教师版2020海淀区九年级期末数学备考训练圆(一)

2020海淀区九年级期末数学备考训练圆

参考答案与试题解析

一.选择题（共18小题）

1.如图，。。是△ABC的外接圆，ZOCB=40°,则/A的大小为（）

A.40°B.50°C.80°D.100°

【分析】根据圆周角定理即可求出答案

【解答】解：•••02=0C

AZBOC=180°-2Z6>CB=100°,

由圆周角定理可知：ZA=LZBOC=50°

2

故选：B.

【点评】本题考查圆周角定理，注意圆的半径都相等，本题属于基础题型.

2.一个扇形的圆心角是120°,面积为37rsi2,那么这个扇形的半径是（）

A.1cmB.3cmC.6cmD.9cm

2

【分析】根据扇形的面积公式：5=里1互代入计算即可解决问题.

360

【解答】解：设扇形的半径为R,

2

12Q7rP?

由题意：3ir=--,解得R=±3,

360

：R>0,

:・R=3cm,

,这个扇形的半径为3cm.

故选：B.

2

【点评】本题考查扇形的面积公式，关键是记住扇形的面积公式：5=承'R==工£我（£

3602

是弧长，R是半径），属于中考常考题型.

3.如图，。。是AABC的外接圆，若/AOB=100°,则/ACB的度数是（)

C.60°D.80°

【分析】已知o。是AABC的外接圆，ZAOB=100°,根据圆周角定理可求得NAC3

的度数.

【解答】解：:。。是△ABC的外接圆,ZA（9B=100°,

/.ZACB=LZAOB=^X100°=50°.

22

故选：B.

【点评】本题主要考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角是所

对的圆心角的一半.

、D是圆上的两点.若则AB的长为（）

CBC=8,COSD--2,

3

C2砥

16D.12

~3'~5~

【分析】连接AC,根据圆周角定理得到N2=NDNAC2=90。，根据余弦的定义计算

即可.

【解答】解：连接AC,

由圆周角定理得，ZB=ZD,

•.NB是O。的直径，

/.ZACB=9Q°,

COSJB=^^=—,又BC=8,

AB3

:.AB=n,

故选：D.

【点评】本题考查的是圆周角定理和锐角三角函数的定义，掌握在同圆或等圆中，同弧

或等弧所对的圆周角相等、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键.

5.若如图是某个几何体的三视图，则这个几何体是（）

A.长方体B.正方体C.圆柱D.圆锥

【分析】由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状.

【解答】解：主视图和左视图都是等腰三角形，那么此几何体为锥体，由俯视图为圆，

可得此几何体为圆锥.

故选：D.

【点评】本题考查的知识点是三视图，如果有两个视图为三角形，该几何体一定是锥，

如果有两个矩形，该几何体一定柱，其底面由第三个视图的形状决定.

6.如图，AB是半圆。的直径，AC为弦，于。，过点。作OE/7AC交半圆。于

点E,过点£作所，A3于?若AC=2,则的长为（）

A.1B.3C.1D.2

24

【分析】根据垂径定理求出AO，证△AOOgZXOFE,推出。尸=A。，即可求出答案.

【解答】解：'：OD1.AC,AC=2,

：.AD=CD=\,

VODXAC,EFLAB,

：.ZADO=ZOFE=90°,

OE//AC,

/.ZDOE=ZADO=90°,

AZDAO+ZDOA^90°,ZD0A+ZEF=9Q°,

ZDAO=ZEOF,

在△A。。和△OPE中，

'/ADO=/EFO

,ZDA0=ZF0E-

OA=OE

.♦.△ADO咨LOFE（44S）,

：.OF=AD=\,

故选：C.

【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，垂径定理的应用，解此题的关键是求出

和求出AO的长，注意：垂直于弦的直径平分这条弦.

7.在平面直角坐标系xOy中，以点（3,4）为圆心，4为半径的圆与>轴所在直线的位置

关系是（）

A.相离B.相切C.相交D.无法确定

【分析】可先求出圆心到y轴的距离，再根据半径比较，若圆心到y轴的距离大于圆心

距，y轴与圆相离；小于圆心距，y轴与圆相交；等于圆心距，y轴与圆相切.

【解答】解：依题意得：圆心到y轴的距离为：3〈半径4,

所以圆与y轴相交，

故选：C.

