相似三角形压轴训练-2023年中考数学考点微

考向5.7相似三角形压轴训练专题

例题：(2021・安徽・中考真题)如图1,在四边形ABCZ)中，/ABC=/BCD,点、E在边

8c上，且AE//CQ,作CF//AD交线段AE于点/，连接BF.

(1)求证：AABF^AfAD；

(2)如图2,若AB=9,CD=5,NECF=ZAED,求BE的长;

(3)如图3,若8b的延长线经过AO的中点M,求B芸E的值.

(1)证明：AE//CD,

:.ZAEB=/DCE；

DE//AB,

:.ZABE=ZDEC,Z1=Z2,

ZABC=ZBCD,

:.ZABE=ZAEB,ZDCE=ZDECf

/.AB=AEfDE=DC,

AF//CDfADHCF,

二•四边形是平行四边形

AF=CD

AF=DE

在/AB/7与一EW中.

AB=EA

«N1=N2,

AF=ED

:./\ABF^/\EAD(SAS)

AA

BF=AD,

在UMFCD中，AD=CF,

:.BF=CF,

/FBC=/FCB,

又JFCB=Z2,Z2=Z1,

・.NFBC=N1,

在△EB/7与一E4B中.

(ZEBF=Z1

[ZBEF=ZAEB'

/.Z\EBFs/\EAB；

,EB_EF

,'EA~~EB；

AB=9,

/.AE=9；

CD=5,

A尸=5；

..EF=4,

EB4

—=—，

9EB

:.BE=6或-6(舍)；

(3)延长8"、ED交于点G.

,产

A/!

3

BEC

一ABE%£>CE均为等腰三角形，ZABC=ZDCE,

.ABAEBE

'~DC~~DE~~CE'

设CE=1,BE=x,DC=DE=a,

则A8=4石=◎,AF=CD=a,

EF=a(x-1),

AB!IDG,

.-.Z3=ZG；

在△M4B与/.MDG中，

23=NG

,N4=N5,

MA=MD

/.AMAB^^MDG(AAS)；

/.DG=AB=ax.

EG=a(x+l)；

ABIIEG,

.•△FABS^FEG,

FAAB

——=-----,

FEEG

.a_ax

'a(x-i)~a(x+1)，

/.x(x-l)=x+l,

.b.x2—2.x—1=0,

/.(x—I)2=2,

x=1±V2，

X1=1—V2(舍)，x2=14-\/2,

.再=1+0.

EC

1、相似三角形综合题往往与勾股定理、三角形全等、平行四边形知识相结合在一起，考查学生的综合

能力；

2、本题是三角形综合题，考查了全等三角形的性质及判定、相似三角形的性质及判定，熟练判定三角

形全等及相似是解决问题的关键.

，经典变式麻

一、单选题

1.（2018・山东聊城•中考真题）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OA,OC

分别在x轴和y轴上，并且OA=5,OC=3.若把矩形OABC绕着点O逆时针旋转，使点A

恰好落在BC边上的A1处，则点C的对应点Ci的坐标为（）

2.（2020・四川遂宁•中考真题）如图，在正方形ABC。中，点E是边8C的中点，连接AE、

DE,分别交AC于点P、Q,过点尸作PFLAE交CB的延长线于尸，下列结论：

®ZAED+ZEAC+ZEDB=90°,

②AP=FP,

③4f=叵AO,

2

④若四边形OPEQ的面积为4,则该正方形ABCD的面积为36,

⑤CE*EF=EQ,DE.

其中正确的结论有（）

3.（2018•广西桂林・中考真题）如图，在平面直角坐标系中，M、N、C三点的坐标分别为（3,

1）,（3,I）,（3,0）,点A为线段MN上的一个动点，连接AC,过点A作AB_LAC交y

轴于点B,当点A从M运动到N时，点B随之运动，设点B的坐标为（0,b）,则6的取

值范围是（）

919

C.——<b<-D.——<Z><1

44424

二、填空题

4.（2017•贵州黔南•中考真题）如图，在ABC中，AB=2,AC=4,A3C绕点C按逆时

针方向旋转得到△ABC,使C夕〃AB,分别延长AB,CA相交于点D,则线段BD的长

为一

5.（2016•四川资阳•中考真题）如图，在等腰直角△ABC中，ZACB=90°,COLAB于点O,

点D、E分别在边AC、BC±,且AD=CE,连结DE交CO于点P,给出以下结论：

①ADOE是等腰直角三角形；②/CDE=NCOE；③若AC=1,则四边形CEOD的面积为1;

@AD2+BE2-2OP2=2DP-PE,其中所有正确结论的序号是.

