2022-2023学年北京市通州区八年级（下）期中数学试卷

第1页（共1页）2022-2023学年北京市通州区八年级（下）期中数学试卷一、选择题（本题共8个小题，每小题2分，共16分）每题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．（2分）函数的自变量x的取值范围是（）A．x＞2 B．x≠2 C．x≥2 D．全体实数2．（2分）如图1所示的是被称作“通州八景”之一的燃灯佛舍利塔，它巍峨挺拔，雄伟壮观，始建于北周年间，是北京地区建造年代最早、最高大的佛塔之一．燃灯佛舍利塔为八角形十三层砖木结构密檐式塔，十三层均为正八边形砖木结构，图2所示的正八边形是其中一层的平面示意图，其内角和为（）A．135° B．360° C．1080° D．190°3．（2分）如图所示是围棋棋盘的一部分，将它放置在平面直角坐标系中，若白棋②的坐标是（﹣2，1），白棋③的坐标是（﹣1，﹣3），则黑棋①的坐标是（）A．（﹣3，﹣5） B．（0，0） C．（1，﹣4） D．（2，﹣2）4．（2分）如图，在▱ABCD中，AB＝AC，∠CAB＝40°，则∠D的度数是（）A．70° B．60° C．50° D．40°5．（2分）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠AOD＝120°，AB＝4，则矩形对角线的长为（）A．4 B．8 C． D．6．（2分）下列命题正确的是（）A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B．对角线相等的四边形是矩形 C．有一组邻边相等的四边形是菱形 D．有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形7．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形OABC，O为坐标原点，点C在x轴上，A的坐标为（﹣3，4），则顶点B的坐标是（）A．（﹣5，4） B．（﹣6，3） C．（﹣8，4） D．（2，4）8．（2分）如图，若点P为函数y＝kx+b（﹣4≤x≤4）图象上的一动点，m表示点P到原点O的距离，则下列图象中，能表示m与点P的横坐标x的函数关系的图象大致是（）A． B． C． D．二、填空题（本题共8个小题，每小题2分，共16分）9．（2分）在平面直角坐标系xOy中，点P（﹣3，1）关于x轴的对称点的坐标是．10．（2分）如图，在▱ABCD中，点E在AD上，BE平分∠ABC，若BC＝3，DE＝2，则AB＝．11．（2分）函数y＝kx（k≠0）的图象上有两个点A1（x1，y1），A2（x2，y2），当x1＜x2时，y1＞y2，写出一个满足条件的函数解析式．12．（2分）如图，在平行四边形ABCD中，过AC中点O的直线分别交边BC，AD于点E，F，连接AE，CF．只需添加一个条件即可证明四边形AECF是菱形，这个条件可以是（写出一个即可）．13．（2分）如图，直线y＝x+b与直线y＝kx+6交于点P（3，5），则关于x、y的方程组的解是．14．（2分）图1中菱形的两条对角线长分别为6和8，将其沿对角线裁分为四个三角形，将这四个三角形无重叠地拼成如图2所示的图形．则图1中菱形的面积等于；图2中间的小四边形的面积等于．15．（2分）如图，矩形纸片ABCD，AB＝4，AD＝3，折叠纸片使AD边与对角线BD重合，折痕为DE，则A'B＝，AE＝．16．（2分）如图，点A，B，C在一次函数y＝﹣2x+m的图象上，它们的横坐标依次为﹣1，0.5，2．分别过这些点作x轴与y轴的垂线，则图中阴影部分的面积之和是．三、解答题（本题共68分；第17题5分；第18题6分；第19题5分；第20-22题每题6分；第23题5分；第24题6分；第25题7分；第26-27题每题8分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．（5分）如图，在▱ABCD中，DE⊥AC于点E，BF⊥AC于点F．求证：AF＝CE．18．（6分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝2x﹣4的图象与x轴、y轴分别交于点A、B．（1）求点A，B的坐标；（2）画出该函数的图象；（3）点P（0，2），连结AP，求△PAB的面积．19．（5分）已知：如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°．求作：矩形ABCD．作法：①分别以点A，C为圆心，大于的同样长为半径画弧，两弧分别交于点E，F，作直线EF交AC于点O；②连接BO，并延长BO至点D，使OD＝OB；③连接AD，CD．则四边形ABCD就是所求作的矩形．