2024-2025学年湖南省益阳市万源教育集团九年级（上）开学数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年湖南省益阳市万源教育集团九年级（上）开学数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知函数y=(m−2)xm2−10是反比例函数，且当x<0时，y随着x的增大而增大，则mA.m≥−3 B.m<−3 C.m>−3 D.m=−32.反比例函数y=kx(k≠0)的图象如图所示，则k的值可能是(

)A.5

B.12

C.−5

D.−123.若点A(−1,y1)、B(2,y2)、C(π,y3)在反比例函数y=5A.y3<y2<y1 B.y4.一张正方形的纸片，剪去两个一样的小矩形得到一个“E”图案，如图所示，设小矩形的长和宽分别为x，y，剪去部分的面积为20，若2≤x≤10，则y与x的函数图象是(

)A.B.C.D.5.若关于x的一元二次方程x2−2x+m=0有一个根为0，则m的值为(

)A.2 B.1 C.0 D.−16.(非课改)已知α，β是关于x的一元二次方程x2+(2m+3)x+m2=0的两个不相等的实数根，且满足1αA.3 B.1 C.3或−1 D.−3或17.已知：如图1，在平行四边形ABCD中，AB=3cm，BC=5cm，AC⊥AB，△ACD沿AC的方向以速度为1cm/s匀速平移得到△PMN；同时，点Q从点C出发，沿CB方向匀速运动速度为1cm/s，当△PMN停止平移时，点Q也停止运动，如图2，设运动时间为t(s)(0<t<4)，则t的值为(   )s时，S△QMC：S四边形ABQP=1：3

A.t=1 B.t=4 C.t=5 D.t不存在8.设一元二次方程x2−3x+2=0的两根为x1，x2，则xA.1 B.−1 C.0 D.39.如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2.设道路的宽为x m，则下面所列方程正确的是(

)A.(32−x)(20−x)=32×20−570 B.32x+2×20x=32×20−570

C.(32−2x)(20−x)=570 D.32x+2×20x−210.一元二次方程x2−8x−1=0，配方后可变形为(

)A.(x−4)2=17 B.(x−4)2=18二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。11.如图，Rt△ABC的直角顶点A在反比例函数y=k1x(k1<0)的图象上，顶点B在x轴负半轴上，顶点C在反比例函数y=k2x(k2>0)的图象上，斜边BC交y轴于点12.如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的面积为8，点B在y轴上，点C在反比例函数y=kx上的图象上，则k的值为______．13.若关于x的方程x2+2x−m=0的一个根是x=3，则m的值为______．14.已知x=2是关于x的一元二次方程kx2+(k2−2)x+2k+4=0的一个根，则15.设x1，x2是方程x2+3x−3=0的两个实数根，则16.已知关于x的方程x2+(2k+1)x+k2−2=0的两实根的平方和等于1117.如图，点A、D分别在函数y=−1x，y=3x的图象上，点B、C在x轴上，若四边形ABCD为正方形，点A在第二象限，则

18.如图，过原点的直线AB交双曲线y=kx于A、B两点，点C在x轴上，且AC=12AB，若△ABC的面积为6，则三、解答题：本题共7小题，共58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。19.(本小题7分)

如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=mx的图象相交于A(−1,n)，B(2,−1)两点，与y轴相交于点C．

(1)求一次函数与反比例函数的表达式；

(2)若点D与点C关于x轴对称，求△ABD的面积．20.(本小题7分)

如图，Rt△ABC的直角边AB在x轴上，∠ABC=90°，边AC交y轴于点D，点C在反比例函数y=kx第一象限的图象上，AC所在直线的解析式为y=ax+4，其中点A(−2,0)，B(1,0)．

(1)求反比例函数和AC所在直线的解析式；

(2)将Rt△ABC的边直角边BC沿着x轴正方向平移m个单位长度得到线段B′C′，线段B′C′与反比例函数的图象交于点E，问当m为何值时，四边形ODC′E是平行四边形？21.(本小题8分)