三、解答题

6.（2019•广西梧州•中考真题）如图，在矩形ABC。中，A8=4,BC=3,AF平分ND4C,

分别交OC,8c的延长线于点邑尸；连接。尸，过点A作AH//DF,分别交8D,8尸于点

G,H.

（1）求。E的长；（2）求证：Z1=Z£>FC.

H

7.(2012•浙江金华•中考真题)在锐角AABC中,AB=4,BC=5,ZACB=45°,将AABC绕

点B按逆时针方向旋转，得到4A山Ci.

(1)如图1,当点Ci在线段CA的延长线上时，求/CGAi的度数；

(2)如图2,连接AAi,CCi.若AABAi的面积为4,求ACBCI的面积；

(3)如图3,点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在AABC绕点B按逆时针

方向旋转过程中，点P的对应点是点P”求线段EPi长度的最大值与最小

值.

B

图1

8.(2013•江苏盐城・中考真题)阅读材料：如图①，AABC与ADEF都是等腰直角三角形,

ZACB=ZEDF=90°,且点D在AB边上，AB、EF的中点均为O,连结BF、CD、CO,显

然点C、F、O在同一条直线上，可以证明△BOF丝△(»口,则BF=CD

解决问题:

(1)将图①中的RtADEF绕点O旋转得到图②，猜想此时线段BF与CD的数量关系，并

证明你的结论；

(2)如图③，若△ABC与△DEF都是等边三角形，AB、EF的中点均为O,上述(1)中结

论仍然成立吗？如果成立，请说明理由；如果不成立，请求出BF与CD之间的数量关系；

(3)如图④，若△ABC与ADEF都是等腰三角形，AB、EF的中点均为O,且顶角

ZACB=ZEDF=a,请直接写出黑的值(用含a的式子表示出来).

9.(2018•浙江舟山•中考真题)已知，AABC中，Zfi=ZC,P是8C边上一点，作

NCPE=NBPF,分别交边AC,A8于点E,F.

(1)若NCPE=NC(如图1),求证：PE+PF^AB.

(2)若NCPExNC,过点B作NC8D=NCP£,交C4(或C4的延长线)于点。.试猜想:

线段PE,PF和B。之间的数量关系，并就NCPE>NC情形(如图2)说明理由.

(3)若点尸与A重合(如图3),ZC=27,且以=A£.

①求NCPE的度数；

22

②设P8=a,PA=b,AB=c,试证明：〃=巴二

10.(2015•四川成都•中考真题)如图，在RtAABC中，NABC=90。，AC的垂直平分线分

别与AC,BC及AB的延长线相交于点D,E,F,且BF=BC,OO是^BEF的外接圆，ZEBF

的平分线交EF于点G,交于点H,连接BD、FH.

(1)求证：ZkABC丝Z\EBF；

(2)试判断BD与。。的位置关系，并说明理由；

(3)若AB=1,求HG・HB的值.

一、单选题

1.（2021.广西百色.中考真题）如图，矩形A8CO各边中点分别是E、F、G、H,48=26，

BC=2,M为AB上一动点，过点M作直线/LA8,若点M从点A开始沿着A3方向移动到

点8即停（直线/随点M移动），直线/扫过矩形内部和四边形EFG”外部的面积之和记为

S.设AM=x,则S关于x的函数图象大致是（）

2.（2019•辽宁鞍山•中考真题）如图，正方形ABCO和正方形CGFE的顶点C,D,E在同

一条直线上，顶点B,C,G在同一条直线上.。是EG的中点，NEGC的平分线GH过点

D,交BE于点H,连接F"交EG于点"，连接。从以下四个结论：①GH_LBE；

②AEHMs&GHF；=-1；④率皿=2-五，其中正确的结论是（）

CGVHOG

C.①③④D.②③④

3.（2015・广西贵港•中考真题）如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BELAC于点

F,连接DF,分析下列五个结论：①△AEFs^CAB；②CF=2AF；③DF=DC；

④tan/CAD=应；⑤S四边形CDEF=~SAABF,其中正确的结论有（)

C.3个D.2个

二、填空题

4.（2017・湖北十堰•中考真题）如图，正方形ABCD中，BE=EF=FC,CG=2GD,BG分别

交AE,AFTM,N.下歹ij结论：®AF±BG；®BN=-NF；(§)—=-；@S四边形CGNF=­S

3MG8£

四边形ANGD.其中正确的结论的序号是

B

5.（2015•四川南充・中考真题）如图，正方形ABCD边长为1,以AB为直径作半圆，点P

是CD中点，BP与半圆交于点Q,连结DQ.给出如下结论：①DQ=1；②三三二三；③S“DQ

我电二

=L；④cos/ADQ=3.其中正确结论是.（填写序号）

S5

三、解答题

6.（2021.内蒙古赤峰.中考真题）数学课上，有这样一道探究题.