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：连结AE，CE，AF，CF．∵AE＝CE，AF＝CF．∴EF是线段AC的垂直平分线．∴AO＝．又∵DO＝BO，∴四边形ABCD是平行四边形（）（填推理的依据）．∵∠ABC＝90°，∴四边形ABCD是矩形（）（填推理的依据）．20．（6分）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x﹣3与直线y＝kx（k≠0）交于点A（1，n）．（1）求点A的坐标及直线y＝kx（k≠0）的表达式；（2）若P是坐标轴上一点（不与点O重合），且满足PA＝OA，求点P的坐标．21．（6分）定义：若点P为四边形ABCD内一点，且满足∠APB+∠CPD＝180°，则称点P为四边形ABCD的一个“互补点”．（1）如图1，点P为四边形ABCD的一个“互补点”，若∠APD＝60°，则∠BPC＝；（2）如图2，点P是菱形ABCD对角线BD上的任意一点（不与点B，D重合），求证：点P为菱形ABCD的一个“互补点”．22．（6分）为鼓励市民节约用水，某市自来水公司按分段收费标准收费，如图反应的是每月水费y（元）与用水量x（吨）之间的函数关系．（1）小乐家五月份用水8吨，应交水费多少元？（2）按上述分段收费标准，小乐家三月份交水费36元，问三月份用水多少吨？23．（5分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A（4，2），点B（0，﹣2）．（1）求k，b的值；（2）当x＞1时，对于x的每一个值，函数y＝nx（n≠0）的值小于一次函数y＝kx+b（k≠0）的值，直接写出n的取值范围．24．（6分）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC，且DE＝AC，连接AE、CE．（1）求证：四边形OCED为矩形；（2）若菱形ABCD的边长为2，∠BCD＝60°，求AE的长．25．（7分）探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．结合已有的学习经验，请画出函数的图象并探究该函数的性质．（1）绘制函数图象①列表：下表是x与y的几组对应值，其中m＝；x…﹣3﹣2﹣10123…y…12343m1…②描点：根据表中的数值描点（x，y），补充描出点（1，m）；③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出函数图象．（2）探究函数性质写出函数的一条性质：．（3）运用函数图象及性质①观察你所画的函数图象，回答问题：若点A（a，c），B（b，c）为该函数图象上不同的两点，则a+b＝；②根据函数图象，写出不等式的解集是．26．（8分）如图，正方形ABCD中，点P是边CD上的一点（不与点C、D重合），连接BP，∠PBC＝α，O为BP的中点，过点P作PE⊥BD于E，连接EO，AE．（1）依题意补全图形；（2）求∠POE的大小（用含a的式子表示）；（3）用等式表示线段AE与BP之间的数量关系，并证明．27．（8分）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和点M（m，0），给出如下定义：如果|x﹣m|≤k且|y|≤k（k为正整数），那么称点P为点M关于坐标轴的“k倍距”．（1）①在点，P2（0，﹣2），P3（﹣1，﹣1）中，点为原点O关于坐标轴的“1倍距”；②如果点P在函数y＝2x+b的图象上，且为原点O关于坐标轴的“2倍距”，求b的取值范围．（2）如果直线上存在点P（x，y）是点M（m，0）关于坐标轴的“2倍距”，直接写出m的取值范围．

2022-2023学年北京市通州区八年级（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共8个小题，每小题2分，共16分）每题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．（2分）函数的自变量x的取值范围是（）A．x＞2 B．x≠2 C．x≥2 D．全体实数【分析】根据分母不等于0列式计算，即可得从自变量x的取值范围．【解答】解：由题意得，x﹣2≠0，解得x≠2．故选：B．【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．2．（2分）如图1所示的是被称作“通州八景”之一的燃灯佛舍利塔，它巍峨挺拔，雄伟壮观，始建于北周年间，是北京地区建造年代最早、最高大的佛塔之一．燃灯佛舍利塔为八角形十三层砖木结构密檐式塔，十三层均为正八边形砖木结构，图2所示的正八边形是其中一层的平面示意图，其内角和为（）A．135° B．360° C．