高中数学综合写试卷二

综合测试卷二

一、单选题

1.在空间直角坐标系中，已知点A(Y,3,5),3(2,-l,-7),则线段"的中点坐标是()

A.(-2,2,-2)B.(-1,1,-1)

C.(1,1,1)D.(2,2,2)

【答案】B

【分析】利用中点坐标公式即可求解.

【详解】在空间直角坐标系中，

点4(-4,3,5),5(2,-1,-7),

(2-43-15-7、

则线段AS的中点坐标是12，石-L2—J，即

故选：B.

2.已知直线小辰+(l-k)y-3=0与4：•-l)x-3y-2=0互相垂直，则实数后=()

A.1B.3C.1或-3D.-1或3

【答案】C

【分析】由两直线垂直可直接构造方程求得结果.

【详解】因为两直线垂直，

所以左伏一1)一(1一QX3=^+2左一3=0解得左=1或一3,

故选：C

3.直线/：＞=x+2与圆/=4相交于两点，则|AB|=()

A.72B.2aC.2D.4

【答案】B

【分析】根据圆的相关知识即可求得|回|弦长.

【详解】由已知圆/+丁=4,圆心为(0,0),半径厂=2

所以圆心到直线/：y=x+2距离〃="+j_])2=收

所以14理=2-Jr2-d2=272

故选：B

4.在正方体ABC。-中，P,。分别为8口4片的中点，则异面直线PQ与4G所成角的余弦

值为（）

A.逑B.-C.逅D.且

3333

【答案】D

【分析】根据线线平行可用几何法找到两异面直线所成的平面角，再利用锐角三角函数即可求解.

【详解】取A3中点”,连接QM,MP,AC,不妨设正方体的棱长为2,

由于V,尸分别为ABIC的中点，则MP//AC,

又在正方体ABCD-\BXCXDX中，易得AC//4G,

所以//MP,故异面直线PQ与&G所成角为ZQPM或其补角,

因为QW//AA，A4,，平面ABCD,

所以a0_L平面ABCD,又MPu平面ABCD,故

/CP"_MP_V2_V3

所以在直角三角形QMP中，cos/QPM=9=,；网=,

易知异面直线PQ与AG所成角为锐角，所以其余弦值为且.

3

故选：D.

5已知椭圆工+?=］的左、右焦点分别为片，鸟，过月的直线与椭圆相交于两点，且

|A段+忸周=2|明，则|的的长等于（）

A.4B.3C.2D.1

【答案】A

【分析】先由椭圆方程求出“，然后根据已知条件结合椭圆的定义可求出|M|的长.

【详解】由£+$=1,得4=9,则。=3,

94

由题意可得（|A闾+|至|）+（|班|+|%|）=4。=12,

因为|隹|+忸用=2|的，|四|+忸耳|=|明，

所以31ABl=12,得|AB|=4,

故选：A.

6.己知直线/过点尸(1,2,1),且方向向量为机=(1,0,—1),则点A(1,T,-1)至!H的距离为()

A.2忘B.VTTC.2A/3D.3

【答案】B

m

【分析】根据直线/一个方向向量为相，取直线/的一个单位方向向量为〃=鬲，计算PA，代入点

到直线的距离公式〃=标开二£*R计算即可.

【详解】直线/的一个方向向量为m=(1,0,-1),取直线/一个单位方向向量为

._m_0Ann_f^2A/2

//=j-I=—(i,o,-i)=—,0,一--,

2I22J

又A(l,T-l)为直线外一点，且直线/过点尸(1,2,1),=(0,-3,-2),

.•.PA-/z=(O,-3,-2).争,T=V2,|AP|=7I3

点A到直线I的距离为d=JpA2TAp=&3一2=JTT.

故选：B.

7.已知点尸为圆。尸x2+y2=i上任一点，点。为圆。2：/+>2-6尤-16=0上任一点，则|P9的

最小值为()

A.1B.72C.2D.4

【答案】A

【分析】根据题意得两圆的位置关系为内含，进而得「。|的最小值为ur-|qq|=L

【详解】解：由题知，圆。।半径为《=1,圆心坐标为(o,o),圆。2半径为々=5,圆心坐标为(3,0),

所以两圆的位置关系为内含，

所以|qO』=3,r2-rt=4,

所以|PQ|的最小值为弓-4—1004=L

故选：A

22

8.设尸为椭圆0：5+方=1（。＞6＞。）上的动点，耳，耳为椭圆C的焦点，/为△尸片名的内心，则

直线阴和直线外的斜率之积（）

A.是定值B.非定值，但存在最大值

C.非定值，但存在最小值D.非定值，且不存在最值

【答案】A

_,GIEG+F.G/、

【分析】连接尸/并延长交无轴于G,,再由内角平分线定理可得而二女r僚二J设月伍,外,

1

lrrrx十Ft?

