第十三中学第二学期期中质量监测高二年级数学模拟试卷答案

第十三中学20232024学年第二学期期中质量监测高二年级数学试卷考试时间：120分钟注意事项：1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息。2.请将答案正确填写在答题卡上。一、单选题（每小题5分，共8小题，在每小题所给出的选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设不同的直线，若，则的值为（

）A． B． C．1 D．42．椭圆的焦距是（

）A．2 B． C． D．3．已知为等差数列的前n项和，若，，则公差（

）A． B．1 C．2 D．34．函数在区间(2，4)上（

）A．单调递增 B．单调递减C．先减后增 D．先增后减5．．在所有的两位数中，各位数字小于十位数字的共有（）个A．44 B．45 C．54 D．556．3月5日，两江新区学雷锋纪念日，现安排6名志愿者去5个社区去参加志愿活动，每名志愿者可自由选择其中的1个社区，不同选法的种数是（

）A． B． C．30 D．117．在的二项展开式中，项的系数为（

）A．6 B．4 C．2 D．18．设是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能的是（

）A． B．C． D．二、多选题（每小题5分，共4小题，在每小题所给出的选项中，有多项是符合题目要求的，少选得部分分，多选、错选不得分）9．下列求导运算正确的是（）A． B．C． D．10．的展开式中，下列结论正确的是（

）A．二项式系数最大项为第五项 B．各项系数和为0C．含项的系数为4 D．所有项二项式系数和为1611．已知等比数列的前项和为，则（

）A． B．C．数列为单调数列 D．数列为单调数列12．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，过点作轴于点，则（

）A． B．抛物线的准线为直线C． D．的面积为三、填空题（每小题5分，共4小题）13．已知的二项展开式中第3项与第10项的二项式系数相等，则展开式中含的系数为.14．函数的图象在点处的切线方程为．15．H城市某段时间内发放的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互不相同，这样的牌照号码共有种．16．某公司人事部安排小张、小胡等6名工作人员去4个不同的岗位工作，其中每个岗位至少一人，每个人只去一个岗位工作，且小张、小胡这2人不在同一岗位工作，则不同的安排方法有.四、解答题（第17题10分，18、19、20、21和22题各12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．3位男同学和2位女同学站成一排.(1)2位女同学必须站在一起，有多少种不同的排法（用数字作答）；(2)2位女同学彼此不相邻，有多少种不同的排法（用数字作答）；18．已知函数.(1)求单调区间；(2)求在区间上的最值.19．已知等差数列的前项和为，且，.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和.20．已知圆的圆心在直线上，且圆与轴相切于点．(1)求圆的标准方程；(2)若直线与圆相交于两点，求．21．已知双曲线过点且与双曲线有共同的渐近线，，分别是的左、右焦点．(1)求的标准方程；(2)设点是上第一象限内的点，求的取值范围．22．已知函数，．(1)讨论的单调性；(2)证明：当时，．参考答案：1．D【分析】由直线平行的性质列方程求解即可.【详解】由题意，解得，经检验，符合题意.故选：D.2．A【分析】先把方程整理成标准形式，进而可求半焦距的值，即可得结果.【详解】因为椭圆可化为，可得，所以焦距为2，故选：A.3．D【分析】由等差数列的性质和定义求值可得.【详解】因为，所以，所以．故选：D4．C【分析】根据二次函数的单调性可得结果.【详解】函数图象的对称轴为直线x=3，此函数在区间(2，3)上单调递减，在区间(3，4)上单调递增.故选：C5．B故选：B6．A【分析】根据分步乘法计数原理分析计算即可得解.【详解】依题意，每名志愿者都有5种选择方法，所以6名志愿者共有种不同的选法.故选：A.7．B【分析】根据二项展开式的通项特征即可求解.【详解】展开式中含的项为，故项的系数为4，故选：B8．C【分析】根据导函数的图象可得的单调性，即可结合选项求解.【详解】由的图象可知：当和时，，所以单调递增，当时，，所以单调递减，结合选项可知，只有C中函数符合要求，故选：C9．BD【分析】根据导数公式逐项判断即可。【详解】对于A，，A错误；对于B，，B正确；对于C，，C错误；对于D，，D正确，故选：BD.10．BD【分析】利用二项式系数的性质判断AD；利用赋值法判断B；利用二项式定理得到的展开通项，从而求得含项的系数判断C.【详解】对于A，因为展开式一共五项，所以二项式系数最大项为第三项，故A错误；对于B，令时，，所以各系数的和为0，故B正确；对于C，因为的展开通项公式为，令，得，故含项的系数为，故C错误；对于D，所有项的二项式的系数和为，故D正确.故选：BD.11．BC【分析】根据条件得到或，再对各个选项逐一分析判断，即可求出结果.【详解】设数列的首项为，公比为，由题有，解得或，对于选项A，当，为奇数时，，所以选项A错误，对于选项B，因为，当，显然有，当时，，所以，故选项B正确，对于选项C，当时，数列是首项为，公比为的递增数列，当时，数列是首项为，公比为的递减数列，所以选项C正确，对于选项D，由选项B知，所以，当时，，此时不具有单调性，所以选项D错误，故选：BC.12．AD【分析】根据抛物线的定义以及焦半径的长度可求出值，即可判断选项，根据点在抛物线上即可求出点的纵坐标，即可判断选项，利用三角形的面积公式即可求出的面积，即可判断选项.【详解】抛物线的准线为直线，设点在第一象限，过点向准线作垂线垂足为，由抛物线的定义可知，解得，则抛物线的方程为，准线为直线，故A正确，B错误；将代入抛物线方程，解得，故C错误；焦点，点，即，所以，故D正确；故选：AD．