如图，一次函数y=mx+n(m≠0)的图象与反比例函数y=kx(k≠0)的图象交于点A(−3,a)，B(1,3)，且一次函数与x轴，y轴分别交于点C，D．

(1)求反比例函数和一次函数的表达式；

(2)根据图象直接写出不等式mx+n>kx的解集；

(3)在第三象限的反比例函数图象上有一点P，使得22.(本小题9分)

某种服装，平均每天可以销售20件，每件赢利44元，在每件降价幅度不超过30元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售5件，如果每天要赢利1900元，每件应降价多少元？23.(本小题9分)

已知关于x的一元二次方程x2−4mx+m2=0．

(1)求证：不论m为何值，该方程总有两个实数根；

(2)若x=124.(本小题9分)

2023年杭州亚运会吉祥物一开售，就深受大家的喜爱.某商店以每件35元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件58元的价格出售.经统计，4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件．

(1)求该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率；

(2)从7月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件.当该吉祥物售价为多少元时，月销售利润达8400元？25.(本小题9分)

已知关于x的一元二次方程：x2−(2k+1)x+4(k−12)=0．

(1)求证：这个方程总有两个实数根；

(2)若等腰△ABC的一边长a=4，另两边长b、c答案解析1.D

【解析】解：∵函数y=(m−2)xm2−10是反比例函数，

∴m−2≠0且m2−10=−1，

解得m=±3，

∵当x<0时，y随着x的增大而增大，

∴m<0，

∴m=−3．

故选：D．

先根据反比例函数的定义得出m的值，再由当x<0时，y随着2.C

【解析】解：如图所示：A(−3,3)，B(2,−2)都不在反比例函数图象上，

则−3×3<k<2×(−2)，

即−9<k<−4，

故k的值可能是−5．

故选：C．

直接利用反比例函数的图象上点的坐标特点得出k的取值范围，进而得出答案．

此题主要考查了反比例函数的图象，正确得出k的取值范围是解题关键．3.C

【解析】解：∵点A(−1,y1)，B(2,y2)，C(3,y3)在反比例函数y=5x的图象上，

∴y1=5−1=−5，y2=52，y3=53，

又4.A

【解析】解：∵是剪去的两个矩形，两个矩形的面积和为20，

∴xy=10，

∴y是x的反比例函数，

∵2≤x≤10，

∴答案为A．

故选：A．

先根据图形的剪切确定变化过程中的函数关系式，确定函数类型，再根据自变量及函数的取值范围确定函数的具体图象．

现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用实际意义确定其所在的象限．5.C

【解析】解：∵关于x的一元二次方程x2−2x+m=0有一个根为0，

∴m=0，

故选：C．

将x=0代入方程x2−2x+m=0，即可求解．6.A

【解析】解：根据条件知：

α+β=−(2m+3)，αβ=m2，

∴1α+1β=β+ααβ=−(2m+3)m2=−1，

即m2−2m−3=0，

所以，得m2−2m−3=0(2m+3)2−4m2>0，

解得m=3．

故选：A．

由于方程有两个不相等的实数根可得△>0，由此可以求出m的取值范围，再利用根与系数的关系和1α+7.D

【解析】解：过点P作PE⊥BC，如图：

∵AC⊥AB，

∴△CPE∽△CBA，

∴PECP=ABBC，

由题意知AC=4，AP=t，QC=t，

∴PC=4−t，

∴PE4−t=35，

∴PE=35(4−t)，

∴S△QCM=12×t×(4−t)×35=−310t2+65t，

∵S△QMC：S四边形ABQP=1：3，

∴S△QMC：S△ABC=1：4．

∵S△ABC=12×3×4=6，

∴(−310t8.A

【解析】解：根据根与系数的关系得x1+x2=3，x1x2=2，

∴x1+x2−x1x2=3−2=1．

故选：9.C

【解析】解：∵道路的宽为x m，

∴种植草坪的部分可合成长为(32−2x)m，宽为(20−x)m的矩形．

根据题意得：(32−2x)(20−x)=570．

故选：C．

由道路的宽为xm，可得出种植草坪的部分可合成长为(32−2x)m，宽为(20−x)m的矩形，根据草坪的面积为570m2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．10.A

