小升初典型奥数：行程问题（讲义）-2023-2024学年六年级下册数学苏教版

行程问题行程问题【知识精讲+典型例题+高频真题+答案解析】编者的话：同学们，恭喜你已经开启了奥数思维拓展的求知之旅，相信你已经正确规划了自己的学习任务，本套资料为小升初思维拓展、分班考、择校考而设计，针对小升初的高频知识点进行全面精讲，易错点逐个分解，强化练习高频易错真题，答案解析非常通俗易懂，可助你轻松掌握、理解、运用该知识点解决问题！2024年9月编者的话：同学们，恭喜你已经开启了奥数思维拓展的求知之旅，相信你已经正确规划了自己的学习任务，本套资料为小升初思维拓展、分班考、择校考而设计，针对小升初的高频知识点进行全面精讲，易错点逐个分解，强化练习高频易错真题，答案解析非常通俗易懂，可助你轻松掌握、理解、运用该知识点解决问题！2024年9月目录导航资料说明第一部分：知识精讲：把握知识要点，掌握方法技巧，理解数学本质，提升数学思维。第二部分：典型例题：选题典型、高频易错、考试母题，具有理解一题，掌握一类的优势。第三部分：高频真题：精选近两年统考真题，助您学习有方向，做好题，达到事半功倍的效果。第四部分：答案解析：重点、难点题精细化解析，犹如名师讲解，可以轻松理解。第一部分第一部分知识精讲知识清单+方法技巧知识清单+方法技巧一、相遇问题两个运动物体作相向运动或在环形跑道上作背向运动，随着时间的发展，必然面对面地相遇，这类问题叫做相遇问题．它的特点是两个运动物体共同走完整个路程．小学数学教材中的行程问题，一般是指相遇问题．相遇问题根据数量关系可分成三种类型：求路程，求相遇时间，求速度．它们的基本关系式如下：总路程＝（甲速+乙速）×相遇时间相遇时间＝总路程÷（甲速+乙速）另一个速度＝甲乙速度和﹣已知的一个速度．二、追及问题1．追及问题的概念：追及问题的地点可以相同（如环形跑道上的追及问题），也可以不同，但方向一般是相同的．由于速度不同，就发生快的追及慢的问题．2．追及问题公式：根据速度差、距离差和追及时间三者之间的关系，常用下面的公式：距离差＝速度差×追及时间追及时间＝距离差÷速度差速度差＝距离差÷追及时间速度差＝快速﹣慢速3．解题的关键是在互相关联、互相对应的距离差、速度差、追及时间三者之中，找出两者，然后运用公式求出第三者来达到解题目的．三、流水行船问题船在江河里航行时，除了本身的前进速度外，还受到流水的推送或顶逆，在这种情况下计算船只的航行速度、时间和所行的路程，叫做流水行船问题．流水行船问题，是行程问题中的一种，因此行程问题中三个量（速度、时间、路程）的关系在这里将要反复用到．此外，流水行船问题还有以下两个基本公式：顺水速度＝船速+水速，（1）逆水速度＝船速﹣水速．（2）这里，船速是指船本身的速度，也就是在静水中单位时间里所走过的路程．水速，是指水在单位时间里流过的路程．顺水速度和逆水速度分别指顺流航行时和逆流航行时船在单位时间里所行的路程．根据加减法互为逆运算的关系，由公式（l）可以得到：水速＝顺水速度﹣船速，船速＝顺水速度﹣水速．由公式（2）可以得到：水速＝船速﹣逆水速度，船速＝逆水速度+水速．这就是说，只要知道了船在静水中的速度，船的实际速度和水速这三个量中的任意两个，就可以求出第三个量．另外，已知船的逆水速度和顺水速度，根据公式（1）和公式（2），相加和相减就可以得到：船速＝（顺水速度+逆水速度）÷2，水速＝（顺水速度﹣逆水速度）÷2．四、环形跑道问题1．环形跑道问题，从同一地点出发，如果是相向而行，则每相遇一次合走一圈（每隔第一次相遇时间就相遇一次）；第几次相遇就合走几圈；如果是同向而行，则每多跑一圈就追上一次（每隔第一次追及时间就追上一次）．第几次追上就多跑几圈．环形跑道：同相向而行的等量关系：乙程﹣甲程＝跑道长，背向而行的等量关系：乙程+甲程＝跑道长．2．解题方法：（1）审题：看题目有几个人或物参与；看题目时间：“再过多长时间”就是从此时开始计时，“多长时间后”就是从开始计时；看地点是指是同地还是两地甚至更多．看方向是同向、背向还是相向；看事件指的是结果是相遇还是追及相遇问题中一个重要的环节是确定相遇地点，准确找到相遇地点对我们解题有很大帮助，一些是题目中直接给出在哪里相遇，有些则需要我们自己根据两人速度来判断．追击问题中一个重要环节就是确定追上地点，从而找到路程差．比如“用10秒钟快比慢多跑100米”我们立刻知道快慢的速度差．这个是追击问题经常用到的，通过路程差求速度差（2）简单题利用公式（3）复杂题，尤其是多人多次相遇，一定要画路径图，即怎么走的线路画出来．相遇问题就找路程和，追击问题就找路程差．五、列车过桥问题（1）火车过桥时间是指从车头上桥起到车尾离桥所用的时间，因此火车的路程是桥长与车身长度之和．（2）火车与人错身时，忽略人本身的长度，两者路程和为火车本身长度；火车与火车错身时，两者路程和则为两车身长度之和．（3）火车与火车上的人错身时，只要认为人具备所在火车的速度，而忽略本身的长度，那么他所看到的错车的相应路程仍只是对面火车的长度．对于火车过桥、火车和人相遇、火车追及人、以及火车和火车之间的相遇、追及等等这几种类型的题目，在分析题目的时候一定得结合着图来进行．第二部分第二部分典型例题例题1：A、B两地相距950米，甲、乙两人同时从A地出发，往返A、B两地跑步90分钟，甲跑步的速度是每分钟40米，乙跑步的速度是每分钟150米，在这段时间内他们面对面相遇了数次，请问在第几次相遇时他们离B点的距离最近？