13．【分析】根据题意求得，得到二项式为，结合展开式的通项，即可求解.【详解】因为的二项展开式中第3项与第10项的二项式系数相等，可得，即，即二项式为，其展开式的通项为，令，可得，即展开式中的系数为.故答案为：.14．【分析】根据导数的几何意义求解即可.【详解】，，，故函数的图象在点处的切线方程为，即.故答案为：15．【分析】先求解出汽车牌照号码中的前两个英文字母的排列数，再求解出4个数字的排列数，最后根据分步乘法计数原理求解出本题的结果.【详解】因为汽车牌照号码中的前两个是英文字母，所以此处共有26（种）排法，又因为英文字母后接4个数字且4个数字互不相同，所以共有（种）排法，根据分步乘法计数原理，这样的牌照号码共有（种）.16．1320【分析】各组人数按、分类，先求出所有的方法总数，再求出小张、小胡这2人在同一岗位工作的方法总数，即可得出答案.【详解】将6人分组有两种情况：、形式，共有：种，其中小张、小胡这2人在同一岗位工作的有以下情况：当各组人数按分组：小张、小胡必在3人组，从其余4人选1人与小张、小胡捆绑，有种，此4组人任意安排到4个岗位，有种方法，故共有种；当各组人数按分组：小张、小胡必在其中一个2人组，从其余4人选2人为另一2人组，有种此4组人任意安排到4个岗位，有种方法，故共有种；小张、小胡这2人在同一岗位工作的安排方法有种.所以种.故答案为：1320.17．(1)(2)(3)78【分析】（1）将位女同学捆绑，视为一个整体，结合分步计数原理可得结果；（2）先排位男同学，再将位女同学插空，结合分步计数原理可得结果；（3）先排甲分为两类，甲在排尾和甲在中间，结合分步计数原理可得结果.【详解】（1）位女同学必须站在一起，则将位女同学捆绑，视为一个整体，可得排法种数为种；（2）先排个男同学，形成个空，再插入位女同学，可得排法种数为种；（3）先排甲分为两类，甲在排尾有种，甲在中间，则乙有3个位置可选，其余全排列，则有，可得排法种数为种18．(1)单调递增区间为，单调递减区间为；(2)最小值为，最大值为4【分析】（1）先求定义域，再求导，利用导函数的正负求出单调区间；（2）结合第一问求出最小值，再比较端点值求出最大值.【详解】（1）定义域为R，，令得：或，令得：，所以单调递增区间为，单调递减区间为（2）由（1）可知：在处取得极小值，且为最小值，故，又因为，而，所以，所以在区间上的最小值为，最大值为419．(1)；(2).【分析】（1）设等差数列的公差为，依题意由等差数列的通项公式及求和公式得到关于、的方程组，解得即可；（2）由（1）可得，利用裂项相消法计算可得.【详解】（1）设等差数列的公差为，则由题意得，即，解得，数列的通项公式为（2），则，，.20．(1)(2)．【分析】（1）设出圆的方程，利用相切和圆心满足的条件可求答案；（2）求出圆心到直线的距离，结合勾股定理可得答案.【详解】（1）设圆的方程为，则．因为圆与轴相切于点，所以，所以，故圆的标准方程为．（2）由（1）知，圆心为,半径为4，因为圆心到直线的距离为，所以．21．(1)(2)【分析】（1）由共渐近线方程设法将点代入直接求解；（2）向量坐标化，由点在双曲线上化简整理为二次函数求得范围.【详解】（1）的标准方程为．（2）设，则，点在第一象限，，且，，，