如图，已知ABC中，AB=AC=m,BC=n,NBAC=a（0。va<180。），点P为平面内不与点

A、C重合的任意一点，将线段CP绕点尸顺时针旋转。，得线段PQ,E、尸分别是C&CD

FF

的中点，设直线AP与直线EF相交所成的较小角为£,探究不；的值和夕的度数与相、〃、a

AP

的关系，请你参与学习小组的探究过程，并完成以下任务：

（1）填空：

【问题发现】

小明研究了a=60。时，如图1,求出了空=___________,/=___________；

PA

EF

小红研究了a=90。时，如图2,求出了背二___________，0=___________；

PA

【类比探究】

pc

他们又共同研究了。=120。时，如图3,也求出了亮7；

PA

【归纳总结】

FF

最后他们终于共同探究得出规律:a=__________（用含加、〃的式子表示）；尸=____________

PA

（用含a的式子表示）.

（2）求出a=120。时不：的值和户的度数.

7.（2021・湖南岳阳・中考真题）如图，在RABC中，ZACB=90°,NA=60。，点。为A8的

中点，连接C。，将线段C。绕点。顺时针旋转e（60。<e<120。）得到线段E。，且红>交线

段BC于点G,N8E的平分线。0交BC于点”.

（1）如图1,若a=90。，则线段比）与BD的数量关系是,—=

（2）如图2,在（1）的条件下，过点C作CF〃£）£交。0于点F,连接EF,BE.

①试判断四边形。所的形状，并说明理由；

BE_V3

②求证:

FH~3

（3）如图3,若AC=2,tan（a-60°）=m,过点C作C尸〃。E交£>M于点F,连接EF,

BE,请直接写出BE芸的值（用含，”的式子表示）.

8.(2021・四川乐山・中考真题)在等腰ABC中，48=AC,点。是BC边上一点(不与点8、

C重合)，连结AD.

(1)如图I,若NC=60°,点。关于直线AB的对称点为点E,结4E,OE,则

ZBDE=；

(2)若NC=60°,将线段AO绕点A顺时针旋转60。得到线段AE,连结跖.

①在图2中补全图形；

②探究CQ与BE的数量关系，并证明；

AfiAF)

(3)如图3,若====%，且NADE=NC,试探究的、B。、AC之间满足的数量关

BCDE

系，并证明.

9.(2020.湖北省直辖县级单位.中考真题)实践操作：第一步：如图1,将矩形纸片ABC。沿

过点。的直线折叠，使点A落在C3上的点4处，得到折痕OE,然后把纸片展平.第二步:

如图2,将图1中的矩形纸片ABCO沿过点E的直线折叠，点C恰好落在AO上的点C'处,

点8落在点B'处，得到折痕EF,BC'交AB于点M,CF交DE于点、N,再把纸片展平.

问题解决:

(1)如图1,填空：四边形的形状是.

(2)如图2,线段MC'与ME是否相等？若相等，请给出证明；若不等，请说明理由;

（3）如图如若AC'=2cm,DC=4cm,求。MEN的值.

10.（2020・四川内江•中考真题）如图，正方形ABC。中，P是对角线AC上的一个动点（不

与A、C重合），连结BP,将8P绕点B顺时针旋转90。到8Q,连结QP交BC于点E,QP

延长线与边AO交于点F.

（1）连结CQ,求证：AP^CQ.（2）若求CE:5c的值；（3）求证：PF=EQ.

11.（2021.湖北十堰.中考真题）已知抛物线＞=以2+"_5与x轴交于点A（T,0）和

B（-5,0）,与y轴交于点C,顶点为P,点N在抛物线对称轴上且位于x轴下方，连AN交

抛物线于M,连AC、CM.

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1,当tan/ACM=2时，求M点的横坐标；

（3）如图2,过点P作x轴的平行线/,过用作于。，若MD=JiMN,求N点的

坐标.

参考答案

1.A

【解析】

【分析】直接利用相似三角形的判定与性质得出ZiONG三边关系，再利用勾股定理得出答

案.

