高中数学1课时作业38

课时作业（三十八）

A级基础达标

1.直线a_l_平面a,b//a,则a与6的关系为（）

A.aLb,且〃与人相交

B.a_Lb,且a与6不相交

C.a±b

D.a与b不一定垂直

C\'：b//a,平行于a内的某一条直线，设为，，

­平面a,且/>'U平面a,aA-h',

：.al.b,但。与b可能相交，也可能异面.]

2.%垂直于以AB为直径的圆所在的平面，C为圆上异于A,8两点的任一点，则下列关系

不正确的是（）

A.PALBCB.BCL平面R1C

C.AC1.PBD.PCVBC

C[由%-L平面AC8=以-LBC,故A不符合题意；由BC_1-玄，BC±AC,PAQAC=A,

可得8c_L平面aC,所以BC_LPC,故B,D不符合题意；无法判断AC_LPB,故C符合

题意.]

3.（2021•贵州省适应性考试）设〃?，〃是两条不同的直线，a,6y是三个不同的平面，给出

下面四个命题：

①若a_L/?,SH，则6（〃>；②若a_L夕，mC.a,nC.fi,则根J_〃；③若小〃a,“Ua,则加〃

n-,④若a〃夕，yC\a=m,yA£=〃，则《7〃”.

其中正确命题的序号是（）

A.①④B.①②

C.②③④D.④

D[对于①，同垂直于一个平面的两个平面可能相交，命题①错误；对于②，在两个互相

垂直的平面内的两条直线可能互相平行，可能相交，也可能异面，命题②错误；对于③，直

线比与〃可能异面，命题③错误；对于④，由面面平行的性质定理知命题④正确.故正确

命题的序号是④，选D.]

4.（2021・定州模拟）己知互相垂直的平面a,夕交于直线/,若直线机，〃满足机〃a,〃斗,则

（）

A.m"IB.m//n

C.M-L/D.，"-L〃

C[因为aA£=/,所以/U.,又”_L£,〃_L/.故选C.]

5.（2021•郑州测试）已知两条不重合的直线m,n和两个不重合的平面a,仇mLa,nU/L给

出下列四个命题：

①若a〃£，则〃?_!_"；②若m_L〃，则a〃丑；③若;”〃〃，则6<_1_夕：④若a_Ly?,则，〃〃".

其中正确命题的个数是（）

A.OB.1C.2D.3

C[依题意，对于①，由“若一条直线与两个平行平面中的一个垂直，则该直线也垂直于另

一个平面”得知，m.L/3,又〃U£,因此〃i_L〃，①正确；对于②，当a_L£时，设an£=〃,

在平面/?内作直线则有,“_La,因此②不正确；对于③，由〃?〃"，〃i-La得力~La,

又〃U尸，因此有aJ-4③正确；对于④，当机J_a,afl夕=〃，aJL夕时，直线“，"不平行，

因此④不正确.综上所述，正确命题的个数为2,故选C.]

6.（2021•兰州重点中学联考）如图，四棱锥P-ABC。的底面是边长为1的正方形，侧棱布=

1,PB=PD=巾,则它的五个面中，互相垂直的面共有（）

A.3对B.4对

C.5对D.6对

221

C[因为A8=AD=AP=1,PB=PD=y[2,所以AB2+Ap2=P82,pJ\+AD=PE>,贝汁心

±AB,PA±AD,可得力_L底面A8C£>,又以U平面出B,%U平面勿。，所以平面以B

JL平面ABC。，平面力。_L平面ABCD又AB_LAD,ADQPA=A,所以A8_L平面B4Z）,所

以平面以B_L平面附。.又8C-L4B,BC-L-PA,ABA勿=4又CDA.AP,ADHAP

=A,所以C»_L平面PBC.又C»_LAO,CD-LAP,ADDAP,ADQAP^A,所以CO_L平面

PAD,所以平面B4C_L平面PCD故选C.]

7.已知平面a与平面£相交，直线机J_a,则（）

A.”内必存在直线与根平行，且存在直线与，*垂直

B.夕内不一定存在直线与机平行，不一定存在直线与加垂直

C./?内不一定存在直线与m平行，但必存在直线与m垂直

D/内必存在直线与加平行，不一定存在直线与，〃垂直

设平面a与平面夕的交线为a,若在平面夕内的直线与a,夕的交线a平行，则该直线与，"

垂直，但厅内不一定存在直线与加平行，只有当a_L4时才存在.故选CJ

8.已知P为△ABC所在平面外一点，且见，PB,PC两两垂直，有下列结论：①R1_L8C；

®PB±AC；®PCLAB；④A8LBC.其中正确的是（）

A.①©③B.①②④

C.②③④D.①②③④

因为以PA-LPC,PBCPC=P,且P8U平面P8C,PCU平面PBC,

所以B4JL平面PBC,

又BCU平面PBC,所以F-LBC.

同理可得P8_LAC,PC_LA8.故①②③正确.]

9.如图，已知线段AB垂直于定圆所在的平面，B,C是圆上的两点，”是点B在AC上的射

影，当点C运动时，点H运动的轨迹（）

A.是圆B.是柳圆

C.是抛物线D.不是平面图形

A[如图过点B作圆的直径80,

A

E

c

连接CZ),AD,则8c_LCO,再过点B作8E_LA£>于E,连接HE,因为ABJ■平面8C。，

所以A8_LCD又8c_LCD,且A8nBC=8,所以CD_L平面ABC,所以CD-LBH.

又BHLAC,且ACnCD=C,所以8H_L平面AC。，所以B"_LAD

又注意到过点B与直线AO垂直的直线都在同一个平面内，义BH工HE,可知，当点C运动

时，点H运动的轨迹是以BE为直径的圆.故选A.］

10.如图，ZBAC=90°,PC_L平面ABC,则在△ABC,△密C的边所在的直线中，与PC垂

直的直线有;与AP垂直的直线有.

