2022-2023学年北京市海淀外国语实验学校八年级（下）期中数学试卷

第1页（共1页）2022-2023学年北京市海淀外国语实验学校八年级（下）期中数学试卷一、单选题（每题3分，共24分）1．（3分）下列根式是最简二次根式的（）A． B． C． D．2．（3分）若△ABC中，AB＝c，AC＝b，BC＝a，下列不能判定△ABC为直角三角形的是（）A．a＝32，b＝42，c＝52 B．a：b：c＝5：12：13 C．（c+b）（c﹣b）＝a2 D．∠A+∠B＝∠C3．（3分）下列计算正确的是（）A． B． C． D．4．（3分）如图，直角三角形的三边上分别有一个正方形，其中两个正方形的面积分别是25和169，则字母B所代表的正方形的面积是（）A．144 B．194 C．12 D．135．（3分）如图，已知四边形ABCD，对角线AC和BD相交于O，下面选项不能得出四边形ABCD是平行四边形的是（）A．AB∥CD，且AB＝CD B．AB＝CD，AD＝BC C．AO＝CO，BO＝DO D．AB∥CD，且AD＝BC6．（3分）如图，数轴上点A表示的实数是（）A．﹣1 B． C．+1 D．﹣17．（3分）如图所示的圆柱形杯子的内直径为6cm，内部高度为9cm，小颖把一根直吸管放入杯中，要使吸管不斜滑到杯里，则吸管的长度（整厘米数）最短是（）A．9cm B．10cm C．11cm D．12cm8．（3分）如图，△ABC中，AB＝8cm，AC＝6cm，点E是BC的中点，若AD平分∠BAC，CD⊥AD，线段DE的长为（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm二、填空题（每题3分，共24分）9．（3分）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是．10．（3分）已知点P的坐标是（﹣3，4），则点P到原点O的距离是．11．（3分）在平行四边形中，若一个角为其邻角的2倍，则这个平行四边形中两邻角的度数分别是．12．（3分）如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O的直线分别交AD、BC于点E、F，若平行四边形ABCD的面积为6，则图中阴影部分的面积是．13．（3分）最简二次根式与是同类二次根式，则a的值是．14．（3分）在平面直角坐标系中，已知点A（4，0），B（0，0），C（1，2），则以A，B，C为顶点的平行四边形ABCD的第四个顶点D的坐标为．15．（3分）如图，在▱ABCD中，AB＝5，AD＝7，AE、DF分别平分∠BAD、∠ADC，则EF长为．16．（3分）如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6cm、BC＝8cm，现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则CD的长为．三、解答题（共52分）17．（8分）计算：（1）；（2）．18．（6分）已知△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，BC＝a，AC＝b．（1）如果a＝7，b＝24，求c；（2）如果a＝12，c＝13，求b．19．（4分）图①、图②均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A，点B均在格点上，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上．（1）在图①中，以点A，B，C为顶点画一个等腰三角形．（2）在图②中，以点A，B，D，E为顶点画一个面积为6的平行四边形．20．（6分）已知：△ABC．求作：直线AD，使得AD∥BC．作法：如图．①分别以点A、点C为圆心，大于AC长为半径画弧，两弧相交于点M、点N；②作直线MN交AC于点E；③以点E为圆心，BE长为半径画弧，交射线BE于点D；④作直线AD．所以直线AD就是所求作的直线．（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：连接CD．∵AE＝．BE＝．∴四边形ABCD是平行四边形．（）（填推理的依据）．∴AD∥BC（）（填推理的依据）．21．（5分）如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝2，BC＝，CD＝5，AD＝4，求S四边形ABCD．