第16讲重难点拓展不等式恒成立能成立问题（三大题型归纳分层练）

第16讲重难点拓展：不等式恒成立、能成立问题目录TOC\o"13"\h\z\u题型归纳 1题型01在R上的恒成立问题 2题型02在给定区间上恒成立的问题 4题型03简单的能成立问题 6分层练习 8夯实基础 8能力提升 14创新拓展 20题型01在R上的恒成立问题【解题策略】转化为一元二次不等式解集为R的情况，即ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ<0；))ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0，,Δ<0.))ax2＋bx＋c≥0(a≠0)恒成立⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ≤0；))ax2＋bx＋c≤0(a≠0)恒成立⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0，,Δ≤0.))注意：若题目中未强调是一元二次不等式，且二次项系数含参，则一定要讨论二次项系数是否为0.【典例分析】【例1】(1)已知不等式kx2＋2kx－(k＋2)<0恒成立，求实数k的取值范围；(2)若不等式－x2＋2x＋3≤a2－3a对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围．解(1)当k＝0时，原不等式化为－2<0，显然符合题意．当k≠0时，令y＝kx2＋2kx－(k＋2)，由y<0恒成立，∴其图象都在x轴的下方，即开口向下，且与x轴无交点．∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k<0，,4k2＋4kk＋2<0，))解得－1<k<0.综上，实数k的取值范围是{k|－1<k≤0}．(2)原不等式可化为x2－2x＋a2－3a－3≥0，∵该不等式对任意实数x恒成立，∴Δ≤0，即4－4(a2－3a－3)≤0，即a2－3a－4≥0，解得a≤－1或a≥4，∴实数a的取值范围是{a|a≤－1或a≥4}．【变式演练】【变式1】若关于x的不等式kx2＋3kx＋k－2>0的解集为∅，则实数k的取值范围是()A.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(k\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)≤k<0)))) B.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(k\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(8,5)≤k<0))))C.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(k\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)≤k≤0)))) D.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(k\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(8,5)≤k≤0))))答案D解析∵kx2＋3kx＋k－2>0的解集为∅，∴kx2＋3kx＋k－2≤0的解集为R，当k＝0时，－2≤0恒成立，符合题意；当k≠0时，需满足k<0且9k2－4k(k－2)＝5k2＋8k≤0，得－eq\f(8,5)≤k<0，综上，k的取值范围为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(k\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(8,5)≤k≤0)))).【变式2】（2324高一上·安徽亳州·期末）若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为.【答案】【分析】由一元二次不等式的解集为，可知二次函数开口向上，判别式小于0，解得即可.【详解】当时，，，不满足题意；当时，,所以，综上，实数的取值范围为.故答案为：【变式3】（2324高一下·四川成都·开学考试）已知函数．(1)若关于x的不等式的解集为R，求实数a的取值范围；(2)解关于x的不等式．【答案】(1),(2)答案见解析【分析】（1）由题意可知，进而求出实数的取值范围；（2）根据和两种情况讨论，结合二次函数的性质求解即可．【详解】（1）若不等式的解集为R，则，解得，即实数的取值范围,；（2）不等式，①当时，即时，不等式的解集为，②当时，即或时，由，解得或，所以不等式的解集为，综上所述，当时，不等式的解集为；当或时，不等式的解集为题型02在给定区间上恒成立的问题【解题策略】在给定区间上的恒成立问题(1)当a>0时，ax2＋bx＋c<0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立⇔y＝ax2＋bx＋c在x＝α，x＝β时的函数值同时小于0；当a<0时，ax2＋bx＋c>0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立⇔y＝ax2＋bx＋c在x＝α，x＝β时的函数值同时大于0.