依加，G&,。），代入椭圆方程可求出“悬，结合状=皆得%=e%进一步求出

X/=e/,再表示出号平左的，化简即可得答案.

【详解】连接P/并延长交无轴于G,

GI_FXG+F2Gc

IP~PFX+PF2~a

设〃(X0，兀)，/(%/,为)，G(%,0),则名~+卷~=1,二.2')2=「2’

at)a--XQ

a-ex^

.乃二。

则”=必则%=.

y0a+ca+ca+exQ

则x=ex,k[R=

.%-%a+ctQ

-y：

222

二(a+c)1ay^b

则左阴.卜典

C2_£^_X2(〃+C)2%-。2(〃+C/

a2

...直线省和直线%的斜率之积是定值.

故选：A.

二、多选题

9.已知空间中三点4（2,1,-1）,8（1,0,2）,C（0,3,-l）,则（）

A.网=而B.ABJ.AC

C.cosZABC=—D.A,B,C三点共线

19

【答案】AB

【详解】易得AB=（T,-L3）,AC=（-2,2,0）,圆=（1,-3,3）,，,耳=而，A正确;

因为A"AC=0，所以AS1AC,B正确，D错误;

ABCB_11_vn

而cosZABC=C错误.

|AB|.|CB|-^X7I9-VW

故选:AB.

10.下列说法正确的是（）

A.在两坐标轴上截距相等的直线都可以用方程了+，=。（4€1i）表示

B.方程痛+y-2=O（7wcR）表示的直线斜率一定存在

C.直线/过点（—2,3）,且原点到/的距离是2,贝IJ/的方程是5x+12y-26=0

D.坐标平面内过点下（分,几）的直线Ax+By+C=0还可以写成

22

A（x-xo）+B（y-yo）=O（A+BW0）

【答案】BD

【分析】A选项，考虑直线在坐标轴上截距为0时，得到A错误；

B选项，得到如:+y-2=0（meR）表示的直线斜率为-/〃，B正确；

C选项，考虑直线斜率不存在时，方程为x=-2,满足要求，故C错误；

D选项，根据点在直线上，得到Ax0+8%+C=0,^Ax+By+C=Ax0+By0+C,变形后得到答

案.

【详解】A选项，当直线在坐标轴上截距为。时，不能用方程x+y=a（aeR）来表示，故A错误；

B选项，方程皿+y-2=0（meR）表示的直线斜率为一加，故斜率一定存在，B正确；

C选项，直线/过点（-2,3）,当直线/的斜率不存在时，方程为尤=-2,此时原点到/的距离是2,满

足要求，

当直线/的斜率存在时，设直线方程为y-3=Mx+2）,

由点到直线距离公式可得：萼』=2,解得：k=~,

vFTi12

止匕时直线方程为y—3=—±（尤+2）,即5元+12y-26=0,

综上：直线/过点（-2,3）,且原点到/的距离是2,贝h的方程是5x+12y-26=0或了=一2,C错误；

D选项，因为直线—+By+C=O过点P（4,几），故发+笈*。，

由题意得At。+3%+C=°,Ax+By+C=Ax0+By0+C,

22

整理得：A（x-xo）+B（3；-yo）=O（A+B^O）,D正确.

故选：BD

11.古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现；平面内到两个定点A、B的

距离之比为定值以2/1）的点所形成的图形是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗

尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系尤Oy中，A（-2,0）,3（4,0）.点P满足篇=不，设

