2023-2024学年上海市金山区华东师大三附中高二（下）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年上海市金山区华东师大三附中高二（下）期中数学试卷一、单选题：本题共4小题，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.“n=6”是“(x2+1A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件2.已知复数z满足z2=z−，则复数zA.1 B.2 C.3 D.43.已知M(x0,y0)是圆xA.相交 B.相切 C.相离 D.不确定4.已知椭圆x24+y2=1，作垂直于x轴的直线交椭圆于A，B两点，作垂直于y轴的直线交椭圆于C，D两点，且|AB|=|CD|，两垂线相交于点P，若点P的轨迹是某种曲线(A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线二、填空题：本题共12小题，共54分。5.在等差数列{an}中，a1=1，公差d=2，则6.已知函数f(x)=(m−1)xm2−3m−5是幂函数，则实数m=7.已知向量a=(−1,2),b=(x,4)，且a⊥b，则8.抛物线y=x2的准线方程为________．9.已知直线x+2y−3=0和2x+my+1=0互相平行，则它们之间的距离是______．10.已知随机变量X的分布为−2130.160.440.40，则11.方程x23−m+y2m−1=112.直线l的斜率的取值范围为[−1,1]，则其倾斜角的取值范围是______．13.已知椭圆x216+y27=1的左、右焦点分别为F1、F214.已知m∈R，动直线l1：x+my−1=0过定点A，动直线l2：mx−y−2m+3=0过定点B，若l1与l2交于点P(异于点A，B)，则|PA|+|PB|15.数学中有许多寓意美好的曲线，曲线C：(x2+y2)3=4x2y2被称为“四叶玫瑰线”(如图所示).给出下列三个结论：

①曲线C关于直线y=x对称；

②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过1；

③存在一个以原点为中心、边长为216.定义两个点集S、T之间的距离集为d(S,T)={|PQ||P∈S，Q∈T}，其中|PQ|表示两点P、Q之间的距离，已知k、t∈R，S={(x,y)|y=kx+t，x∈R}，T={(x,y)|y=4x2+1,x∈R}，若d(S,T)=(1,+∞)，则t的值为三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题14分)

在长方体ABCD−A1B1C1D1中(如图)，AD=AA1=1，AB=2，点E是棱AB的中点．

(1)在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑.18.(本小题14分)

已知向量a=(3sinx,1)，b=(cosx,−1)．

(1)若a//b，求tan2x的值；

(2)若f(x)=(19.(本小题14分)

在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点坐标分别是A(0,0),B(3,3),C(1,−5)，记△ABC外接圆为圆M．

(1)求圆M的方程；

(2)在圆M上是否存在点P，使得|PB|220.(本小题18分)

已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，直线l过右焦点F2且与双曲线C交于A、B两点．

(1)若双曲线C的离心率为3，虚轴长为22，求双曲线C的焦点坐标；

(2)设a=1，b=3，若21.(本小题18分)

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为32，左、右顶点分别为A、B，过点M(−12,0)的直线与椭圆相交于不同的两点P、Q(异于A、B)，且AM=35MB．

(1)求椭圆C的方程；

(2)若直线AP、QB的斜率分别为k1、k2，且参考答案1.A

2.D

3.C

4.C

5.5

6.2

7.8

8.y=−19.710.7.64

11.(1,2)

12.[0,π13.7

14.215.①②

16.−17.解：(1)在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，

点E是棱AB的中点，

∴DE=EC=2，CD=2，

∴DE2+CE2=DC2，∴DE⊥CE，

∵DD1⊥平面DEC，CE⊂平面DEC，∴DD1⊥CE，

∵DE∩DD1=D，∴CE⊥平面D1DE，

∵D1E⊂平面D1DE，∴CE⊥D1E，

∴18.解：(1)∵向量a=(3sinx,1)，b=(cosx,−1)，

又a//b，

∴1×cosx=−1×3sinx，cosx不为0，否则sinx也为0，

∴tanx=−33，

∴tan2x=2tanx1−tan2x=−3．

(2)∵f(x)=(a+b)⋅b，

∴f(x)=3sinxcosx+cos2x

=32sin2x+19.解：(1)设△ABC外接圆M的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0．

将A(0,0),B(3,3),C(1,−5)代入，

得F=0D+E+6=0D−5E+6=0，解得D=−6E=0F=0．

∴圆M的方程为x2+y2−6x=0；

(2)设点P(x,y)，

∵|PB|2−|PA|2=12，∴(x−3)2+(y−3)2−x2−y2=12，

20.解：(1)由题意可得：e=ca=1+b2a2=3，2b=22，

解得b=2，a=1，c=3，

∴双曲线C的焦点坐标为(±3,0)；

(2)a=1，b=3，∴双曲线C的方程为x2−y23=1，c=a2+b2=2．

设直线l的方程为y=k(x−2)，A(x1,y1)，B(x2,y2)，

把y=k(x−2)代入双曲线C的方程可得：(3−k2)x2+4k2x−4k2−3=0，

则x1+x2=−4k23−k2，x1x2=−4k2−33−k2，

∵(F1A+F1B)⋅AB=0，

∴(x1+x2+4,y21.解：(1)因为A(−a,0)，B(a,0)，所以AM=(−12+a,0),MB=(a+12,0)，

由AM=35MB可得−12+a=35(a+12)，解得a=2，

因为离心率为32，则c2a2=34，又a2=b2+c2，则b2=