第18讲直线的一般式方程（三大题型归纳分层练）

第18讲直线的一般式方程【人教A版选修一】目录TOC\o"13"\h\z\u题型归纳 1题型01直线的一般式方程 2题型02利用一般式解决直线的平行与垂直问题 5题型03直线的一般式方程的应用 7分层练习 10夯实基础 10能力提升 15创新拓展 22一、直线的一般式方程我们把关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式．注意点：(1)直线一般式方程的结构特征①方程是关于x，y的二元一次方程．②方程中等号的左侧自左向右一般按x，y，常数的先后顺序排列．③x的系数一般不为分数和负数．(2)当直线方程Ax＋By＋C＝0的系数A，B，C满足下列条件时，直线Ax＋By＋C＝0有如下性质①当A≠0，B≠0时，直线与两条坐标轴都相交；②当A≠0，B＝0，C≠0时，直线只与x轴相交，即直线与y轴平行，与x轴垂直；③当A＝0，B≠0，C≠0时，直线只与y轴相交，即直线与x轴平行，与y轴垂直；④当A＝0，B≠0，C＝0时，直线与x轴重合；⑤当A≠0，B＝0，C＝0时，直线与y轴重合二、利用一般式解决直线的平行与垂直问题已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为0)．(1)l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1≠0或A1C2－A2C1≠0.(2)l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.题型01直线的一般式方程【解题策略】求直线一般式方程的策略在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选出四种特殊形式之一求方程，然后转化为一般式【典例分析】课本例5已知直线经过点A(6，－4)，斜率为－eq\f(4,3)，求直线的点斜式和一般式方程．解经过点A(6，－4)，斜率为－eq\f(4,3)的直线的点斜式方程是y＋4＝－eq\f(4,3)(x－6)，化为一般式，得4x＋3y－12＝0.【例1】根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程：(1)斜率是eq\r(3)，且经过点A(5,3)；(2)经过A(－1,5)，B(2，－1)两点；(3)在x轴、y轴上的截距分别为－3，－1；(4)经过点B(4,2)，且平行于x轴．解(1)由点斜式，得直线方程为y－3＝eq\r(3)(x－5)，即eq\r(3)x－y－5eq\r(3)＋3＝0.(2)由两点式，得直线方程为eq\f(y－5,－1－5)＝eq\f(x－－1,2－－1)，即2x＋y－3＝0.(3)由截距式，得直线方程为eq\f(x,－3)＋eq\f(y,－1)＝1，即x＋3y＋3＝0.(4)y－2＝0.【变式演练】【变式1】（2223高二上·山东菏泽·期中）过点与的直线的一般式方程为.【答案】【分析】先求出直线的斜率，再根据点斜式即可求出直线方程.【详解】可得直线的斜率为，所以直线方程为，整理得.故答案为：【变式2】（2324高二上·全国·课后作业）已知点，，，写出直线，，的点斜式、两点式和一般式方程．【答案】答案见解析【分析】根据点的坐标求出斜率，从而写出点斜式方程，两点式方程，再化成一般式方程.【详解】因为点，，，，，，直线的点斜式方程为，直线的点斜式方程为，直线的点斜式方程为，直线的两点式方程为直线的两点式方程为，直线的两点式方程为，直线的一般式方程为，直线的一般式方程为，直线的一般式方程为【变式3】根据下列条件分别写出直线的一般式方程．(1)经过两点A(5,7)，B(1,3)；(2)经过点(－4,3)，斜率为－3；(3)经过点(2,1)，平行于y轴；(4)斜率为2，在x轴上的截距为1.解(1)由两点式方程得eq\f(y－7,3－7)＝eq\f(x－5,1－5)，即x－y＋2＝0，(2)由点斜式方程得y－3＝－3(x＋4)，即3x＋y＋9＝0.(3)由题意知x＝2，即x－2＝0.(4)由点斜式得y＝2(x－1)，即2x－y－2＝0.题型02利用一般式解决直线的平行与垂直问题【解题策略】求过一点与已知直线平行(垂直)的直线方程的方法(1)由已知直线求出斜率，再利用平行(垂直)的直线斜率之间的关系确定所求直线的斜率，由点斜式写出方程．(2)可利用待定系数法：与直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)平行的直线方程可设为Ax＋By＋C1＝0(C1≠C)，再由直线所过的点确定C1；与直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋C2＝0，再由直线所过的点确定C2【典例分析】【例2】已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，求满足下列条件的直线l′的方程：(1)过点(－1,3)，且与l平行；(2)过点(－1,3)，且与l垂直．解方法一l的方程可化为y＝－eq\f(3,4)x＋3，∴l的斜率为－eq\f(3,4).(1)∵l′与l平行，∴l′的斜率为－eq\f(3,4).