22．（5分）已知，如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E，F为对角线AC上两点，且AF＝CE，DF∥BE．求证：四边形ABCD为平行四边形．23．（5分）下面是证明三角形中位线定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．已知：如图，△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点．求证：DE∥BC，且DE＝BC．方法一证明：如图，延长DE至点F，使EF＝DE，连接CF．方法二证明：如图，过点A作AM∥BC，过点D作直线MN∥AC交直线AM于M，交BC于N．24．（6分）在等边△ABC中，D，E，F分别是边AB，BC，CA上的动点，满足DE＝EF，且∠DEF＝60°．作点E关于AC的对称点G，连接CG，DG．（1）当点D，E，F在如图1所示的位置时，请在图1中补全图形，并证明四边形DBCG是平行四边形；（2）当AD＜BD，AB＝DE时，求∠BDE的度数．25．（7分）阅读材料，在平面直角坐标系中，已知x轴上两点A（x1，0）、B（x2，0）的距离记作AB＝|x1﹣x2|，如果A（x1，y1）、B（x2，y2）是平面上任意两点，我们可以通过构造直角三角形来求AB间的距离．如图，过A、B分别向x轴、y轴作垂线AM1、AN1和BM2、BN2，垂足分别是M1、N1、M2、N2，直线AN1交BM2于点Q，在Rt△ABQ中，AQ＝|x1﹣x2|，BQ＝|y1﹣y2|，∴AB2＝AQ2+BQ2＝|x1﹣x2|2+|y1﹣y2|2＝（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2．（1）由此得到平面直角坐标系内任意两点A（x1，y1）、B（x2，y2）间的距离公式为：AB＝．（2）直接应用平面内两点间距离公式计算点A（1，﹣2），B（﹣2，2）之间的距离为．利用上面公式解决下列问题：（3）在平面直角坐标系中的两点A（﹣1，3），B（4，1），P为x轴上任一点，求PA+PB的最小值；（4）应用平面内两点间的距离公式，求代数式的最小值（直接写出答案）．四、第二部分26．（3分）我国三国时期的杰出数学家赵爽在注解《周髀算经》时，巧妙地运用弦图证明了勾股定理．“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形．若图中的直角三角形的两条直角边分别是2和4，则中间小正方形的面积占大正方形面积的．27．（3分）使用手机支付宝付款时，常常需要用到密码．嘉淇学完二次根式后，突发奇想，决定用“二次根式法”来产生密码．如，对于二次根式，计算结果为13，中间加一个大写字母X，就得到一个六位密码“169X13”．按照这种产生密码的方法，则利用二次根式产生的六位密码是．28．（6分）阅读与计算：请阅读以下材料，并完成相应的任务．斐波那契（约1170﹣1250）是意大利数学家，他研究了一列数，这列数非常奇妙，被称为斐波那契数列（按照一定顺序排列着的一列数称为数列）．后来人们在研究它的过程中，发现了许多意想不到的结果．在实际生活中，很多花朵（如梅花、飞燕草、万寿菊等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列还有很多有趣的性质，在实际生活中也有广泛的应用．斐波那契数列中的第n个数可以用[（）n﹣（）n]表示（其中，n≥1），这是用无理数表示有理数的一个范例．任务：请根据以上材料，通过计算求出斐波那契数列中的第1个数和第2个数．29．（8分）【阅读理解】我国古人运用各种方法证明勾股定理，如图①，用四个直角三角形拼成正方形，通过证明可得中间也是一个正方形．其中四个直角三角形直角边长分别为a、b，斜边长为c．图中大正方形的面积可表示为（a+b）2，也可表示为c2+4×ab，即（a+b）2＝c2+4×ab，所以a2+b2＝c2．【尝试探究】美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”如图②所示，用两个全等的直角三角形拼成一个直角梯形BCDE，其中△BCA≌△ADE，∠C＝∠D＝90°，根据拼图证明勾股定理．【定理应用】在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边长分别为a、b、c．求证：a2c2+a2b2＝c4﹣b4．