【详解】

过点C|作C1N±X轴于点N,过点A1作A|M±X轴于点M,

Z1=Z2=Z3,

则△AiOMs/\oCiN,

'.'OA=5,OC=3,

OA|=5,A|M=3,

.\OM=4,

・••设NO=3x,则NC尸4x,OCi=3,

则(3x)2+(4x)2=9,

3

解得：X=±|(负数舍去)，

912

贝UNO=y,NC产彳，

912

故点C的对应点Ci的坐标为：＞—).

故选A.

【点拨】此题主要考查了矩形的性质以及勾股定理等知识，正确得出△AQMS^OGN是

解题关键.

2.B

【解析】

【分析】①正确:证明/EOB=NEOC=45。，再利用三角形的外角的性质即可得出答案；

②正确：利用四点共圆证明/AFP=/ABP=45。即可；

③正确：设BE=EC=a,求出AE,OA即可解决问题；

④错误：通过计算正方形ABCD的面积为48；

⑤正确：利用相似三角形的性质证明即可.

【详解】

①正确：如图，连接OE,

D

FBEL

・・•四边形ABCD是正方形，

・・・AC_LBD,OA=OC=OB=OD,

.\ZBOC=90°,

VBE=EC,

/.ZEOB=ZEOC=45°,

■:ZEOB=ZEDB4-ZOED,ZEOC=ZEAC+ZAEO,

NAED+ZEAC+ZEDO=ZEAC+ZAEO+ZOED+ZEDB=90°,故①正确；

②正确：如图，连接AF,

VPF1AE,

.\ZAPF=ZABF=90°,

AA,P,B,F四点共圆，

・・・NAFP=NABP=45。，

・・・NPAF=/PFA=45。，

・・・PA=PF,故②正确；

③正确：设BE=EC=a,贝ijAE=J^a,OA=OC=OB=OD=0a,

工怛=华=叵，即AE=Y^A0,故③iE确；

AOV2a22

④错误：根据对称性可知，AOPE-AOQE,

S^OEQ=5S四边形OPEQ=2，

VOB=OD,BE=EC,

ACD=2OE,OE1CD,

EQ_OE_1

△OEQACDQ,

DQCD2

.・S/\ODQ_4,SACDQ_8,

,・S/^CDCJ-12，

,•S正方形ABCD=48,故④错误;

⑤正确：VZEPF=ZDCE=90°,ZPEF=ZDEC,

.'△EPFAECD,

.EFPE

*'ED-EC)

，EQ=PE,

.,.CE«EF=EQ«DE,故⑤正确；

综上所诉一共有4个正确，故选：B.

【点拨】本题主要考查了三角形外角性质、四点共圆问题、全等与相似三角形的综合运用,

熟练掌握相关概念与方法是解题关键.

3.B

【解析】

PBpA

【分析】延长NM交y轴于P点，则MN，y轴.连接CN.证明/kPABs^NCA,得出)=▽.

NANC

3Q

设PA=x,则NA=PN-PA=3-x,设PB=y,代入整理得到y=3x-f=-。一寸+“根据二

次函数的性质以及求出y的最大与最小值，进而求出b的取值范围.

【详解】

解：如图，延长NM交y轴于P点，则MNJ_y轴.连接CN.

在4PAB与ANCA中，

JNAPB=NCM4=9O。

[ZPAB=ZNCA=90°-^CAN，

/.△PAB^ANCA,

.PBPA

・•丽一正’

设PA=x,则NA=PN-PA=3-x,设PB=y,

•••一一•一，

3-x1

V-KO,|<x<3,

3995

，x=7时，y有最大值了，此时b=l-：=-T，

2444

x=3时,y有最小值0,此时b=l,

，b的取值范围是

4

故选：B.

【点拨】本题考查/相似三角形的判定与性质，二次函数的性质，得出y与x之间的函数解

析式是解题的关键.

4.6.

【解析】

【详解】

试题分析：；将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△ABC,AB=2,AC=4,

；.AB=AB=2,AC=AC=4,NCAB=NA.

又YCB/AB,二/人8=久.•.△ACB'saDAC.

CVA'R'49

——=——,即——=—nAD=8.；.BD=6.

ADACAD4

考点：1.旋转的性质；2.平行的性质；3.相似三角形的判定和性质.

5.①②③④.

【解析】

【详解】

试题分析：①正确.如图，：/ACB=90。，AC=BC,C01AB

/.AO=OB=OC,NA=NB=NACO=NBCO=45。，在△ADO和△CEO中，VOA-OC,

ZA=ZECO,AD=CE,AAADO^ACEO,；.DO=OE,ZAOD=ZCOE,

.,.ZAOC=ZDOE=90°,...△DOE是等腰直角三角形.故①正确.

