2024-2025学年高中数学第三章推理与证明单元综合测试含解析北师大版选修1-2

PAGEPAGE1单元综合测试三(第三章综合测试)时间：120分钟分值：150分一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．两个正方体M1、M2，棱长分别为a，b，则对于正方体M1、M2有：棱长比为ab，表面积的比为a2：b2，体积的比为a3b3.我们把满意类似条件的几何体称为“相像体”，下列给出的几何体中是“相像体”的是()A．两个球 B．两个长方体C．两个圆柱 D．两个圆锥【答案】A2．推理：“①矩形是平行四边形；②三角形不是平行四边形；③所以三角形不是矩形．”中的小前提是()A．① B．②C．③ D．①和②【答案】B3．不等式a＞b与eq\f(1,a)＞eq\f(1,b)同时成立的充要条件为()A．a＞b＞0 B．a＞0＞bC.eq\f(1,b)＜eq\f(1,a)＜0 D.eq\f(1,a)＞eq\f(1,b)＞0【答案】B【解析】eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＞b,\f(1,a)＞\f(1,b)))⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＞b,\f(a－b,ab)＜0))⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＞b,ab＜0))⇔a＞0＞b，故选B.4．有下列叙述：①“a>b”的反面是“a<b”；②“x＝y”的反面是“x>y或x<y”；③“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形内”；④“三角形最多有一个钝角”的反面是“三角形没有钝角”，其中正确的叙述有()A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】B【解析】①错，应为a≤b；②对；③错，应为三角形的外心在三角形内或三角形的边上；④错，应为三角形可以有2个或2个以上的钝角．5．已知{bn}为等比数列，b5＝2，则b1·b2·b3·b4·b5·…·b9＝29.若{an}为等差数列，a5＝2，则{an}的类似结论为()A．a1·a2·a3·…·a9＝29B．a1＋a2＋…＋a9＝29C．a1a2a3…D．a1＋a2＋…＋a9＝2×9【答案】D【解析】等比数列的特点是b1b9＝b2b8＝b3b7＝b4b6＝beq\o\al(2,5)，而等差数列的特点是a1＋a9＝a2＋a8＝a3＋a7＝a4＋a6＝2a5.6．假如f(x＋y)＝f(x)f(y)，且f(1)＝1，则eq\f(f2,f1)＋eq\f(f4,f3)＋…＋eq\f(f2008,f2007)等于()A．1003B．1004C．2006D．2008【答案】B【解析】由于f(x＋y)＝f(x)f(y)，那么f(2)＝f(1＋1)＝f(1)f(1)，即eq\f(f2,f1)＝f(1)；f(4)＝f(3＋1)＝f(3)f(1)，即eq\f(f4,f3)＝f(1)，…；f(2008)＝f(2007＋1)＝f(2007)f(1)，即eq\f(f2008,f2007)＝f(1)；那么eq\f(f2,f1)＋eq\f(f4,f3)＋…＋eq\f(f2008,f2007)＝f(1)＋f(1)＋…＋f(1)＝1004f7．已知a，b，c，d为正数，S＝eq\f(a,a＋b＋c)＋eq\f(b,a＋b＋d)＋eq\f(c,c＋d＋a)＋eq\f(d,c＋d＋b)，则()A．0＜S＜1 B．1＜S＜2C．2＜S＜3 D．3＜S＜4【答案】B【解析】S＝eq\f(a,a＋b＋c)＋eq\f(b,a＋b＋d)＋eq\f(c,c＋d＋a)＋eq\f(d,c＋d＋b)＜eq\f(a,a＋b)＋eq\f(b,a＋b)＋eq\f(c,c＋d)＋eq\f(d,c＋d)＝2，又S＞eq\f(a,a＋b＋c＋d)＋eq\f(b,a＋b＋c＋d)＋eq\f(c,a＋b＋c＋d)＋eq\f(d,a＋b＋c＋d)＝1，所以1＜S＜2，故选B.8．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2an(n≥2)，而a1＝1，猜想an等于()A.eq\f(2,n＋12) B.eq\f(2,nn＋1)C.eq\f(2,2n－1) D.eq\f(2,2n－1)【答案】B【解析】由a1＝1，Sn＝n2an，得a2＝eq\f(1,3)，a3＝eq\f(1,6)，a4＝eq\f(1,10)，猜想an＝eq\f(1,nn＋1).9．