2022-2023学年北京市海淀外国语实验学校八年级（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单选题（每题3分，共24分）1．（3分）下列根式是最简二次根式的（）A． B． C． D．【分析】当二次根式满足：①被开方数不含开的尽方的数或式；②根号内面没有分母．即为最简二次根式，由此即可求解．【解答】解：A选项：，是最简二次根式，故该选项符合题意；B选项：，不是最简二次根式，故该选项不符合题意；C选项：＝＝，不是最简二次根式，故该选项不符合题意；D选项：，不是最简二次根式，故该选项不符合题意．故选：A．【点评】本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的定义是关键．2．（3分）若△ABC中，AB＝c，AC＝b，BC＝a，下列不能判定△ABC为直角三角形的是（）A．a＝32，b＝42，c＝52 B．a：b：c＝5：12：13 C．（c+b）（c﹣b）＝a2 D．∠A+∠B＝∠C【分析】根据勾股定理的逆定理可以判断选项B、C、D是否符合题意，根据三角形内角和，可以判断选项B是否符合题意，本题得以解决．【解答】解：a＝32，b＝42，c＝52，则a2+b2≠c2，故选项A符合题意；当a：b：c＝5：12：13时，设a＝5x，b＝12x，c＝13x，则a2+b2＝（5x）2+（12x）2＝c2，故选项B不符合题意；由（c+b）（c﹣b）＝a2整理得：a2+b2＝c2，故选项C不符合题意；由∠A+∠B＝∠C，可知∠C＝90°，故选项D不符合题意；故选：A．【点评】本题考查勾股定理的逆定理，会用勾股定理的逆定理判断三角形的形状是解答本题的关键．3．（3分）下列计算正确的是（）A． B． C． D．【分析】根据算术平方根、立方根的定义和性质以及二次根式的加减法则逐项判断即得答案．【解答】解：，故本选项计算错误，不符合题意；B、，故本选项计算错误，不符合题意；C、，故本选项计算正确，符合题意；D、，故本选项计算错误，不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了算术平方根、立方根以及二次根式的加减等知识，属于基础题目，熟练掌握上述基本知识是解题的关键．4．（3分）如图，直角三角形的三边上分别有一个正方形，其中两个正方形的面积分别是25和169，则字母B所代表的正方形的面积是（）A．144 B．194 C．12 D．13【分析】根据勾股定理和正方形的面积公式，得字母B所代表的正方形的面积等于其它两个正方形的面积差．【解答】解：由勾股定理得：字母B所代表的正方形的面积＝169﹣25＝144．故选：A．【点评】本题考查了勾股定理、正方形的性质；熟记：以直角三角形的两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积．5．（3分）如图，已知四边形ABCD，对角线AC和BD相交于O，下面选项不能得出四边形ABCD是平行四边形的是（）A．AB∥CD，且AB＝CD B．AB＝CD，AD＝BC C．AO＝CO，BO＝DO D．AB∥CD，且AD＝BC【分析】根据平行四边形的判定逐个进行判断即可．【解答】解：A、能推出四边形ABCD是平行四边形，故本选项错误；B、能推出四边形ABCD是平行四边形，故本选项错误；C、能推出四边形ABCD是平行四边形，故本选项错误；D、不能推出四边形ABCD是平行四边形，故本选项正确；故选：D．【点评】本题考查了平行四边形的判定的应用，能熟记平行四边形的判定定理是解此题的关键，难度适中．6．（3分）如图，数轴上点A表示的实数是（）A．﹣1 B． C．+1 D．﹣1【分析】先根据勾股定理求出斜边，再根据向右就用加法求解．【解答】解：∵＝，所以点A表示的数为：﹣1+，故选：A．【点评】本题考查了实数与数轴，掌握勾股定理是解题的关键．7．（3分）如图所示的圆柱形杯子的内直径为6cm，内部高度为9cm，小颖把一根直吸管放入杯中，要使吸管不斜滑到杯里，则吸管的长度（整厘米数）最短是（）A．9cm B．10cm C．11cm D．12cm【分析】运用勾股定理解题即可．【解答】解：吸管长度为，所以吸管的最短整数是11cm，故选：C．【点评】本题考查勾股定理，掌握勾股定理的内容是解题的关键．8．