1080° D．190°【分析】n边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，代入公式就可以求出内角和．【解答】解：内角和是：（8﹣2）×180°＝1080°．故选：C．【点评】本题主要考查了多边形的内角和公式，掌握n边形的内角和公式是解题关键．3．（2分）如图所示是围棋棋盘的一部分，将它放置在平面直角坐标系中，若白棋②的坐标是（﹣2，1），白棋③的坐标是（﹣1，﹣3），则黑棋①的坐标是（）A．（﹣3，﹣5） B．（0，0） C．（1，﹣4） D．（2，﹣2）【分析】利用白棋②和白棋③的坐标坐标建立符合条件的坐标系，以此即可确定黑棋①的坐标．【解答】解：建立如图所示的坐标系，则黑棋①的坐标是（2，﹣2）．故选：D．【点评】本题考查了坐标确定位置，解题关键是根据已知点的坐标确定坐标原点、x轴和y轴的位置及方向，或则直接利用坐标系中的移动法则（上加下减，右加左减）来确定坐标．4．（2分）如图，在▱ABCD中，AB＝AC，∠CAB＝40°，则∠D的度数是（）A．70° B．60° C．50° D．40°【分析】由等腰三角形的性质和三角形内角和定理得∠B＝∠ACB＝70°，再由平行四边形的对角相等即可得出结论．【解答】解：∵AB＝AC，∠CAB＝40°，∴∠B＝∠ACB＝（180°﹣∠CAB）＝×（180°﹣40°）＝70°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠D＝∠B＝70°，故选：A．【点评】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，熟练掌握平行四边形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．5．（2分）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠AOD＝120°，AB＝4，则矩形对角线的长为（）A．4 B．8 C． D．【分析】根据∠AOD＝120°，可得∠AOB＝60°，根据矩形的性质可得，OB＝OA＝OD＝OC，可知△AOB是等边三角形，求出OB的长，即可确定矩形的对角线的长．【解答】解：∵∠AOD＝120°，∴∠AOB＝60°，在矩形ABCD中，OB＝OA＝OD＝OC，∴△AOB是等边三角形，∵AB＝4，∴OB＝4，∴BD＝8，故选：B．【点评】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握这些知识是解题的关键．6．（2分）下列命题正确的是（）A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B．对角线相等的四边形是矩形 C．有一组邻边相等的四边形是菱形 D．有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形【分析】根据平行四边形的判定方法对A进行判断；根据矩形的判定方法对B进行判断；根据菱形的判定方法对C进行判断；根据正方形的判定方法对D进行判断．【解答】解：A、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，所以A选项为假命题；B、对角线相等的平行四边形是矩形，所以B选项为假命题；C、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，所以C选项为假命题；D、有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形，所以D选项为真命题．故选：D．【点评】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．是熟练掌握特殊四边形的判定定理是关键．7．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形OABC，O为坐标原点，点C在x轴上，A的坐标为（﹣3，4），则顶点B的坐标是（）A．（﹣5，4） B．（﹣6，3） C．（﹣8，4） D．（2，4）【分析】根据勾股定理得到OA＝＝5，根据菱形的性质得到AO＝CB＝OC＝AB＝5，于是求出点B的坐标即可．【解答】解：∵A（﹣3，4），∴OA＝＝5，∵四边形OABC是菱形，∴AO＝CB＝OC＝AB＝5，则点B的横坐标为﹣3﹣5＝﹣8，故B的坐标为：（﹣8，4），故选：C．【点评】本题考查了菱形的性质，解答本题的关键是根据菱形的性质求出点B的坐标．8．（2分）如图，若点P为函数y＝kx+b（﹣4≤x≤4）图象上的一动点，m表示点P到原点O的距离，则下列图象中，能表示m与点P的横坐标x的函数关系的图象大致是（）A． B． C． D．