辽宁省大连市旅顺口区2020年九年级上学期期中数学试题

2020——2021学年度第一学期阶段质量检测九年级数学一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确）1.抛物线的开口方向是（）A.向下 B.向上 C.向左 D.向右【答案】B【解析】【分析】抛物线的开口方向由抛物线的解析式y=ax2+bx+c（a≠0）的二次项系数a的符号决定，据此进行判断即可．【详解】解：∵y=2x2的二次项系数a=2＞0，

∴抛物线y=2x2的开口方向是向上；

故选：B．【点睛】本题考查了二次函数图象的开口方向．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象的开口方向：当a＜0时，开口方向向下；当a＞0时，开口方向向上．2.下列图形中，是中心对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据中心对称图形的定义逐项判断即可得．【详解】A、不是中心对称图形，此项不符题意；B、是中心对称图形，此项符合题意；C、不是中心对称图形，此项不符题意；D、不是中心对称图形，此项不符题意；故选：B．【点睛】本题考查了中心对称图形，熟记定义是解题关键．3.抛物线的顶点坐标是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了二次函数的性质，对抛物线的顶点坐标的表达方式了熟于心是解本题的关键．根据二次函数的性质即可求解．【详解】解：抛物线的顶点坐标是，抛物线的顶点坐标是，故选：．4.如图，ΔABC是等边三角形，是ΔABC内的一点，若将绕点逆时针旋转到，则的度数是（）A.35° B.40° C.60° D.75°【答案】C【解析】【分析】根据旋转的性质可得∠PBC=∠P′BA，再根据角的和差关系即可得出结果．【详解】解：根据旋转的性质可得：△PBC≌△P′BA，故∠PBC=∠P′BA，∵是等边三角形，∴∠ABC=60°，∴∠PBP′=∠P′BA+∠PBA，

=∠PBC+∠PBA，

=∠ABC，

=60°．

故选：C．【点睛】本题考查旋转的性质及等边三角形的性质．旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变．5.如图,AB是O的直径,,∠BOC=40°，则∠AOE的度数为（）A.30° B.40° C.50° D.60°【答案】D【解析】【分析】由在同圆中等弧对的圆心角相等得，∠BOC=∠COD=∠EOD=40°从而求得∠AOE的度数．【详解】解：∵，∠BOC=40°∴∠BOC=∠COD=∠EOD=40°∴∠BOE=120°∴∠AOE=180°∠BOE=60°．【点睛】本题利用了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆心角相等．6.在平面直角坐标系中，以原点为中心，把点逆时针旋转，得到点，则点的坐标为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据中心对称的性质解决问题即可．【详解】由题意A，B关于O中心对称，

∵A（2，3），

∴B（2，3），

故选：B．【点睛】此题考查中心对称，坐标与图形的变化，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．7.如图，一位运动员推铅球，铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系是y＝﹣，则此运动员把铅球推出多远()A.12m B.10m C.3m D.4m【答案】B【解析】【分析】令y＝﹣＝0，解得符合题意的x值，则该值为此运动员把铅球推出的距离，据此可解.【详解】解：令y＝﹣＝0则：x2﹣8x﹣20＝0∴(x+2)(x﹣10)＝0∴x1＝﹣2(舍)，x2＝10由题意可知当x＝10时，符合题意故选：B.【点睛】本题考查二次函数的实际应用，利用数形结合思想解题是本题的关键.8.如图所示，点A、B、C都在上，若，则（）A.100°B.C.125°D.130°【答案】A【解析】【分析】过A、O作⊙O的直径AD，分别在等腰△OAB、等腰△OAC中，根据三角形外角的性质求出∠BOC＝2∠ABO+2∠ACO．【详解】解：过A作⊙O的直径，交⊙O于D．在△OAB中，OA＝OB，得出∠ABO=∠OAB，则∠BOD＝∠ABO+∠OAB＝2×20°＝40°，同理可得：∠COD＝∠ACO+∠OAC＝2×30°＝60°，故∠BOC＝∠BOD+∠COD＝100°．故选：A．【点睛】本题考查了圆周角定理，涉及了等腰三角形的性质及三角形的外角性质，解答本题的关键是求出∠COD及∠BOD的度数．9.某大桥的桥拱可以用抛物线的一部分表示，函数关系为，当水面宽度为时，水面与桥拱顶的高度等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意，把直接代入解析式即可解答．【详解】解：根据题意B的横坐标为10，将代入得：，，即水面与桥拱顶的高度等于，故选：B．【点睛】此题考查了二次函数的实际应用，掌握二次函数的对称性是解决问题的关键．10.已知二次函数y＝ax2+bx+c自变量x的部分取值和对应函数值y如表：x…﹣2﹣10123…y…830﹣103…则在实数范围内能使得y﹣3＞0成立的x取值范围是（）A.x＞3 B.x＜﹣1 C.﹣1＜x＜3 D.x＜﹣1或x＞3【答案】D【解析】【分析】根据表格中的数据和二次函数的性质，可以得到对称轴、函数图象的开口方向，再根据表格中的数据，即可得到y3＞0成立的x取值范围．【详解】解：由表格可知，

