1指数幂的拓展2指数幂的运算性质课件高一上学期数学北师大版

第三章指数运算与指数函数§1指数幂的拓展§2指数幂的运算性质北师大版

数学

必修第一册基础落实·必备知识一遍过重难探究·能力素养速提升目录索引

学以致用·随堂检测促达标课程标准1.通过对有理数指数幂

(a>0,且a≠1,m,n为整数,且n>0)、实数指数幂ax(a>0,且a≠1,x∈R)含义的认识,了解指数幂的拓展过程.2.理解根式运算与指数运算的内在联系.3.掌握指数幂的运算性质,能正确进行有理数指数幂的运算.基础落实·必备知识一遍过知识点1

指数幂的拓展1.正分数指数幂互素指的是两个数之间除了1之外没有更多的公约数

2.负分数指数幂给定正数a和正整数m,n(n>1,且m,n互素),定义3.无理数指数幂一般地,给定正数a,对于任意的正无理数α,自然地,规定这样,指数幂中指数的范围就拓展到了全体实数.名师点睛1.有了分数指数幂的定义,就把指数幂拓展到了有理数指数幂.分数指数幂

不可理解为

个a相乘,它是根式的一种写法.2.正数的负分数指数幂为正数.思考辨析

提示

不正确,因为在指数幂的概念中,总有a>0.自主诊断1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)0的任何指数幂都等于0.(

)××√×D3.[人教A版教材习题]用根式的形式表示下列各式(a>0):知识点2

指数幂的运算性质对于任意正数a,b和实数α,β,实数指数幂均满足下面的运算性质:

运算性质的成立需此约束条件的限制(1)aα·aβ=aα+β;(2)(aα)β=aαβ;(3)(ab)α=aαbα.名师点睛1.实数指数幂的运算性质除了上述三个外,还有如下两个常用:2.在幂和根式的化简运算中,一般将根式化为分数指数幂的形式,再利用指数幂的运算性质进行计算.自主诊断1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)×√√×2.[人教A版教材习题]设a>0,则下列运算中正确的是(

)D重难探究·能力素养速提升探究点一利用分数指数幂的定义求值D规律方法

解与分数指数幂有关的方程时,一般是利用分数指数幂与根式的对应关系,转化求解.A探究点二根式的化简(求值)【例2】

求下列各式的值:

解

(1)原式=a-b+b-a=0.∴当-3<x<1时,原式=-(x-1)-(x+3)=-2x-2.当1≤x<3时,原式=(x-1)-(x+3)=-4.变式探究(1)该例中的(2),若x<-3呢?(2)该例中的(2),若x>3呢?解

由例题解析可知原式可化为|x-1|-|x+3|.(1)若x<-3,则x-1<0,x+3<0,故原式=-(x-1)-[-(x+3)]=4.(2)若x>3,则x-1>0,x+3>0,故原式=(x-1)-(x+3)=-4.2.在对根式进行化简时,若被开方数中含有字母参数,则要注意字母参数的取值范围,即确定

中a的正负,再结合n的奇偶性给出正确结果.探究点三指数幂的化简与求值【例3】

计算下列各式的值:

规律方法

对于指数幂的化简与求值要注意以下两点:(1)对于既含有分数指数幂,又含有根式的式子,一般把根式统一化成分数指数幂的形式,以便于计算.如果根式中的根指数不同,也应化成分数指数幂的形式.(2)对于计算题的结果,不强求统一用什么形式来表示,但结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既含有分母又含有负指数.探究点四条件求值(1)a+a-1;(2)a2+a-2;(3)a2-a-2.

得a+a-1+2=5,即a+a-1=3.(2)由a+a-1=3,两边平方,得a2+a-2+2=9,即a2+a-2=7.(3)设y=a2-a-2,两边平方,得y2=a4+a-4-2=(a2+a-2)2-4=72-4=45.所以y=±3,即a2-a-2=±3.规律方法

解决条件求值问题的一般方法——整体法对于条件求值问题,一般先化简代数式,再将字母取值代入求值.当字母的取值未知或不易求出时,可将所求代数式恰当地变形,构造出与已知条件相同的结构,从而通过“整体法”巧妙地求出代数式的值.利用“整体法”求值时常用的变形公式如下:解

∵x+y=12,xy=9,∴(x-y)2=(x+y)2-4xy=122-4×9=108.∵x<y,本节要点归纳1.知识清单:(1)实数指数幂的性质;(2)指数幂的化简与求值.2.方法归纳:转化法、整体代换法.3.常见误区:在运用分数指数幂的运算性质化简时,其结果不能同时含有根式和分数指数,也不能既含有分母又含有负指数.学以致用·随堂检测促达标123456789101112A级必备知识基础练131.[探究点三](多选题)下列运算不正确的是(

)ABC123456789101112132.[探究点一]已知m10=2,则m等于(

)D解析

∵m10=2,∴m是2的10次方根.又10是偶数,∴2的10次方根有两个,且互为相反数,∴m=±故选D.12345678910111213A.3 B.3-2πC.2π-3 D.2π-3或3C123456789101112D131234567891011125.[探究点一](多选题)

下列各式既符合分数指数幂的定义,值又相等的是(

)BC13123456789101112131234567891011121311234567891011127.[探究点三]已知x+x-1=3,则x2+x-2=

;x-x-1=

.

7解析

由x+x-1=3,可得(x+x-1)2=x2+x-2+2=9,所以x2+x-2=7,又由(x-x-1)2=x2+x-2-2=7-2=5,所以x-x-1=±13123456789101112B级关键能力提升练138.若2x=7,2y=6,则4x-y等于(

)D12345678910111213A.a>b>c

B.b>c>a C.b>a>c D.a<b<cD123456789101112113123456789101112131234567891011121312345678910111213C级学科素养创新练13.已知实数x满足3×16x+2×81x=5×36x,则x的值为

.

解析

因为3×16x+2×81x=5×36x,所以3×24x+2×34x=5×(2×3)2