(2)通过分离参数将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题【典例分析】【例2】当1≤x≤2时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，则实数m的取值范围为________．答案{m|m<－5}解析令y＝x2＋mx＋4.∵y<0在1≤x≤2上恒成立．∴y＝0的根一个小于1，另一个大于2.如图，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋5<0，,4＋2m＋4<0.))∴m的取值范围是{m|m<－5}．【变式演练】【变式1】（2324高一上·江苏扬州·期中）若，使恒成立，则的取值范围为【答案】【分析】参变分离可得，使恒成立，由二次函数的性质求出，即可得解.【详解】因为，使恒成立，所以，使恒成立，又函数在上单调递减，在上单调递增，所以，即，所以，即的取值范围为.故答案为：【变式2】设函数y＝mx2－mx－1,1≤x≤3，若y<－m＋5恒成立，则实数m的取值范围为________．答案eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(m\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(m<\f(6,7)))))解析y<－m＋5在1≤x≤3上恒成立，即m(x2－x＋1)－6<0恒成立，∵x2－x＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋eq\f(3,4)>0，∴m<eq\f(6,x2－x＋1).令t＝eq\f(6,x2－x＋1)＝eq\f(6,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋\f(3,4))，t在1≤x≤3上的最小值为eq\f(6,7)，∴只需m<eq\f(6,7)即可．故实数m的取值范围为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(m\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(m<\f(6,7))))).【变式3】若对任意的－3≤x≤－1都有ax2－x－3<0成立，则实数a的取值范围是______．答案{a|a<0}解析ax2－x－3<0在－3≤x≤－1上恒成立，等价于a<eq\f(x＋3,x2)＝eq\f(3,x2)＋eq\f(1,x)在－1≤eq\f(1,x)≤－eq\f(1,3)上恒成立，令m＝eq\f(1,x)，即a<3m2＋m在－1≤m≤－eq\f(1,3)上恒成立，二次函数y＝3m2＋m的对称轴为m＝－eq\f(1,6)，所以当m＝－eq\f(1,3)时，y有最小值0，故a<0.题型03简单的能成立问题【解题策略】能成立问题的解题思路(1)结合二次函数图象，将问题转化为端点值的问题解决；(2)对一些简单的问题，可转化为m>ymin或m<ymax的形式，通过求y的最小值与最大值，求得参数的取值范围【典例分析】【例3】若存在x∈R，使得eq\f(4x＋m,x2－2x＋3)≥2成立，求实数m的取值范围．解∵x2－2x＋3＝(x－1)2＋2>0，∴4x＋m≥2(x2－2x＋3)能成立，∴m≥2x2－8x＋6能成立，令y＝2x2－8x＋6＝2(x－2)2－2≥－2，∴m≥－2，∴m的取值范围为{m|m≥－2}．【变式演练】【变式1】若关于x的不等式ax2＋x＋1>0在x∈[1,2]上有解，则实数a的取值范围为________．答案(－2，＋∞)解析由ax2＋x＋1>0，得ax2>－x－1，因为x∈[1,2]，所以a>－eq\f(1,x2)－eq\f(1,x)有解，令eq\f(1,x)＝t，则t∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))，所以a>－t2－t，即a>－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t＋\f(1,2)))2＋eq\f(1,4)，因为当t∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))时，y＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t＋\f(1,2)))2＋eq\f(1,4)的最小值为－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2)))2＋eq\f(1,4)＝－2，所以a>－2.【变式2】（2324高一上·广东惠州·阶段练习）若存在，使得不等式成立，则实数的取值范围为．【答案】【分析】将存在，使得不等式成立转化为存在，使得不等式成立，然后根据二次函数的单调性求最小值即可得到的范围.【详解】因为存在，使得不等式成立，所以存在，使得不等式成立，令，因为对称轴为，所以当时，函数取得最小值为，所以．故答案为：【变式3】（2023高一·全国·单元测试）若存在实数，使得不等式成立，求x的取值范围．