（3分）如图，△ABC中，AB＝8cm，AC＝6cm，点E是BC的中点，若AD平分∠BAC，CD⊥AD，线段DE的长为（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm【分析】延长CD交AB于F，利用“角边角”证明△ADF和△ADC全等，根据全等三角形对应边相等可得AF＝AC，CD＝FD，再求出BF并判断出DE是△BCF的中位线，然后根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得．【解答】解：如图，延长CD交AB于F，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠FAD，∵CD⊥AD，∴∠ADC＝∠ADF＝90°，在△ADF和△ADC中，，∴△ADF≌△ADC（ASA），∴AF＝AC，CD＝FD，∴BF＝AB﹣AE＝8﹣6＝2cm，又∵点E为BC的中点，∴DE是△BCF的中位线，∴．故选：A．【点评】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，全等三角形的判定与性质，熟记性质并作出辅助线构造成全等三角形是解题的关键．二、填空题（每题3分，共24分）9．（3分）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是x≥﹣6．【分析】根据二次根式有意义的条件得到不等式，求解不等式即可．【解答】解：由式子在实数范围内有意义可得x+6≥0，解得：x≥﹣6，故答案为：x≥﹣6．【点评】本题考查二次根式的性质，熟练掌握二次根式有意义被开方数非负是解题关键．10．（3分）已知点P的坐标是（﹣3，4），则点P到原点O的距离是5．【分析】直接根据勾股定理进行解答即可．【解答】解：∵点P的坐标为（﹣3，4），∴点P到原点的距离＝＝5．故答案为：5．【点评】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．11．（3分）在平行四边形中，若一个角为其邻角的2倍，则这个平行四边形中两邻角的度数分别是120°，60°．【分析】根据平行四边形的性质，在平行四边形中，若一个角为其邻角的2倍，设一个角x，由四边形的内角和定理得到方程2x+4x＝360°，解得x＝60°，则它的邻角是2x＝120°【解答】解：设一个角x，则另一个角为2x．∵平行四边形∴2（x+2x）＝360°，即x＝60°，则2x＝120°∴这个平行四边形中两邻角的度数分别是120°，60°．故答案为120°，60°．【点评】本题考查平行四边形的性质以及四边形的内角和定理．运用平行四边形对边平行的性质，得到邻角互补的结论，这是运用定义求四边形内角度数的常用方法．12．（3分）如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O的直线分别交AD、BC于点E、F，若平行四边形ABCD的面积为6，则图中阴影部分的面积是3．【分析】由平行四边形的性质可知阴影部分面积为平行四边形面积的一半，进而可求出结果．【解答】解：∵平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∴S△AFO＝S△CEO，∴阴影部分面积等于△BCD的面积，即为▱ABCD面积的一半，∴阴影部分面积为＝3，故答案为：3．【点评】本题考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形对边平行且相等的性质是解题关键．13．（3分）最简二次根式与是同类二次根式，则a的值是2．【分析】根据同类二次根式的定义得出3a﹣4＝2，求出即可．【解答】解：∵最简二次根式与是同类二次根式，∴3a﹣4＝2，解得：a＝2，故答案为：2．【点评】本题考查了同类二次根式和最简二次根式，能根据同类二次根式的定义得出3a﹣4＝2是解此题的关键，注意：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式．14．（3分）在平面直角坐标系中，已知点A（4，0），B（0，0），C（1，2），则以A，B，C为顶点的平行四边形ABCD的第四个顶点D的坐标为（5，2）．【分析】根据题意画出图形，根据平行四边形的性质将点C向右平移4个单位得到D（5，2），即可求解．【解答】解：∵点A（4，0），B（0，0），C（1，2），ABCD是平行四边形，∴CD＝BA＝4，AB∥CD，将点C向右平移4个单位得到D（5，2），如图所示，故答案为：（5，2）．