［解析］：PCJ■平面ABC,；.PC垂直于直线A8,BC,AC.

\'AB±AC,AB±PC,ACQPC=C,

.MBJ■平面PAC,

：.AB-LAP,与AP垂直的直线是AB.

［答案］AB,BC,ACAB

11.如图所示，在四棱锥P-ABC。中南_1_底面4BCD,且底面各边都相等，M是PC上的一

动点，当点M满足时，平面MBO_L平面PCD(只要填写一个你认为是正

确的条件即可)

［解析］连接AC,2。(图略)，则AC_LBQ,因为刃_L底面4BCD,所以又B4AAC

=A,所以BO_L平面以C,所以所以当DW_LPC(或BA/_LPC)时，即有PC，平面

MBD.

而PCU平面PCD,所以平面MBD_L平面PCD.

［答案］

12.如图，在四棱锥P-A8CO中，PAIJ&^ABCD,ABLAD,ACVCD,乙48c=60。，PA

=AB=BC,E是PC的中点.求证：

(1)C£>_LAE；

(2)POJ_平面ABE.

［证明］(1)因为附-L平面ABC。，COU平面A8CO,所以以_LCD

因为4c_LCO,PAQAC=A,所以CO1•平面RAC.

又AEU平面B4C,所以CDJLAE.

(2)由公=AB=BC,NABC=60。，可得AC=F.

因为E是PC的中点，所以AE_LPC.

由（1）知，AEJLC。，且PCCCO=C,所以AE-L平面PCD

又PDU平面PCD,所以AE±PD.

因为以JL平面ABCD,ABU平面A8C。，

所以抄

又AB_L4O,PAHAD=A,

所以A8_L平面PAD,

又PDU平面附。，所以ABJ-PD

又AECAB=A,所以PCJ■平面A8E.

B级能力提升

13.已知正方体ABCD-A出iGA中，点E,F,G分别是线段。C,功。和。加上动点，给

出下列结论

.4B

①对于任意给定的点E,存在点F,使得4尸，4民

②对于任意给定的点F,存在点E,使得AFLAiE；

③对于任意给定的点G,存在点F,使得AF±BtG；

④对于任意给定的点F,存在点G,使得AFLBG.

其中正确结论的个数是（）

A.0B.1C.2D.3

C[由C£>_L平面AOi,4E在平面内的射影为4。，由三垂线定理，尸_L

AiD,取下为则对于C£>上任意一点£,恒有AFJLA。，故①正确；

对于DA上任意给定的点尸，只要尸不是则A尸与4。都不垂直，故②错误；BA在

平面A£>£Mi中的射影为AOi,设G在AG上的射影为Gi,则81G在平面AQ上的射影为

AGi,故AFJ_B|G=AFJLA1G1,如图：

则对于线段。上任意一点F,都可以在AA上找到一点Gi,使AFJLA1G1,故④正确.对

于A5上任一点Gi,当Gi接近Di时，如图：

使得A尸_L4Gi的点尸在的延长线上，而不在线段。。上.特别地，当Gi为点。।时，

则使得AFJ-AiGi的点尸在。Qi上不存在，故③错误.]

14.如图，四棱锥P-ABC。中，E4_L底面A8CD,底面4BCD为正方形，则下列结论：

①AO〃平面PBC；

②平面B4C_L平面PBD；

③平面力B_L平面PAC；

④平面以。_L平面PDC.

其中正确的结论序号是.

［解析］①由四边形ABCZ)为正方形，可得AD〃BC,

•.,AZX平面PBC,BCU平面PBC,〃平面PBC,

.,.①正确.

②在正方形ABCQ中，ACJ-B。，\,必-L底面ABC。，

：.PA±BD,'：PAC\AC=A,平面％C,

•；BDU平面PBD,，平面出CJL平面PB。，②正确.

③：力J•底面ABC。，：.PAA.AB,PAA.AC,

NBAC为二面角B-朋-C的平面角，

显然NBAC=45°,故平面B4BJ-平面也C不成立，

③不正确.

④在正方形ABCD中，CDJLA。，

;附J•底面ABC。，：.PA±CD,

'：PAC\AD=A,平面物。，

*/CQU平面PCD,：.平面PAD_L平面PDC,

...④正确.

综上可得，①②④正确.

［答案］①②④

15.如图，在四棱锥〜力及力中，川，平面力脚，底面46(第为菱形，£为切的中点.

(1)求证：8。_1_平面以0

⑵若NABC=60。，求证：平面巩B_L平面B1E；

(3)棱PB上是否存在点F,使得CF〃平面B4E?说明理由.

［解］⑴证明因为附1■平面ABC。，所以以_LBD.

因为底面ABC。为菱形，

所以BD±AC.

又％AAC=A,

所以8£>_L平面PAC.

(2)证明：因为以-L平面ABC。，AEU平面A8CD,

所以PA±AE.

因为底面ABCO为菱形，ZABC=60°,且E为CC的中点，所以AE_LCD所以AB_LAE.

又48rllR4=A,所以AEJ■平面以8.

因为AEU平面布旦所以平面布B_L平面

(3)棱PB上存在点F,使得CF〃平面PAE.

取PB的中点F,必的中点G,连接CF,FG,EG,

则FG//AB,且FG=^AB.

因为底面ABCD为菱形，且E为C。的中点，

所以CE〃A8,且CE=^AB.

所以FG〃CE,且FG=CE.

所以四边形CEGF为平行四边形.所以CF//EG.

因为C网平面以E,EGU平面布E,

所以CF〃平面PAE.

16.如图所示，在四棱锥。48位中，底面/腼是60°且边长为a的菱形