1.1.3空间向量的坐标与空间直角坐标系

1.1.3空间向量的坐标与空间直角坐标系分层练习一、单选题1．（2022秋·河南许昌·高二校考期中）已知空间向量，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为，，所以，故选：C2．（2021·高二单元测试）已知若不能构成空间的一个基底，则实数λ的值为（

）A．0 B． C．9 D．【答案】D【详解】∵不能构成空间的一个基底，∴共面，则，其中x，y∈R，则(7，5，λ)=(2x，x，3x)+(y，4y，2y)=(2xy，x+4y，3x2y)，∴解得故选：D.3．（2021·高二单元测试）已知向量，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为，.所以.故选：A4．（2022秋·广西钦州·高二浦北中学校考期中）已知空间向量，若空间向量与平行，则的坐标可能是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】两向量平行，对应坐标成比例，因为，故选：.5．（2022·全国·高二专题练习）已知向量，，若，则实数的值为（

）A．1 B．1或 C． D．2【答案】B【详解】∵向量，，，∴，解得或．故选：B．6．（2023·全国·高三专题练习）如图，已知四棱锥，底面是边长为3的正方形，面，，，，若，则四棱锥外接球表面积为（

）

A． B． C． D．【答案】B【详解】以为坐标原点，以，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，设，则，，，，，则，，，于是，则，∴，四棱锥外接球直径为，故其表面积为．故选：B.

二、多选题7．（2021·高二课时练习）对于任意非零向量，，以下说法错误的有A．若，则B．若，则C．D．若，则为单位向量【答案】BD【详解】对于A选项，因为，则，A选项正确；对于B选项，若，且，，若，但分式无意义，B选项错误；对于C选项，由空间向量数量积的坐标运算可知，C选项正确；对于D选项，若，则，此时，不是单位向量，D选项错误.故选：BD.8．（2023秋·湖北襄阳·高二襄阳市第一中学校考期末）已知向量，，则下列结论中正确的是（

）A．若，则B．若，则C．不存在实数，使得D．若，则【答案】ACD【详解】对于A项，由可得，解得，故A项正确；对于B项，由可得，解得，故B项错误；对于C项，假设存在实数，使得，则，所以不存在实数，使得，故C项正确；对于D项，由可得，解得，所以，故D项正确.故选：ACD.三、填空题9．（2022秋·天津·高二天津市宁河区芦台第一中学校联考期中）设，向量，，，且，，则______.【答案】【详解】根据可得，故，此时，由可得，故，此时，于是故.故答案为：10．（2020·高二课时练习）空间直角坐标系中与点关于平面对称的点为，则点的坐标为_____________．【答案】【详解】试题分析：一般的，在空间直角坐标系中，若点的坐标是，设点关于关于平面对称的点为，那么点的坐标是，因此空间直角坐标系中与点关于平面对称的点的坐标为,故答案填.11．（2022·高二课时练习）若，，则的值为_______【答案】【详解】因为，，所以，所以，故答案为：.12．（2023·全国·高三对口高考）设点在点确定的平面上，则实数_________．【答案】16【详解】由已知得：；因为四点在同一平面上，所以存在，使得,所以,所以,解得.故答案为：.一、单选题1．（2023春·高二课时练习）在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点坐标是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点坐标为.故选：C.2．（2022·高二课时练习）已知，，且，则向量与的夹角为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由已知可得，可得，，，所以，，，因此，.故选：A.3．（2021秋·云南昭通·高一校考阶段练习）设，，为空间的三个不同向量，如果成立的等价条件为，则称，，线性无关，否则称它们线性相关.若，，线性相关，则（

）A．9 B．7 C．5 D．3【答案】A【详解】依题意，三个向量线性相关，则存在不全为0的实数，，，使得成立，故，由得，，代入，得，由于，，不全为0.故，则.故选：A4．（2022秋·广东·高二统考阶段练习）已知空间三点，则下列结论不正确的是（

）A． B．点在平面内C． D．若，则D的坐标为【答案】D【详解】因为，，故A正确；因为，所以，故C正确;因为，，所以，所以点在平面内，故B正确；因为，显然不成立，故D错误.故选：D二、多选题5．（2023秋·福建三明·高二统考期末）在空间直角坐标系中，已知向量，.以下各组值中能使得的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】BC【详解】向量，，于是当且仅当，即，对于A，当，时，，A不是；对于B，当，时，，B是；对于C，当，时，，C是；对于D，当，时，，D不是.故选：BC6．（2022秋·辽宁·高二辽宁实验中学校考期中）下列说法中正确的是（