定义A*B，B*C，C*D，D*A的运算分别对应下面图中的(1)，(2)，(3)，(4)，则图中，a，b对应的运算是()A．B*D，A*D B．B*D，A*CC．B*C，A*D D．C*D，A*D【答案】B【解析】依据题意可知A对应横线，B对应矩形，C对应竖线，D对应圆．故选B.10．视察下列等式：①cos2α＝2cos2α－1；②cos4α＝8cos4α－8cos2α＋1；③cos6α＝32cos6α－48cos4α＋18cos2α－1；④cos8α＝128cos8α－256cos6α＋160cos4α－32cos2α＋1；⑤cos10α＝mcos10α－1280cos8α＋1120cos6α＋ncos4α＋pcos2α－1.可以推想，m－n＋p＝()A．962B．960C．762D．562【答案】A【解析】本题主要考查归纳推理等学问．由题易知：m＝29＝512，p＝5×10＝50，m－1280＋1120＋n＋p－1＝1，∴m＋n＋p＝162.∴n＝－400，∴m－n＋p＝962.二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)11．在平面上，若两个正三角形的边长的比为12，则它们的面积比为14，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为12，则它们的体积比为________．【答案】1:8【解析】由平面和空间的学问，可知许多比值在平面中成平方关系，在空间中成立方关系．故若两个正四面体的棱长的比为12，则它们的体积比为18.12．f(n)＝1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,n)(n∈N＋)，计算得f(2)≥eq\f(3,2)，f(4)>2，f(8)>eq\f(5,2)，f(16)>3，f(32)>eq\f(7,2).推想当n≥2时，有________．【答案】f(2n)≥eq\f(n＋2,2)(n≥2)【解析】∵f(2)＝f(21)≥eq\f(3,2)＝eq\f(1＋2,2)，f(4)＝f(22)>2＝eq\f(2＋2,2)，f(8)＝f(23)>eq\f(5,2)＝eq\f(3＋2,2)，f(16)＝f(24)>3＝eq\f(4＋2,2)，f(32)＝f(25)>eq\f(7,2)＝eq\f(5＋2,2)，∴可猜想f(2n)≥eq\f(n＋2,2)(n≥2)．13．对于平面上的点集Ω，假如连接Ω中随意两点的线段必定包含于Ω，则称Ω为平面上的凸集．给出平面上4个点集的图形如下(阴影区域及其边界)：其中为凸集的是____________(写出全部凸集相应图形的序号)．【答案】②③【解析】本题主要考查从题目中提取信息，解决问题的实力．举反例14．在如下数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列，那么位于表中的第n行第n＋1列的数是________.第1列第2列第3列…第1行123…第2行246…第3行369………………【答案】n2＋n【解析】本题考查了等差数列及归纳推理的方法和思想，要求考生能从给出的信息总结规律，归纳结论．由图表知，第n行的数构成首项为n，公差为n的等差数列，∴第n行第n＋1列的数为：n＋(n＋1－1)·n＝n2＋n.15．如图，图中的实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线C，各段弧所在的圆经过同一点P(点P不在C上)且半径相等，设第i段弧所对的圆心角为αi(i＝1,2,3)，则coseq\f(a1,3)coseq\f(α2＋α3,3)－sineq\f(α1,3)sineq\f(α2＋α3,3)＝____________.【答案】－eq\f(1,2)【解析】本题考查平面几何学问，涉及到多边形的内角和，圆以及三角函数的基本学问．考查整体思想及运算处理实力．如图所示，四边形O1PO3C为菱形，所以∠O1PO3＝∠O1CO3同理∠O1PO2＝∠O1AO2，∠O2PO3＝∠O2BO3，因为∠O1PO2＋∠O1PO3＋∠O2PO3＝360°，所以∠O1AO2＋∠O2BO3＋∠O1CO3＝360°.