该二次函数的对称轴是直线，函数图象开口向上，

故y3＞0成立的x的取值范围是x＜1或x＞3，

故选：D．【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）11.将二次函数y＝x2﹣4x+7化为y＝（x﹣h）2+k的形式，结果为y＝_____．【答案】（x﹣2）2+3．【解析】【分析】根据二次函数顶点式的表示方法表示即可.【详解】解：y＝x2﹣4x+7＝x2﹣4x+4+3＝（x﹣2）2+3，故答案为：（x﹣2）2+3．【点睛】本题考查二次函数的顶点式,关键在于对顶点式的理解.12.若二次函数y＝x2－2x＋m的图象与x轴有两个交点，则m的取值范围是_______．【答案】m＜1【解析】【分析】根据△＞0⇔抛物线与x轴有两个交点，列出不等式即可解决问题．【详解】解：∵二次函数y=x22x+m的图象与x轴有两个交点，∴△＞0，∴44m＞0，∴m＜1．故答案为：m＜1．【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点，解题的关键是记住△=0⇔抛物线与x轴只有一个交点，△＞0⇔抛物线与x轴有两个交点，△＜0⇔抛物线与x轴没有交点，属于中考常考题型．13.如图，四边形是的内接四边形，对角线是的直径，，，则的半径长为_______．【答案】【解析】【分析】先根据圆周角定理可得，再根据等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理可得，由此即可得．【详解】是的直径，，，，是等腰直角三角形，，，则的半径长为，故答案为：．【点睛】本题考查了圆周角定理、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握圆周角定理是解题关键．14.点，，均在二次函数的图象上，则，，的大小关系是______．（用“<”连接）【答案】y1＜y2＜y3【解析】【分析】根据二次函数的解析式得出图象的开口向上，对称轴是直线x=1，根据x＜1时，y随x的增大而减小，即可得出答案．【详解】解：∵y=x22x+c=（x1）21+c，