【点评】此题考查的是圆与直线的关系，即圆心到直线的距离大于圆心距，直线与圆相

离；小于圆心距，直线与圆相交；等于圆心距，则直线与圆相切.

8.如图，是的切线，2为切点，4?的延长线交。。于C点，连接BC,若/A=30°,

A.4B.6C.473D.65/3

【分析】连接03,则△AOB是直角三角形，利用三角函数即可求得。4的长，则AC即

可求解.

【解答】解：连接。B.

「AB是O。的切线，B为切点、,

在直角△0A8中，0B=AB・tanA=2j^><2/1.=2,

3

则OA=2OB=4,

/.AC=4+2=6.

故选：B.

【点评】本题考查了三角函数以及切线的性质，正确判断△O4B是直角三角形是关键.

9.如图，。。是△ABC的外接圆，NOC2=40°,则NA的度数等于（）

A.60°B.50°C.40°D.30°

【分析】在等腰三角形0cB中，求得两个底角NOBC、N0C2的度数，然后根据三角形

的内角和求得/COB=100°；最后由圆周角定理求得/A的度数并作出选择.

【解答】解：在△0C2中，OB=OC（。。的半径），

：.ZOBC=ZOCB（等边对等角）；

VZ（?CB=40°,ZC0B=180°-ZOBC-ZOCB,

：.ZCOB=lOO°；

又•••/AML/COB（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半），

2

AZA=50°,

故选：B.

【点评】本题考查了圆周角定理：同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半.解题时，

借用了等腰三角形的两个底角相等和三角形的内角和定理.

10.如图，以G（0,1）为圆心，半径为2的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C、D

两点，点£为OG上一动点，CFLAE于反当点£从点8出发顺时针运动到点。时,

点E所经过的路径长为（）

A.1兀B.叵穴C.叵穴D.叵穴

2346

【分析】连接AC,AG,由OG垂直于AB,利用垂径定理得到。为AB的中点，由G的

坐标确定出OG的长，在直角三角形AOG中，由AG与OG的长，利用勾股定理求出A。

的长，进而确定出AB的长，由CG+GO求出OC的长，在直角三角形AOC中，利用勾

股定理求出AC的长，由CP垂直于AE,得到三角形ACP始终为直角三角形，点P的运

动轨迹为以AC为直径的半径，如图中红线所示，当E位于点B时，COLAE,此时F

与。重合；当£位于。时，CA±AE,此时尸与A重合，可得出当点E从点2出发顺时

针运动到点。时，点尸所经过的路径长余，在直角三角形ACO中，利用锐角三角函数

定义求出/ACO的度数，进而确定出前所对圆心角的度数，再由AC的长求出半径，利

用弧长公式即可求出々的长.

【解答】解：连接AC,AG,

"：GO1AB,

二。为A3的中点，即49=80=工42,

2

VG(0,1),即OG=1,

...在RtZXAOG中，根据勾股定理得：AO=y小用铲=如，

：.AB=2AO=2-/j,

又CO=CG+GO=2+1=3,

=22=2,

...在RtZvlOC中，根据勾股定理得：AC7AO+CO^3

CF±AE,

.•.△ACP始终是直角三角形，点厂的运动轨迹为以AC为直径的半圆，

当E位于点8时，CO±AE,此时F与O重合；当E位于。时，CALAE,此时尸与A

重合，

，当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长褊，

在RtZXACO中，tan/ACO=^=2!&,

CO3

/.ZACO=30°,

.••俞度数为60。，

•.,直径AC=2«,

・••益的长为6°兀又愿=逅H,

1803_

则当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长返TT.

3

故选：B.

【点评】此题属于圆综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，勾股定理，锐角三角函

数定义，弧长公式，以及圆周角定理，其中根据题意得到点E从点8出发顺时针运动到

点。时，点厂所经过的路径长益是解本题的关键.

11.已知圆锥的底面半径为2cm,母线长为5”小则圆锥的侧面积是（）

A.20cm2B.20itcm2C.lOncm2D.5ircm2

【分析】圆锥的侧面积=TTX底面半径X母线长，把相应数值代入即可求解.

【解答】解：圆锥的侧面积=TtX2X5=10nzw2,

故选：C.

【点评】本题考查圆锥侧面积的求法.