【分析】当OP垂直于直线y＝kx+b时，由垂线段最短可知：OP＜2，故此函数在y轴的左侧有最小值，且最小值小于2，从而得出答案．【解答】解：如图所示：过点O作OP垂直于直线y＝kx+b，∵OP垂直于直线y＝kx+b，∴OP＜2，且点P的横坐标小于0．故此当x＜0时，函数有最小值，且最小值小于2，根据选项可知B符合题意．故选：B．【点评】本题主要考查的是动点问题的函数图象，由垂线段最短判定出当x＜0时，函数有最小值，且最小值小于2是解题的关键．二、填空题（本题共8个小题，每小题2分，共16分）9．（2分）在平面直角坐标系xOy中，点P（﹣3，1）关于x轴的对称点的坐标是（﹣3，﹣1）．【分析】根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可直接得到答案．【解答】解：点P（﹣3，1）关于x轴的对称点的坐标为（﹣3，﹣1），故答案为：（﹣3，﹣1）．【点评】此题主要考查了关于y轴对称点的坐标特点，掌握点的坐标的变化规律是解题的关键．10．（2分）如图，在▱ABCD中，点E在AD上，BE平分∠ABC，若BC＝3，DE＝2，则AB＝1．【分析】根据平行四边形的性质得到AD∥BC，AD＝BC＝3，根据平行线的性质得到∠AEB＝∠CBE，根据角平分线的定义得到∠ABE＝∠CBE，等量代换得到∠AEB＝∠ABE，于是得到结论．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC＝3，∴∠AEB＝∠CBE，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，∴∠AEB＝∠ABE，∴AE＝AB，∵DE＝2，∴AE＝AD﹣DE＝1，∴AB＝AE＝1，故答案为：1．【点评】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．11．（2分）函数y＝kx（k≠0）的图象上有两个点A1（x1，y1），A2（x2，y2），当x1＜x2时，y1＞y2，写出一个满足条件的函数解析式y＝﹣x（k＜0即可）．【分析】根据A1（x1，y1），A2（x2，y2）满足x1＜x2时，y1＞y2判断出函数图象的增减性即可．【解答】解：∵A1（x1，y1），A2（x2，y2）满足x1＜x2时，y1＞y2，∴函数y＝kx（k≠0）满足k＜0∴y＝﹣x（k＜0即可）；故答案为：y＝﹣x（k＜0即可）．【点评】本题考查的是一次函数的增减性，即一次函数y＝kx+b（k≠0）中，当k＞0，y随x的增大而增大；当k＜0，y随x的增大而减小．12．（2分）如图，在平行四边形ABCD中，过AC中点O的直线分别交边BC，AD于点E，F，连接AE，CF．只需添加一个条件即可证明四边形AECF是菱形，这个条件可以是AE＝AF（答案不唯一）（写出一个即可）．【分析】证△AOF≌△OCE（AAS），得OF＝OE，再证四边形AECF是平行四边形，然后由菱形的判定即可得出结论．【解答】解：只需添加一个条件即可证明四边形AECF是菱形，这个条件可以是：AE＝AF，理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠OAF＝∠OCE，∠OFA＝∠OEC，∵O是AC的中点，∴OA＝OC，在△AOF和△OCE中，，∴△AOF≌△OCE（AAS），∴OF＝OE，∴四边形AECF是平行四边形，又∵AE＝AF，∴平行四边形AECF是菱形，故答案为：AE＝AF（答案不唯一）．【点评】本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定，证明三角形全等是解题的关键．13．（2分）如图，直线y＝x+b与直线y＝kx+6交于点P（3，5），则关于x、y的方程组的解是．【分析】一个一次函数解析式可以看作是一个二元一次方程，两个一次函数解析式可以组合成一个二元一次方程组，方程组的解就是两函数图象的交点．【解答】解：∵直线y＝x+b与直线y＝kx+6交于点P（3，5），∴方程组的解是．故答案为：．【点评】此题主要考查了二元一次方程组和一次函数的关系，关键是掌握方程组的解就是两函数图象的交点．14．（2分）图1中菱形的两条对角线长分别为6和8，将其沿对角线裁分为四个三角形，将这四个三角形无重叠地拼成如图2所示的图形．则图1中菱形的面积等于24；图2中间的小四边形的面积等于1．【分析】根据菱形的面积等于对角线长乘积的一半，求出图1菱形的面积，再根据菱形的对角线长可得菱形边长为5，进而可得图2中间的小四边形的面积是边长为5的正方形的面积减去菱形的面积．【解答】解：∵图1中菱形的两条对角线长分别为6和8，∴菱形的面积等于6×8＝24，菱形的边长等于＝5，∴图2中间的小四边形的面积等于25﹣24＝1．