6.3球的表面积和体积课件高一下学期数学北师大版

第六章立体几何初步6.3球的表面积和体积

情境引入

毕达哥拉斯学派认为，一切空间图形中，最美的是球.因为球形，充满了无限可能.

小至微观粒子，大至宇宙星体......

同学们，你能列举我们生活中的球吗？2021年6月23日，国家重大科技基础设施“地球模拟装置”——寰，在北京怀柔科学城东区落成启用，这是我国首个研制成功的地球系统数值模拟大科学装置.

把地球搬进实验室？其核心软件模拟大气圈、水圈、冰冻圈、岩石圈、生物圈的演变规律，对地球的过去进行反演、对现在进行观察、对未来进行预测.在地球模拟实验室的科普展厅，悬挂着直径3米、清晰度达到5K的LED球形屏，装置模拟实验的部分结果会通过球体进行可视化直观展示.提出问题：展厅中这个直径3米LED球形屏上风起云涌，颇为壮观.它究竟有多大，占据多大空间？表面积多少呢？探索新知——球的截面探究一球的截面类比1.一条直线与圆相交，在圆内的部分是线段——弦？用一个平面去截球，得到的截面是什么？圆面用一个平面去截球面，得到的截面是什么？圆什么情况下，得到的圆最大？2.直线过圆心时，得到的弦最长——直径.探索新知——球的截面球的大圆：球面被经过球心的平面截得的圆.一大小圆的定义球的小圆：球面被不经过球心的平面截得的圆.探索新知——球的截面探究一球的截面类比垂径定理：垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧.1.圆心与弦中点的连线垂直于弦.球心与截面圆心的连线与圆面是怎样的位置关系呢？1.球心与截面圆心的连线与圆面垂直.探索新知——球的截面球的大圆：球面被经过球心的平面截得的圆.一大小圆的定义球的小圆：球面被不经过球心的平面截得的圆.二球的截面性质：1.球心和截面圆心的连线垂直于该截面．探索新知——球的切线探究二球的切线类比1.直线与圆有唯一公共点时，叫做直线与圆相切.2.过圆外一点可以引2条直线与圆相切，且切线长相等.1.球的切线怎样定义？2.过球外一点P，可以引多少条直线与球相切？3.这些切线的长度相等吗？所有切点组成什么图形？探索新知——球的切线三球的切线当直线与球有唯一交点时，称直线与球相切，其中它们的交点称为直线与球的切点.1.过球外一点的所有切线长都相等.四球的切线性质2.这些切点的集合是一个圆.探索新知——球的体积和表面积探究三球的表面积和体积（1）球的表面积：能否采用展开的方法，求球体的表面积呢？（2）球的体积：给你一个半径为R的实心铁球，如何测量该球的体积呢？思考：当球的半径变化时，球的体积随之改变，你是否每次都要这样测量呢？不能，球体无法展开为一个平面图形排水法HRh延伸阅读——祖暅原理“幂势既同，则积不容异”

夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等。课后探究：查阅资料，阿基米德是如何推算出球体体积的？如何推导求球的表面积计算公式？延伸阅读——祖暅原理五球的表面积和体积计算公式探索新知——球的体积和表面积OR思考：计算球的表面积与体积，关键需要确定哪个量？例题讲解——初步应用例2如图，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰激凌，如果冰激凌融化了，会溢出杯子吗？（假设冰激凌融化前后体积不变）例题讲解——初步应用例3一个圆柱形的玻璃瓶的内半径为3cm，瓶里所装的水深为8

cm，将一个钢球完全浸入水中，瓶中水的高度上升到8.5

cm，求钢球的半径.8.5cm3cm8cm例题讲解——初步应用O’∟例题讲解——巩固提升RO’∟R例题讲解——巩固提升变式训练2如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6cm,如果不计容器的厚度,则球的体积为

.∟OO’A例题讲解——巩固提升过点O作OO’⟂该截面交于点O’，OA=R，故(R-2)2+42=R2,解得R=5cm.分析：设球半径为R，正方体容器上底正方形所在平面截球所得截面为圆面,易知Rt△OO’A中，OO’=R-2，O’A=4，例5正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，它的各个顶点都在球O的球面上，问球O的表面积．分析正方体内接于球，则球和正方体中心重合，故正方体对角线与球的直径相等.ABCDC1B1A1OD1例题讲解——巩固提升变式训练(1)若一个正方体内接于表面积为4π的球,则正方体的表面积等于

.(2)若两球的表面积之差为48π,它们的半径之和为6,则两球的体积之差的绝对值为

.（3）有三个球，一球切于正方体的各面，一球切于正方体的各侧棱一球过正方体的各顶点，求这三个球的体积之比___________.8例题讲解——巩固提升数学思想概念课堂小结球的表面积和体积球的截面性质、切线性质球的表面积和体积计算公式的应用了解祖暅原理及