12.已知O为圆锥顶点，OA、。8为圆锥的母线，C为OB中点，一只小蚂蚁从点C开始

沿圆锥侧面爬行到点A,另一只小蚂蚁也从C点出发，绕着圆锥侧面爬行到点8,它们

所爬行的最短路线的痕迹如右图所示.若沿。4剪开，则得到的圆锥侧面展开图为（）

o

【分析】要求蚂蚁爬行的最短距离，需将圆锥的侧面展开，进而根据“两点之间线段最

短”得出结果，再利用做对称点作出另一只小蚂蚁绕着圆锥侧面爬行到点B,它们所爬

行的最短路线.

【解答】解：为02中点，一只小蚂蚁从点C开始沿圆锥侧面爬行到点A,

侧面展开图BO为扇形对称轴，连接AC即可是最短路线，

•••另一只小蚂蚁绕着圆锥侧面爬行到点作出C关于0A的对称点，再利用扇形对称

性得出关于B0的另一对称点，连接即可；

故选：C.

【点评】此题主要考查了圆锥侧面展开图以及做对称点得出最短路径，根据做对称点得

出最短路径问题是中考中考查重点也是难点，同学们应重点掌握.

13.两圆的半径分别为2和5,圆心距为7,则这两圆的位置关系为（）

A.外离B.外切C.相交D.内切

【分析】根据数量关系来判断两圆的位置关系.设两圆的半径分别为R和r，且R，r,

圆心距为出外离，贝!|d>R+r；外切，则〃=11+广；相交，则R-r<d<R+r；内切，则

d=R-r；内含，则d<R-r.

【解答】解：•••两圆的半径分别为2和5,圆心距为7,

则2+5=7,

•♦・根据圆心距与半径之间的数量关系可知OO1与的位置关系是外切.

故选：B.

【点评】本题考查了由数量关系来判断两圆位置关系的方法.

14.如图，是△ABC的外接圆，已知/42。=30°,则/ACB的大小为（）

A.60°B.30°C.45°D.50°

【分析】首先根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出/A08的度数，再利用圆

周角与圆心角的关系求出/ACB的度数.

【解答】解：△AOB中，OA=OB,NAB。=30°；

/.ZAOB=180°-2ZABO=120°；

AZACB^kzAOB=6Q°；故选A.

2

【点评】此题主要考查了圆周角定理的应用，涉及到的知识点还有：等腰三角形的性质

以及三角形内角和定理.

15.圆锥的底面直径是8,母线长为12,则这个圆锥的侧面展开图的圆心角是（）

A.60°B.120°C.150°D.180°

【分析】圆锥的侧面展开图是扇形，要求这个扇形的圆心角，已知母线长为12,即已知

扇形的半径是12,只要求出扇形的弧长就可以根据S=L次求出扇形的面积，进而根据

2

扇形面积公式求出圆心角.

【解答】解：扇形的弧长/=8m

则扇形的面积是S=L/R=LX8TTX12=48TT,

22

2

根据扇形的面积公式s=史也得到：

360

4，=n兀T曲

360

.".«=120°.

故选：B.

【点评】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算.解题思路：解决此类问题时要紧紧

抓住两者之间的两个对应关系：（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；（2）圆

锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长.正确对这两个关系的记忆是解题的关键.

16.如图，为直径，CZ）为O。的弦，ZACD=28°,则NBA。的度数为（）

【分析】连接BD,根据直径所对的圆周角是直角，构造直角三角形ABD,再根据同弧

所对的圆周角相等，求得的度数，即可求得的度数.

【解答】解：连接2D

,：AB为。。直径

/ADB=90°

'：ZB=ZACD=2S°

：.ZBAD=90°-NB=62°.

故选：C.

【点评】考查了圆周角定理的推论.构造直径所对的圆周角是圆中常见的辅助线之一.

17.已知两圆的半径分别为3、5,且它们的圆心距为2,则这两个圆的位置关系为（）

A.外离B.内切C.相交D.内含

【分析】本题直接告诉了两圆的半径及圆心距，根据数量关系与两圆位置关系的对应情

况便可直接得出答案.

【解答】解：由题意知，

两圆圆心距P=2

VR-r=5-3=2,

：.P=R-r

故两圆内切.

故选：B.

【点评】本题主要考查两圆之间的位置关系，两圆外离，则尸>R+r；外切，贝UP=R+r；

相交，则R-r<P<R+r；内切，则尸=R-r；内含，则尸<R-r.（P表示圆心距，R,

厂分别表示两圆的半径）.