【答案】或【分析】原不等式可化为.设，根据的符号讨论，结合一次函数的单调性，即可得出答案.【详解】原不等式可化为.设，当时，恒成立，满足题意；当时，恒成立，不满足题意；当时，函数单调递增，要使不等式成立，则应有，即有，解得，或；当时，函数单调递减，要使不等式成立，则应有，即有，解得，.综上所述，x的取值范围为或.【夯实基础】一、单选题1．（2223高一上·甘肃金昌·期中）关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意得且，不等式等价于，即可解决.【详解】由题知，不等式的解集是，所以且，因为可变为，所以，所以，所以不等式的解集是，故选：C.2．（2324高一上·黑龙江牡丹江·期中）若不等式对恒成立，则实数的值可以是（

）A． B． C． D．2【答案】C【分析】解不等式，转化为不等式的解集为的子集可得答案.【详解】解不等式得，不等式对恒成立，，可得，解得，根据选项可得只有C选项符合.故选：C.3．（2223高一上·湖北荆州·阶段练习）若关于x的不等式在上有实数解，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据一元二次不等式与二次函数的关系，求解恒成立时的范围，即可根据命题的否定求解原问题的范围.【详解】若关于x的不等式在上没有实数解，则对任意的，恒成立，记，则，解得，因此关于x的不等式在上有实数解，则，故选：A4．（2324高一上·重庆·期末）函数的定义域为，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由题意得恒有成立，结合二次不等式恒成立性质对进行分类讨论进行求解即可.【详解】由题意得恒成立，当时,恒成立，满足题意；当时,,解得,综上.故选:C.二、多选题5．（2324高一上·内蒙古呼伦贝尔·期末）命题“”是真命题的一个充分不必要条件是（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】先将恒成立问题转化为最值问题求出的范围，然后利用充分不必要条件的概念选择答案.【详解】，则对都成立，又，所以，观察选项可得命题“”是真命题的一个充分不必要条件是BCD.故选：BCD.6．（2324高一上·湖北·期末）设，不等式恒成立的充分不必要条件可以是（

）A． B． C． D．【答案】BC【分析】利用一元二次不等式的解法分类讨论计算得的范围，再结合充分不必要条件的定义即可.【详解】当时，不等式为，满足题意；当时，则必有且，解之得，综上a的取值范围为，显然及均为的真子集，即选项B，C满足条件．故选：BC三、填空题7．（2324高一上·山东滨州·期末）一元二次不等式对于一切实数都成立，实数的取值范围为.【答案】【分析】利用二次不等式恒成立的条件得到关于的不等式组，解之即可得解.【详解】因为是一元二次不等式，所以，又对一切实数成立，所以，解得，则的取值范围是.故答案为：.8．（2324高一上·河北承德·期末）若不等式对一切实数都成立，则的取值范围为.【答案】【分析】分，和三种情况讨论不等式，列式求解.【详解】当时，，不等式成立.当时，二次函数的图象开口向上，不等式不可能恒成立.当时，二次函数的图象开口向下，若不等式对一切实数都成立，则，解得.综上，的取值范围为.故答案为：9．（2324高一上·山东淄博·阶段练习）不等式对任意恒成立，则m的取值范围为．【答案】【分析】分类讨论，结合一元二次函数的性质，即可求解.【详解】当时，不等式为，显然成立；当时，记，为二次函数，对称轴为，当时，由，得，由题意得，解得；当时，由，得，由题意得，解得，综上，.故答案为：.四、解答题10．（2324高一上·云南德宏·期末）已知．(1)若恒成立，求实数的取值范围；(2)求不等式的解集．【答案】(1)(2)答案见解析【分析】（1）由恒成立，即恒成立，即得，从而可求解.（2）由即，然后对分情况讨论，从而可求解.【详解】（1）∵恒成立，∴对恒成立，故，化简得，解得，故实数的取值范围.（2），即；当时，不等式的解为或，当时，不等式的解为或，当时，不等式的解为.11．（2324高一上·安徽芜湖·期末）设函数，关于的一元二次不等式的解集为．(1)求不等式的解集；(2)若，求实数的取值范围．【答案】(1)或(2)．【分析】（1）利用韦达定理求参数后再解不等式即可.（2）对变量范围进行讨论，分离参数法求解参数即可.【详解】（1）因为一元二次不等式的解集为，所以和1是方程的两个实根，则，解得．因此所求不等式即为：，解集为或．（2）可化为：，当时显然成立；当时，对恒成立，令，则，当，即时，所以，即【能力提升】一、单选题1．（2324高一上·安徽安庆·期末）“关于的不等式对上恒成立”的一个必要不充分条件是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】分、两种情况讨论，在时，直接验证即可；在时，根据题意可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围，再根据必要不充分条件求解.【详解】当时，则有，解得，不合题意；当时，则，解得.综上所述，关于的不等式对上恒成立”的充要条件为，所以一个必要不充分条件是.故选：A.2．