②正确.VZDCE+ZDOE=180°,；.D、C、E、O四点共圆，D/CDE=NCOE,故②正确.

③i上确.AC=BC=1,S△ABC=gx1x1=S四边)g

DCEO=SADOC+SACEO=$ACDO+SAADO=SAAOC=；SAABC=T，故③正确.

24

④正确.YD、C、E、O四点共圆，；.OP・PC=DP・PE,，2。尸+2DP・PE=2。尸2+2OP・PC=2OP

(OP+PC)=2OP«OC,VZOEP=ZDCO=ZOCE=45°,ZPOE=ZCOE,AOPE^AOEC,

OPOF

.,.0P9C=°E2,20P2+2DP«PE=2OE2=DE2=CD2+CE1,VCD=BE,

OEOC

CE=AD,AD-+BE2=2OP2+2DP-PE,AD2+BE2-2OP2=2DP-PE.

故④正确.

考点：勾股定理；四点共圆.

3

6.(1)£>£=-；(2)见解析.

【解析】

【分析】(1)由AD//CF,"平分NQAC,可得NR4c=NAFC,得出AC=CE=5,可

Annr

证出则黑=先，可求出。石长；

CFCE

(2)ill/^ADG^AHBG,可求出。G,则匹=型，可得EG//8C,则/1=ZA"C,根

DGDB

据。/〃可得NA//C=/DFC,结论得证.

【详解】

(1)解：・・•矩形A3C0中，AD//CF,

：.ZDAF=ZACF,

平分ND4C,

:・ZDAF=4CAF,

：.ZFAC=ZAFC,

・•・AC=CFf

・.,A8=4,8C=3,

・•・AC7AB2+BC2="+42=5,

・•・CF=5,

■:AD//CF,

/.\ADEsbFCE,

.ADDE

^~CF~~CE'

3x

设=则==一，

54-x

3

mx=-

(2)VAD//FH,AF//DH,

・•・四边形ADFH是平行四边形,

:.AD=FH=3,

:・CH=2,BH=5

AD//BH,

:.MDGS^HBG,

.DGAD

••=.

BGBH

,DG3

5-DG~59

.DEDC4

"DG-?

EGUBC,

：.N1=ZA//C,

又:DF//AH,

JZAHC=/DFC,

ZA=ADFC.

【点拨】考核知识点：相似三角形综合运用.证明相似三角形，运用相似三角形性质是关键.

7.(1)ZCCiAi=90°.

25

(2)SACBCI=­•

4

(3)最小值为：EPi=|0-2.

最大值为：EPi=7.

【解析】

【分析】(1)由旋转的性质可得：NAQB=NACB=45。，BC=BJ,又由等腰三角形的性质，

即可求得/CGAi的度数.

(2)由旋转的性质可得：4ABC♦△AIBCI,易证得AABA|S/\CBCI,利用相似三角形的

面积比等于相似比的平方，即可求得ACBCi的面积.

(3)由①当P在AC上运动至垂足点D,AABC绕点B旋转，使点P的对应点Pi在线段

AB上时，EPi最小；②当P在AC上运动至点C,aABC绕点B旋转，使点P的对应点巴

在线段AB的延长线上时，EPi最大，即可求得线段EPi长度的最大值与最小值.

【详解】

解：⑴I•由旋转的性质可得:ZAiCiB=ZACB=45°,BC=BC”

，ZCC|B=ZC|CB=45°.

二/CCiA产/CGB+NAiGB=450+45°=90°.

(2)•.,由旋转的性质可得：aABC也Z\A山G,

；.BA=BAi,BC=BC"/ABC=/AIBCI.

BABA.

A—=-r-r，ZABC+ZABCi=ZA|BCi+ZABCi

AZABA^ZCBCi.

/.△ABAi^ACBCi

(3)过点B作BDJ_AC,D为垂足,

「△ABC为锐角三角形，.•.点D在线段AC上.

在RIABCD中，BD=BCxsin45°=-五.

2

①如图1,当P在ACt：运动至垂足点D,4ABC绕点B旋转，使点P的对应点Pi在线段

AB上时，EP,最小.最小值为：EPi=BP,-BE=BD-BE=|应-2.

②如图2,当P在AC上运动至点C,AABC绕点B旋转，使点P的对应点Pi在线段AB

的延长线上时，EPi最大.最大值为：EP产BC+BE=5+2=7.

2

图2

8.（1）根据等腰直角三角形和旋转的性质，由SAS证出△BOFgZ\COD,即可得出结论.

（2）不成立.根据等边三角形和旋转的性质，证出△BOFs^COD,即可得出结论.