故答案为：24，1．【点评】本题考查了图形的剪拼、菱形的性质，解决本题的关键是掌握菱形的性质．15．（2分）如图，矩形纸片ABCD，AB＝4，AD＝3，折叠纸片使AD边与对角线BD重合，折痕为DE，则A'B＝2，AE＝．【分析】设AE＝x＝A'E，则BE＝AB﹣AE＝4﹣x，利用勾股定理得A'E2+A'B2＝BE2，代入即可解决问题．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，在Rt△ABD中，由勾股定理得，BD＝＝5，∵折叠纸片使AD边与对角线BD重合，∴A'D＝AD＝3，A'E＝AE，∠DA'E＝∠A＝90°，∴A'B＝BD﹣A'D＝2，∠BA'E＝90°，设AE＝x＝A'E，则BE＝AB﹣AE＝4﹣x，在Rt△A'BE中，由勾股定理得，A'E2+A'B2＝BE2，∴x2+22＝（4﹣x）2，解得x＝，∴AE＝，故答案为：2；．【点评】本题主要考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握翻折的性质是解题的关键．16．（2分）如图，点A，B，C在一次函数y＝﹣2x+m的图象上，它们的横坐标依次为﹣1，0.5，2．分别过这些点作x轴与y轴的垂线，则图中阴影部分的面积之和是3.25．【分析】本题可以利用A、B、C以及直线与y轴交点这4个点的坐标来分别计算阴影部分的面积，可将m看作一个常量．【解答】解：如图所示，将A、B、C的横坐标代入到一次函数中，解得A（﹣1，m+2），B（0.5，m﹣1），C（2，m﹣4），∵直线y＝﹣2x+m交y轴于F，∴F（0，m），∴EF＝m+2﹣m＝2，∵BQ＝m﹣1﹣（m﹣4）＝3，QC＝2﹣0.5＝1.5，AE＝0﹣（﹣1）＝1．∴可求的阴影部分面积为：S＝×1×2+×3×1.5＝3.25．故答案为：3.25．【点评】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，掌握两点间距离公式是解题关键．三、解答题（本题共68分；第17题5分；第18题6分；第19题5分；第20-22题每题6分；第23题5分；第24题6分；第25题7分；第26-27题每题8分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．（5分）如图，在▱ABCD中，DE⊥AC于点E，BF⊥AC于点F．求证：AF＝CE．【分析】根据平行四边形的性质结合AAS证明△DAE≌△BCF即可得出结论．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠DAE＝∠BCF，在Rt△DAE和Rt△BCF中，，∴△DAE≌△BCF（AAS），∴AE＝CF，∴AF＝CE．【点评】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，证明△DAE≌△BCF是解题的关键．18．（6分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝2x﹣4的图象与x轴、y轴分别交于点A、B．（1）求点A，B的坐标；（2）画出该函数的图象；（3）点P（0，2），连结AP，求△PAB的面积．【分析】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出点A，B的坐标；（2）描点、连线，画出函数图象；（3）由点A，B，P的坐标，可求出PB，OA的长，再利用三角形的面积公式，可求出△PAB的面积．【解答】解：（1）当y＝0时，2x﹣4＝0，解得：x＝2，∴点A的坐标为（2，0）；当x＝0时，y＝2×0﹣4＝﹣4，∴点B的坐标为（0，﹣4）；（2）描点、连线，画出函数图象，如图所示；（3）∵A（2，0），B（0，﹣4），P（0，2），∴OA＝2，PB＝2﹣（﹣4）＝6，∴S△PAB＝PB•OA＝×6×2＝6，∴△PAB的面积为6．【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的图象以及三角形的面积，解题的关键是：（1）利用一次函数图象上点的坐标特征，求出一次函数图象与两坐标轴的交点坐标；（2）描点、连线，画出函数图象；（3）利用三角形的面积公式，求出△PAB的面积．19．（5分）已知：如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°．求作：矩形ABCD．作法：①分别以点A，C为圆心，大于的同样长为半径画弧，两弧分别交于点E，F，作直线EF交AC于点O；②连接BO，并延长BO至点D，使OD＝OB；③连接AD，CD．则四边形ABCD就是所求作的矩形．