（2324高一上·河南·期中）“，”为假命题的一个充分不必要条件是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】存在量词命题的否定是全称命题，由存在量词命题是假命题，则其否定是真命题，转化为恒成立问题求解，分离参数求解最值即可得充要条件.【详解】“，”为假命题“，”为真命题，所以恒成立，设，由，则，故“，”为真命题.选项A，，即是“，”为假命题的一个既不充分又不必要条件，故A不正确；选项B，因为，但，所以是“，”为真命题的一个充分不必要条件，故B正确，选项C，是“，”为真命题的一个充要条件，故C不正确；选项D，，是“，”为真命题的一个必要条件不充分条件，故D不正确.故选：B．3．（2324高一上·四川内江·期中）“”是“，”成立的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】先根据恒成立问题求参，再结合充分必要的定义判断即可。【详解】,可得单调递减，单调递增，,所以,所以.不能推出,可以得出，是的必要不充分条件.故选：B.4．（2122高一上·江苏徐州·阶段练习）若对于任意，都有成立，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用一元二次函数的图象与性质分析运算即可得解.【详解】由题意，对于都有成立，∴，解得：，即实数的取值范围是.故选：B二、多选题5．（2324高一上·四川广安·期末）“，”为真命题的充分条件可以是（

）A． B． C． D．【答案】AB【分析】变形得到，恒成立，由基本不等式求出的最小值，从而得到，分析四个选项，得到AB满足要求.【详解】，恒成立，其中，当且仅当，即时，等号成立，故，由于和均为的真子集，故AB正确，CD不合要求.故选：AB6．（2324高一下·河北石家庄·开学考试）若命题“，”是假命题，则k的值可能为（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】AB【分析】根据条件，将问题转化成恒成立问题，再分和两种情况讨论，即可求出结果.【详解】由题知，是真命题，当，即时，恒成立，时，不恒成立；当时，，解得，综上得，故选：AB.三、填空题7．（2324高一上·天津滨海新·阶段练习）已知函数，若在上恒成立，则实数的取值范围是．【答案】【分析】根据二次函数的开口方向，得到，求出答案.【详解】开口向下，要想在上恒成立，只需，解得，故实数的取值范围是故答案为：8．（2324高一下·上海闵行·阶段练习）已知函数对任意实数都有成立，则实数的取值范围是.【答案】【分析】讨论二次项系数结合判别式列不等式求解即可.【详解】由题意知当时，符合题意；当时，则则实数的取值范围是.故答案为：.9．（2324高一上·江苏无锡·阶段练习）若是假命题，则实数的取值范围为．【答案】或【分析】根据给定，利用一元二次不等式恒成立求出的范围，再求其补集得解.【详解】若原命题为真，由，即，得，解得，所以该命题为假，故实数的取值范围是或.故答案为：或四、解答题10．已知对∀x∈{x|2≤x≤3}，不等式mx2－mx－1<0恒成立，求m的取值范围．解由不等式mx2－mx－1<0，得m(x2－x)<1，因为x∈{x|2≤x≤3}，所以x2－x>0，所以m(x2－x)<1可化为m<eq\f(1,x2－x)，因为x2－x＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2－eq\f(1,4)≤6，所以eq\f(1,x2－x)≥eq\f(1,6)，所以m<eq\f(1,6).即m的取值范围是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(m\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(m<\f(1,6))))).11．已知函数y＝mx2－mx－6＋m，若对于1≤m≤3，y<0恒成立，求实数x的取值范围．解y<0⇔mx2－mx－6＋m<0⇔(x2－x＋1)m－6<0.∵1≤m≤3，∴x2－x＋1<eq\f(6,m)恒成立，∴x2－x＋1<eq\f(6,3)⇔x2－x－1<0⇔eq\f(1－\r(5),2)<x<eq\f(1＋\r(5),2).∴x的取值范围为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1－\r(5),2)<x<\f(1＋\r(5),2))))).12．（2324高一下·江西上饶·开学考试）已知不等式.(1)若不等式的解集是或，求的值；(2)若不等式的解集是，求的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）由一元二次不等式的性质可知方程的两根为，再由韦达定理可解.（2）由二次函数的性质可得关于的不等式组，解出即可.【详解】（1）由题意可知方程的两个根分别为，由韦达定理可知，解得，经检验满足题设.（2）若不等式的解集是，即恒成立，则满足，解得【创新拓展】一、单选题1．（2223高一上·江西宜春·阶段练习）已知二次函数，若，都有成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】结合二次函数的图象列不等式，解不等式即可.【详解】根据题意可得，解得.故选：D.二、填空题2．（2021高一