【答案】第7次。【分析】甲、乙走完A、B间的两个单程才第一次相遇，需时间950×2÷（40+150）＝10（分钟），90分钟内，所以总共相遇90÷10＝9（次），甲每10分钟走40×10＝400（米），并且与乙相遇一次，因为950×3﹣400×7＝50（米），差最小；也就是当甲、乙两人第7次相遇时甲离B地50米为最小，在第7次相遇时他们离B点距离最近。【解答】解：950×2÷（40+150）＝1900÷190＝10（分钟）90÷10＝9（次）40×10＝400（米）因为950×3﹣400×7＝50米，差最小；也就是当甲、乙两人第7次相遇时甲离B地50米为最小。答：在第7次相遇时他们离B点的距离最近。【点评】此题重点考查学生分析问题以及推理能力。本题解答的关键是要求出两人多少时间相遇一次。例题2：货车和客车同时从相距120千米的两地相对开出，货车的速度客车是的45，经过2【答案】100千米。【分析】根据“路程＝速度和×时间”，设客车每时行x千米。则（x+45x）×2【解答】解：设客车每时行x千米。（x+45x）95x×65xx＝100答：客车每时行100千米。【点评】本题考查了列方程解决行程问题的方法。例题3：小江家刚好在学校和妈妈单位的正中间，一天早上，小江和妈妈一起从家出发，小江向东去学校，妈妈向西去单位上班，妈妈的速度是小江的2.5倍。出发10分钟后妈妈距单位还有500米，此时发现小江的眼镜在包里，妈妈立即掉头加速20%去追小江，在离学校250米处追上小江后，又以原速度返回单位上班，当小江到学校时，妈妈离单位还有多远？【答案】5125米。【分析】依据题意可设小江速度为x米/分钟，则妈妈速度是2.5x米/分，出发10分钟，妈妈走了（2.5x×10）米，妈妈单位到家的距离为（2.5x×10+500）米，妈妈立即掉头加速20%后速度为[2.5x×（1+20%）]米/分，小江和妈妈一起从家出发，两者之间的距离为[（x+2.5x）×10]米，追及时间＝两者之间的距离÷两者速度差，由此计算小江走的时间以及路程，然后计算单位和学校之间的距离，再计算妈妈追上小江走的距离，小江走剩下的250米的时间妈妈走的距离，然后计算当小江到学校时，妈妈离单位还有多远。【解答】解：设小江速度为x米/分钟，则妈妈速度是2.5x米/分，出发10分钟，妈妈走了：2.5x×10＝25x（米），妈妈单位到家的距离为：（25x+500）米，妈妈立即掉头加速20%后速度为：2.5x×（1+20%）＝3x（米/分）小江和妈妈一起从家出发，两者之间的距离为：[（x+2.5x）×10＝35x（米），追及时间：35x÷（3x﹣x）＝17.5（分钟），小江所走时间：17.5+10＝27.5（分钟），所走路程：（17.5+10）x＝27.5x（米）因为小江家刚好在学校和妈妈单位的正中间，则27.5x+250＝25x+500，解得x＝100，单位和学校之间的距离：（25×100+500）×2＝3000×2＝6000（米）妈妈追上小江时，距离学校250米，妈妈此时距离单位：6000﹣250＝5750（米）剩下的路程小江要走：250÷100＝2.5（分钟），此时妈妈走了：2.5×100×2.5＝625（米），距离单位还有：5750﹣625＝5125（米）答：当小江到学校时，妈妈离单位还有5125米。【点评】本题考查的是追及问题的应用。例题4：小明和小红沿着学校200米长的环形跑道跑步，他们同时从同一地点出发，相背而行。小明的速度是5.2米/秒，小红的速度是4.8米/秒，经过多长时间两人第一次相遇？【答案】20秒。【分析】根据“小明和小红的速度和×相遇时间＝环形跑道的长度”可得：用200除以两个人的速度和即可。【解答】解：200÷（5.2+4.8）＝200÷10＝20（秒）答：经过20秒两人第一次相遇。【点评】解答本题关键是明确两人第一次相遇共行了200米。第三部分第三部分高频真题1．在比例尺是1：5000000的地图上，量得A、B两地之间的距离是8cm。如果甲、乙两辆汽车同时从A、B两地相对开出，甲车每小时行52千米，乙车每小时行48千米，经过几小时两车相遇？2．京沪高速铁路是我国第一条具有世界先进水平的高速铁路，于2011年6月建成通车。甲车和乙车分别从上海和北京同时出发，相向而行，经过2.4小时在途中相遇。甲车的速度是300千米/时，乙车的速度是250千米/时，京沪高速铁路全程多少千米？3．甲、乙两地相距360千米，一辆客车和一辆货车同时从甲、乙两地相对开出。客车每小时行驶80千米，货车与客车行驶速度的比是4：5。两车经过多长时间能够相遇？4．晓明和小军两家相距1300m，小军带着一只可爱的小狗和晓明同时从家中出发，相向而行。晓明每分钟行驶60m，小军每分钟行驶70m。小狗以每分钟120m的速度在他们之间来回跑，直到他俩相遇为止。小狗一共跑了多少米？5．甲、乙两人骑车分别从桥头和桥尾同时出发相向而行。与此同时，一列火车车头正好到达桥头，准备上桥，60秒后，火车车尾恰好超过甲，且火车车头恰好与乙相遇；又过了60秒，火车车尾恰好离开桥尾，此时甲、乙恰好相遇。（1）桥长是车长的几倍？（2）从火车车尾上桥到火车车头到达桥尾共用多少时间？6．