∴图象的开口向上，对称轴是直线x=1，

∴A（2，y1）关于对称轴的对称点为（0，y1），

∵5＜4＜0，

∴y1＜y2＜y3，

故答案为y1＜y2＜y3．【点睛】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键．15.如图，在正方形中，，点在边上，，把绕点顺时针旋转90°，得到，连接，则线段的长为______．【答案】【解析】【分析】先根据正方形的性质可得，再根据旋转的性质可得，从而可得点在同一条直线上，然后根据线段的和差可得，最后在中，利用勾股定理即可得．【详解】四边形ABCD是正方形，，，，由旋转的性质得：，，点在同一条直线上，，则在中，，故答案为：．【点睛】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握正方形与旋转的性质是解题关键．16.如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为．若抛物线（、为常数）与线段交于、两点，且，则的值为_________．【答案】【解析】【分析】根据题意，可以得到点的坐标和的值，然后将点的坐标代入抛物线的解析式，即可得到的值，本题得以解决．【详解】解：点的坐标为，点的坐标为，，抛物线、为常数）与线段交于、两点，且，设点的坐标为，则点的坐标为，，抛物线，解得，．【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．三、解答题（本题共4小题，其中17、18、19题各9分，20题12分，共39分）17.解方程：．【答案】，．【解析】【分析】利用公式法求解即可．【详解】∵a＝2，b＝3，c＝−1，∴△＝32−4×2×（−1）＝17＞0，则x＝＝＝，即x1＝，x2＝．【点睛】本题考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．18.如图在平面直角坐标系xOy中，二次函数的图象与x轴、y轴的交点分别为（1，0）和．（1）求此二次函数的表达式；（2）结合函数图象，直接写出当时，x的取值范围．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）利用待定系数法求解；（2）分别求出图象对称轴及时x的值，结合图象即可得到x的取值范围．【小问1详解】将（1，0）和代入中，得，解得，∴此二次函数表达式为；小问2详解】∵，∴图象的对称轴为直线，∵图象与y轴交点为，∴点关于对称轴对称的点的坐标为，∵，∴抛物线开口向上，∴当时，或．【点睛】此题考查待定系数法求二次函数的解析式，配方法将函数解析式化为顶点式，确定函数图象的顶点坐标，对称轴，利用函数图象求函数值，熟记二次函数的性质是解题的关键．19.如图，将矩形绕点旋转得到矩形，点在上．延长交于点．求证：．【答案】证明见解析．【解析】【分析】先根据矩形的性质可得，再根据旋转的性质可得，从而可得，然后根据直角三角形的性质、角的和差可得，最后根据三角形全等的判定定理即可得证．【详解】四边形ABCD是矩形，，由旋转的性质得：，，又，，，在和中，，．【点睛】本题考查了矩形的性质、旋转的性质、三角形全等的判定定理等知识点，熟练掌握矩形和旋转的性质是解题关键．20.在图中网格上按要求画出图形，并回答下列问题：（1）把△ABC平移，使点A平移到图中点D的位置，点B、C的对应点分别是点E、F，请画出△DEF；（2）画出△ABC关于点D成中心对称的△；（3）△DEF与△（填“是”或“否”）关于某个点成中心对称，如果是，请在图中画出对称中心，并记作点O．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）是，见解析【解析】【分析】（1）由题意得出，需将点B与点C先向左平移3个单位，再向下平移1个单位，据此可得；

（2）分别作出三顶点分别关于点D的对称点，再首尾顺次连接可得；

（3）连接两组对应点即可得．【详解】（1）如图所示，△DEF即为所求．

（2）如图所示，△A1B1C1即为所求；

（3）如图所示，△DEF与△A1B1C1关于点O成中心对称，

故答案为：是．【点睛】本题主要考查了作图旋转变换和平移变换，解题的关键是熟练掌握旋转变换和平移变换的定义和性质，并据此得出变换后的对应点．四、解答题（本题共3小题，其中21题9分，22、23题各10分，共29分）21.小张2019年末开了一家商店，受疫情影响，2020年4月份才开始盈利，4月份盈利6000元，6月份盈利达到7260元，且从4月份到6月份，每月盈利的平均增长率都相同．（1）求每月盈利的平均增长率．（2）按照这个平均增长率，预计2020年7月份这家商店的盈利将达到多少元？【答案】（1）每月盈利的平均增长率为10%；（2）按照这个平均增长率，预计2020年7月份这家商店的盈利将达到7986元．【解析】【分析】（1）设每月盈利的平均增长率为x，根据该商店4月份及6月份的盈利额，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；