18.如图，已知O。中，半径0c垂直于弦垂足为D,若。£>=3,。4=5,则的长

C.6D.8

【分析】利用垂径定理和勾股定理计算.

【解答】解：根据勾股定理得AD=4

根据垂径定理得AB=2AD=S

故选：D.

【点评】考查了垂径定理和勾股定理的运用.

填空题（共11小题）

19.半径为2且圆心角为90°的扇形面积为n.

【分析】根据扇形面积公式求出即可.

【解答】解：扇形的面积是却兀X

360

故答案为TT.

【点评】本题考查了扇形的面积计算，能熟记扇形的面积公式是解此题的关键.

20.如图，在平面直角坐标系xOy中，P是直线y=2上的一个动点，。尸的半径为1,直线

OQ切。尸于点Q,则线段OQ的最小值为

【分析】连接PQ、OP,如图，根据切线的性质得PQ±OQ,再利用勾股定理得到OQ

=./op2_1，利用垂线段最短，当O尸最小时，O。最小，然后求出OP的最小值，从而

得到OQ的最小值.

【解答】解：连接PQ、0P,如图，

:直线。。切。尸于点Q,

：.PQ±OQ,

在RtZ\OPQ中，OQ=4op2_pQ2=qop2

当。尸最小时，OQ最小，

当0尸，直线y=2时，0P有最小值2,

：.OQ的最小值为J区二=«.

故答案为m.

【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.也考查了勾股定理.

21.若一个扇形的圆心角为60°,面积为6m则这个扇形的半径为6.

【分析】已知了扇形的圆心角和面积，可直接根据扇形的面积公式求半径长.

【解答】解：扇形的面积=60兀/=67T.

360

解得：r=6,

故答案为：6

【点评】此题主要考查了扇形的面积公式.熟练将公式变形是解题关键.

22.如图，AB是。0的直径，PA,PC分别与相切于点A,点C,若NP=60°,PA=M，

则AB的长为2.

【分析】首先证明△加C是等边三角形，推出AC=阴=遂，再证明/84?=30°即可

解决问题；

【解答】解：：孙、尸3是。。的切线，

：.PA=PC,

0=60°,

...△B4C是等边三角形，

：.AC=PA=^N%C=60。,

:孙是切线，AB是直径，

：.PALAB,NACB=90°,

AZBAC=30°,

：.AB^—这—=2,

cos300

故答案为2

【点评】本题考查切线的性质、圆周角定理、等边三角形的判定和性质、锐角三角函数

等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型.

23.下面是“作一个30°角”的尺规作图过程.

已知：平面内一点A.

求作：ZA,使得NA=30°.

作法：如图，

（1）作射线AB；

（2）在射线上取一点0,以。为圆心，04为半径作圆，与射线相交于点C；

（3）以C为圆心，OC为半径作弧，与。。交于点。，作射线AD

/D4B即为所求的角.

请回答：该尺规作图的依据是三边相等的三角形是等边三角形；圆周角的度数等于圆

心角度数的一半..

久OCB

【分析】先根据作图得出OB=OC=CD,即△OCT）为等边三角形，据此可得/COD=

60°,再根据圆周角定理知NZMC=L/COZ）=30°,从而得出答案.

2

【解答】解：如图，连接OD、OC,

...△OCZ）为等边三角形，

则/COO=60°,

AZDAC=kZCOD=30°,

2

综上可知，该尺规作图的依据是：三边相等的三角形是等边三角形；圆周角的度数等于

圆心角度数的一半；

故答案为：三边相等的三角形是等边三角形；圆周角的度数等于圆心角度数的一半.

【点评】本题主要考查作图-复杂作图，解题的关键是熟练掌握等边三角形的判定和圆

周角定理.

24.下面是“用三角板画圆的切线”的画图过程.

如图1,已知圆上一点A,画过A点的圆的切线.

画法：（1）如图2,将三角板的直角顶点放在圆上任一点C（与点A不重合）处，使其

一直角边经过点A,另一条直角边与圆交于8点，连接AB；

（2）如图3,将三角板的直角顶点与点A重合，使一条直角边经过点3画出另一条直

角边所在的直线AD.

所以直线就是过点A的圆的切线.

请回答：该画图的依据是90°的圆周角所对的弦是直径，经过半径外端并且垂直于这

条半径的直线是圆的切线

B

B，

图1图2图3

【分析】画法（1）的依据为圆周角定理，画法（2）的依据为切线的判定定理.