I右方I/

点尸所构成的曲线为C,下列结论正确的是（）

A.C的方程为（x+4y+y2=16

B.在C上存在点D,使得。到点。,1）的距离为3

c.在c上存在点〃，使得MQ|=2|MA|

D.C上的点到直线力-分-13=0的最小距离为1

【答案】ABD

IPAI1

【分析】对于A,设点尸（x,y）,由篇=不结合两点间的距离公式化简即可判断，对于B,由A可

知曲线C的方程表示圆心为（T,o）,半径为4的圆，从而可求出圆上的点到点（1,1）的距离的范围，

进而进行判断，对于C,设〃仁,九），由阳。|=2幽4|,由距离公式可得方程，再结点〃（知九）在

曲线C上，得到一个方程，两方程联立求解判断，对于D,由于曲线C的方程表示圆心为（T,。），

半径为4的圆，所以只要求出圆心到直线的距离减去圆的半径可得答案

【详解】由题意可设点P（%y）,由4（-2,0）,3（4,0）,黑=:，得中+2）；+鼻二,化简得

I"I2，（九一4）+y2

x~+y2+8x=0,即（x+4）~+=16,所以选项A正确;

对于选项B,曲线C的方程表示圆心为(T,0),半径为4的圆，点(LI)与圆心的距离为

7(-4-l)2+l=^/26,与圆上的点的距离的最小值为0^-4,最大值为^/^+4,而

3e［后-4,而+4］,所以选项B正确；

对于选项C,设〃(不，几)，由=得+(尤。+2『+乂,又(%+4丫+尤=16,

联立方程消去为得得=2,解得为无解，所以选项C错误；

对于选项D,C的圆心(TO)到直线3x-4y-13=0的距离为dJ3X(：)T3|=5,且曲线C的半径

为4,则C上的点到直线3元-4y-13=0的最小距离d—r=5-4=1故选项D正确；

故选：ABD.

12.如图，在棱长为1的正方体ABCO-AB'C'D中，M为3C的中点，则下列结论正确的有()

A.A、M、C'、A四点共面

B.C到平面D4'C’的距离为且

3

Q

C.过点的平面截正方体ABCD-AB'C'D所得截面的面积为£

JT

D.四面体AC3。内切球的表面积为不

【答案】BD

【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法计算AM,CA的坐标，从而判断选项A；根据等体积法

求C到平面D4'C'的距离，从而判断选项B；作辅助线得出截面为梯形4W)',求出梯形面积即可

判断选项C；根据等体积法计算四面体的内切球半径，计算球的表面积判断选项D.

【详解】对于A,构建如图(1)所示的空间直角坐标系，则4(0,0,1),知［：,1,11,方(0,1,0),。，(1,0,0),

C(1,1,O),A(0,0,0)

CA(l,l,0),不存在一个实数几，使得即W不共线，所以

A、M、C'、A四点不共面，故A错误;

⑵

对于B,如图⑵，连接AC,ACAC,设C至IJ平面DAC的距离为d,即点A至!J平面

ADC的距离，匕_//，=匕的，八即-xlxlxlxl=lx^xV2xV2tZ,求得d力,故B正确.

32343

对于C,取CC的中点N,连接MN,D'N,AD',则MN//AD',如图(2)所示，

则梯形AMND'为过点A,M,D'的平面截正方体ABCD-AB'C'D'所得的截面，易知

MN=—,AD'=^2,AM=D'N=—,可得梯形AMND的高为J卜也］-f—=述，则梯

222JI4J4

形AMND'的面积s=也义也=2,故c错误.

2248

对于D,易知四面体ACBD的体积V=l-4x|x|xl=1,因为四面体ACBD的棱长都为日

所以其表面积S=4x1xV2xV2xsin|=273,设四面体ACBD内切球的半径为工则

：x2疯•=：,解得r=B,所以四面体AMND'内切球的表面积为4万户=g,故D正确.

3363

故选：BD.

【点睛】本题考查空间直线到平面的距离、四点共面、内切球表面积和截面面积的计算，考查棱锥

与球的位置关系，属于难题.

三、填空题

13.已知〃=(-1,3,1)乃=(2,0,—4),c=(3,—2,3),则〃，S+c)=.

【答案】-12

【分析】根据向量数量积的坐标运算即可求解.

【详解】b+c=(5,—2,-1)，所以a♦(/?+c)=—1x5+3x(―2)+1x(—1)=—12,

故答案为：-12

14.已知圆C:(x-l)2+(y-3)2=25,过点P(-2,7)作圆的切线，则该切线的一般式方程为.

【答案】3x-4y+34=0

4

【分析】由圆心、切点坐标求得％%=-§，即可知切线的斜率，写出切线方程即可.

