2023-2024学年江西省南昌市高三下学期数学模拟试题（三模）含解析

2023-2024学年江西省南昌市高三下学期数学模拟试题（三模）一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知由小到大排列的5个样本数据的极差是11，则的值为（

）A．23 B．24 C．25 D．262．若以集合的四个元素为边长构成一个四边形，则这个四边形可能是（

）A．矩形 B．平行四边形C．梯形 D．菱形3．若函数满足，则称为满足“倒负”变换的函数，在下列函数中，满足“倒负”变换的函数是（

）A． B． C． D．4．如图，在扇形中，C是弦的中点，D在上，．其中，长为．则的长度约为（提示：时，）（

）A． B． C． D．5．某校举办运动会，其中有一项为环形投球比寒，如图，学生在环形投掷区内进行投球.规定球重心投掷到区域内得3分，区域内得2分，区域内得1分，投掷到其他区域不得分.已知甲选手投掷一次得3分的概率为0.1，得2分的概率为，不得分的概率为0.05，若甲选手连续投掷3次，得分大于7分的概率为0.002，且每次投掷相互独立，则甲选手投掷一次得1分的概率为（

）A． B． C． D．6．的展开式中的常数项为（

）A．-2 B．-3 C．-4 D．-57．如图，在正四棱台中，，为上底面的对角线，且下底面的面积和侧面的面积分别为20和，则该正四棱台外接球的表面积是（

）A． B． C． D．8．已知函数有唯一零点，则的值为（

）A． B． C． D．二、多选题:本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．已知复数，且的虚部为3，则（

）A．B．C．为纯虚数D．在复平面内对应的点在第二象限10．已知椭圆，点分别为的左､右焦点，点分别为的左､右顶点，过原点且斜率不为0的直线与交于两点，直线与交于另一点，则（

）A．的离心率为B．的最小值为C．上存在一点，使D．面积的最大值为211．函数及其导函数的定义域均为R，和都是奇函数，则（

）A．的图象关于直线对称 B．的图象关于点对称C．是周期函数 D．三、填空题:本大题共3小题，每小题5分，共15分.12．设圆心在轴的圆过点，且与直线相切，则圆的标准方程为.13．在△ABC中，D在边BC上，延长AD到P，使得AP=9，若（m为常数），则CD的长度是．