【解答】解：利用90°的圆周角所对的弦是直径可得到AB为直径，根据经过半径外端

并且垂直于这条半径的直线是圆的切线可判断直线AD就是过点A的圆的切线.

故答案为90。的圆周角所对的弦是直径，经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆

的切线.

【点评】本题考查了作图-复杂：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般

是结合了几何图形的性质和基本作图方法.解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的

性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作.

25.如图，已知扇形的半径为3c7”，圆心角为120°,则扇形的面积为3ncm2.（结果保

留Tt）

【分析】知道扇形半径，圆心角，运用扇形面积公式就能求出.

【解答】解：由5=工（1「2知

2r

S=—XAnX32=3itcm2.

23

【点评】本题主要考查扇形面积的计算，知道扇形面积计算公式5=工（1=2・

2r

26.如图，A、B、C在。。上，若/498=100°,则130°.

【分析】首先在优弧AB上取点。，连接A。，BD,由圆周角定理可求得的度数，然

后由圆的内接四边新的性质，求得/ACB的度数.

【解答】解：在优弧上取点。，连接ADBD,

VZAOB=100°,

：.ZD=LXAOB=50°,

2

AZACB=180°-ZD=130°.

故答案为：130.

【点评】此题考查了圆周角定理与圆的内接四边形的性质.此题难度不大，注意掌握辅

助线的作法，注意数形结合思想的应用.

27.如图，将半径为2c机的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O,则折痕的长为2班

【分析】通过作辅助线，过点0作0DLA8交于点D,根据折叠的性质可知OA=2OD,

根据勾股定理可将的长求出，通过垂径定理可求出AB的长.

【解答】解：过点。作交于点。，连接OA,

*.*OA—2OD—2cm,

：.AD=^2=^2-12=43cm,

QA2_QD2

*CODLAB,

••A.B—2AZ)—2'<\/"^。力.

故答案为：2M.

O

D

【点评】本题综合考查垂径定理和勾股定理的运用.

28.已知尸是。。外一点，E4切于A,尸2切。。于2.若B4=6,则PB=6.

【分析】根据切线长定理知：PA=PB,由此可求出尸B的长.

【解答】解：都是。。的切线，且A、8是切点；

：.PA=PB,即尸8=6.

【点评】此题考查的是切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等.

29.如图，已知大半圆。。1与小半圆。。2相内切于点8,大半圆的弦切小半圆于点D

若MN〃AB,当MN=4时，则此图中的阴影部分的面积是2Tt.

A（\02B

【分析】把小半圆平移到。1,02重合，阴影部分的面积不变，根据切线的性质定理以及

勾股定理，得阴影部分的面积是卫MN2=2m

8

【解答】解：根据题意可知平移后如图：

阴影部分的面积=大半圆的面积-小半圆的面积，

S阴=—TIDN1=-L-rt,-MN1=2n.

224

【点评】注意：圆环的面积=工&2.Q即是相切于小圆的大圆的弦长）

40

三.解答题（共21小题）

30.下面是小元设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程.

已知：如图1,O。及O。上一点尸.

求作：过点尸的O。的切线.

作法：如图2,

①作射线OP;

②在直线OP外任取一点A,以点A为圆心，AP为半径作OA,与射线OP交于另一点B；

③连接并延长BA与交于点C；

④作直线PC；

则直线PC即为所求.

根据小元设计的尺规作图过程，

（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）

（2）完成下面的证明：

证明：是OA的直径，

AZBPC=90°（圆周角定理）（填推理的依据）.

J.OPLPC.

又：。尸是。。的半径，

【分析】（1）根据题意作出图形即可；

（2）根据圆周角定理得到N2PC=90°,根据切线的判定定理即可得到结论.

【解答】解：（1）补全图形如图所示，则直线PC即为所求；

（2）证明：•.•BC是OA的直径，

ZBPC=90°（圆周角定理），

：.OP±PC.

又：。尸是oo的半径，

•..PC是的切线（切线的判定）.

【点评】本题考查了切线的判定，圆周角定理，正确的作出图形是解题的关键.

31.如图，AB是。O的弦，半径OELAB,P为AB的延长线上一点，PC与。。相切于点

C,CE与交于点H

(1)求证：PC=PF；

(2)连接。2,BC,若OB〃PC,BC=3®tanP=上，求用的长.