【点评】本题考查了坐标与图形性质、平行四边形的性质，数形结合是解答本题的关键．15．（3分）如图，在▱ABCD中，AB＝5，AD＝7，AE、DF分别平分∠BAD、∠ADC，则EF长为3．【分析】由平行四边形的性质可得AD∥BC，结合角平分线的定义可求得BE＝AB、CD＝CF，再由线段的和差可求得EF．【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，AB＝CD，AD＝BC，∴∠DAE＝∠AEB，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE，∴∠BAE＝∠AEB，∴BE＝BA＝5，同理CF＝CD＝5，∴EF＝BE+CF﹣BC＝5+5﹣7＝3，故答案为：3．【点评】本题主要考查平行四边形的性质，利用条件求得AB＝BE＝CF是解题的关键．16．（3分）如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6cm、BC＝8cm，现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则CD的长为cm．【分析】首先根据折叠的性质可得AD＝BD，设CD＝xcm，则AD＝BD＝（8﹣x）cm，根据勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】解：由折叠的性质得：AD＝BD，设CD＝xcm，则AD＝BD＝（8﹣x）cm，由勾股定理得：62+x2＝（8﹣x）2，解得：x＝．故答案为：cm．【点评】此题主要考查了翻折变换的性质、勾股定理；熟练掌握翻折变换的性质，由勾股定理得出方程是解决问题的关键．三、解答题（共52分）17．（8分）计算：（1）；（2）．【分析】（1）首先根据二次根式的性质化简，再进行加减运算，即可求解；（2）首先根据完全平方及平方差公式进行运算，再进行加减运算，即可求解．【解答】解：（1）＝＝；（2）＝＝．【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握和运用各运算法则是解决本题的关键．18．（6分）已知△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，BC＝a，AC＝b．（1）如果a＝7，b＝24，求c；（2）如果a＝12，c＝13，求b．【分析】（1）利用勾股定理计算c＝；（2）利用勾股定理计算b＝．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，由勾股定理得：c＝＝＝25；（2）在Rt△ABC中，由勾股定理得：b＝＝＝5．【点评】本题考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．即：如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．注意勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．19．（4分）图①、图②均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A，点B均在格点上，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上．（1）在图①中，以点A，B，C为顶点画一个等腰三角形．（2）在图②中，以点A，B，D，E为顶点画一个面积为6的平行四边形．【分析】（1）根据等腰三角形的定义画出图形即可（答案不唯一）．（2）作底为2，高为3的平行四边形即可．【解答】解：（1）如图①中，△ABC即为所求（答案不唯一）．（2）如图②中，四边形ABDE即为所求．【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，等腰三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题．20．（6分）已知：△ABC．求作：直线AD，使得AD∥BC．作法：如图．①分别以点A、点C为圆心，大于AC长为半径画弧，两弧相交于点M、点N；②作直线MN交AC于点E；③以点E为圆心，BE长为半径画弧，交射线BE于点D；④作直线AD．所以直线AD就是所求作的直线．（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：连接CD．