【详解】：点P(-2,7)在圆C上，噎=」7$-3=_；4,

-2-13

33

•••切线斜率上=3,故切线方程为y-7=：(x+2),即3x-4y+34=0.

故答案为：3x-4y+34=0

15.已知圆0:尤2+V=4与圆C:x?+;/-x+石＞-3=0相交于AB两点，贝(AB卜.

【答案】岳

【分析】两圆方程相减，即可求出直线AB的方程为=求出圆心0(0,0)到直线AB的距

离d,进而根据几何法得弦14却=岳.

【详解】解:因为圆。:尤?+/=4与圆C:/+y2一升6'-3=0相交于A3两点，

所以直线AB的方程为：(公+/-4)-任+9一%+若＞一3)=0,

即x-4y-l=0,

|0+0-1|_1

圆心0(0,0)到弦AB的距离d=

V1+3-2

所以|4例=2打-d?=s/15,

故答案为：715.

22

16.已知G，「2分别是椭圆c：二+2=1(。＞0,6＞0)的左、右焦点，点尸在椭圆上，且在第一象限,

ab

过工作/耳尸工的外角平分线的垂线，垂足为A,。为坐标原点，若|。4|=扬，则该椭圆的离心率

为.

【答案】亚

3

【分析】延长EA，交小于点。，根据出是/4P&的外角平分线，得至！114。1=M可，\PQ\=\PF2\,

再利用椭圆的定义求解.

【详解】解：如图所示：

延长&A,交尸々于点。，

♦.•孙是"P耳的外角平分线，

：］AQ\=\AF\,

2\PQ\=\PF2\,

又。是片区的中点，，QG〃A。，且|。£|=2|。4|=2限.

又依周=|「周+|尸0=|「制+|尸阊=%,

2a=2-J^b，

4=3b2=3(/—c2),

.•.离心率为£=远.

a3

故答案为：逅

3

四、解答题

17.已知的顶点。(4,2),AC边上的高跖所在直线方程为x-2y+l=0,角A的平分线所在直

线方程为x-y+i=o.

（1）求顶点A的坐标；

（2）求直线AB的方程.

【答案】⑴43,4）

⑵尤+2＞一11=0

【分析】（1）设4%,%）,根据垂直关系和点在直线上得到方程组，解得答案.

（2）计算点（7关于了-，+1=0的对称点6（1,5）,计算斜率得到直线方程.

【详解】（1）设则有%-%+1=0,kAC=----=-2,即％=无（）+1,解得（,

%-41%=4

即A（3,4）；

（2）点C关于无-y+l=o的对称点G（a,b）,则占|=一1,等一彳+1=0,

解得a=l,6=5,即£。,5）,kAB=kAC=^=-\,

直线AB的方程：y-5=-1（x-l）,整理：x+2y-n=0.

18.如图，在直三棱柱ABC-A4G中，AB=BC=A^=2,E,P分别为AC和CG的中点,

BF±4耳.

小乐------------71Bi

(1)求证：BE1AjC；

（2）求直线AC与平面ABB.A所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析

⑵当

【分析】（1）首先通过线面垂直的判定定理得证BE，平面AACG，从而得证BE，A。；

（2）首先通过线面垂直的判定定理得证BC人平面4880,从而得到NCAB即为所求角，求出该角

的正弦值即可得到答案.

【详解】（1）证明：因为ABC-A4G是直三棱柱，所以平面筋C,

3Eu平面ABC,所以AA_LBE,

又因为AB=3C,E为AC中点，

所以8E_LAC,AC=A,

所以BE_L平面A/CG，

ACu平面A&CG，所以BEJ.AC.

（2）依题意得ABLgB,

又因为3尸，4百，AB//A.B,,

所以AB_LBF,BB、cBF=B,所以Afi)平面与BCC；.

AB.LBC,BB、cAB=B,所以BC工平面446百，

连结AtB,ZCAtB即为直线AC与平面ABB.A所成角.

因为A3=30=714,=2,所以AC=2亚，\C=2-j3,

sin*於生=2=回

AC2A/33

所以年与平面A网A所成角的正弦值为岑

19.己知点A（-2,0）,3（2,0）,动点M与点A的距离是它与点3的距离的0倍.

（1）求点〃的轨迹C的方程;

⑵若直线/：（1+3〃以+（1+〃23-2-4〃?=0（加为任意实数）与C交于尸，。两点，求|尸。|取得最小

值时直线/方程.