六边形O1AO2BO3C所以∠AO1C＋∠AO2B＋∠BO3α1＋α2＋α3＝(360°－∠AO1C)＋(360°－∠AO2B)＋(360°－∠BO3＝1080°－(∠AO1C＋∠AO2B＋BO3coseq\f(α1,3)coseq\f(α2＋α3,3)－sineq\f(α1,3)sineq\f(α2＋α3,3)＝coseq\f(α1＋α2＋α3,3)＝cos240°＝－eq\f(1,2).三、解答题(本大题共6小题，共75分，前4题每题12分，20题13分，21题14分)16．在△ABC中，三个内角A、B、C对应的边长分别为a，b，c，且A、B、C成等差数列，a、b、c成等比数列，求证：△ABC为等边三角形．【证明】由A、B、C成等差数列，∴2B＝A＋C①∵A、B、C为△ABC的内角，∴A＋B＋C＝π②由①②得B＝eq\f(π,3)③由a、b、c成等比数列，∴b2＝ac④由余弦定理及③可得b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋c2－ac再由④得a2＋c2－ac＝ac即(a－c)2＝0，∴a＝c，从而有A＝C⑤由②③⑤得A＝B＝C＝eq\f(π,3)，∴△ABC为等边三角形．17．设实数a，b，c成等比数列，非零实数x，y分别为a与b，b与c的等差中项，试证：eq\f(a,x)＋eq\f(c,y)＝2.【证明】由已知条件得b2＝ac,2x＝a＋b,2y＝b＋c，要证eq\f(a,x)＋eq\f(c,y)＝2，只需证ay＋cx＝2xy，即证2ay＋2cx＝4xy，因为2x＝a＋b,2y＝b＋c，b2＝ac，所以4xy＝(a＋b)(b＋c)＝ab＋b2＋ac＋bc＝ab＋2ac＋bc2ay＋2cx＝a(b＋c)＋c(a＋b)＝ab＋bc＋2ac所以2ay＋2cx＝4xy，命题得证．18．视察下表1，2,3，4,5,6,7，8,9,10,11,12,13,14,15，….问：(1)此表第n行的最终一个数是多少？(2)此表第n行的各个数之和是多少？【解析】(1)由表知，其次行起每行的第一个数为偶数，所以第n＋1行的第一个数为2n，所以第n行的最终一个数为2n－1.(2)由(1)知第n－1行的最终一个数为2n－1－1，第n行的第一个数为2n－1，第n行的最终一个数为2n－1.又由视察知，每行数字的个数与这一行的第一个数相同，所以由等差数列求和公式得：Sn＝eq\f(2n－12n－1＋2n－1,2)＝22n－3＋22n－2－2n－2.19．求证：正弦函数没有比2π小的正周期．【证明】假设T是正弦函数的周期，且0<T<2π，则对随意实数x都有sin(x＋T)＝sinx成立．令x＝0，得sinT＝0，即T＝kπ，k∈Z.又0<T<2π，故T＝π，从而对随意实数x都有sin(x＋π)＝sinx，这与sin(eq\f(π,2)＋π)≠sineq\f(π,2)冲突．所以，正弦函数没有比2π小的正周期．20．已知函数f(x)＝eq\f(x\f(1,3)－x－\f(1,3),5)，g(x)＝eq\f(x\f(1,3)＋x－\f(1,3),5)，(1)证明：f(x)是奇函数；(2)分别计算f(4)－5f(2)g(2)，f(9)－5f(3)g(3)的值，由此概括出涉及函数f(x)和g(x)对全部不等于0的实数【解析】(1)证明：f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，又f(－x)＝eq\f(－x\f(1,3)－－x－\f(1,3),5)＝－eq\f(x\f(1,3)－x－\f(1,3),5)＝－f(x)，故f(x)是奇函数．(2)计算知f(4)－5f(2)g(2)＝0，f(9)－5f(3)g(3)＝0，于是揣测f(x2)－5f(x)g(x)＝0(x∈R证明：f(x2)－5f(x)g(x)＝eq\f(x\f(2,3)－x－\f(2,3),5)－5×eq\f(x\f(1,3)－x－\f(1,3),5)·eq\f(x\f(1,3)＋x－\f(1,3),5)＝eq\f(x\f(2,3)－x－\f(2,3),5)－eq\f(x\f(1,3)－x－\f(1,3)x\f(1,3)＋x－\f(1,3),5)＝eq\f(x\f(2,3)－x－\f(2,3),5)－eq\f(x\f(2,3)－x－\f(2,3),5)＝0.21．数列{an}的前n项和Sn＝2an－3n(n∈N＋)．(1)求{an}的通项公式；(2)数列{an}中是否存在三项，它们按原依次可以构成等差数列？若存在，求出一组适合条件的项；若不存在，请说明理由．【解析】(1)a1＝S1＝2a1－3，则a1由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Sn＋1＝2an＋1－3