∵AE＝EC．BE＝ED．∴四边形ABCD是平行四边形．（对角线互相平分的四边形是平行四边形）（填推理的依据）．∴AD∥BC（平行四边形的对边平行）（填推理的依据）．【分析】（1）根据要求作出图形即可；（2）证明四边形ABCD是平行四边形，可得结论．【解答】（1）解：如图，直线AD即为所求；（2）证明：连接CD．∵AE＝EC．BE＝ED．∴四边形ABCD是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形），∴AD∥BC（平行四边形的对边平行），故答案为：EC，ED，对角线互相平分的四边形是平行四边形，平行四边形的对边平行．【点评】本题考查作图﹣基本作图，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．21．（5分）如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝2，BC＝，CD＝5，AD＝4，求S四边形ABCD．【分析】根据勾股定理求出AC的长，再利用勾股定理的逆定理证明△ACD是直角三角形，然后利用四边形ABCD的面积＝△ABC的面积+△ACD的面积，进行计算即可解答．【解答】解：如图：∵∠B＝90°，AB＝2，BC＝，∴AC＝＝＝3，∵CD＝5，AD＝4，∴AC2+AD2＝32+42＝25，CD2＝52＝25，∴AC2+AD2＝CD2，∴△CAD是直角三角形，∴∠CAD＝90°，∴四边形ABCD的面积＝△ABC的面积+△ACD的面积＝AB•BC+AC•AD＝×2×+×3×4＝+6，∴S四边形ABCD为+6．【点评】本题考查了勾股定理与勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．22．（5分）已知，如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E，F为对角线AC上两点，且AF＝CE，DF∥BE．求证：四边形ABCD为平行四边形．【分析】首先证明△CEB≌△AFD可得AD＝BC，再由条件AD∥BC可利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形ABCD为平行四边形．【解答】证明：∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠BCA，∵DF∥BE，∴∠DFA＝∠BEC，在△AFD和△CEB中，∴△AFD≌△CEB（ASA），∴AD＝CB，∵AD∥BC，∴四边形ABCD为平行四边形．【点评】此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．23．（5分）下面是证明三角形中位线定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．已知：如图，△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点．求证：DE∥BC，且DE＝BC．方法一证明：如图，延长DE至点F，使EF＝DE，连接CF．方法二证明：如图，过点A作AM∥BC，过点D作直线MN∥AC交直线AM于M，交BC于N．【分析】选择方法一：根据题意，先证明△ADE≌△CFE，然后证明四边形DBCF是平行四边形，即可得出结论．【解答】解：选择方法一，证明如下：根据题意，如图：延长DE到F点，使DE＝EF，∵E是AC的中点，∴AE＝EC．在△ADE与△CFE中，，∴△ADE≌△CFE（SAS）．∴AD＝CF，∠ADE＝∠CFE．∴AB∥CF，∵D是AB的中点，∴BD＝AD，∴BD∥CF，∴四边形DBCF是平行四边形，∴DF∥BC，DF＝BC，∴DE∥BC，DE＝BC．【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键．24．（6分）在等边△ABC中，D，E，F分别是边AB，BC，CA上的动点，满足DE＝EF，且∠DEF＝60°．作点E关于AC的对称点G，连接CG，DG．（1）当点D，E，F在如图1所示的位置时，请在图1中补全图形，并证明四边形DBCG是平行四边形；（2）当AD＜BD，AB＝DE时，求∠BDE的度数．【分析】（1）根据题意即可补全图形；然后证明△BDE≌△CEF可得CE＝BD，进而可以解决问题；（2）根据题意证明△DEF是等边三角形，可得DE＝DF，由点E，点G关于AC对称，可得EF＝GF，∠FEC＝∠FGC，所以DF＝GF，进而可以解决问题．