2024届宁夏回族自治区银川市高三下学期数学（理科）考试模拟试题（三模）含解析

2024届宁夏回族自治区银川市高三下学期数学（理科）考试模拟试题（三模）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合，下列式子错误的是（）A． B． C． D．2．已知复数的实部与虚部互为相反数，则的取值不可能为（

）A． B． C． D．3．如图的程序框图表示求的值，则判断框内可以填的条件为（

）A． B． C． D．4．已知梯形按斜二测画法得到的直观图为如图所示的梯形，且，，，现将梯形绕㯀转一周得到一个几何体，则该几何体的侧面积为（

）A． B． C． D．5．已知向量，为坐标原点，动点满足约束条件，则的最大值为（

）A． B．2 C． D．36．是两个不同的点，为两个不同的平面，下列推理错误的是（

）A．B．C．D．7．歌唱比赛共有11位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从11个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到9个有效评分.9个有效评分与11个原始评分相比，一定不变的数字特征是（

）A．平均数 B．极差 C．方差 D．中位数8．折纸是一种用纸张折成各种不同形状的艺术活动，起源于中国，其历史可追溯到公元583年.在一次数学实践课上某同学将一张腰长为1的等腰直角三角形纸对折，每次对折后仍成等腰直角三角形，则对折6次后得到的等腰直角三角形斜边长为（

）A． B． C． D．9．现有5名来自清华、北大的选调生前往A，B，C三个城市任职工作，若每位选调生只能去其中的一个城市，且每个城市至少安排1名选调生，其中甲和乙两人必须去同一个城市，则不同的安排方法数是（

）A．18 B．24 C．36 D．4810．命题，命题函数且在上单调，则是的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件11．双曲线与抛物线有共同的焦点，双曲线左焦点为，点P是双曲线右支一点，过向的角平分线作垂线，垂足为，则双曲线的离心率是（