小芳和小莉沿着花园四周的道路跑步，她们从同一地点同时出发，反向而行，小芳的速度是235米/分，小莉的速度是265米/分，经过14分钟两人第一次相遇。花园四周的道路长多少米？7．甲、乙两人沿着600米的环形跑道跑步，他们同时从同一地点出发，同向而行。甲的速度是270米/分，乙的速度是240米/分。经过多少分钟甲第三次追上乙？8．一辆快车和一辆慢车同时从甲、乙两地出发，相向而行，经过5小时两车相遇相遇后，快车又继续开出3小时到达乙地。已知，慢车每小时行驶60千米。（1）快车的速度是多少千米/时？（2）甲乙两地相距多少千米？9．学校的环形跑道长400米，甲、乙两人同时从跑道的同一地点背向而行。已知甲的速度是120米/分，甲、乙两人的速度比是3：2，他们几分钟后会首次相遇？10．客、货两车同时从甲乙两地相对开出在离乙地80千米的地方第一次相遇，相遇后继续行驶，到达对方出发点后立即返回，第二次在距离甲地50千米的地方相遇。求甲、乙两地间相距多少千米？（画图可以帮助理解!）11．小冬的爷爷和奶奶在盛和世纪小区环形跑道上散步，爷爷和奶奶二人同时从环形跑道的同一地点向相反方向出发，已知小冬爷爷每分钟步行75米，奶奶每分钟步行60米，二人在距离环形跑道中点75米处相遇。盛和世纪小区环形跑道一圈多少米？12．一条大河有A、B两个港口，水由A流向B，水流速度为4千米/时.甲、乙两船同时由A向B行驶，各自不停地在A、B之间往返航行，甲在静水中的速度是28千米/时，乙在静水中的速度是20千米/时，已知两船第二次迎面相遇地点与甲船第二次追上乙船（不算开始时甲、乙在A处的那一次）的地点相距40千米，求A、B两个港口的距离。13．张老师从学校步行去公园，每分钟走60米，走了8分钟后，李老师从学校骑自行车去追张老师，结果在距学校720米的地方追上张老师。李老师骑自行车的速度是多少米/分？14．甲、乙两车同时从两地相对开出，经过5小时相遇。相遇时甲车行了全程的3515．快车从甲地开往乙地，慢车从乙地开往甲地，两车同时出发相向而行，8小时在途中相遇，相遇后继续向前行驶2小时，这时快车距乙地还有270千米，慢车距甲地还有360千米，甲乙两地相距多少千米？16．客车和火车分别从甲、乙两地同时出发相向而行，5小时后相遇，相遇后仍按原来的速度行进。当他们又相距196km时，客车行驶了全程的3517．李明和王冬从一个圆形场地的A点同时出发，沿场地边沿相背而行，李明每分钟走72m，王冬每分钟走84m，20分钟后两人在B点相遇。（1）这个圆形场地的周长是多少？（2）相遇后，李明立即转身原路原速返回，王冬则停在B点回复手机信息。2分钟后王冬回完信息原速去追李明，到他追上李明的时候，距离A点多少米？18．已知甲车速度为每小时60千米，乙车速度为每小时40千米。甲、乙两车分别从A、B两地同时出发相向而行，在途经C地时乙车比甲车早到30分钟，第二天，甲、乙分别从B、A两地出发以各自原来的速度同时返回原来出发地，在途经C地时甲车比乙车早到1.5小时。求第二天乙车返回B地花了多长时间。19．丽丽家在城中公园的正北面650米处，兰兰家在城中公园的正南面550米处。周末两人约好去城中公园玩，丽丽每分钟步行70米，兰兰每分钟步行55米。如果两人同时在家出发且约定在途中相遇后再一起去公园，那么相遇地点在城中公园的南面还是北面？距离多少米处？20．一只豹子正在快速追赶前面距离150米的奔跑中的羚羊，已知羚羊每秒跑23米，豹子每秒跑31米。再过20秒，豹子能追上羚羊吗？21．一辆轿车从甲地开往乙地，一辆货车从乙地开往甲地，两车同时相对开出，9小时后相遇，相遇后两车按原来的速度继续行驶，又经过6小时，轿车到达乙地。货车离甲地还有360km。货车到达甲地还需要几小时？22．甲、乙、丙三人的步行速度分别是每分钟60米、50米、40米，甲从A地，乙和丙从B地同时相向而行，甲与乙相遇后，过了5分钟又与丙相遇，求A、B两地之间的距离是多少米？（提示：5分钟甲和丙步行的路程表示什么，请认真考虑。）23．客车和货车从甲乙两地同时出发相向而行，在距中点12千米处相遇，已知货车速度是客车的80%，相遇时客车行了多少千米？24．田田和敏敏在同一条长300米的环形路上散步，两人从同一地点同时出发，同向而行。田田的速度是75米/分，敏敏的速度是60米/分，多少分钟后，两人第一次相遇？25．甲、乙两人沿着400米的环形跑道跑步，他们同时从同一地点出发，同向而行。甲的速度是240米/分，乙的速度是260米/分。经过多少分钟乙第一次追上甲？26．一辆小货车和一辆小轿车分别从济宁和日照同时相对开出，2小时相遇。已知小货车的速度是65千米/时，小轿车的速度是80千米/时。济宁和日照相距多少千米？27．甲、乙两人沿着300米的环行跑道跑步，他们同时从同一地点出发，同向而行。甲每分钟跑280米，乙每分钟跑240米。经过多少分甲比乙多跑1圈？28．王芳家和李强家相距1040米，王芳去给李强送书，两人同时从家出发，王芳平均每分钟走62米，李强平均每分钟走68米，几分钟后两人相遇？29．一只兔子在一只猎狗前面80米处，它们同时发现了对方，兔子逃跑，每秒跑6米；猎狗追击，每秒跑8米，正常情况下，经过多长时间猎狗就能追上兔子？30．甲、乙两人分别从相距35.8千米的两地出发，相向而行，甲每小时行4千米，但每行30分钟就休息5分钟；乙每小时行12千米，经过多长时间两人相遇？31．