吉林省通榆县一中2025届高三数学上学期期中试题文

PAGEPAGE10吉林省通榆县一中2025届高三数学上学期期中试题文考生留意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清晰.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围：集合、常用逻辑用语、复数、函数、导数及其应用、三角函数、三角恒等变换、解三角形、平面对量、数列、立体几何.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B.C. D.2.已知为虚数单位，则（）A. B. C. D.3.命题“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，4.在巴比伦晚期的《泥板文书》中，有按级递减分物的等差数列问题，其中有一个问题大意是：10个兄弟分100两银子，长兄最多，依次削减相同数目，现知第8兄弟分得6两，则长兄可分得银子的数目为（）A.两 B.两 C.两 D.两5.若函数的图象关于点对称，则的最小值是（）A. B. C. D.6.已知等比数列中，，公比，则（）A.-27 B.27 C. D.7.已知数列是等差数列，其前项和为，若，则（）A.16 B.-16C.4 D.-48.在中，角，，的对边分别为，，，若，，点是的重心，且，则的面积为（）A. B.C.或 D.或9.已知函数，则（）A.是奇函数，且在上单调递增B.是奇函数，且在上单调递减C.是偶函数，且在上单调递增D.是偶函数，且在上单调递减10.如图，在三棱柱中，底面，为等边三角形，，，，分别为，，的中点，是线段上的一点，则直线与直线的位置关系可能是（）①相交②垂直③异面④平行A.①② B.①②③C.①③④ D.②③④11.如图，在正方形中，是线段上的一动点，交于点，若，，则（）A. B.1C. D.212.设等差数列的前项和为，且，，若恒成立，则的最小值为（）A.1 B.2C.3 D.4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量，，若，则_______.14.已知等差数列的前项和为，若，则_______.15.若，，则_______.16.已知半径为4的球面上有两点，，且，球心为，若球面上的动点满意：与所在截面所成角为，则四面体的体积的最大值为_______.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知等差数列的公差为，前项和为，且满意，，，成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.18.如图，在四棱锥中，底面四边形为矩形且，平面平面，且是正三角形，是的中点.（1）证明：平面；（2）求点到平面的距离.19.已知中，角，，的对边分别为，，，且.（1）求角的大小；（2）若，的面积为，求的周长.20.如图，在直三棱柱中，，，，，为线段的中点，为线段的中点，为线段的中点.（1）证明：平面；（2）求三棱锥的体积.21.已知在等差数列中，，其前8项和.（1）求数列的通项公式﹔（2）设数列满意，求的前项和.22.设函数.（1）当时，求函数的极值；（2）若函数有2个零点，求实数的取值范围.通榆一中高三期中考试试题·数学（文科）参考答案、提示及评分细则一、选择题1-5：DCACA 6-10：BADDB 11-12：BA1.D由题意，得.故选D.2.C.故选C.3.A依据全称命题与存在性命题的关系，可得命题“，”的否定为：“，”.故选A.4.C设10个兄弟由大到小依次分得两银子，设数列的公差为，其前项和为，则由题意得，即，解得.所以长兄分得两银子.故选C.5.A，由其图象关于点对称，得，即，所以的最小值是，故选A.6.B.故选B.7.A由.故选A.8.D由题可知，，则，或.又，延长交于点，所以.因为，所以，即，当时，，所以的面积为；当时，，所以的面积为.9.D函数的定义域为，，即，所以是偶函数.当时，，为减函数，为增函数，所以在上单调递减.故选D.10.B当点与点重合时，直线与直线相交，连接，，，，由题意，可得，，，，，在中，，同理，，，所以，，所以.又，平面，所以平面，又平面，所以，当点不与点重合时，直线与直线异面.故选B.11.B取向量，作为一组基底，则有，.因为向量与共线，所以，即.故选B.12.A因为，所以，得，即.由，知，即，所以，所以，所以，所以，所以.故的最小值为1.故选A.二、填空题13.-614.915.16.613.-6在因为，所以，解得.14.9等差数列中，，即，所以，，，所以.15.因为，所以.因为，所以，所以.16.6设所在截面圆的圆心为，中点为，连接，，，则为与所在截面所成角，即，得，，由，所以，同理.因为，，所以.在中，得，因为四面体的体积为，连接，当过时，且最大，所以四面体的体积的最大值.三、解答题17.解：（1）由，得；由，，成等比数列，得，，即，解得，，即.（2）由（1）得，则，即.18.（1）证明：因为侧面是正三角形，是的中点，所以.因为平面平面，平面平面，平面，所以平面.又平面，所以.因为平面为矩形且，所以.所以.所以.所以，即.又因为，平面，所以平面.（2）解：因为，侧面是正三角形，是的中点，所以.所以由勾股定理得，，，所以.设点到平面的距离为，则由，得，即，解得.19.解：（1）因为，由正弦定理得，所以，所以.因为，所以，所以，所以，所以，所以.（2）由（1）得，所以的面积，得.由余弦定理得.又因为，，所以，解得，所以的周长为.20.证明：（1）取的中点为，分别连接，.又∵为线段的中点，∴，且.∵，据三棱柱的性质知，，，∴，且，∴四边形为平行四边形，∴.又∵平面，平面，∴平面.解：（2）据题设知，，∵.又∵，∴，∴三棱锥的体积.21.解：（1）由，由，得，联立，解得，故.（2），所以，①，②由①一②，得，所以.22.解：（1）当时，，.令，得或（舍）.所以在上单调递减，在上单调递增，即在处取得微小值，微小值为.（2）函数的定义域为，令，则，所以当时，；当时，，所以的单