（2）根据2020年7月份的盈利额=2020年6月份的盈利额×（1+增长率），即可求出结论．【详解】解：（1）设每月盈利的平均增长率为x，依题意，得：6000（1+x）2＝7260，解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不合题意，舍去）．答：每月盈利的平均增长率为10%．（2）7260×（1+10%）＝7986（元）．答：按照这个平均增长率，预计2020年7月份这家商店的盈利将达到7986元．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．22.如图，是的直径，C，D是上两点，且平分，作于E．（1）求证：；（2）求证：．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的判定与性质，垂径定理等知识，解题的关键是：（1）根据角平分线定义和等腰三角形等边对等角性质可得出，然后根据平行线的判定即可得证；（2）过点O作于M，由垂径定理可得出，利用证明，得出，即可得证．【小问1详解】证明：∵平分，∴，∵，∴，∴，∴；【小问2详解】证明：过点O作于M，∴，∵，∴，又，，∴，∴，∴．23.因疫情防控需要，消毒用品需求量增加．某药店新进一批桶装消毒液，每桶进价50元，每天销售量y（桶）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．（1）求y与x之间的函数表达式；（2）每桶消毒液的销售价定为多少元时，药店每天获得的利润最大，最大利润是多少元？（利润=销售价进价）【答案】（1）函数表达式为：y=2x+220；（2）80元，1800元．【解析】【分析】（1）设y与x之间的函数表达式为y=kx+b，，将点（60，100）、（70，80）代入一次函数表达式，即可求解；（2）由题意得w=（x50）（2x+220）=2（x80）2+1800，即可求解．【详解】（1）设y与销售单价x之间的函数关系式为：y=kx+b，将点（60，100）、（70，80）代入一次函数表达式得：，解得：，故函数的表达式为：y=2x+220；（2）设药店每天获得利润为W元，由题意得：w=（x50）（2x+220）=2（x80）2+1800，∵2＜0，函数有最大值，∴当x=80时，w有最大值，此时最大值是1800，故销售单价定为80元时，该药店每天获得的利润最大，最大利润1800元．【点睛】此题主要考查了二次函数的应用以及用待定系数法求一次函数解析式等知识，正确利用销量×每件的利润=w得出函数关系式是解题关键．五、解答题（本题共3小题，其中24、25题各11分，26题12分，共34分）24.如图，直线分别与轴交于点，与轴交于点，，点是线段上一点，过点作，垂足为，与轴交于点，作点关于的对称点，连接．设的长度为，与的重叠面积为．（1）求的长（用含的式子表示）；（2）求关于的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）根据直角三角形的性质、勾股定理即可得；（2）先求出两个临界位置：点C为AB的中点、点D与点O重合时的值，再分三种情况，分别利用直角三角形的性质与面积公式、勾股定理、等腰三角形的性质求解即可得．【详解】（1），，在中，，，，即CD的长为；（2），，，在中，，由题意，有两个临界位置：当点C为AB的中点时，，当点D与点O重合时，，因此，分以下三种情况：①当时，，点为点关于的对称点，，由（1）可知：，则；②当时，如图，设与y轴的交点为点E，过点E作于点F，则，，，，，，，，在中，，，则，，，；③当时，如图，设CD与y轴的交点为点E，则，，，，，在中，，则；综上，．【点睛】本题考查了直角三角形的性质、勾股定理、等腰三角形的性质、一次函数的几何应用等知识点，较难的是题（2），正确找出两个临界位置，分情况讨论是解题关键．25.如图1，等腰，，点、分别是、上的点，是延长线上一点，，，．（1）若，则______（用含的式子表示）；（2）探究线段与的数量关系，并证明；（3）当时（如图2），求的值．【答案】（1）；（2），证明见解析；（3）．【解析】【分析】（1）先根据垂直的定义、角的和差可得，再根据等腰三角形的性质、直角三角形的性质可得，然后根据角的和差即可得；（2）如图（见解析），先根据三角形全等的判定定理与性质可得，从而可得，再根据三角形全等的判定定理与性质即可得；（3）如图（见解析），先根据等边三角形的判定可得是等边三角形，再根据等边三角形的三线合一可得，然后根据三角形全等的性质可得，由此即可得．【详解】（1），，，，，即，，，，，故答案为：；（2），证明如下：如图，过点B作于点G，