＝11.41°．用线解决最短距离问题1.为村庄选择合适的汽车站例1如图1，A，B是公路l两旁的两个村庄，若两村要在公路上合修一个汽车站P，使它到A，B两村的距离之和最小，试在l上标注出点P的位置.解析：根据线段的性质：两点之间线段最短，可知连接点A，B，线段AB与公路l的交点P即为所求汽车站的位置，如图2所示．2.选择最佳地点例2永州境内的潇水河畔有朝阳岩、柳子庙和迴龙塔等三个名胜古迹（如图3所示）．其中柳子庙坐落在潇水之西的柳子街上，始建于1056年，是永州人民为纪念唐宋八大家之一的柳宗元而建．现有三位游客分别参观这三个景点，为了使这三位游客参观完景点后步行返回旅游车上所走的路程总和最短．那么，旅游车等候这三位游客的最佳地点应在（）A.朝阳岩B.柳子庙C.迴龙塔D.朝阳岩和迴龙塔这段路程的中间位置解析：根据两点之间线段最短，不妨设朝阳岩到柳子庙的距离为5，柳子庙到迴龙塔的距离为8，车停在朝阳岩需要走的路程和为5+8+5=18，车停在柳子庙需要走的路程和为5+8=13，停在迴龙塔需要走的路程和为5+8+8=21，车停在朝阳岩和迴龙塔这段路程的中间位置需要走的路程和为6.5+6.5+1.5=14.5.因为13＜14.5＜18＜21，所以旅游车等候这三位游客的最佳地点应在柳子庙.故选B.点评：理解题意，把实际问题转化成相应的数学模型是解题的关键.这里用到数学中的特殊值思想.展开图形中的对应元素一、寻找对应点例1图1是正方体的表面展开图，如果将其折成原来的正方体（下图）时，与点P重合的两点应该是（）A．S和Z B．T和YC．U和Y D．T和V解析：由立体图形可知，正方体的最里面的正方形是ORUX，因此在展开图中，将正方形ORUX置于最里面，重新折叠成正方体后，你会发现P与T和V重合，所以与点P重合的两点应该是T和V．故选D．二、寻找对应线段例2图2-①是图2-②中立方体的表面展开图，图2-①与图2-②中的箭头位置和方向是一致的，那么图2-①中的线段AB与图2-②中对应的线段是（）e B．h C．k D．d解析：要得到图2-①所示的表面展开图，可以将正方体沿线段a，h，e，i，j剪开后，正对着我们的面不动，其他依次向右展开，因此图2-①中的线段AB与图2-②中对应的线段是e．故选A．三、寻找相对面例32016