4

【分析】(1)连接。C,根据切线的性质以及可知/E+/EFA=NOCE+/FCP

=90°,从而可知/EE4=/FCP,由对顶角的性质可知/CFP=/FCP,所以PC=PB

(2)过点B作2GLPC于点G,由于02〃PC,>OB=OC,BC=3®从而可知。3

=3,易证四边形。BGC是正方形，所以OB=CG=BG=3,所以垣所以尸G=4,

PG-4

由勾股定理可知：PB=5,所以FB=PF-PB=7-5=2.

【解答】解：(1)连接。C,

是OO的切线，

AZOCP=90°,

'：OE=OC,

：.ZE=ZOCE,

\'OELAB,

：.ZE+ZEFA=/OCE+/FCP=9Q°,

ZEFA=ZFCP,

'：ZEFA=ZCFP,

：.ZCFP=ZFCP,

：.PC=PF；

(2)过点2作BGLPC于点G,

,JOB//PC,

AZCOB=90°,

'：OB=OC,BC=3也

，OB=3,

；BGUC,

，四边形OBGC是正方形，

：.OB=CG=BG=3,

VtanP=—,

4

-

"PG^4"

：.PG=4,

由勾股定理可知：PB=5,

;PF=PC=1,

：.FB=PF-PB=7-5=2.

【点评】本题考查圆的综合问题，涉及勾股定理，等腰三角形的判定，正方形的判定，

锐角三角函数的定义等知识，需要学生灵活运用所学知识.

32.如图，A,B,C三点在OO上，直径8。平分/ABC,过点。作交弦BC于点

E,在2C的延长线上取一点R使得EF=DE.

(1)求证：。尸是的切线；

(2)连接AF交DE于点若AD=4,DE=5,求DM的长.

【分析】(1)先得出进而得出ODLDF,即可得出结论；

(2)连接。C,利用全等三角形的判定得出进而解答即可.

【解答】(1)证明：平分NA8C,

・・・ZABD=ZCBD.

*：DE//AB,

：.ZABD=ZBDE.

：.ZCBD=ZBDE.

°：ED=EF,

：.ZEDF=ZEFD.

•.*/EDF+NEFD+NEDB+NEBD=18。°,

AZBDF=ZBDE+ZEDF=90°.

：.OD±DF.

•・・。。是半径，

・・・。尸是。。的切线.

(2)解：连接DC,

;友)是。。的直径，

AZBAD=ZBCD=90°.

VZABD=ZCBD9BD=BD,

：.LABD咨ACBD.

：.CD=AD=4,AB=BC.

■:DE=5,

22,

,eeCE-7DE-DC=3EF=DE=5.

•：NCBD=NBDE,

：・BE=DE=5.

：.BF=BE+EF=10fBC=BE+EC=8.

：.AB=8.

'：DE//AB,

：.AABF^AMEF.

.AB_BF

：.ME=4.

：.DM=DE-EM=\.

【点评】主要考查了切线的判定，关键是根据全等三角形的判定和性质解答.

33.如图，4B是。。的直径，弦于点E,AM是△AC。的外角/D4尸的平分线.

(1)求证：AM是。。的切线；

(2)若/。=60°,AD=2,射线CO与AM交于N点，请写出求ON长的思路.

【分析】(1)根据垂径定理得到垂直平分CD,根据线段垂直平分线的性质得到AC

=AD,得到由AM是△AC。的外角/D4F的平分线，得到ND4M

2

=1ZE4D,于是得到结论；

2

(2)设AB与C。交于G,推出△AC。是等边三角形，得到CO=AD=2,根据直角三

角形的性质即可得到结论.

【解答】解：(1)是。。的直径，弦CDLAB于点E,

：.AB垂直平分CD,

：.AC=AD,

：.ZBAD^1-ZCAD,

2

"AM是△AC。的外角ZDAF的平分线，

ZDAM=1-ZFAD,

2

ZBAM=1-CZCAD+ZFAD)=90°，

2

：.AB±AM,

是O。的切线；

(2)思路：①由A5LCZ),AB是O。的直径，可得BC=BD,AC=AD,

Z1=Z3=1ZCAD,AC=AD；

2

②由/。=60°°,AD=2,可得△AC。为边长为2的等边三角形，Zl=Z3=30°；

③由。4=OC,可得N3=N4=30°；

④由/CAN=/3+/OAN=120°,可得/5=/4=30°,AN=AC=2；

⑤由△Q4N为含有30°的直角三角形，可求ON的长.