）A．2 B． C． D．12．己知定义在R上的奇函数的图象是一条连续不断的曲线，是的导函数，当时，，且，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知则的展开式中含x的项为14．某同学为测量塔的高度，选取了与塔底B在同一水平面内的两个测量基点与，现测得在点测得塔顶A的仰角为，则塔高m.15．将函数图象所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象.若对于任意，总存在唯一的.使得，则的取值范围为.16．已知圆，点在抛物线上运动，过点作圆的切线，切点分别为，则的最小值为.三、解答题：共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.(一)必考题:共60分.17．已知数列的首项且(1)证明:是等比数列；(2)求数列的前项和.18．如图，在四棱锥中，平面，为中点，点在梭上（不包括端点）.(1)证明：平面平面；(2)若点为的中点，求直线到平面的距离.19．比亚迪，这个中国品牌的乘用车，如今已经在全球汽车品牌销量前十中占据一席之地.这一成就是中国新能源汽车行业的里程碑，标志着中国已经在全球范围内成为了新能源汽车领域的强国.现统计了自上市以来截止到2023年8月的宋plus的月销量数据.(1)通过调查研究发现，其他新能源汽车的崛起、购置税减免政策的颁布等，影响了该款汽车的月销量，现将残差过大的数据剔除掉，得到2022年8月至2023年8月部分月份月销量y（单位：万辆）和月份编号x的成对样本数据统计.月份2022年8月2022年9月2022年12月2023年1月2023年2月2023年3月2023年4月2023年6月2023年7月2023年8月月份编号12345678910月销量（单位：万辆）4.254.594.993.563.723.012.462.723.023.28请用样本相关系数说明y与x之间的关系可否用一元线性回归模型拟合？若能，求出y关于x的经验回归方程；若不能，请说明理由.（运算过程及结果均精确到0.01，若，则线性相关程度很高，可用一元线性回归模型拟合）(2)为迎接2024新春佳节，某地4S店特推出盲盒抽奖营销活动中，店家将从一批汽车模型中随机抽取50个装入盲盒用于抽奖，已知抽出的50个汽车模型的外观和内饰的颜色分布如下表所示.红色外观蓝色外观棕色内饰2010米色内饰155①从这50个模型中随机取1个，用A表示事件“取出的模型外观为红色”，用B表示事件“取出的模型内饰为米色”，求和，并判断事件A与B是否相互独立；②活动规定：在一次抽奖中，每人可以一次性拿2个盲盒.对其中的模型给出以下假设：假设1：拿到的2个模型会出现3种结果，即外观和内饰均为同色、外观和内饰都异色以及仅外观或仅内饰同色.假设2：按结果的可能性大小，概率越小奖项越高.假设3：该抽奖活动的奖金额为一等奖3000元、二等奖2000元、三等奖1000元.请你分析奖项对应的结果，设X为奖金额，写出X的分布列并求出X的期望（精确到元）.参考公式：样本相关系数，，.参考数据：，.20．已知椭圆的上顶点为，且经过点．(1)求椭圆的标准方程；(2)过点且斜率存在的直线与椭圆交于两点，判断的形状并给出证明．21．已知函数，（为自然对数的底数）．(1)求曲线在处的切线方程；(2)若不等式对任意恒成立，求实数的最大值．(二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一道作答.如果多做，则按所做的第一题计分【选修4-4:坐标系与参数方程】(10分)22．在直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数），直线，以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.(1)写出圆与直线的极坐标方程；(2)若，直线与圆在第一象限交于两点，求的取值范围.【选修4-5:不等式选讲】(10分)23．已知实数，满足.(1)求证：；(2)求的最小值.1．C【分析】先求出集合A，再利用元素与集合之间的关系依次判断各选项即可得解.【详解】，，故ABD正确；而与是两个集合，不能用“”表示它们之间的关系，故C错误.故选：C2．D【分析】根据题意，可知，结合倍角公式解方程即可.【详解】由题意，可知，所以，解得或，因为，所以或或.故选：D3．B【分析】利用程序框图，一步一步计算，根据判断框成立，时，判断框不成立可得结论.【详解】根据题意可知程序运行如下：；判断框成立，；判断框成立，；判断框成立，；判断框成立，；判断框成立，；判断框成立，；判断框不成立，输出，所以选项满足题意.故选.4．C【分析】将梯形复原为原图即直角梯形，确定相关的边长，结合题意以及圆台的侧面积公式，即可求得答案.【详解】由题意将梯形复原为原图，即直角梯形，其中，则，故将梯形绕㯀转一周得到一个几何体为圆台，圆台上底面半径为1，下底面半径为4，高为4，母线长为5，故该几何体的侧面积为，故选：C5．D【分析】利用向量数量积的坐标表示得出约束条件，画出可行域并利用直线的截距的几何意义求得结果.【详解】易知，所以约束条件即为，画出可行域如下图阴影部分所示：将目标函数变形可得，当其在轴上的截距最小时，的取值最大；对直线，令，则，则，显然当直线平移到过点时，取最大值3.故选：D6．C【分析】A、B可由书上的公理可直接判断；C可由与相交时，交点为A点的情况进行判断；D可直接根据线面位置关系来判断点面位置关系.【详解】A，直线上两个不同点在某个平面内，则直线在该平面内，故正确；B，两个不同点同时在两个不同平面内，则两点所在直线为两平面的交线，故正确；C，有两种情况，与相交或，其中与相交，且交点为A点，则C错误；D，直线在面内，则直线上的点都在面内，故结论正确；故选：C.7．D【分析】由极差、中位数、平均数和方差的概念和计算公式，即可得出答案.【详解】设11位评委评分按从小到大排列为．则①原始中位数为，去掉最低分，最高分，后剩余，中位数仍为，D正确．