2023九年级数学下册 第26章 二次函数26.3 实践与探索第2课时 二次函数和一元二次方程（不等式）的关系教案 （新版）华东师大版

2023九年级数学下册第26章二次函数26.3实践与探索第2课时二次函数和一元二次方程（不等式）的关系教案（新版）华东师大版主备人备课成员课程基本信息1.课程名称：九年级数学下册第26章二次函数26.3实践与探索第2课时——二次函数和一元二次方程（不等式）的关系

2.教学年级和班级：九年级

3.授课时间：第2课时

4.教学时数：45分钟

本节课将围绕华东师大版教材，引导学生探索二次函数与一元二次方程（不等式）之间的关系，通过实例分析，让学生掌握二次函数的图像与一元二次方程的根之间的关系，以及二次不等式的解法，提高学生的实际应用能力。核心素养目标1.理解并掌握二次函数与一元二次方程（不等式）之间的关系，提高学生的数学抽象和逻辑推理能力。

2.通过对二次函数图像的分析，培养学生的几何直观和空间想象能力。

3.能够运用所学知识解决实际问题，提升学生的数学建模和问题解决能力。

4.培养学生合作交流、自主探究的学习习惯，提高学生的团队协作和表达能力。重点难点及解决办法重点：理解二次函数与一元二次方程（不等式）之间的关系，掌握图像与根的对应关系。

难点：将二次函数图像与一元二次方程的根及二次不等式的解集建立联系，解决实际问题。

解决办法及突破策略：

1.利用数形结合的方法，通过绘制二次函数图像，直观展示方程根与图像交点的关系，帮助学生理解记忆。

2.通过具体例题，引导学生发现二次不等式解集与函数图像的区间关系，总结规律。

3.设计具有梯度的问题，从易到难，逐步引导学生自主探究，突破难点。

4.组织小组讨论，让学生在合作交流中互相启发，共同解决问题。

5.结合实际情境，设计相关练习题，巩固所学知识，提高学生运用能力。学具准备多媒体课型新授课教法学法讲授法课时第一课时师生互动设计二次备课教学方法与策略1.采用讲授与讨论相结合的教学方法，以讲授为主，引导学生通过讨论加深对二次函数与一元二次方程（不等式）关系的理解。

2.设计案例研究，通过具体实例的分析，让学生在实践中掌握知识，提高问题解决能力。

3.利用多媒体教学，如PPT展示二次函数图像、动画演示方程根与图像的关系，增强学生的直观感受。

4.设计互动游戏，如“找根竞赛”，让学生在游戏中运用所学知识，提高课堂参与度。

5.组织小组合作学习，鼓励学生互相交流、探讨，共同解决问题，培养团队协作能力。教学过程设计1.导入环节（5分钟）

-利用PPT展示一个实际情境，如“一个抛物线形状的拱桥，一辆车从桥的一端驶向另一端，问车的速度与时间的关系能否用二次函数表示？”