一列火车的速度是850米/分，经过一座大桥用了5分。如果这列火车长190米，这座大桥长多少米？32．甲乙两地相距1200千米。一辆大客车和一辆小客车分别从两地同时出发，相向而行，6小时相遇。已知大客车的速度是小客车的91133．甲、乙两人分别从A、B两地同时出发相向而行，甲的速度是每分钟60米，乙的速度是每分钟100米，不久以后两人在途中C地相遇，但是两人都没有停步，分别走到B地和A地后又扭头往回走，结果在距离C地1千米处两人第二次相遇，那么A、B两地相距多少千米？34．甲乙两车分别从A、B两地出发，相向而行．出发时，甲、乙的速度比是5：4，相遇后，甲的速度减少20%，乙的速度增加20%，这样，当甲到达B地时，乙离A地还有10千米．问：A、B两地相距多少千米？35．羚羊每秒跑22米，猎豹每秒跑31米。一只猎豹正快速追赶奔跑中的羚羊，当距离羚羊150米时，再过20秒能追上吗？36．学校操场的环形跑道长400米，甲、乙两名同学在跑道上同一起点出发，沿相反方向步行，经过2.5分钟相遇。甲每分钟走85米，乙每分钟走多少米？37．一列火车长500米，以每分钟2千米的速度通过一条长1500米的隧道，火车从车头进入隧道到车尾离开隧道，一共需要几分钟？38．小红和小明沿着400米的环形跑道跑步，小红每秒跑4米，小明每秒跑6米。两人站在起跑线上同向而行，如果小红先跑了10秒钟后，小明才开始跑，小明追上小红需要多少秒？39．甲、乙两辆汽车同时从A、B两城出发，相向而行，在离A城65千米处相遇，两车各自到达对方城市后，都立即以原速沿原路返回，又在离A城23千米处相遇。求A、B两城之间的距离。40．小红骑车从甲地去乙地，小明步行从乙地去甲地，两人同时出发。当两人相遇时，小明走了全程的14参考答案与试题解析1．在比例尺是1：5000000的地图上，量得A、B两地之间的距离是8cm。如果甲、乙两辆汽车同时从A、B两地相对开出，甲车每小时行52千米，乙车每小时行48千米，经过几小时两车相遇？【答案】4小时。【分析】根据图上距离÷比例尺＝实际距离，列式求得A、B两地的实际距离，再根据路程÷速度和＝相遇时间，列式解答即可。【解答】解：8÷140000000厘米＝400千米400÷（52+48）＝400÷100＝4（小时）答：经过4小时两车相遇。【点评】此题主要考查比例尺、图上距离、实际距离三者之间的数量关系及速度，路程与时间的数量关系。2．京沪高速铁路是我国第一条具有世界先进水平的高速铁路，于2011年6月建成通车。甲车和乙车分别从上海和北京同时出发，相向而行，经过2.4小时在途中相遇。甲车的速度是300千米/时，乙车的速度是250千米/时，京沪高速铁路全程多少千米？【答案】1320千米。【分析】根据路程＝速度和×时间，代入数值进行计算即可求出京沪高速铁路全程多少千米。【解答】解：（300+250）×2.4＝550×2.4＝1320（千米）答：京沪高速铁路全程1320千米。【点评】本题考查相遇问题的计算及应用。理解题意，找出数量关系，列式计算即可。3．甲、乙两地相距360千米，一辆客车和一辆货车同时从甲、乙两地相对开出。客车每小时行驶80千米，货车与客车行驶速度的比是4：5。两车经过多长时间能够相遇？【答案】2.5小时。【分析】根据“货车与客车行驶速度的比是4：5”可知，货车的速度是客车的45【解答】解：360÷（80+80×4＝360÷（80+64）＝360÷144＝2.5（小时）答：两车经过2.5小时能够相遇。【点评】此题主要考查路程、速度、时间三者的关系式：路程＝速度×时间，速度＝路程÷时间，时间＝路程÷速度，灵活变形列式解决问题。4．晓明和小军两家相距1300m，小军带着一只可爱的小狗和晓明同时从家中出发，相向而行。晓明每分钟行驶60m，小军每分钟行驶70m。小狗以每分钟120m的速度在他们之间来回跑，直到他俩相遇为止。小狗一共跑了多少米？【答案】1200米。【分析】根据“路程÷速度和＝相遇时间”求出晓明和小军的相遇时间，即小狗一共跑的时间，然后再根据“速度×时间＝路程”解答即可。【解答】解：1300÷（60+70）＝1300÷130＝10（分钟）120×10＝1200（米）答：小狗一共跑了1200米。【点评】解答本题关键是明确小狗一共跑的时间，相当于晓明和小军的相遇时间。5．甲、乙两人骑车分别从桥头和桥尾同时出发相向而行。与此同时，一列火车车头正好到达桥头，准备上桥，60秒后，火车车尾恰好超过甲，且火车车头恰好与乙相遇；又过了60秒，火车车尾恰好离开桥尾，此时甲、乙恰好相遇。（1）桥长是车长的几倍？（2）从火车车尾上桥到火车车头到达桥尾共用多少时间？【答案】（1）2倍；（2）40秒。【分析】（1）根据题意，120秒时两人相遇，所以60秒时两人相距相当于半个桥长。因此桥长恰好是车长的2倍。（2）120秒时，火车恰好走了一个车长和桥长，即3个车长；从火车车尾到火车车头到达桥尾，火车恰好走了一个桥长减去车长即1个车长的距离；所以共用了（120÷3）秒。据此解答。【解答】解：（1）60+60＝120（秒）所以60秒时两人相距相当于半个桥长。因此桥长恰好是车长的2倍。答：桥长是车长的2倍。（2）由分析可知：120÷3＝40（秒）答：从火车车尾上桥到火车车头到达桥尾共用40秒。【点评】本题主要考查了列车过桥问题，解题的关键是认真分析题中的两个60秒走的路程。