②原始平均数，后来平均数，平均数受极端值影响较大，与不一定相同，A不正确；③，由②易知，C不正确．④原极差，后来极差，可能相等可能变小，B不正确．故选：D.8．A【分析】根据题意分析，从第2次开始，每次对折后得到的等腰直角三角形斜边长，构成一个首项为1，公比为的等比数列，运用等比数列基本量运算即得.【详解】对折一次得到的等腰直角三角形斜边长为1，对折2次得到的等腰直角三角形斜边长为，对折3次得到的等腰直角三角形斜边长为，，故对折6次后得到的等腰直角三角形斜边长为.故选：A.9．C【分析】根据特殊元素优先法，先考虑甲和乙，再考虑另外3人到3个城市的分配方式，分类考虑，计算即得.【详解】依题意，可以分成两步完成：第一步，安排甲和乙去一个城市，有种方法；第二步分成两类情况：第一类，安排另外3人，每个城市一人，有种方法；第二类，将另外3人按照1：2分组，再安排他们去另外的两个城市，有种方法.根据分步乘法计数原理和分类加法计数原理，不同的安排方法有：种.故选：C.10．B【分析】根据对数复合型函数的单调性，由命题求出的取值范围，再判断充分性和必要性即可.【详解】设，则可化为．充分性：当时，函数在上单调递减，在上单调递减，且当时，，在上单调递增，当时，，此时没有意义，故充分性不成立．必要性：若在上单调递减，则，所以在上单调递减，且在上恒成立，所以，得，所以当时，在上单调递增；若在上单调递增，则，所以在上单调递减，且在上恒成立，所以，得，不符合题意，舍去.综上可知，当函数在上单调时，，因此必要性成立．所以是的必要不充分条件．故选：B．11．A【分析】由抛物线的方程求得焦点，延长交的延长线于点M，由角平分线的性质得且，继而由中位线的性质得，根据双曲线的定义求得，由双曲线的离心率公式可求得答案．【详解】由抛物线得焦点，所以，延长交的延长线于点M，因为PN是的角平分线，于点N，所以且，又点O是的中点，所以且，又，所以，由双曲线的定义得，所以，所以，所以双曲线的离心率为.故选：A12．D【分析】根据构造函数，通过求导发现利用已知条件可知恒为正数，所以可知在时是单调递增函数，再结合已知条件又可知是偶函数，利用单调性和奇偶性解不等式即可.【详解】令，则，因为当时，，所以在上单调递增，又为奇函数，且图象连续不断，所以为偶函数，由，得，解得或故选：D.关键点点睛：构造函数是基本的解题思路，因此观察题目所给的数的结构特点，以及函数与导数之间的内在联系，合理构造函数，利用导数判断单调性是解题的关键.13．【分析】根据定积分求出a，结合二项式展开式的通项公式计算即可求解.【详解】由题意知，，所以即展开式中含的项为.故14．【分析】先在中，利用正弦定理求得，再在中，由正切函数的定义即可求得，由此解答即可.【详解】因为在中，，，，所以，由正弦定理得，即，解得，在中，，所以，故塔高.故答案为.15．【分析】由三角函数图象变换以及三角函数性质即可求解.【详解】由题意得，当时，有，此时，令，则，因为时，所以，因为对于的任意取值，在上有唯一解，即在上有唯一解，如图所示：由图可知，，所以.故答案为.关键点睛：关键是得到在上有唯一解，画出图形，由数形结合即可顺利得解.16．【分析】由题意利用等面积法，结合勾股定理得出，故只需通过数学结合求出的最小值即可.【详解】根据题意，可知，且.由几何性质可得四边形的面积为面积的2倍，由对称性和切线长性质可知，所以，即.设，，易知，当为原点时，取得最小值2，故的最小值为.故答案为.关键点睛：解决问题的关键是利用等面积法，并通过数形结合的思想即可顺利得解.17．(1)证明见解析(2)【分析】（1）利用等比数列的定义证明即可；（2）结合（1）中结论求得的通项公式，再利用错位相减法及分组求和法即可得解.【详解】（1）因为，，所以，，显然，则，故是首项为，公比为的等比数列.（2）由（1）知，，所以，则，令，故，上两式相减得，，所以，所以.18．(1)证明见解析(2)【分析】（1）由线面垂直的性质与勾股定理，结合三线合一证得，，再线面垂直与面面垂直的判定定理即得证.（2）由线面平行判定定理可证得平面，则点到平面的距离即为到平面的距离.方法一：以为原点建立空间直角坐标系，运用点到面的距离公式计算即可.方法二：运用等体积法计算即可.【详解】（1）证明：连接，如图所示，平面，，，即，又为中点，则，且，四边形为正方形，，平面平面，又，、平面，平面，又平面平面平面.（2）在中，分别为中点，，又平面平面，平面，点到平面的距离即为到平面的距离，（方法一），以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示空间直角坐标系，如图所示，则，，设是平面的法向量，，取，则是平面的一个法向量，点到平面的距离为，即直线到平面的距离为.（方法二）连接、，如图所示，为等腰直角三角形，，又平面是三棱锥的高，，，，，设到平面距离为，则，，即到平面的距离为.19．(1)可以使用一元线性回归模型拟合，(2)①，，不独立；②分布列见解析，期望为1694【分析】（1）根据数据和相关系数的公式求出相关系数，结合数值进行判断，利用公式可得回归直线方程；（2）①利用古典概率和条件概率求解即可，结合独立事件的判断方法可知不独立.②确定的所有取值，求出分布列，结合期望公式可得期望.【详解】（1），，，因为，所以可以使用一元线性回归模型拟合.，，所以回归方程为.（2）①模型内饰为米色的共有20个，所以，红色外观的模型有35个，其中内饰为米色的共有15个，所以，红色外观模型且内饰为米色的共有15个，所以，，因为，所以不独立.②设事件“取出的模型外观和内饰均为同色”，事件“取出的模型外观和内饰都异色”，事件“仅外观或仅内饰同色”，，，，因为，所以获得一等奖的概率为，二等奖的概率为，三等奖的概率为.其分布列为300020001000期望为.20．(1)(2)为直角三角形，证明见解析【分析】（1）根据顶点的定义，可得的值，代入点建立方程，可得的值，可得答案；（2）联立直线与椭圆方程，利用韦达定理表示坐标，结合向量的运算，可得答案.【详解】（1）由题意知，所以椭圆方程为，代人点，解得所以椭