【解析】解：方程x2−8x−1=0，

整理得：x2−8x=1，

配方得：x2−8x+16=17，即(x−4)2=17．

11.−4

【解析】解：如图，设AC与y轴交于点E，过C作CF⊥x轴为于点F，

则S矩形ABFC=2S△ABC=12，

∴S矩形ABOE+S矩形EOFC=|k1|+|k2|=−k1+k2=12

①．

∵AC//BF，

∴ECOB=DCDB=12，

∴OB=2EC，

∴可设C(x,k2x)，则A(−2x,−k12x)，

∵AC//x轴，

∴k2x=−k12x，

∴k1=−2k2

②，

把②代入①，得2k2+k2=12，

∴k2=4，

∴k1=−8，

∴k1+12.−4

【解析】解：连接AC交OB于D，如图，

∵四边形ABCO为菱形，

∴AC⊥OB，S△OCD=14S菱形ABCO=14×8=2，

∵CD⊥y轴，

∴S△OCD=12|k|，

即12|k|=2，

而k<0，

∴k=−4．

故答案为：−4．

连接AC交OB于D13.15

【解析】解：把x=3代入x2+2x−m=0，得32+6−m=0，

解得m=15．

故答案为：15．

把x=3代入x2+2x−m=0得14.−3

【解析】解：把x=2代入kx2+(k2−2)x+2k+4=0得4k+2k2−4+2k+4=0，

整理得k2+3k=0，解得k1=0，k2=−3，

15.−5

【解析】解：∵x1，x2是方程x2+3x−3=0的两个实数根，

∴x1+x2=−3，x1⋅x16.1

【解析】解：设方程x2+(2k+1)x+k2−2=0两根为x1，x2

得x1+x2=−(2k+1)，x1⋅x2=k2−2，

△=(2k+1)2−4×(k2−2)=4k+9≥0，

∴k≥−94，

∵x12+x22=11，

17.(−1【解析】解：设点B(b,0)，点C(a,0)，则b<0，a>0，

∵点A在反比例函数y=−1x的图象上，

∴点A(b,−1b)，即OB=−b，AB=−1b，

∵点D在反比例函数y=3x的图象上，

∴点D(a,3a)，即OC=a，CD=3a，

又∵ABCD是正方形，

∴AB=BC=CD，

即−1b=a−b=3a，

解得a=32，b=−12，

∴点A(−12,2)18.3

【解析】解：作AD⊥OC于D，

∵过原点的直线AB交双曲线y=kx于A、B两点，

∴点A与点B关于原点对称，OA=OB，

∵△ABC的面积为6，

∴S△AOC=3，

∵AC=12AB，

∴AC=OA，

∴OD=CD，

∴S△AOD=12S△AOC=32，

∵S△AOD=12|k|，

∴|k|=3，

∵k>0，

∴k=3，

故答案为：3．

作AD⊥OC于D，根据反比例函数系数k的几何意义得到S19.解：(1)∵反比例函数y=mx的图象经过点B(2,−1)，

∴m=2×(−1)=−2，

∴反比例函数解析式为y=−2x；

∵点A(−1,n)在y=−2x的图象上，

∴n=2，则A(−1,2)，

把点A，B的坐标代入y=kx+b，得−k+b=2,2k+b=−1.，解得k=−1,b=1.