【答案】（1）。-6）2+丁=32；

(2)5x-y-4=0.

【分析】(1)根据两点间距离公式进行求解即可；

(2)根据直线所过的定点与圆的位置关系，结合圆的几何性质进行求解即可.

【详解】(1)设”(x,y),

因为动点M与点A的距离是它与点8的距离的0倍，所以有

^x+2)2+y2=后xy/(x-2)2+y2x2-12x+/+4=(x-6)2+y2=32;

(2)(l+3M7)x+(l+〃z)y-2-47〃=0=>(x+y-2)+m(3x+y-4)=0,

因为meR,

尤+y-2=0x=l

所以有

3x+y—4=0y=l

因此直线/过定点。(1,1),

因为(1一6)2+『=26<32,

所以点。(1,1)在圆C:(x-6>+必=32内，圆心为C(6,0),

因此当直线8与直线/互相垂直时，「0有最小值,

0-1

勺%=-1=>令於=-1"=5

所以直线I的方程为y-l=5(x-l)=>5x-y-4=0.

20.如图，已知上4,平面A8CD,底面ABCD为矩形，PA=A。=AB=2,M,N分别为AB,PC的中

点.

⑴求证：MN，平面PAD；

(2)求平面PMC与平面PAD的夹角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

⑵逅

3

【分析】⑴若E为尸。中点，连接NE,AE,易证AW出为平行四边形，则MN/ME,根据线面平

行的判定即可证明;

(2)建立空间直角坐标系，易知〃=(1,0,0)是面上4。的一个法向量，求出平面PNC的法向量量，利用

向量的夹角公式即可求解.

【详解】(1)若E为尸£＞中点，连接NE,AE,又M、N为AB、PC的中点，底面ABCD为矩形，所

111

以NEUCD旦NE=—CD,IfnAM=-AB=-CDS.AM//CD,所以NE/MM且NE=AM,故

222

AMNE为平行四边形，

故MN//AE,又MNU面A£u面上4Z),则MN〃面PAD.

(2)由题意，可构建如下图示的空间直角坐标系，PA^AD=AB=2,所以尸(0,0,2),D(0,2,0),

M(1,0,0),C(2,2,0),

ULIU

则尸。=(0,2,—2),PM=(1,0,-2),尸。=(2,2,-2),

mPM=x-2z=0

若根=(x,y,z)是面PA1C的一个法向量，贝!!<,

m-PC=2x+2y-2z=0

令x=2,故根=(2,—1,1),

又几=(1,0,0)是面PAD的一个法向量,

m-n_2

所以cos<m,n>=

|m||n|A/6

故平面尸MC与平面PAD的夹角的余弦值—.

3

21.已知圆C：x2+y2+2x—3=0.

(1)求过点(1,3)且与圆C相切的直线/的方程；

(2)已知点A(4,0),5(0,4),尸是圆C上的动点，求一ABP面积的最大值.

【答案】(1)x=l或5元-12y+31=0；⑵10+40.

【分析】(1)将圆化为标准式，求出圆心与半径，讨论直线的斜率存在或不存在，当不存在时，设

出点斜式，利用点到直线的距离等于半径即可求解.

(2)将问题转化为求圆上的点到直线AB距离的最大值即可求解.

【详解】(1)当直线/的斜率不存在时：x=l,此时圆心到直线的距离等于半径，满足题意，

当直线/的斜率存在时，设直线方程为：y-3=k(x-I),圆C：(x+l)?+y2=4,

因为直线与圆相切,所以圆心到直线的距离等于圆的半径，

|一2%+3|.

即d=一/"1=2,

所以直线/方程为:5x-12y+31=0.

(2)；4(4,0),5(0,4),

AB=J42+[=4衣，直线AB的方程为：x+y-4=0,

圆心到直线A8的距离为：=—,

V22

所以点P到直线AB的距离的最大值为41ax=平+2,

所以(S由L=gx40x[乎+2]=10+40.

22

22.已知椭圆C:一+与=l(a>b>0)的短轴长为2右，左顶点A到右焦点厂的距离为3.

a~b

(1)求椭圆C的方程

(2)设直线/与椭圆C交于不同两点A7,N(不同于A),且直线AA1和4N的斜率之积与椭圆的离心

率互为相反数，求证：/经过定点.

22

【答案】⑴土+匕=1

43

(2)证明见解析

【分析】(1)依题意可得。=