14．正方形螺旋线是由多个不同大小的正方形旋转而成的美丽图案，如图，已知第1个正方形的边长为，且，依次类推，下一个正方形的顶点恰好在上一个正方形对应边的分点处，记第1个正方形的面积为，第个正方形的面积为，则.四、解答题共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．已知公差不为0的等差数列满足，且.(1)求的通项公式；(2)记是数列的前项和，证明:.16．如图，在直角梯形中，，，，为梯形对角线，将梯形中的部分沿翻折至位置，使所在平面与原梯形所在平面垂直（如图）.（1）求证：平面平面；（2）探究线段上是否存在点，使平面？若存在，求出；若不存在说明理由.17．已知为椭圆的右焦点，过的右顶点和下顶点的直线的斜率为.(1)求的方程；(2)若直线与交于两点（均异于点），记直线和直线的斜率分别为，求的值.18．已知函数.(1)求的图象在点处的切线方程；(2)讨论的单调区间；(3)若对任意，都有，求的最大值.（参考数据：）19．为落实食品安全的“两个责任”，某市的食品药品监督管理部门和卫生监督管理部门在市人民代表大会召开之际特别邀请相关代表建言献策.为保证政策制定的公平合理性，两个部门将首先征求相关专家的意见和建议，已知专家库中共有5位成员，两个部门分别独立地发出批建邀请的名单从专家库中随机产生，两个部门均邀请2位专家，收到食品药品监督管理部门或卫生监督管理部门的邀请后，专家如约参加会议.(1)设参加会议的专家代表共X名，求X的分布列与数学期望.(2)为增强政策的普适性及可行性，在征求专家建议后，这两个部门从网络评选出的100位热心市民中抽取部分市民作为群众代表开展座谈会，以便为政策提供支持和补充意见.已知这两个部门的邀请相互独立，邀请的名单从这100名热心市民中随机产生，食品药品监督管理部门邀请了名代表，卫生监督管理部门邀请了名代表，假设收到食品药品监督管理部门或卫生监督管理部门的邀请后，群众代表如约参加座谈会，且，请利用最大似然估计法估计参加会议的群众代表的人数.（备注:最大似然估计即最大概率估计，即当P（X=k）取值最大时，X的估计值为k）1．B【分析】由极差的定义即可求解.【详解】由题知最小的数据是13，最大的数据是，则极差为，解得.故选：B.2．C【分析】根据集合中元素的互异性，可得四个元素互不相等，结合选项，即可求解.【详解】由题意，集合的四个元素为边长构成一个四边形，根据集合中元素的互异性，可得四个元素互不相等，以四个元素为边长构成一个四边形，结合选项，只能为梯形.故选：C.3．D【分析】根据逐一将选项的每个函数进行验证即可.【详解】解：由题得满足，则称为满足“倒负”变换的函数，A．，不符合要求；B．，不符合要求；C．，不符合要求；D．，符合要求故选：D.4．B【分析】根据弧长公式，结合已知求出角的余弦的近似值，求出CO,最后得到CD即可.【详解】设圆心角，，，所以，，所以．故选：B.5．B【分析】先由已知条件确定，再计算即可得到结果.【详解】由于甲选手投掷3次后，如果得分大于7分，则3次的得分必定是3，3，3或3，3，2（不考虑顺序），所以其概率.而已知，故，所以.从而甲选手投掷一次得1分的概率为.故选：B.关键点点睛：本题的关键点在于利用已知概率逆向确定的值.6．D【分析】根据两个二项式相乘，结合二项式展开式的通项公式，即可求得答案.【详解】由可知，其展开中常数项为，令，r无整数解，不存在含的项，令，故含项为，则的展开式中的常数项为，故选：D.7．A【分析】先确定该棱台的上下底面边长和高，然后解出外接球球心到下底面的距离，最后求出外接球半径和表面积.【详解】由于该棱台是正四棱台，故每条侧棱的长度都相等，且上下底面都是正方形.而下底面的面积是，所以下底面的边长.而，所以上底面的边长.由于每个侧面都是上下底分别为和的等腰梯形，而面积为，故每个等腰梯形的高，所以每个等腰梯形的侧棱长.由于每条侧棱在底面上的投影长都是，所以该棱台的高.最后设该棱台外接球球心到下底面的距离为，则外接球球心到上底面的距离为，并设外接球的半径为.则，，所以，即.解得，所以.所以该外接球的表面积等于.故选：A.关键点点睛：本题的关键点在于设出外接球球心到下底面的距离，再列方程组求解.8．D【分析】将函数变形，换元后得到，研究得到为偶函数，由有唯一零点，得到函数的图象与有唯一交点，结合为偶函数，可得此交点的横坐标为0，代入后求出.【详解】有零点，则，令，则上式可化为，因为恒成立，所以，令，则，故为偶函数，因为有唯一零点，所以函数的图象与有唯一交点，结合为偶函数，可得此交点的横坐标为0，故.故选：D9．AC【分析】利用向量的除法运算和虚部为3，即可求出，再利用复数乘除运算和模的运算以及复平面内对应点的表示，就能作出选项判断.【详解】由的虚部为3，则，解得，所以选项A正确.，所以，所以选项B错误.由为纯虚数，所以选项C正确.由，所以复数在复平面内对应的点为，位于第一象限，所以选项D错误，故选：AC.10．ACD【分析】熟悉椭圆的离心率公式，椭圆焦半径取值范围为，焦半径三角形顶角在上顶点时取最大，先对选项A、B、C作出判断，对于选项D，就需要设出直线的方程为，与椭圆方程联立，再把三角形面积计算公式转化到两根关系上来，最后代入韦达定理得到关于的函数式，从而求出最值.