6．小芳和小莉沿着花园四周的道路跑步，她们从同一地点同时出发，反向而行，小芳的速度是235米/分，小莉的速度是265米/分，经过14分钟两人第一次相遇。花园四周的道路长多少米？【答案】7000米。【分析】花园四周的道路的长度＝两人的速度和×两人第一次相遇用的时间，据此代入数值作答即可。【解答】解：（235+265）×14＝500×14＝7000（米）答：花园四周的道路长7000米。【点评】解答此题应根据速度、时间、路程三者之间的关系进行解答。7．甲、乙两人沿着600米的环形跑道跑步，他们同时从同一地点出发，同向而行。甲的速度是270米/分，乙的速度是240米/分。经过多少分钟甲第三次追上乙？【答案】60分钟。【分析】由题意可得，他们同时从同一地点出发，同向而行。甲要追上乙，刚开始相当于乙和甲相距600米，追上一次追了600米，追了3次追了（600×3＝1800）米。每分钟追（270﹣240＝30）米。时间即可求。【解答】解：600×3÷（270﹣240）＝1800÷30＝60（分钟）答：经过60分钟甲第三次追上乙。【点评】明确追及问题数量间的关系是解决本题的关键。8．一辆快车和一辆慢车同时从甲、乙两地出发，相向而行，经过5小时两车相遇相遇后，快车又继续开出3小时到达乙地。已知，慢车每小时行驶60千米。（1）快车的速度是多少千米/时？（2）甲乙两地相距多少千米？【答案】100千米/小时；800千米。【分析】（1）根据题意，用慢车的速度乘相遇的时间求出慢车相遇时行驶的路程，然后用相遇时慢车行驶的路程除以快车行驶的时间，就是快车的速度；（2）根据速度×时间＝路程，解答即可。【解答】解：（1）60×5÷3＝300÷3＝100（千米/小时）答：快车的速度是100千米/时。（2）100×（5+3）＝100×8＝800（千米）答：甲乙两地相距800千米。【点评】本题考查了行程问题，结合速度×时间＝路程的关系式，分析解答即可。9．学校的环形跑道长400米，甲、乙两人同时从跑道的同一地点背向而行。已知甲的速度是120米/分，甲、乙两人的速度比是3：2，他们几分钟后会首次相遇？【答案】2分钟。【分析】从“速度比是3：2”可知：甲速度是3份，乙速度是2份，用120÷3×2＝80米，即求出了乙的速度。两人同时从环形跑道同一地点背向而行，每相遇1次时，两人正好跑一圈，即路程和是400米。根据相遇时间＝路程÷速度和，用400÷（120+80）即可求出首次相遇时间。【解答】解：120÷3×2＝80（米）400÷（120+80）＝400÷200＝2（分钟）答：他们2分钟后会首次相遇。【点评】明确两人从同一地点背向而行，每次相遇时，两人正好跑一圈是解决本题的关键。10．客、货两车同时从甲乙两地相对开出在离乙地80千米的地方第一次相遇，相遇后继续行驶，到达对方出发点后立即返回，第二次在距离甲地50千米的地方相遇。求甲、乙两地间相距多少千米？（画图可以帮助理解!）【答案】；190千米。【分析】根据题意，第一次相遇，两车合走一个全程，这时货车行了80千米；到第二次相遇，两车合走3个全程，这个时间是第一次相遇时间的3倍，那么货车能行80×3＝240（千米）；这时货车行了1个全程还多50千米，再用240千米减去多行的50千米，即可求出全程。据此解答。【解答】解：画图如下：80×3﹣50＝240﹣50＝190（千米）答：甲、乙两地间相距190千米。【点评】解答本题的关键是明确：到第二次相遇，两车合走3个全程，这个时间是第一次相遇时间的3倍，这时货车行了1个全程还多50千米。11．小冬的爷爷和奶奶在盛和世纪小区环形跑道上散步，爷爷和奶奶二人同时从环形跑道的同一地点向相反方向出发，已知小冬爷爷每分钟步行75米，奶奶每分钟步行60米，二人在距离环形跑道中点75米处相遇。盛和世纪小区环形跑道一圈多少米？【答案】1350米。【分析】根据题意，爷爷每分钟比奶奶多走（75﹣60）米，相遇时爷爷比奶奶多走了2个75米，用75乘2即可求出爷爷比奶奶多走的路程，用爷爷比奶奶多走的路程除以爷爷每分钟比奶奶多走的路程即可求出相遇时间，用爷爷和奶奶的速度和乘相遇时间即可求出环形跑道一圈的长度。【解答】解：75×2÷（75﹣60）＝150÷15＝10（分钟）（75+60）×10＝135×10＝1350（米）答：盛和世纪小区环形跑道一圈1350米。【点评】本题考查的是相遇问题。12．一条大河有A、B两个港口，水由A流向B，水流速度为4千米/时.甲、乙两船同时由A向B行驶，各自不停地在A、B之间往返航行，甲在静水中的速度是28千米/时，乙在静水中的速度是20千米/时，已知两船第二次迎面相遇地点与甲船第二次追上乙船（不算开始时甲、乙在A处的那一次）的地点相距40千米，求A、B两个港口的距离。【答案】240千米。【分析】设A、B两个港口的距离为d，可分别求出甲乙顺水、逆水时的速度，根据两者的速度比可求出甲乙两船第二次迎面相遇与甲船第二次追上乙船时所在的位置，从而结合等量关系两地点相距40千米可列出方程，解出即可。