附解答：,：AC=AD,ZD=6Q°,

...△AC。是等边三角形，

：.CD=AD=2,

:.CG=DG=1,

：.OC=OA=2恒

3

VZ3=Z4=30°,

：.ON=2OA=4M.

【点评】本题考查了切线的判定，垂径定理，圆周角定理，等边三角形的判定和性质，

熟练掌握各定理是解题的关键.

34.如图，△ABC内接于OO,过点8作的切线DE,尸为射线8。上一点，连接CF.

(1)求证：NCBE=NA；

(2)若。。的直径为5,BF=2,tanA=2,求CF的长.

8

DFBE

【分析】(1)连接80并延长交。。于点M,连接MC,根据圆周角定理求出

ZMCB=90°,求出NM+NMBC=90。，根据切线性质求出/CBE+NM3C=90。，推

出/CBE=/M即可;

(2)过点C作CALLDE于点N,求出NCNF=90°,求出tanM=tan/CBE=tanA=2,

解直角三角形求出BC、CN、BN,求出-V,根据勾股定理求出即可.

AZA=ZM,ZMCB^90°,

/.ZM+ZMBC=90°,

是O。的切线，

AZCBE+ZMBC=90°,

：.ZCBE=ZM,

:./CBE=NA；

(2)解：过点C作CNLOE于点N,

:./CNF=90°,

由(1)得，ZM=ZCBE=ZA,

tanM=tanZCBE=tanA=2,

在RtZXBCM中，

'：BM=5,tanM=2,

/.BC=2在，

在RtZ\CNB中，

VBC=2V5>tanZCBE=2,

:・CN=4,BN=2,

•；BF=2,

：.FN=BF+BN=4,

在RtAF/VC中，

*：FN=4,CN=4,

；.CF=4后.

【点评】本题考查了解直角三角形，勾股定理，切线的性质，圆周角定理的应用，能求

出是解此题的关键，题目比较好，难度偏大.

35.如图，四边形ABCO是平行四边形，点A,B,C在。。上，与。0相切，射线AO

交BC于点E,交。0于点尺点P在射线A0上，且NPCB=2NBAF.

（1）求证：直线尸C是。。的切线；

（2）AB=V10-AD=2,求线段PC的长.

D

【分析】（1）首先连接OC,由与OO相切，可得刚，4D,四边形ABC。是平行四

边形，可得AO〃2C,然后由垂径定理可证得F是前的中点，BE=CE,ZOEC=90°,

又由/PCB=2/BAF,即可求得NOC£+NPC8=90°,继而证得直线PC是。。的切线；

（2）首先由勾股定理可求得AE的长，然后设OO的半径为r,则OC=OA=r,OE=3

-r,则可求得半径长，易得AOCEs^CPE,然后由相似三角形的对应边成比例，求得

线段PC的长.

【解答】（I）证明：连接0C.

•.2。与O。相切于点A,

：.FA±AD.

•；四边形ABCD是平行四边形，

J.AD//BC,

：.FA±BC.

;砌经过圆心o,

；.尸是标的中点，BE=CE,ZOEC=90°,

：.ZCOF=2ZBAF.

,：ZPCB=2ZBAF,

：.ZPCB=ZCOF.

VZOC£+ZCOF=180°-ZO£C=90°,

：.ZOCE+ZPCB^90°.

：.OCLPC.

:点c在。。上，

直线PC是。。的切线.

(2)解：：四边形ABC。是平行四边形,

：.BC=AD=2.

：.BE=CE=1.

在中，ZA£B=90°,AB=V10-

AE=7AB2-BE2=3-

设。。的半径为r,则0c=。4=厂，OE=3-r.

在RtZXOCE中，ZO£C=90°,

OC2=OE1+CE1.

；/=(3-r)2+l.

解得r至，

r3

,：ZCOE=ZPCE,ZOEC=ZCEP=90°.

:*△OCEs^CPE,

•QE_0C

D

【点评】此题考查了切线的判定、平行四边形的性质、勾股定理以及相似三角形的判定

与性质.此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方程思想的

应用.

36.如图，为的直径，射线AP交O。于C点，NPC。的平分线交。。于。点，过

点D作DE±AP交AP于E点.