/）、BFa

（3）——=tan—.

CD2

【解析】

【详解】

分析：（1）根据等腰直角三角形和旋转的性质，由SAS证出△BOF丝aCOD,即可得出结

论.

（2）根据等边三角形和旋转的性质，证出△BOFs/\COD,即可得出结论.

（3）如图，连接CO、DO,仿（2）可证ABOFs/XCOD,从而芸=朕.

解：（1）相等.证明如下:

如图，连接CO、DO,

•••△ABC是等腰直角三角形，点O是AB的中点,

-,.BO=CO,CO±AB..\ZBOC=90°.

同理，FO=DO,NDOF=90°.

ZBOF=90°+ZCOF,ZCOD=90I,+ZCOF.

Z.ZBOF=ZCOD.A△BOF^ACOD(SAS).

；.BF=CD.

(2)不成立.

如图，连接CO、DO,

VAABC是等边三角形，ZCBO=60°.

•点。是AB的中点，/.CO±AB,即/BOC=90°.

.•.在RSBO*,tanZCBO=—="

BO

DO

同理，ZDOF=90°,

需s・温FO

又,/ZBOF=90°+ZCOF,ZCOD=90°+ZCOF.

ZBOF=ZCODAABOF^ACOD.?.—=——=6.

BFBO

CD=KBF.

/与、BFa

(3)——=tan—.

CD2

9.(1)证明见解析；(2)猜想：BD=PE+PF,理由见解析；(3)®ZCPE=51;②证明

见解析.

【解析】

【详解】

【分析】(1)根据平行线的判定，得到PE//AF,PF//AE,证明=即可证明

PE+PF=AB.

(2)过点B作。C的平行线交EP的延长线于点G,证明AF3P丝AGBNA%),得到

PF=PG.

证明四边形8GM是平行四边形，即可得到BD=EG=PG+PE=PE+PF.

(3)@iS^CPE=ZBPF=x,NAPE=NPEA=NC+NCPE=27+x,根据三角形的内角

和列出方程，求解即可.

②延长84至M,使AM=AP,连结MP,证明.根据相似二角形的性质得到

BPBM十.

布=/，即可证明―

【解答】(1)VZB=ZC,/CPE=/BPF,/CPE=/C,

：,ZB=ZBPF=/CPE,/BPF=/C,

:・PF=BF,PE//AF,PF//AE,

PE=AF.

PE+PF=AF+BF=AB.

(MMann

(2)猜想：BD=PE+PF,理由如下：

过点B作DC的平行线交律的延长线于点G,

则ZABC=NC=NCBG,

■:/CPE=/BPF,

：.ZBPF=ZCPE=NBPG,

又BP=BP,

:.AFBPgAGBP(ASA),；.PF=PG.

■:/CBD=NCPE,

:.PEIIBD,

，四边形8GEO是平行四边形，

・・・BD=EG=PG+PE=PE+PF.

(j

(B24OM2)

(3)①设NCPE=NBPF=x,

VZC=27,PA=AE,

:.ZAPE=/PEA=NC+/CPE=27+x,

又NBP4+N4PE+NCPE=180,艮Px+x+27+x=180,

Ax=51,即NC?E=51.

②延长84至M,使AM=AP,连结MP,

VZC=27,/BPA=NCPE=51.

AZBAP=\S0一/B—NBPA=102=NM+NMPA,

vAA/=AP,：.ZM=ZMPA=-ZBAP=5l,

2

；・ZM=NBPA,

而NB=NB,

：・^ABP~"BM.

.BPBM

••耘一*'

•'­BP?=ABBM

PB=arPA=AM=b,AB=c,

a2=c(Z?+c),

am3)

【点评】考查平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性

质，综合性比较强，对学生综合能力要求较高.

10.(1)证明见试题解析；(2)相切，理由见试题解析；(3)2+后.

【解析】

【分析】(1)由NABC=90。和FD1_AC,得到NABF=NEBF,由NDEC=/BEF,得至lj

ZDCE=ZEFB,从而得到△ABC且z^EBF(ASA)；

(2)BD与。O相切.连接OB,只需证明/DBE+/OBE=90。，即可得到OB_LBD,从而

有BD与。O相切：

(3)连接EA,EH,由DF为线段AC的垂直平分线，得至UAE=CE,由△ABC^^EBF,

得到AB=BE=1,进而得到CE=AE=y/2AB=&，故BF=BC=1+应，即可得出结论

E尸=4+20，又因为BH为角平分线，易证AEHF为等腰直角三角形，故£^=2"产，

得至IJHF?=2+夜，再由AGHFSZXFHB,得到HG.HB=HF2.