【解答】解：（1）如图1，即为补全的图形，证明：在等边△ABC中，∠A＝∠B＝∠ACB＝60°，∵点E，点G关于AC对称，∴∠ACG＝∠ACB＝60°，CE＝CG，∴∠A＝∠ACG，∴AB∥CG，即BD∥CG，∵∠DEF＝60°，∠BED+∠CEF+∠DEF＝180°，∴∠BED+∠CEF＝120°，在△BDE中，∠BDE+∠BED＝180°﹣∠B＝120°，∴∠BDE＝∠CEF，在△BDE与△CEF中，，∴△BDE≌△CEF（AAS），∴CE＝BD，∴CG＝CE＝BD，∵BD∥CG，∴四边形DBCG是平行四边形；（2）∵四边形DBCG是平行四边形，∴BC＝DG，∠DGC＝∠B＝60°，∵BC＝AB，AB＝DE，∴DG＝DE，∵DE＝EF，∠DEF＝60°，∴△DEF是等边三角形，∴DE＝DF，∵点E，点G关于AC对称，∴EF＝GF，∠FEC＝∠FGC，∴DF＝GF，∴DG＝DF＝GF，在△DFG中，DG2＝DF2+GF2，∴∠DFG＝90°，∵DF＝GF，∴∠FDG＝∠FGD＝45°，∴∠CGF＝∠CGD﹣∠FGD＝15°，∴∠BDE＝∠CEF＝∠CGF＝15°．【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到△BDE≌△CEF．25．（7分）阅读材料，在平面直角坐标系中，已知x轴上两点A（x1，0）、B（x2，0）的距离记作AB＝|x1﹣x2|，如果A（x1，y1）、B（x2，y2）是平面上任意两点，我们可以通过构造直角三角形来求AB间的距离．如图，过A、B分别向x轴、y轴作垂线AM1、AN1和BM2、BN2，垂足分别是M1、N1、M2、N2，直线AN1交BM2于点Q，在Rt△ABQ中，AQ＝|x1﹣x2|，BQ＝|y1﹣y2|，∴AB2＝AQ2+BQ2＝|x1﹣x2|2+|y1﹣y2|2＝（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2．（1）由此得到平面直角坐标系内任意两点A（x1，y1）、B（x2，y2）间的距离公式为：AB＝．（2）直接应用平面内两点间距离公式计算点A（1，﹣2），B（﹣2，2）之间的距离为5．利用上面公式解决下列问题：（3）在平面直角坐标系中的两点A（﹣1，3），B（4，1），P为x轴上任一点，求PA+PB的最小值；（4）应用平面内两点间的距离公式，求代数式的最小值（直接写出答案）．【分析】（1）（2）直接利用两点之间距离公式直接求出即可；（3）利用轴对称求最短路线方法得出P点位置，进而求出PA+PB的最小值；（4）根据原式表示的几何意义是点（x，y）到点（﹣2，﹣4）和（3，1）的距离之和，当点（x，y）在以（﹣2，﹣4）和（3，1）为端点的线段上时其距离之和最小，进而求出即可．【解答】解：（1）阅读材料，AB＝．故答案为：．（2）∵平面直角坐标系内任意两点A（x1，y1），B（x2，y2）间的距离公式为：．∴A（1，﹣2），B（﹣2，2）之间的距离为：AB＝＝5；故答案为：5；（3）作点B关于x轴对称的点B′，连接AB′，直线AB′于x轴的交点即为所求的点P，PA+PB的最小值就是线段AB′的长度，然后根据两点间的距离公式即可得到结论．∵B（4，1），∴B′（4，﹣1），∵A（1，3），∴PA+PB＝PA+PB′＝AB′＝＝，即为PA+PB的最小值为．（4）原式＝，故原式表示点（x，y）到（0，2）和（3，1）的距离之和．由两点之间线段最短，点（x，y）在以（0，2）和（3，1）为端点的线段上时，原式值最小．利用公式，原式＝．【点评】此题主要考查了利用轴对称求最值问题以及两点之间距离公式，正确转化代数式为两点之间距离问题是解题关键．四、第二部分26．（3分）我国三国时期的杰出数学家赵爽在注解《周髀算经》时，巧妙地运用弦图证明了勾股定理．“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形．若图中的直角三角形的两条直角边分别是2和4，则中间小正方形的面积占大正方形面积的．【分析】首先利用勾股定理求得大正方形的面积，然后利用分割法求得中间小正方形的面积，则易得答案．【解答】解：如图，a＝2，b＝4．由勾股定理知，c2＝a2+b2＝22+42＝20．所以大正方形的面积为20．所以中间小正方形的面积为：20﹣4×＝4．所以＝．所以中间小正方形的面积占大正方形面积的．故答案为：．【