(1)求证：DE为。。的切线；

(2)若DE=3,AC=8,求直径AB的长.

【分析】(1)连接0。，若要证明DE为。。的切线，只要证明NODE=90°即可;

(2)过点0作于F,利用垂径定理以及勾股定理计算即可.

【解答】(1)证明：连接0D

VOC=OD,

AZ1=Z3.

.*.Z1=Z2.

.*.Z2=Z3.

,：DELAP,

：.Z2+ZEDC=90°.

/.Z3+ZEDC=90°.

即NODE=90°.

：.OD±DE.

为。。的切线.

(2)过点0作。尸_LAP于F.

由垂径定理得，AF=CF.

VAC=8,

：.AF=4.

"ODLDE,DELAP,

四边形ODEF为矩形.

OF=DE.

'：DE=3,

：.OF=3.

在RtZXAOF中，OA2=OF2+AF2=42+32=25.

：.OA=5.

：.AB=2OA=10.

【点评】本题考查了圆的切线的判定和性质、垂径定理的运用、矩形的判定和性质以及

勾股定理的运用，题目的综合性很强，难度中等，是一道不错的中考题.

37.如图，为。。的直径，BC切。。于点3,AC交。。于点D,E为BC中点、.

(1)求证：DE为。0的切线；

(2)延长ED交的延长线于F,若。歹=4,AF=2,求BC的长.

E

AoB

【分析】（1）连接。。和根据直角三角形斜边上中线性质得出DE=BE,推出/2

=/4,根据等腰三角形性质得出/1=/3,根据N3+/4=N1+N2=NABC=9O°,根

据切线的判定推出即可；

（2）在中，根据勾股定理求出半径，证AFDOSAFBE,得出比例式求出BE,

即可求出BC.

【解答】解（1）如图，连接DB,0D,

'：OD=OB

>\Z1=Z3.

；AB是。。的直径，

AZADB=90°=/CDB,

为BC中点，

：.DE=BE,

>\Z2=Z4.

「BC切OO于点2,

/.ZABC=90°=Z3+Z4,

.\Z1+Z2=9O°,

：.OD±DE,

：0。为。0半径，

为。。的切线；

(2)"ODLDE,

：.ZFDO=90°,

设OA—OD=r.

•：OP=F0+O0,DF=4,A尸=2,

(r+2)2=42+r2,

解得r=3,

\OA=OD=3,FB=8,

:/F=/F,NFDO=/FBE=9Q°,

,.△FDOsAFBE,

FD_0D,

•而

,.BE=6,

为BC中点，

\BC=2BE=n.

【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定，直角三角形斜边上中线性质，勾股定理,

切线的判定，等腰三角形的性质等知识点的综合运用.

38.如图，是。。的直径，点C在。。上，CELA3于E,CD平分NECB,交过点B的

射线于。，交AB于F,且BC=BD.

(1)求证：2。是。。的切线；

(2)若AE=9,CE=12,求BF的长.

【分析】(1)要证明3。是。。的切线，由已知条件转化为证明NO8A=90°即可；

(2)连接AC,利用三角形相似求出BE的值，由勾股定理求出的值，由已知条件再

证明/相似三角形的性质利用：对应边的比值相等即可求出8月的长.

【解答】(1)证明：ICELAB,

：./CEB=9U0.

•・•CD平分/ECB,BC=BD,

・・・N1=N2,Z2=ZD.

・・・N1=/D,

：.CE//BD,

：./DBA=NCEB=90°,

・・・A8是。。的直径，

・・・BO是。。的切线；

(2)解：连接AC,

TAB是。0直径，

AZACB=90°.

VCEXAB,

AZAEC=ZBEC^90°,

VZA+ZABC=90°,ZA+ZACE=90°,

ZACE=AABC,

：.AACE^ACBE,

...%=箜，gpCE1=AE*EB,

EBCE

*：AE=9,CE=12,

：.EB=16,

在Rt/XCEB中，NCEB=9Q,由勾股定理得BC=20,

:.BD=BC=20,

'：Zl=ZD,ZEFC=ZBFD,

：./\EFC^/\BFD,

•CE=EF；

"BD而'

即12J6-BF

20"BF

【点评】本题考查了切线的判定定理、圆周角定理、相似三角形判定和相似三角形的性

质以及勾股定理的运用，题目综合性很强，难度不大.

39.如图，在△A