【解答】解：设A、B两个港口的距离为d，甲顺水速度：28+4＝32千米/时，甲逆水速度：28﹣4＝24千米/时，乙顺水速度：20+4＝24千米/时，乙逆水速度：20﹣4＝16千米/时，第二次相遇地点：从A到B：甲速：乙速＝32：24＝4：3，甲到B，乙到E；甲从B到A，速度24，甲速：乙速＝24：24＝1：1，甲、乙在EB的中点F点第一次相遇；乙到B时，甲到E，这时甲速：乙速＝24：16＝3：2，甲到A点时，乙到C点；甲又从A顺水，这时甲速：乙速＝32：16＝2：1，所以甲、乙第二次相遇地点是23AC处的点HAH=23×12AB第二次追上地点：甲比乙多行1来回时第一次追上，多行2来回时第二次追上，甲行一个来回2AB时间d乙行一个来回2AB时间d一个来回甲比乙少用时间：10d甲多行2来回的时间是：7d96×说明乙第二次被追上时行的来回数是：14d96甲行6个来回时间是7d96×6乙行4个来回时间是10d96×47d16−5d12=d48说明第二次追上是在乙行到第五个来回的返回途中，d48−d96=d96，从B到A，甲比乙少用时间：d16−根据题中条件，HC＝40千米，即d6=40，答：A、B两个港口的距离是240千米。【点评】本题考查了一元一次方程的应用，难度较大，属于竞赛题目，解答本题时要抓住甲乙运动的速度之比，从而得出甲乙两船第二次迎面相遇与甲船第二次追上乙船时，在线段AB的位置，第二次追上的过程比较难分析，注意一步一步的来。13．张老师从学校步行去公园，每分钟走60米，走了8分钟后，李老师从学校骑自行车去追张老师，结果在距学校720米的地方追上张老师。李老师骑自行车的速度是多少米/分？【答案】180米/分。【分析】根据题意可知，两位老师都走了720米，张老师每分钟走60米，720除以60等于张老师行走的时间，由于张老师走了8分钟后李老师才去追，所以李老师比张老师少用了8分钟，张老师行走的时间减8等于李老师骑行的时间，再用骑行路程720米除以李老师骑行的时间即等于李老师骑行的速度，据此即可解答。【解答】解：720÷（720÷60﹣8）＝720÷（12﹣8）＝720÷4＝180（米/分）答：李老师骑自行车的速度是180米/分。【点评】此题抓住追及问题中速度不同，所以行驶的时间不同，但是行驶的路程相同。14．甲、乙两车同时从两地相对开出，经过5小时相遇。相遇时甲车行了全程的35【答案】450千米。【分析】把全程看作单位“1”，相遇时甲车走了全程的35，则乙车走了全程的：1−35=2【解答】解：乙车走了全程的：1−乙车比甲车少行的路程：18×5＝90（千米）全程：90÷（35＝90÷＝450（千米）答：两地之间相距450千米。【点评】根据“路程＝速度×时间”求出乙车比甲车少行的总路程：18×5＝90（千米），根据题意求出90千米占全程的分率进而求出全程是完成本题的关键。15．快车从甲地开往乙地，慢车从乙地开往甲地，两车同时出发相向而行，8小时在途中相遇，相遇后继续向前行驶2小时，这时快车距乙地还有270千米，慢车距甲地还有360千米，甲乙两地相距多少千米？【答案】840千米。【分析】把甲、乙两地之间的路程看作单位“1”，根据“路程÷相遇时间＝速度之和”求出两车一小时共行全程的18，由题意得，相遇后2小时两车行了全程的18×2=【解答】解：（270+360）÷（1−1＝630÷＝840（千米）答：甲乙两地相距是840千米。【点评】解答此题的关键是：根据路程、时间和速度的关系，得出速度之和，然后找出对应数和对应分率，根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数。用除法计算即可。16．客车和火车分别从甲、乙两地同时出发相向而行，5小时后相遇，相遇后仍按原来的速度行进。当他们又相距196km时，客车行驶了全程的35【答案】8.75小时。【分析】两车第一次相遇，用了5小时，第二次行了全程的（35【解答】解：35＝140%﹣1＝40%5×40%＝2（小时）7÷80%＝8.75（小时）答：火车行驶完全程要用8.75小时。【点评】此题主要考查路程、速度、时间三者的关系式：路程＝速度×时间，速度＝路程÷时间，时间＝路程÷速度，灵活变形列式解决问题。17．李明和王冬从一个圆形场地的A点同时出发，沿场地边沿相背而行，李明每分钟走72m，王冬每分钟走84m，20分钟后两人在B点相遇。（1）这个圆形场地的周长是多少？（2）相遇后，李明立即转身原路原速返回，王冬则停在B点回复手机信息。2分钟后王冬回完信息原速去追李明，到他追上李明的时候，距离A点多少米？【答案】（1）3120米；（2）432米。【分析】（1）用李明和王冬的速度和乘二人走的时间，即可求出这个圆形场地的周长；（2）先用李明2分钟走的路程除以二人的速度差，求出王冬追上李明用的时间；再用王冬的速度乘王冬追上李明用的时间，求出王冬追上李明时走的路程；最后用李明20分钟走的路程减去王冬追上李明时走的路程，即可求出当王冬追上李明的时候距离A点的米数。【解答】解：（1）（72+84）×20＝156×20＝3120（米）答：这个圆形场地的周长是3120米。（2）72×2÷（84﹣72）＝144÷12＝12（分钟）72×20﹣84×12＝1440﹣1008＝432（米）答：到他追上李明的时候，距离A点432米。【点评】解答本题需熟练掌握相遇问题和追及问题的解答方法，明确相遇问题公式“路程＝速度和×时间”及追及问题公式“追及距离÷速度差＝时间”，灵活解答。18．已知甲车速度为每小时60千米，乙车速度为每小时40千米。