【详解】

解：⑴VZABC=90°,

/CBF=90°,

•.*FD±AC,

ZCDE=90°,

/ABF=/EBF,

\'ZDEC=ZBEF,

AZDCE=ZEFB,

,:BC=BF,

.,.△ABC^AEBF(ASA)；

(2)BD与。O相切.

理由：连接OB,

・・・DF是AC的垂直平分线，

.'.AD=DC,.'.BD=CD,

AZDCE=ZDBE,

VOB=OF,

.'.ZOBF=ZOFB,

VZDCE=ZEFB,

.\ZDBE=ZOBF,

VZOBF+ZOBE=90°,

.'.ZDBE+ZOBE=90°,

AOB1BD,

・・・BD与。O相切；

(3)连接EA,EH,

・・・DF为线段AC的垂直平分线，

.,.AE=CE,

VAABC^AEBF,

AAB=BE=1,

CE=AE=y/2AB=>/2，

:.BF=BC=\+C，

：.E尸2=B炉+8尸=1+(]+&丫=4+2&,

又：BH为角平分线，

ZEBH=ZEFH=45°,

；.NHEF=NHBF=45°,ZHFG=ZEBG=45°,

...△EHF为等腰直角三角形，

EF2=2HF2，

HF2=-EF2=2+42,

2

VZHFG=ZFBG=45°,ZGHF=ZGHF,

.,.△GHF^AFHB,

.HFHG

一而一赤’

/•HGHB=HF2,

HGHB=HF2=2+>/2.

【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，勾

股定理，线段的垂直平分线的性质，直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，熟

练掌握这些定理是解题的关键.

1.D

【解析】

【分析】把“点的运动过程分为AE段（04x4退）和BE段两个过程,

然后根据题意可知在此段5=5,£+%;加-54皿7皿$,分别表示出四个三角形的面

积即可用X表示出S；同理当在BE段时S=SxAE+SAGH0+5AEOM+&gS,，分别表示出四

个三角形的面积即可用x表示出S；最后根据x与S的函数关系式对图像进行判断即可

【详解】

解：如下图所示，当M点的运动过程在AE段

则由题意可知S=S&HAE+S&GHD—SAEOM~

.四边形ABC。是矩形，直线H、E、F、G为4£）、AB,BC、CD的中点

=

,•S&HAE=SAGHD>S&EOM^AGPS

S=2S&HAE_2S&EOM

---S.=-AE-AH,AH=-AD=-BC=l,AE=-AB=y/3

△ZHMAEF2222

•.•直线ILAB

ZOME=ZA=90°

：./\HAE^/\OME

.AHOM

"AE~ME

OM=—ME

3

又；ME=AE-AM=>/3-x

如下图所示，当M点的运动过程在BE段

+

同理当在BE段时S=S&HAE+^^GHD+^'△G^S1

即S=25&HAE+2s△EQM]

同理可以得到O|M|=*M、E

M]E=AMt-AE=x-y/3

1'-OM=。M[E=与1-6)

•，•SAEOM=g0M.%E=£(x-6『

,・S=2s△/M£+2s△£QM=6+干(工一”

综上所述当例点的运动过程在AE段时S=2S,E-2S-”=6-二次函数

开口向下；当M点的运动过程在BE段时S=6+#(x-百丫，二次函数开口向上

故选D.

【点拨】本题主要考查了二次函数图像，矩形的性质，相似三角形等等知识点，解题的关键

在于能够熟练掌握相关知识点进行求解运算.

2.A

【解析】

【分析】由四边形ABCD和四边形CGFE是正方形，得出△BCE04DCG,推出

ZBEC+ZHDE=90°,从而得GH1BE；由GH是NEGC的平分线，得出△BGH^AEGH,

再由O是EG的中点，利用中位线定理，得HO〃BG且HO=；BG：由AEHG是直角三角

形，因为O为EG的中点，所以OH=OG=OE,得出点H在正方形CGFE的外接圆上，根据

圆周角定理得出NFHG=NEHF=NEGF=45。，NHEG=NHFG,从而证得△EHMS/\GHF；

设HN=a,则BC=2a,设正方形ECGF的边长是2b,则NC=b,CD=2a,由HO〃BG,得出

△DHN-ADGC,即可得出朕=空，得到与”=±，即a2+2ab-b2=0,从而求得

DCCG2a2b

为=ai—-1,设正方形ECGF的边长是2b,则EG=2应b,得至l」HO=&b,通过证得

CG

△MHO^AMFE,得到QM=51=回=走，进而得到

EMEF2b2

OMOM_1_=72-1,进一步得到欠1_J&HOM=V2—1.