∴一次函数的表达式为y=−x+1；

(2)∵直线y=−x+1交y轴于点C，

∴C(0,1)．

∵点D与点C关于x轴对称，

∴D(0,−1)．

∵B(2,−1)【解析】(1)先把B点坐标代入y=mx中求出m得到反比例函数解析式为y=−2x；再利用y=−2x确定A点坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式；

(2)先利用一次函数解析式确定C(0,1).利用关于x轴对称的性质得到20.解：(1)AC所在直线的解析式为y=ax+4，其中点A(−2,0)，将A点坐标代入得：

−2a+4=0，

解得：a=2，

∴AC所在直线的解析式为y=2x+4；

∵B(1,0)，∠ABC=90°，

∴2×1+4=6，

∴C(1,6)，

∵点C在反比例函数y=kx第一象限的图象上，

∴k=1×6=6；

∴反比例函数的解析式为y=6x；

(2)当x=0时，y=2x+4=4，

∴OD=4，

将Rt△ABC的边直角边BC沿着x轴正方向平移m个单位长度得到线段B′C′，由平移的性质得到C′(1+m,6)，B′C′=BC=6，

由题意得OD//EC′，

∴当EC′=OD=4时，四边形ODC′E是平行四边形，

由(1)知反比例函数的解析式为y=6x，

∵E点在点C在反比例函数y=6x第一象限的图象上，E点的横坐标为1+m，

∴E点的纵坐标为61+m，

∴EC′=B′C′−B′E=6−61+m=4，

解得【解析】(1)由待定系数法求得AC所在直线的解析式为y=2x+4，进而求出C点的坐标(1,6)，即可求出k的值，进而得到反比例函数解析式；

(2)由于OD//EC′，故当EC′=OD=4时，四边形ODC′E是平行四边形，由题意可得E点的横坐标为1+m，得到E点的纵坐标为61+m，由EC′=B′C′−B′E=6−61+m=4，解方程即可求得21.解：(1)∵一次函数y=mx+n(m≠0)的图象与反比例函数y=kx的图象交于点A(−3,a)，B(1,3)，

∴k=1×3=−3×a，

∴k=3，a=−1，

∴反比例函数解析式为y=3x，

一次函数y=mx+n图象过A(−3,−1)，B(1,3)，

−3m+n=−1m+n=3，解得m=1n=2，

一次函数解析式为y=x+2；

(2)由图象可知，不等式mx+n>kx的解集为：−3<x<0或x>1．

(3)在一次函数y=x+2中，当x=0时，y=2；当y=0时，x=−2，

∴C(−2,0)，D(0,2)

∴S△OBD=12×2×1=1，

∴S△OCP=4S△OBD=4【解析】(1)待定系数法求出两个函数解析式即可；

(2)根据函数图象及交点坐标直接写出不等式的解集即可；

(3)根据一次函数解析式先求出点C、D坐标，再设点P大坐标为(m,3m)利用三角形面积公式计算出m值即可得到点P22.解：设每件应降价x元，则每件盈利(44−x)元，每天可售出(20+5x)件，

依题意得：(44−x)(20+5x)=1900，

整理得：x2−40x+144=0，

解得：x1=6，x2=34(不合题意，舍去)【解析】设每件应降价x元，则每件盈利(44−x)元，每天可售出(20+5x)件，利用每天销售该服装获得的利润=每件的利润×日销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．

本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．23.(1)证明：∵Δ=(−4m)2−4m2

=12m2≥0，

∴不论m为何值，该方程总有两个实数根；

(2)解：把x=1代入方程x2−4mx+m【解析】(1)先计算根的判别式的值得到Δ=12m2≥0，然后根据根的判别式的意义得到结论；

(2)先根据一元二次方程根的定义得到m2−4m=−1，再把(m−2)2+3展开得到m2−4m+7，然后利用整体代入的方法计算．

本题考查了根的判别式：一元二次方程24.解：(1)设该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为x，

根据题意得：256(1+x)2=400，

解得：x1=0.25=25%，x2=−2.25(不符合题意，舍