又∵l′过点(－1,3)，∴由点斜式知l′的方程为y－3＝－eq\f(3,4)(x＋1)，即3x＋4y－9＝0.(2)∵l′与l垂直，∴l′的斜率为eq\f(4,3)，又l′过点(－1,3)，∴由点斜式可得l′的方程为y－3＝eq\f(4,3)(x＋1)，即4x－3y＋13＝0.方法二(1)由l′与l平行，可设l′的方程为3x＋4y＋m＝0.将点(－1,3)代入上式得m＝－9.∴所求直线的方程为3x＋4y－9＝0.(2)由l′与l垂直，可设l′的方程为4x－3y＋n＝0.将(－1,3)代入上式得n＝13.∴所求直线的方程为4x－3y＋13＝0.【变式演练】【变式1】已知直线3x－4y＋4＝0与直线ax＋8y＋7＝0平行，则实数a的值为________．答案－6解析因为直线3x－4y＋4＝0与直线ax＋8y＋7＝0平行，所以3×8－(－4)a＝0，解得a＝－6.【变式2】（2223高二上·贵州黔西·期中）已知直线和直线互相垂直，则实数的值为．【答案】或【分析】根据两条直线垂直的充要条件列出方程即可得解.【详解】因为直线和直线互相垂直，所以，解得或.故答案为：或【变式3】（2122高二上·上海金山·阶段练习）已知两条直线，，，判断两直线的位置关系．【答案】答案见解析.【分析】以是否为0判断两条直线相交或不相交，注意考虑垂直的情况；当时，判断两直线平行或重合.【详解】令，解得，所以当时，与相交；当时，与互相垂直；令，解得；当时，的方程为，的方程为，与重合；当时，的方程为，的方程为，此时；所以当时，与相交，其中时，与互相垂直；当时，与重合；当时，题型03直线的一般式方程的应用【解题策略】含参直线方程的研究策略(1)若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则需满足A，B不同时为0.(2)令x＝0可得在y轴上的截距．令y＝0可得在x轴上的截距．若确定直线斜率存在，可将一般式化为斜截式．(3)解分式方程要注意验根【典例分析】【例3】设直线l的方程为(m2－2m－3)x－(2m2＋m－1)y＋6－2m＝0.(1)已知直线l在x轴上的截距为－3，求m的值；(2)已知直线l的斜率为1，求m的值．解(1)由题意知m2－2m－3≠0，即m≠3且m≠－1，令y＝0，得x＝eq\f(2m－6,m2－2m－3)，∴eq\f(2m－6,m2－2m－3)＝－3，得m＝－eq\f(5,3)或m＝3(舍去)．∴m＝－eq\f(5,3).(2)由题意知，2m2＋m－1≠0，即m≠eq\f(1,2)且m≠－1.由直线l化为斜截式方程得y＝eq\f(m2－2m－3,2m2＋m－1)x＋eq\f(6－2m,2m2＋m－1)，则eq\f(m2－2m－3,2m2＋m－1)＝1，得m＝－2或m＝－1(舍去)．∴m＝－2.【变式演练】【变式1】设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)．(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．解(1)当直线l过原点时，直线l在x轴和y轴上的截距均为0，∴a＝2，此时直线l的方程为3x＋y＝0；当直线l不过原点时，a≠2，直线l在x轴和y轴上的截距分别为eq\f(a－2,a＋1)，a－2，∴eq\f(a－2,a＋1)＝a－2，解得a＝0或a＝2(舍去)，∴直线l的方程为x＋y＋2＝0.综上所述，直线l的方程为3x＋y＝0或x＋y＋2＝0.(2)将l的方程化为y＝－(a＋1)x＋a－2，∵l不经过第二象限，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－a＋1≥0，,a－2≤0，))解得a≤－1.综上可知，实数a的取值范围是(－∞，－1]．【变式2】已知在△ABC中，点A的坐标为(1,3)，AB，AC边上的中线所在直线的方程分别为x－2y＋1＝0和y－1＝0，求△ABC各边所在直线的方程．解设AB，AC边上的中线分别为CD，BE，其中D，E分别为AB，AC的中点，∵点B在中线BE：y－1＝0上，∴设B点坐标为(x,1)．又∵A点坐标为(1,3)，D为AB的中点，∴由中点坐标公式得D点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋1,2)，2)).又∵点D在中线CD：x－2y＋1＝0上，∴eq\f(x＋1,2)－2×2＋1＝0，解得x＝5，∴B点坐标为(5,1)．同理可求出C点的坐标是(－3，－1)．故可求出△ABC三边AB，BC，AC所在直线的方程分别为x＋2y－7＝0，x－4y－1＝0和x－y＋2＝0.【变式3】（2324高二上·安徽·阶段练习）已知直线.(1)若，求的值；(2)若，求过原点与点的直线的方程.【答案】(1)3或1(2).【分析】（1）根据直线平行得到关于a的方程，求出a，检验后得到答案；（2）根据直线垂直得到关于a的方程，求出，进而得到直线的方程.【详解】（1）因为，所以，化简得，解得或，当或时，与均不重合，所以的值为3或1.（2）因为，所以，解得，所以直线的斜率为，所以直线的方程为，即【夯实基础】一、单选题1．（2324高二上·山东烟台·期中）若直线在y轴上的截距为2，则该直线的斜率为（