甲、乙两车分别从A、B两地同时出发相向而行，在途经C地时乙车比甲车早到30分钟，第二天，甲、乙分别从B、A两地出发以各自原来的速度同时返回原来出发地，在途经C地时甲车比乙车早到1.5小时。求第二天乙车返回B地花了多长时间。【答案】3小时。【分析】根据题意可知，甲乙两车的速度比为60：40＝3：2，第一天，当乙车行驶到C点时（乙车行驶了BC路段），甲车行驶的距离是BC段的32，那么AC路段的长度是BC×32+60×3060；第二天，当甲车行驶到C点时（甲车行驶了BC段），乙车行驶的距离是BC段的23，那么AC段的长度是BC×23+40×1.5．由此可设BC的长度为x千米，可得方程：x×3【解答】解：30分钟=12小时，设BC的长度为x×32+60×32x+30=232x−256xx＝3636×32+＝54+30+36＝120（千米）120÷40＝3（小时）答：第二天乙车返回B地花了3小时。【点评】此题考查的目的是理解掌握相遇问题的基本数量关系及应用，关键是明确：甲、乙两车行驶的时间相同，甲、乙所行路程的比等于速度的比。19．丽丽家在城中公园的正北面650米处，兰兰家在城中公园的正南面550米处。周末两人约好去城中公园玩，丽丽每分钟步行70米，兰兰每分钟步行55米。如果两人同时在家出发且约定在途中相遇后再一起去公园，那么相遇地点在城中公园的南面还是北面？距离多少米处？【答案】相遇地点在城中公园的南面，距离22米处。【分析】相遇时间＝（丽丽家到城中公园的路程+兰兰家到城中公园的路程）÷（丽丽的速度+兰兰的速度）；相遇时兰兰走的路程＝相遇时间×兰兰的速度＝528米，还没有到城中公园，所以相遇地点在城中公园的南面，距离城中公园的路程＝兰兰家到城中公园的路程﹣相遇时兰兰走的路程。【解答】解：（650+550）÷（70+55）＝1200÷125＝9.6（分钟）55×9.6＝528（米）550﹣528＝22（米）答：相遇地点在城中公园的南面，距离22米处。【点评】此题考查了小数的四则混合运算；速度、时间、路程的关系及应用。20．一只豹子正在快速追赶前面距离150米的奔跑中的羚羊，已知羚羊每秒跑23米，豹子每秒跑31米。再过20秒，豹子能追上羚羊吗？【答案】能。【分析】根据“路程＝速度差×追及时间”，求出豹子20秒钟的追及路程后和150米比较大小，大于等于150，能追上，反之追不上。【解答】解：（31﹣23）×20＝8×20＝160（米）160米＞150米，即能追上。答：豹子能追上羚羊。【点评】本题考查了追及问题的应用。21．一辆轿车从甲地开往乙地，一辆货车从乙地开往甲地，两车同时相对开出，9小时后相遇，相遇后两车按原来的速度继续行驶，又经过6小时，轿车到达乙地。货车离甲地还有360km。货车到达甲地还需要几小时？【答案】7.5小时。【分析】根据题意甲乙两车9小时后相遇，相遇后两车按原来的速度继续行驶，又经过6小时，轿车到达乙地，即相遇后货车行驶9小时的路程，轿车6小时即可行驶完，据此用6÷9=23，求出货车速度占轿车的速度的分率是，根据相同时间内的路程比等于速度比即可知道货车和轿车的行驶的路程比为2：3，即轿车到达乙地时，货车离甲地还有（1−2【解答】解：6÷9=360÷（1−21080÷（9+6）＝72（千米）72×2360÷48＝7.5（小时）答：货车到达甲地还需要7.5小时。【点评】本题考查了行程问题的应用，解题关键是熟练使用路程、速度和时间三者之间的关系。22．甲、乙、丙三人的步行速度分别是每分钟60米、50米、40米，甲从A地，乙和丙从B地同时相向而行，甲与乙相遇后，过了5分钟又与丙相遇，求A、B两地之间的距离是多少米？（提示：5分钟甲和丙步行的路程表示什么，请认真考虑。）【答案】A、B两地间的距离是5500米。【分析】首先根据路程＝相遇时间×速度和，求出甲、丙在5分钟的时间内所走的路程和，同时这一段路程也是乙比丙多走的路程，再除以乙、丙两人的速度差，就是甲、乙的相遇时间，据此解答即可。【解答】解：5×（60+40）＝5×100＝500（米）500÷（50﹣40）＝500÷10＝50（分钟）50×（60+50）＝50×110＝5500（米）答：A、B两地间的距离是5500米。【点评】本题考查的是相遇问题，关键是求出甲、乙两人的相遇时间。23．客车和货车从甲乙两地同时出发相向而行，在距中点12千米处相遇，已知货车速度是客车的80%，相遇时客车行了多少千米？【答案】120千米。【分析】依据题意可知，已知货车速度是客车的80%，则货车速度比客车速度慢，相遇时客车比货车行了（12×2）千米，货车速度比客车速度慢（1﹣80%），用相遇时客车比货车多行的路程除以货车速度比客车速度慢的百分率，由此列式计算即可。【解答】解：12×2÷（1﹣80%）＝12×2÷0.2＝120（千米）答：相遇时客车行了120千米。【点评】本题考查的是相遇问题的应用。24．田田和敏敏在同一条长300米的环形路上散步，两人从同一地点同时出发，同向而行。田田的速度是75米/分，敏敏的速度是60米/分，多少分钟后，两人第一次相遇？【答案】20分钟后，两人第一次相遇。【分析】两人从同一地点出发，同向而行，那么他们相遇时，田田比敏敏多跑了一圈的长度，根据路程÷速度＝时间，用环形路的长度除以两人的速度之差，求出多少分钟后，两人相遇即可。【解答】解：300÷（75﹣60）＝300÷15＝20（分）答：20分钟后，两人第一次相遇。【点评】此次考查了行程问题中速度、时间、路程的关系，要熟练掌握。