）A．已知空间向量，，向量是的充要条件B．，，若与共线，则C．空间向量，，不共面，且，，，则A，B，C，D四点共面D．，，在方向上的投影向量为【答案】BD【详解】对于A.当为非零向，时，，故A错误；对于B.若与共线，则，得，，，故B正确；对于C.，，因为，，不共面，所以不存在有序实数对使得，因此不共面，故A，B，C，D四点不共面，故C错误；对于D.，在方向上的投影向量为，故D正确.故选:BD三、填空题7．（2022春·福建宁德·高二校联考期中）已知空间三点，，，则与的夹角的大小是______．【答案】/【详解】因为，，所以所以，所以因为，所以故答案为：8．（2023春·四川绵阳·高二四川省绵阳南山中学校考阶段练习）已知，，且与的夹角为钝角，则x的取值范围是______.【答案】【详解】因为与的夹角为钝角，所以且与不共线，因为，，所以，且，解得，且，所以的取值范围是.故答案为：.9．（2022·高二单元测试）已知空间三点，，，在直线OA上有一点H满足，则点H的坐标为______．【答案】【详解】解：因为，，，所以，且点在直线上，所以，所以存在实数使得，设，则，所以，可得，即，又因为，所以，因为，，所以，可得，所以点，故答案为：四、解答题10．（2022秋·安徽宿州·高二安徽省泗县第一中学校考期中）已知空间向量.(1)求；(2)求与所成角的余弦值.【答案】(1)(2)【详解】（1）由，可得，解得，由，可得，解得，所以.（2）由（1）可得，，所以，，所以11．（2022·高二课时练习）棱长为2的正方体中，E、F分别是、DB的中点，G在棱CD上，且，H是的中点．建立适当的空间直角坐标系，解决下列问题：(1)求证：；(2)求；(3)求的长．【答案】(1)证明见解析;(2);(3).【详解】（1）解：如图，以为原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，则,因为，所以，所以，故；（2）解：因为，所以因为，且,所以；（3）解：因为是的中点，所以又因为，所以,.即.12．（2023春·四川成都·高二四川省成都市新都一中校联考期中）已知空间向量，，．(1)若，求；(2)若与相互垂直，求．【答案】(1)(2)【详解】（1），

，，即，且，，解得；（2），，

又，解得．一、单选题1．（2022秋·北京·高三北京交通大学附属中学校考阶段练习）如图，已知正方体的棱长为2，为正方形底面内的一动点，则下列结论不正确的有（

）A．三棱锥的体积为定值B．若，则点在正方形底面内的运动轨迹是线段C．若点是的中点，点是的中点，过，作平面平面，则平面截正方体的截面周长为D．存在点，使得【答案】D【详解】对A：如图1，三棱锥的体积（定值），A正确；对B：如图2，连接，∵为正方形，则，又∵平面，平面，∴，平面，∴平面，平面，∴，同理可证：，，平面，∴平面，平面平面，故点在正方形底面内的运动轨迹是线段，B正确；对C：∵平面，平面，∴，又∵，，平面，∴平面，则平面，取的中点，连接，则，∴平面，取的中点，根据面面平行的性质定理分析可得平面截正方体的截面为，且是边长为的正六边形，故周长为，C正确；对D：如图4，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，则，设，则，若，则，解得，不合题意，D错误；故选：D.2．（2022秋·广东佛山·高二佛山市荣山中学校考期中）已知空间直角坐标系中，，点在直线上运动，则当取得最小值时，点的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】因点Q在直线上运动，则，设，于是有，因为，，所以，，因此，，于是得，则当时，，此时点Q，所以当取得最小值时，点Q的坐标为.故选：C3．（2016·高二课时练习）设（其中是两两垂直的单位向量），若，则实数的值分别是A． B． C． D．【答案】B【详解】由题意得因此解得故选：B.4．（2018·高三单元测试）已知，则x等于()A．(0,3，－6) B．(0,6，－20)C．(0,6，－6) D．(6,6，－6)【答案】B【详解】由题设则由，可得解得，即.故选B.5．（2023·江西·校联考二模）在四棱锥中，棱长为2的侧棱垂直底面边长为2的正方形，为棱的中点，过直线的平面分别与侧棱、相交于点、，当时，截面的面积为（

）A． B．2 C． D．3【答案】A【详解】由题意，平面，四边形为正方形，如图，建立空间直角坐标系Dxyz，

则，，，，，，，设，，则，又，，所以，则，由题意，四点共面，所以，所以，解得，所以，，所以，所以，即，所以，所以，又，所以，即，所以，所以，所以截面的面积为.故选：A二、多选题6．（2022秋·广东佛山·高二顺德一中校考阶段练习）已知空间三点：，设，则下列命题正确的是（

）A．B．在方向上的投影向量等于C．是等边三角形D．【答案】ACD【详解】，，，所以，故选项A正确；在方向上的投影向量等于，故选项B不正确；，，，所以是等边三角形，故选项C正确；，，，所以，故选项D正确.故选：ACD三、填空题7．（2022·高二课时练习）已知，，，若，，三向量共面，则实数等于__________.【答案】【详解】解：，，，，4，，，2，，且，，三向量共面，设，，2，，，，，解得，，．故答案为：．8．（2023秋·福建福州·高二校联考期末）定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值.在棱长为1的正方体中，直线与之间的距离是__________.【答案】【详解】如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，则，可得，设，则，可得，即，故，同理可得：，则，当且仅当时，等号成立，对，当且仅当时，等号成立，故，当且仅当，即时等号成立，即直线与之间的距离是.故答案为：.四、解答题9．（2023春·高二课时练习）已知空间中的三点，，.(1)求的面积；(2)当与的夹角为钝角时，求k的范围．【答案】(1)；(2).【详解】（1）由题设，，则，所以，故在中，故的面积为.（2）由（1）知：，，且它们夹角为钝角，所以，即，所以，可得，当它们反向共线，即且时，有，无解，综上，.10．（2021秋·高二单元测试）设全体空间向量组成的集合为，为中的一个单