）A． B．2 C． D．【答案】D【分析】根据纵截距求解出的值，然后由直线方程求解出斜率.【详解】因为的纵截距为，所以直线经过，所以，所以，所以斜率，故选：D.2．（2324高二上·湖北·期末）已知直线与直线平行，则实数a的值是（

）A．2或0 B．2 C．0 D．【答案】B【分析】讨论a是否为0，不等于0时，根据直线平行，列式计算，求得a的值，验证后即可确定答案.【详解】当时，两直线都为，两直线重合，不符合题意；当时，由两直线平行，得到，解得，经检验，此时两直线不重合，即直线与直线平行，综上，实数a的值是2.故选：B3．（2324高二上·河南信阳·期末）直线与平行，则a的值为（

）A．0 B． C．或0 D．或0【答案】C【分析】利用直线平行求得，再进行检验即可得解.【详解】因为直线与平行，所以，解得或，当时，两直线分别为，，显然平行，满足题意；当时，两直线分别为，，也平行，满足题意；综上，或.故选：C.4．（2324高二上·广东惠州·阶段练习）直线的倾斜角为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出直线的斜率，再根据斜率与倾斜角的关系即可得解.【详解】设直线的倾斜角为，因为直线的斜率为，即，因为，所以．故选：B．二、多选题5．（2324高二上·湖南岳阳·阶段练习）已知直线l的方程是（A，B不同时为0），则下列结论正确的是（