25．甲、乙两人沿着400米的环形跑道跑步，他们同时从同一地点出发，同向而行。甲的速度是240米/分，乙的速度是260米/分。经过多少分钟乙第一次追上甲？【答案】20。【分析】根据追及问题公式：追及路程÷追及速度＝追及时间，据此列式解答即可。【解答】解：400÷（260﹣240）＝400÷20＝20（分钟）答：经过20分钟乙第一次追上甲。【点评】熟练掌握追及路程、追及时间、追及速度三者之间的关系是解决此题的关键。26．一辆小货车和一辆小轿车分别从济宁和日照同时相对开出，2小时相遇。已知小货车的速度是65千米/时，小轿车的速度是80千米/时。济宁和日照相距多少千米？【答案】290。【分析】两地的路程就是相遇时两车所行路程的和。根据速度和×相遇时间＝总路程来解答。【解答】解：（65+80）×2＝145×2＝290（千米）答：济宁和日照相距290千米。【点评】明确两地之间的路程就是两车相遇时所行的路程和是解决本题第关键。27．甲、乙两人沿着300米的环行跑道跑步，他们同时从同一地点出发，同向而行。甲每分钟跑280米，乙每分钟跑240米。经过多少分甲比乙多跑1圈？【答案】7.5分钟。【分析】如果甲比乙多跑1圈，那么甲就比乙多跑300米，然后除以两者的速度差即可。【解答】解：300÷（280﹣240）＝300÷40＝7.5（分钟）答：经过7.5分钟甲比乙多跑1圈。【点评】解答本题关键是明确甲比乙多跑300米，然后根据“路程差÷速度差＝追及时间”解答即可。28．王芳家和李强家相距1040米，王芳去给李强送书，两人同时从家出发，王芳平均每分钟走62米，李强平均每分钟走68米，几分钟后两人相遇？【答案】8分钟。【分析】根据“相遇时间＝路程÷速度和”解答即可。【解答】解：1040÷（62+68）＝1040÷130＝8（分钟）答：8分钟后两人相遇。【点评】解答本题关键是明确：相遇时间＝路程÷速度和。29．一只兔子在一只猎狗前面80米处，它们同时发现了对方，兔子逃跑，每秒跑6米；猎狗追击，每秒跑8米，正常情况下，经过多长时间猎狗就能追上兔子？【答案】40秒。【分析】根据追及时间＝距离差÷速度差，代入数值进行计算即可。【解答】解：80÷（8+6）＝80÷2＝40（秒）答：经过40秒猎狗就能追上兔子。【点评】本题考查追及问题的计算及应用。理解题意，找出数量关系，列式计算即可。30．甲、乙两人分别从相距35.8千米的两地出发，相向而行，甲每小时行4千米，但每行30分钟就休息5分钟；乙每小时行12千米，经过多长时间两人相遇？【答案】139分钟。【分析】先假设甲不休息，求相遇时间，再将甲每30分钟休息5分钟，视为1个周期，计算整数个这样的周期，计算还需要多少时间相遇，最后求出总时间。【解答】解：假设甲不休息，则甲乙两人相遇需要的时间为：35.8÷（4+12）＝2198021980所以甲、乙的相遇时间超过了134.25分钟，甲每行30分钟休息5分钟，即在35分钟内，甲行：4×30甲行完第4个30分钟的时间，共行：35+35+35+30＝135（分钟）此时甲行：2×4＝8（千米），乙行：12×135甲开始第4次休息，此段时间乙在行走，则甲、乙相遇还需要：0.8÷12×60＝4（分钟）即甲在第4次休息时，甲、乙两人相遇，故甲、乙两人相遇的时间：135+4＝139（分钟）答：经过139分钟两人相遇。【点评】本题考查了行程中相遇问题的应用。31．一列火车的速度是850米/分，经过一座大桥用了5分。如果这列火车长190米，这座大桥长多少米？【答案】4060米。【分析】车头上桥到车尾离开桥一共用5分，则火车等于是跑了桥的全长加车的长度，于是，我们用5分所行驶的距离再减去车长190米就是桥的长度。【解答】解：850×5﹣190＝4250﹣190＝4060（米）答：这座大桥长4060米。【点评】解答此题的关键是知道：火车过桥走过的路程＝桥长+车身长，再根据基本的数量关系解决问题。32．甲乙两地相距1200千米。一辆大客车和一辆小客车分别从两地同时出发，相向而行，6小时相遇。已知大客车的速度是小客车的911【答案】90千米。【分析】根据速度×时间＝路程的等量关系，设小客车的速度为每小时x千米，根据等量关系列方程解答。【解答】解：设小客车的速度为每小时x千米，则大客车的速度为每小时911x（x+9112011x12011xx＝1200×x＝110110×9答：大客车每小时行90千米。【点评】本题考查行程问题的计算及应用。理解题意，找出数量关系，列式计算即可。33．甲、乙两人分别从A、B两地同时出发相向而行，甲的速度是每分钟60米，乙的速度是每分钟100米，不久以后两人在途中C地相遇，但是两人都没有停步，分别走到B地和A地后又扭头往回走，结果在距离C地1千米处两人第二次相遇，那么A、B两地相距多少千米？【答案】2千米。【分析】我们知道“甲、乙第一次相遇他们的总路程为一个全过程（A、B之间的距离），以后每次相遇他们的总路程均为2个全程”；再结合第一次相遇乙走了BC的距离，第二次相遇乙走了2个AC的距离+1千米，这两次的路程关系为2倍关系，据此即可求出第一次相遇时乙比甲多走了多少米，进而求得第一次相遇的用时，再应用速度和×相遇时间＝相遇路程。【解答】解：1千米＝1000米2个AC的距离+1000＝2个BC的距离BC的距离﹣AC的距离＝500