OE-（1+夜）OM-1+0SidiOG

【详解】

解：如图,

・・•四边形ABCD和四边形CGFE是正方形，

・・・BC=CD,CE=CG,ZBCE=ZDCG,

在4BCE和^DCG中，

BC=CD

</BCE=/DCG

CE=CG

.,.△BCE^ADCG(SAS),

AZBEC=ZBGH,

VZBGH+ZCDG=90°,ZCDG=ZHDE,

，NBEC+NHDE=90。，

AGH±BE.

故①正确；

•••△EHG是直角三角形，O为EG的中点，

・・・OH=OG=OE,

・••点H在正方形CGFE的外接圆上，

VEF=FG,

，NFHG=NEHF=NEGF=45。，ZHEG=ZHFG,

AAEHM^AGHF,

故②正确：

VABGH^AEGH,

・・・BH=EH,

又・・・O是EG的中点，

・•・HO〃BG,

.'.△DHN^ADGC,

.DNHN

~DC~~CG

设EC和OH相交于点N.

设HN=a,则BC=2a,设正方形ECGF的边长是2b,则NC=b,CD=2a,

b-2a_a

2a~2b

即a2+2ab-b2=0,

解得：a=b=（-1+夜）b,或a=（-1-&）b（舍去）,

嘿"I

故③正确；

VABGH^AEGH,

，EG=BG,

：110是4EBG的中位线，

HO=-BG,

2

/.HO=-EG,

2

设正方形ECGF的边长是2b,

；.EG=2&b,

AHO=^b,

；OH〃BG,CG〃EF,

；.OH〃EF,

AAMHOAMFE,

.OM_OH_V2b_>/2

"HVF_EF

，EM=&OM,

•OM==1i

*'OE（1+夜）OA/1+6

...^L=0_1

S/MOE

VEO=GO,

•**SAHOE=SAHOG，

S^OG

故④错误，

故选A.

【点拨】本题考查了正方形的性质，以及全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性

质，正确求得两个三角形的边长的比是解决本题的关键.

3.B

【解析】

【详解】

过D作DM〃BE交AC于N,：四边形ABCD是矩形，；.AD〃BC,ZABC=90°,AD=BC,

；BE_LAC于点F,.•.NEAC=NACB,ZABC=ZAFE=90°,AAAEF^ACAB,故①正确;

AFApI.Ap1

•.•AD〃BC,.•.△AEFsaCBF,—=—,：AE=；AD=gBC,，一=一，：.CF=2AF,

BCCF22CF2

故②正确，

：DE〃BM,BE〃DM,；.四边形BMDE是平行四边形，.,.BM=DE=^BC.；.BM=CM,

；.CN=NF,：BEJ_AC于点F,DM〃BE,ADNICF,；.DF=DC,故③正确；

-〃

BAAE即-A2

设AD=a,AB=b,易知△BAEsaADC,有一=—,-=

ADCDa

tanZCAD=,/.tanZCAD=^?-，故④专昔误;

ADa2

AAEF^ACBF,/.——=——=—,.*.SAAEF=Z-SABF>S^ABF=^S矩形ABCD,*«*SAABE=­S

BrBC22Ao4

EABCD,SAACD=^-S矫形ABCD,SAAEF=S四边形ABCD,X,•*S四边形CDEF=S^ACD-SAAEF=-S甲形

1e_5c

ABCD--sABCD=-s矩形ABCD，••S四边形CDEF二~SAABF，故⑤正确;

故选B.

考点：1.相似三角形的判定与性质；2.矩形的性质；3.综合题.

4.①③,

【解析】

【详解】

月V

试题分析：①易证△ABFgZiBCG,即可解题；②易证△BNFs^BCG,即可求得分的

值，即可解题；③作EHLAF,令AB=3,即可求得MN,BM的值，即可解题；④连接AG,

FG,根据③中结论即可求得S四边形CGNF和S四边形ANGD,即可解题.

①•••四边形ABCD为正方形，，AB=BC=CD,

：BE=EF=FC,CG=2GD,；.BF=CG,

：AB=BC

I"在△ABF和ABCG中，＜'=ZffCG=90°，

BF=CG

.,.△ABF^ABCG,/.ZBAF=ZCBG,

；NBAF+NBFA=90°,NCBG+/BFA=90°,即AF_LBG；①正确;

_/CBG=4NBF

②•.•在△BNFfDABCG中，