）A．B．若，则直线l过定点C．若且，则直线l不过第二象限D．若，则直线l必过第二、三象限【答案】BCD【分析】对于A：举例分析判断；对于B：根据直线过定点分析判断；对于CD：根据直线斜率和截距分析判断.【详解】选项A：例如（x轴），可得，则，故A错误；选项B：若，则，当时，式子恒成立，所以直线l过定点，故B正确；选项C：若且，则，且，即直线l的斜率大于0，纵截距小于0，所以直线l经过第一、三、四象限，不经过第二象限，故C正确；选项D：若，则，且，即直线l的斜率不为0，横截距小于0，所以直线l必过第二、三象限，故D正确；故选：BCD．6．（2324高二上·江苏宿迁·期末）如果，那么直线通过（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】ACD【分析】根据直线的斜率以及轴截距判断即可；【详解】因为，,所以所以，令所以直线经过一三四象限.故选：ACD.三、填空题7．（2223高二上·北京海淀·阶段练习）已知直线，.若，则实数a=，若，则实数a=．【答案】01【分析】根据直线垂直以及平行的充要条件，即可列出方程，解出即得.【详解】因为，所以有，解得；因为，所以有，解得，当时，与重合，舍去；当时，，，与不重合，满足条件，所以.故答案为：0；1.8．（2324高二上·吉林辽源·期末）已知直线，直线，且，则的值为.【答案】0【分析】根据两直线平行，列式计算，经验证即可确定答案.【详解】由，可得，即，故或，当时，直线和直线平行，符合题意；当时，直线和直线重合，不合题意，故，故答案为：09．（2324高二上·安徽马鞍山·阶段练习）直线在x轴上的截距是．【答案】【分析】利用直线在x轴上的截距的定义求解.【详解】解：由直线方程为，令，得，所以直线在x轴上的截距是，故答案为：四、解答题10．（2324高二上·浙江台州·期中）已知直线经过点，.(1)求直线的一般式方程；(2)若点，求点C关于直线的对称点的坐标.【答案】(1)(2)【分析】（1）先求出直线l的斜率，从而利用点斜式求出直线l的方程，化为一般式；（2）设出对称点，根据中点坐标和斜率关系得到方程组，求出，得到对称点.【详解】（1）直线l的斜率为，所以直线l的方程为，即；（2）设点C关于直线的对称点坐标为,显然的中点坐标满足，即，又直线与直线l垂直，故，联立与，解得，所以点C关于直线的对称点的坐标为.11．（2122高二·全国·课后作业）讨论直线：和：的位置关系．【答案】答案见详解【分析】根据直线位置关系与系数之间的关系分类讨论可得.【详解】当，即且时，直线、相交；当，即时，直线，垂直；当，即时，直线、平行；当，即时，直线、重合【能力提升】一、单选题1．（2324高二上·浙江杭州·期中）直线的倾斜角为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据直线方程可求斜率，故可得倾斜角.【详解】直线的斜率为，设其倾斜角为，则，故选：D.2．（2324高二上·北京顺义·期末）已知直线：，：.若，则实数（

）A．0或 B．0 C． D．或2【答案】B【分析】根据两直线平行得到方程，求出或，检验后得到答案.【详解】由题意得，解得或，当时，直线：，：，满足，当时，直线：，：，两直线重合，不合要求，舍去，综上，.故选：B3．（2324高二上·广西百色·期末）若直线和平行，则的值为（

）A． B．C．或 D．【答案】A【分析】利用两条直线的平行关系，求出的值即可.【详解】因为直线和平行，所以，解得或；当时，此时直线和平行，满足题意；当时，此时直线和重合，不满足题意，舍去.综上所述：.故选：A.4．（2324高二上·全国·课后作业）已知直线l的方程为2x－5y＋10＝0，且在y轴上的截距为b，则b等于（）A．－2 B．2C．－5 D．5【答案】B【分析】直接利用直线方程求出在y轴上的截距为b.【详解】令x＝0，则y＝2，所以直线2x－5y＋10＝0在y轴上的截距是2.故选：B二、多选题5．（2324高二上·宁夏银川·期中）直线（A，B不同时为0）下列说法正确的是（

）A．则该直线与两坐标轴都相交 B．，则该直线与轴平行C．则该直线为轴所在直线 D．，则该直线过原点【答案】ACD【分析】根据，，与零的关系得到直线方程的形式，然后判断即可.【详解】若，则，，该直线与两坐标轴都有交点，故A正确；，则直线方程为，该直线与轴平行或重合，故B错；，，则直线方程为，表示轴所在的直线，故C正确；，则直线方程为，经过原点，故D正确.故选：ACD.6．（2324高二上·新疆·期中）已知，直线经过第一、二、四象限，则（

