全国统考2025版高考数学大一轮复习第4章三角函数解三角形第1讲三角函数的基本概念同角三角函数的基本关系与诱导公式1备考试题文含解析

第四章三角函数、解三角形第一讲三角函数的基本概念、同角三角函数的基本关系与诱导公式练好题·考点自测1.已知下列命题:①其次象限角大于第一象限角;②不论是用角度制还是用弧度制度量一个角,它们与扇形的半径的大小无关;③若sinα=sinβ,则α与β的终边相同;④若cosθ<0,则θ是其次或第三象限的角.其中正确的个数是()A.1 B.2 C.3 D.42.sin2·cos3·tan4的值()A.小于0 B.大于0 C.等于0 D.不存在3.已知点P(cos300°,sin300°)是角α终边上一点,则sinα-cosα=()A.32+C.32-4.[2024全国卷Ⅰ,7,5分][文]tan255°=()A.-2-3 B.-2+3C.2-3 D.2+35.[2024全国卷Ⅱ,2,5分]若α为第四象限角,则()A.cos2α>0 B.cos2α<0C.sin2α>0 D.sin2α<06.已知sinα+cosα=12,α∈(0,π),则1-tanα1+tanA.-7 B.7 C.3 D.-37.[2024北京,8,5分][文]如图4-1-1,A,B是半径为2的圆周上的定点,P为圆周上的动点,∠APB是锐角,大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为()A.4β+4cosβ B.4β+4sinβC.2β+2cosβ D.2β+2sinβ图4-1-18.[2024全国卷Ⅰ,11,5分][文]已知角α的顶点为坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边上有两点A(1,a),B(2,b),且cos2α=23,则|a-b|=()A.15 B.5C.25拓展变式1.在一块顶角为120°、腰长为2的等腰三角形厚钢板废料OAB中用电焊切割成扇形,现有如图4-1-3所示两种方案,既要充分利用废料,又要切割时间更短,则方案更优.

图4-1-32.(1)[2024洛阳市联考]已知角α的顶点为坐标原点,始边与x轴非负半轴重合,终边与直线y=3x重合,且sinα<0,P(m,n)是角α终边上一点,且|OP|=10(O为坐标原点),则m-n等于()A.2 B.-2 C.4 D.-4(2)[2024北京,9,5分][文]在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为始边,它们的终边关于y轴对称.若sinα=13,则sinβ=3.(1)[2024全国卷Ⅰ,9,5分]已知α∈(0,π),且3cos2α-8cosα=5,则sinα=()A.53 B.23 C.13(2)[2024全国卷Ⅲ,4,5分][文]已知sinα-cosα=43,则sin2α=()A.-79 B.-29 C.24.(1)[2024全国卷Ⅲ,6,5分][文]函数f(x)=15sin(x+π3)+cos(x-π6)的最大值为A.65 B.1 C.35(2)设f(α)=2sin(π+α)cos(π-α)-cos5.已知tanα=2,则cos(52π+2α)=()A.35 B.45 C.-3答案第四章三角函数、解三角形第一讲三角函数的基本概念、同角三角函数的基本关系与诱导公式1.A举反例:第一象限角370°不小于其次象限角100°,故①错;易知②正确;由于sinπ6=sin5π6,但π6与5π6的终边不相同,故③错;当θ=π时,cosθ=-1,此时θ既不是其次2.A因为π2<2<3<π<4<3π2,所以2rad和3rad的角是其次3.D由点P(cos300°,sin300°)是角α终边上一点,可得sinα-cosα=sin300°-cos300°=-34.D由正切函数的周期性可知,tan255°=tan(180°+75°)=tan75°=tan(30°+45°)=33+11-5.D∵α为第四象限角,∴sinα<0,cosα>0,∴sin2α=2sinαcosα<0.故选D.6.A解法一sinα+cosα=12,两边同时平方得1+2sinαcosα=14,所以sinαcosα=-38<0,又α∈(0,π),所以sinα>0,则cosα<0,所以sinα-cosα>0.因为(sinα-cosα)2=1-2sinαcosα=74,所以sinα-cosα=72.解法二因为sinα+cosα=12,所以2sin(α+π4)=12,sin(α+π4)=24<22,又α∈(0,π),故α+π4∈(3π4,π),则cos(α+π4)=-1-sin27.B如图D4-1-1,设点O为圆心,连接PO,OA,OB,AB,在劣弧AB上取一点C,则阴影区域面积为△ABP和弓形ACB的面积和.因为A,B是圆周上的定点,所以弓形ACB的面积为定值,故当△ABP的面积最大时,阴影区域面积最大.又AB的长为定值,故当点P为优弧APB的中点时,点P到弦AB的距离最大,此时△ABP面积最大,阴影区域面积也最大.下面计算当点P为优弧APB的中点时阴影区域的面积.因为∠APB为锐角,且∠APB=β,所以∠AOB=2β,∠AOP=∠BOP=180°-β,则阴影区域的面积S=S△AOP+S△BOP+S扇形OAB=2×12×2×2sin(180°-β)+12×22×2β=4β+4sin图D4-1-18.B由题意知a1=b2,即b=2a.因为cos2α=2cos2α-1=23,所以cos2α=56,即(1a2+1)2=56,所以a2=151.一由已知可知A=B=π6,AM=BN=1,AD=2,则方案一中扇形的弧长为2×π6=π3,方案二中扇形的弧长为1×2π3=2π3;方案一中扇形的面积为12×22×π62.(1)A因为P(m,n)在直线y=3x上,所以n=3m①,又sinα<0,所以m<0,n<0.由|OP|=10,得m2+n2=10②.联立①②,并结合m<0,n<0,可得m=-1,n=-3,所以m-n=2.(2)13解法一设角α的终边经过点(x,y),则sinα=13=yx2+y2,因为角α,角β的终边关于y轴对称,所以角β的终边经过点(-x,y解法二由已知可得,sinβ=sin(2kπ+π-α)=sin(π-α)=sinα=13(k∈Z)3.(1)A∵3cos2α-8cosα=5,∴3(2cos2α-1)-8cosα=5,∴3cos2α-4cosα-4=0,解得cosα=2(舍去)或cosα=-23.∵α∈(0,π),∴sinα=1-(2)A将sinα-cosα=43的两边同时平方,得sin2α-2sinαcosα+cos2α=169,即sin2α=-4.(1)A因为