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：连结AE，CE，AF，CF．∵AE＝CE，AF＝CF．∴EF是线段AC的垂直平分线．∴AO＝CO．又∵DO＝BO，∴四边形ABCD是平行四边形（对角线互相平分的四边形为平行四边形）（填推理的依据）．∵∠ABC＝90°，∴四边形ABCD是矩形（有一个角为直角的平行四边形为矩形）（填推理的依据）．【分析】（1）根据几何语言画出对应的几何图形；（2）先根据线段垂直平分线的判定方法得到EF是线段AC的垂直平分线得到AO＝CO，则可根据对角线互相平分的四边形为平行四边形判定四边形ABCD是平行四边形，然后利用∠ABC＝90°可得到四边形ABCD是矩形．【解答】（1）解：四边形ABCD所求作；（2）证明：连结AE，CE，AF，CF，∵AE＝CE，AF＝CF．∴EF是线段AC的垂直平分线．∴AO＝CO，又∵DO＝BO，∴四边形ABCD是平行四边形（对角线互相平分的四边形为平行四边形），∵∠ABC＝90°，∴四边形ABCD是矩形（有一个角为直角的平行四边形为矩形）．故答案为：CO，对角线互相平分的四边形为平行四边形，有一个角为直角的平行四边形为矩形．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行四边形的判定与性质和矩形的判定．20．（6分）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x﹣3与直线y＝kx（k≠0）交于点A（1，n）．（1）求点A的坐标及直线y＝kx（k≠0）的表达式；（2）若P是坐标轴上一点（不与点O重合），且满足PA＝OA，求点P的坐标．【分析】（1）由直线y＝﹣x﹣3可得出点A的坐标，由点A的坐标利用待定系数法可求出直线y＝kx（k≠0）的表达式；（2）根据等腰三角形的性质即可求解．【解答】解：（1）∵直线y＝﹣x﹣3与直线y＝kx（k≠0）交于点A（1，n），∴n＝﹣1﹣3＝﹣4，∴A（1，﹣4），∴k＝﹣4，∴直线y＝kx（k≠0）的表达式为y＝﹣4x；（2）∵P是坐标轴上一点（不与点O重合），且满足PA＝OA，A（1，﹣4），∴P（2，0）或（0，﹣8）．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、等腰三角形的性质，解题的关键是：（1）利用反比例函数图象上点的坐标特征求出点A的坐标；（2）利用等腰三角形的性质求出点P的坐标．21．（6分）定义：若点P为四边形ABCD内一点，且满足∠APB+∠CPD＝180°，则称点P为四边形ABCD的一个“互补点”．（1）如图1，点P为四边形ABCD的一个“互补点”，若∠APD＝60°，则∠BPC＝120°；（2）如图2，点P是菱形ABCD对角线BD上的任意一点（不与点B，D重合），求证：点P为菱形ABCD的一个“互补点”．【分析】（1）根据称点P为四边形ABCD的一个“互补点”的定义直接求解即可；（2）如图2，连接AP、CP，证得∠APB+∠CPD＝180°即可．【解答】（1）解：∵如图1，点P为四边形ABCD的一个“互补点”，∠APD＝60°，∴∠BPC＝180°﹣∠APD＝180°﹣60°＝120°，即∠BPC＝120°；（2）证明：如图2，连接AP、CP，∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝CD，∠ADP＝∠CDP．在△ADP与△CDP中，，∴△ADP≌△CDP（SAS），∴∠APD＝∠CPD．又∠APB+∠APD＝180°，∴∠APB+∠CPD＝180°，即点P为菱形ABCD的一个“互补点”．【点评】考查了菱形的判定与性质，掌握点P为四边形ABCD的一个“互补点”的定义是解题的关键．22．（6分）为鼓励市民节约用水，某市自来水公司按分段收费标准收费，如图反应的是每月水费y（元）与用水量x（吨）之间的函数关系．（1）小乐家五月份用水8吨，应交水费多少元？（2）按上述分段收费标准，小乐家三月份交水费36元，问三月份用水多少吨？【分析】（1）从函数图象可知10吨水以内的价格是每吨2.2元，即可得用水8吨应交的水费；（2）求出x≥10时的函数解析式，再将y＝36代入，求出x的值即可．【解答】解：（1）从函数图象可知10吨水应交22元，那么每吨水的价格是：22÷10＝2.2（元），∵8×2.2＝17.6（元），∴小乐家五月份用水8吨，应交水费17.6元；（2）由图可得10吨内每吨2.2元，当y＝36元时，10＜x＜20，当x≥10时，设y与x的函数关系式为：y＝kx+b（k≠0），当x＝10时，y＝22，当x＝20时，y＝57，将它们分别代入y＝kx+b中得：，解得：，∴y与x的函数关系式为：y＝3.5x﹣13，把y＝36代入y＝3.5x﹣13得：3.5x﹣13＝36，解得x＝14，答：三月份用水14吨．