-提出问题：“二次函数与一元二次方程（不等式）有什么关系？”激发学生思考。

2.讲授新课（15分钟）

-通过数形结合的方式，讲解二次函数图像与一元二次方程根的关系。

-解释二次函数图像的开口方向、顶点坐标与一元二次方程根的性质。

-分析二次不等式的解集与函数图像的区间关系。

3.巩固练习（10分钟）

-布置练习题，让学生自主完成，巩固所学知识。

-组织学生进行小组讨论，互相检查答案，共同解决问题。

4.课堂提问与师生互动（10分钟）

-针对本节课的重点和难点，设计具有启发性的问题，检查学生对知识的掌握情况。

-鼓励学生提问，解答学生的疑问，进行针对性的指导。

5.创新教学（5分钟）

-设计“找根竞赛”游戏，让学生在游戏中运用所学知识，提高课堂氛围。

-引导学生思考如何将二次函数与一元二次方程（不等式）应用于解决实际问题。

6.解决问题及核心素养能力拓展（5分钟）

-以小组为单位，让学生讨论如何将所学知识应用于解决生活中的实际问题。

-引导学生总结二次函数与一元二次方程（不等式）的关系，提升数学建模和问题解决能力。

7.总结与反思（5分钟）

-教师带领学生回顾本节课所学内容，强调重点和难点。

-学生分享学习心得，反思学习过程中的收获与不足。

8.课后作业布置（5分钟）

-布置与课堂内容相关的作业，巩固所学知识。

-鼓励学生利用所学知识进行自主探究，提高核心素养。拓展与延伸1.拓展阅读材料：

-《二次函数与一元二次方程的关系及应用》

-《生活中的抛物线——二次函数在实际问题中的应用》

-《一元二次不等式的解法与应用》

2.课后自主学习和探究：

-研究二次函数图像在不同开口方向、顶点位置下的性质，总结规律。

-通过实际例子，探究二次函数在一元二次方程求解中的应用。

-尝试运用二次不等式解决生活中的问题，如最优化问题、范围问题等。

-了解二次函数在物理学、经济学等领域的应用，提高数学建模能力。

-自主设计一道关于二次函数与一元二次方程（不等式）的综合应用题，并给出解题过程。

鼓励学生通过以上拓展阅读和自主探究，加强对二次函数与一元二次方程（不等式）关系的理解，提高实际应用能力，培养学科核心素养。典型例题讲解例题1：

已知二次函数f(x)=2x^2-4x+c，其中c为常数，若该函数的图像与x轴有两个交点，求常数c的取值范围。

解答：

由题意，二次函数f(x)的图像与x轴有两个交点，即一元二次方程2x^2-4x+c=0有两个实数根。

根据判别式Δ=b^2-4ac，有：

Δ=(-4)^2-4×2×c=16-8c>0

解得：c<2

所以，常数c的取值范围是c<2。

例题2：

已知二次函数f(x)=x^2-2ax+a^2，求该函数图像的顶点坐标。

解答：

二次函数f(x)可以写成完全平方形式：f(x)=(x-a)^2

顶点坐标即为抛物线的对称轴与图像的交点，因此顶点坐标为(a,f(a))。

将x=a代入f(x)，得到f(a)=(a-a)^2=0。

所以，该函数图像的顶点坐标为(a,0)。

例题3：

若二次函数f(x)=ax^2+bx+c的图像开口向上，且顶点在x轴上，求证：该函数在x轴上只有一个交点。

解答：

由于函数图像开口向上，且顶点在x轴上，说明a>0，且顶点的y坐标为0。

设顶点坐标为(x0,0)，则有f(x0)=0。

由于顶点是函数的最小值，所以当x=x0时，函数取得最小值0，即f(x)≥0恒成立。

因此，函数图像与x轴只有一个交点，即x0。

例题4：

已知二次不等式x^2-6x+9>0，求解其解集。

解答：

不等式x^2-6x+9可以写成(x-3)^2>0。

由于一个数的平方总是非负的，所以当(x-3)^2>0时，x-3≠0，即x≠3。

因此，该二次不等式的解集为x∈(-∞,3)∪(3,+∞)。

例题5：

某企业的年利润y（万元）与投资额x（万元）之间的关系为y=x^2-4x+3，求投资额在什么范围内，企业的年利润超过10万元。

解答：

根据题意，需要求解不等式x^2-4x+3>10。

将不等式移项得：x^2-4x-7>0。

分解因式得：(x-7)(x+1)>0。

根据一元二次不等式的解法，解集为x∈(-∞,-1)∪(7,+∞)。

所以，当投资额x在(-∞,-1)∪(7,+∞)范围内时，企业的年利润超过10万元。板书设计①重点知识点：

-二次函数与一元二次方程的关系

-二次函数图像的顶点与方程根的对应

-二次不等式的解集与函数图像的区间

②关键词与句：

-数形结合：图像与方程根的直观展示

-判别式Δ：判断方程根的情况

-解集：二次不等式的解法及应用

③艺术性与趣味性：