【详解】由题知，该椭圆中，所以离心率为正确；根据椭圆上到焦点距离最大和最小的点是长轴的两个端点得，距离最大为，距离最小为，又直线的斜率不为0，所以，B错误；当椭圆的对称可知当为短轴顶点时，取得最大值，此时，由余弦定理得，故，即上存在一点，使正确；设直线的方程为，联立直线与的方程得，设，则，所以，又点到直线的距离为，所以，令，则，当且仅当，即时，等号成立，所以面积的最大值为正确；故选：ACD.11．BC【分析】由是奇函数可判断A；利用向右平移1个单位后可得可判断B；利用是奇函数，得到关系式，两边同时求导可得，再由可求出的周期可判断C；由可得，即可判断D.【详解】对于A，因为是奇函数，所以，则有，的图象关于点对称，故A错误；对于B，是奇函数，其图象关于原点对称，向右平移1个单位后可得，所以的图象关于点对称，故B正确；对于C，因为是奇函数，所以，所以，所以，所以，所以①，因为，所以②，由①②可得：，所以，所以，，所以是函数的一个周期函数，所以是周期函数，故C正确；对于D，因为，所以，，，，所以，而，故D错误.故选：BC.方法点睛：抽象函数的奇偶性、对称性、周期性常有以下结论（1）关于轴对称，（2）关于中心对称，（3）的一个周期为，（4）的一个周期为.可以类比三角函数的性质记忆以上结论.12．【分析】设圆的圆心为，根据已知条件得出半径为，再将代入即可解出，从而得到答案.【详解】设圆的圆心为，则由于该点到直线的距离，结合圆与直线相切，知圆的半径为.所以圆的方程是.而圆过点，所以，解得.所以圆的标准方程是.故答案为.13．或0【分析】根据题设条件可设，结合与三点共线，可求得，再根据勾股定理求出，然后根据余弦定理即可求解.【详解】∵三点共线，∴可设，∵，∴，即，若且，则三点共线，∴，即，∵，∴，∵,,，∴，设，，则，.∴根据余弦定理可得，，∵，∴，解得，∴的长度为.当时，，重合，此时的长度为，当时，，重合，此时，不合题意，舍去.故0或.本题考查了平面向量知识的应用、余弦定理的应用以及求解运算能力，解答本题的关键是设出．14．【分析】据已知条件可确定，然后使用数列求和方法即可.【详解】由于第个正方形的边长为，而第个正方形的面积等于第个正方形的面积减去四个直角三角形的面积，故.而，故.所以.故答案为.关键点点睛：本题的关键点在于从相似图形中辨别出等比数列.15．(1)(2)证明见解析【分析】（1）设，再用已知条件列出两个方程并解出其中的参数；（2）直接求出，再用裂项法即可.【详解】（1）设，则由已知有，.将第一个等式展开化简可得，故由知.再代入第二个等式可得，解得，从而.故的通项公式是.（2）由于，故.16．（1）见解析（2）存在点，且时，有平面，详见解析【分析】（1）取中点，连结，证明平面，得到平面平面.（2）存在点，且时，有从而得到平面.【详解】（1）取中点，连结，则，故，又平面平面，且平面平面，，平面，∴平面，又平面，∴.又，，∴平面，又平面，∴平面平面.（2）存在点，且时，有平面，连结交于，由知，又，故，又平面，平面，∴平面.本题考查了面面垂直，线面平行，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.17．(1)(2)【分析】（1）根据已知条件列出关于的两个方程，再解出即可；（2）将直线和椭圆联立，利用韦达定理即可化简并求出结果.【详解】（1）由有；而，，故.所以，从而，故.所以的方程是.（2）设，，将直线与联立.将直线代入椭圆，得到.展开即为.故，.由于，故，即，从而.所以.18．(1)；(2)答案见解析；(3).【分析】（1）求得，，再根据导数的几何意义，即可求得切线方程；（2）讨论参数与和的大小关系，在不同情况下，求函数单调性，即可求得单调区间；（3）将问题转化为在上的最大值，根据（2）中所求单调性，求得，再构造函数解关于的不等式即可.【详解】（1），，又，，故的图象在点处的切线方程为，即.（2），又，，则时，当，，单调递增；当，，单调递减；时，当，，单调递减；当，，单调递增；当，，单调递减；时，当，，在单调递减；时，当，，单调递减；当，，单调递增；当，，单调递减.综上所述：当，的单调增区间为，单调减区间为；当，的单调减区间为，单调增区间为；当，的单调减区间为，没有单调增区间；当，的单调减区间为，单调增区间为.（3）若对任意，都有，则在上的最大值；由（2）可知，当，在单调递增，在单调递减，故；令，则，故在单调递增，又，则；故当时，，也即当时，对任意，都有.故的最大值为.关键点点睛：本题第三问处理的关键是，将在区间上恒成立，转化为，再根据第二问中所求函数单调性求得，再构造函数解不等式即可.19．(1)分布列见解析，3.2(2)详见解析.【分析】(1)根据离散型随机变量的概率公式计算得分布列及期望；(2)设收到两个部门邀请的代表的集合为A∪B，人数，，设参加会议的群众代表的人数为Y，则由离散型随机变量的概率公式可得，设，由组合数公式计算得，分类讨论是否为整数即可得出结果.【详解】（1）X的可能取值为2，3，4，则，，，则X的分布列为X234P0.10.60.3（2）设食品药品监督管理部门邀请的代表记为集合A，人数为，卫生监