【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能从函数图象获取有用的信息．23．（5分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A（4，2），点B（0，﹣2）．（1）求k，b的值；（2）当x＞1时，对于x的每一个值，函数y＝nx（n≠0）的值小于一次函数y＝kx+b（k≠0）的值，直接写出n的取值范围．【分析】（1）通过待定系数法将A（4，2），B（0，﹣2）代入解析式求解即可．（2）求得x＝1时，函数y＝x﹣2的对应值，代入y＝nx求得n的值，观察图象即可求得n的取值范围．【解答】解：（1）将A（4，2），B（0，﹣2）代入y＝kx+b，得：，解得，∴k＝1，b＝﹣2；（2）由（1）得y＝x﹣2，如图，把x＝1代入y＝x﹣2，得y＝﹣1，把点（1，﹣1）代入y＝nx，得n＝﹣1，∵当x＞1时，对于x的每一个值，函数y＝nx（n≠0）的值小于一次函数y＝kx+b（k≠0）的值，∴n的取值范围是n≤﹣1．【点评】本题考查待定系数法求一次函数解析式及一次函数和不等式的关系，解题关键是熟练掌握一次函数的性质．24．（6分）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC，且DE＝AC，连接AE、CE．（1）求证：四边形OCED为矩形；（2）若菱形ABCD的边长为2，∠BCD＝60°，求AE的长．【分析】（1）先证四边形OCED是平行四边形，再由∠DOC＝90°，即可得出结论；（2）先证△BCD是等边三角形，得BD＝BC＝2，再由勾股定理得OC＝，则AC＝2OC＝2，然后由矩形的性质得CE＝OD＝1，∠OCE＝90°，最后由勾股定理即可得出答案．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO＝OC＝AC，∴∠DOC＝90°，∵DE∥AC，DE＝AC，∴DE＝OC，DE∥OC，∴四边形OCED是平行四边形，又∵∠DOC＝90°，∴平行四边形OCED是矩形；（2）解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，BC＝CD＝8，OB＝OD，AO＝OC＝AC，∵∠BCD＝60°，∴△BCD是等边三角形，∴BD＝BC＝2，∴OD＝OB＝1，∴OC＝，∴AC＝2OC＝，由（1）得：四边形OCED为矩形，∴CE＝OD＝1，∠OCE＝90°，在Rt△ACE中，由勾股定理得：AE＝＝，故AE的长为：．【点评】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、菱形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握菱形1性质，证明四边形OCED为矩形是解题的关键．25．（7分）探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．结合已有的学习经验，请画出函数的图象并探究该函数的性质．（1）绘制函数图象①列表：下表是x与y的几组对应值，其中m＝2；x…﹣3﹣2﹣10123…y…12343m1…②描点：根据表中的数值描点（x，y），补充描出点（1，m）；③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出函数图象．（2）探究函数性质写出函数的一条性质：函数的图象关于y轴对称．（3）运用函数图象及性质①观察你所画的函数图象，回答问题：若点A（a，c），B（b，c）为该函数图象上不同的两点，则a+b＝0；②根据函数图象，写出不等式的解集是x≥1或x≤﹣1．【分析】（1）将x＝1代入解析式即可得y的值，再画出函数的图象；（2）观察图象即可得到；（3）根据图象求得即可．【解答】解：（1）①把x＝1代入得y＝2，∴m＝2，故答案为：2；②描点，③连线，画出函数的图象如图：（2）函数的一条性质：函数的图象关于y轴对称；故答案为：函数的图象关于y轴对称；（3）①应为图象关于y轴对称，所以a+b＝0，故答案为：0；②观察图象可知，不等式≤2的解集是x≥1或x≤﹣1；故答案为：x≥1或x≤﹣1．【点评】本题主要考查一次函数与一元一次不等式，掌握用描点法画出函数图象，利用数形结合的思想得到函数的性质、解一元一次不等式是解题的关键．26．（8分）如图，正方形ABCD中，点P是边CD上的一点（不与点C、D重合），连接BP，∠PBC＝α，O为BP的中点，过点P作PE⊥BD于E，连接EO，AE．（1）依题意补全图形；（2）求∠POE的大小（用含a的式子表示）；（3）用等式表示线段AE与BP之间的数量关系，并证明．【分析】（1）根据题干的描述补全图形即可；