）A． B． C． D．【答案】ABC【分析】先将直线方程转化为点斜式直线方程，根据直线所过象限列出关于斜率、纵截距的不等式进行求解即可.【详解】将直线l的方程转化为，因为l经过第一、二、四象限，所以即，，.对D，若，则，，满足题意，故D错误.故选：ABC.三、填空题7．（2324高二上·江苏·课前预习）（1）若直线，直线，则的充要条件为；（2）若直线，直线，则的充要条件为.【答案】【分析】根据直线垂直的性质进行填空.【详解】（1）若直线，直线，则的充要条件；（2）若直线，直线，则的充要条件为.故答案为：，8．（2324高二上·上海·期末）直线的倾斜角的大小为.【答案】【分析】根据题意，求得直线的斜率为，结合斜率和倾斜角的关系，即可求解.【详解】由直线，可得直线的斜率为，设直线的倾斜角为，则，可得，即直线的倾斜角为.故答案为：.9．（2223高二上·北京·期中）若直线：与直线：平行，则．【答案】2【分析】结合已知条件，利用直线间的平行关系求出参数，然后对参数进行检验即可求解.【详解】因为直线：与直线：平行，所以，解得，，当时，直线：，直线：，即，满足题意；当时，直线：，直线：，即，则此时两直线重合，不满足题意，舍去.综上所述，.故答案为：2.四、解答题10．（2324高二上·山东临沂·期中）已知△ABC的边AB，AC所在直线的方程分别为，，点在边BC上．(1)若△ABC为直角三角形，求边BC所在直线的方程；(2)若P为BC的中点，求边BC所在直线的一般方程．【答案】(1)或.(2)．【分析】（1）利用直线的垂直与斜率的关系求解；（2）利用点斜式方程求解.【详解】（1）由△ABC的边AB，AC所在直线的方程分别为，，可知角A不是直角，①若角B是直角，由点P在边BC上，得边BC所在直线的方程为；②若角C是直角，由边AC所在直线的方程为，得边BC所在直线的斜率为，又点P在边BC上，所以边BC所在直线的方程为，即．综上，边BC所在直线的方程为或.（2）由题意可设，由P为BC的中点，得，将点C的坐标代入边AC所在直线的方程，得，解得，所以，得边BC所在直线的斜率为，所以边BC所在直线的方程为，即．11．（2324高二上·河南新乡·阶段练习）已知的三个顶点分别为．求：(1)边中线所在的直线方程；(2)的平分线所在的直线方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）先求得的中点，进而求得边中线所在的直线方程.（2）求得的平分线所在的直线的倾斜角，从而求得所求直线的斜率，进而求得所求直线的方程.【详解】（1）已知的三个顶点分别为，所以中点为，而，所以中线方程为．（2），所以，所以为钝角，且，设的平分线与轴的交点为，则，即的平分线所在的直线的倾斜角为，，解得（负根舍去），所以，所以的平分线的直线方程为，即.【创新拓展】一、单选题1．（2324高三上·山东青岛·期末）“”是“直线与平行”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】根据直线平行的条件，判断“”和“直线与平行”之间的逻辑关系，即可得答案.【详解】当时，直线与平行；当直线与平行时，有且，解得，故“”是“直线与平行”的充要条件，故选：C二、多选题2．（2324高二上·福建厦门·阶段练习）已知直线，则（

）A．无论如何变化，直线恒过定点B．无论如何变化，直线一定不经过第三象限C．无论如何变化，直线必经过第一、二、三象限D．当取不同数值时，可得到一组平行直线【答案】BD【分析】首先将直线方程化为斜截式，即可得到斜率、与轴的交点坐标，再一一判断即可.【详解】直线，即，即，因为直线的斜率，与轴的交点为，交于正半轴，故直线恒过一、二、四象限，不过第三象限，即B正确，C错误，当取不同数值时，也随着改变，直线与轴的交点也随着改变，又直线的斜率不变，所以当取不同数值时，可得到一组平行直线，故D正确，由D可知直线不过定点，故A错误；故选：BD三、填空题3．（2324高二上·宁夏银川·阶段练习）在平面直角坐标系中，设，为不同的两点，直线l的方程为，设，其中a，b，c均为实数，下列四个说法中：①存在实数δ，使点N在直线l上；②若，则过M，N两点的直线与直线l重合；③若，则直线l经过线段的中点；所有结论正确的说法的序号是.【答案】③【分析】根据题意对一一分析，逐一验证即可．【详解】对于①，化为：，即点不在直线上，因此①不正确；对于②，，则，即过两点的直线与直线的斜率相等，又点不在直线上，因此两条直线平行，故②错误；对于③，，则，化为，因此直线经过线段的中点，故③正确.故答案为：③.【点睛】结论点睛：利用一般式方程判定直线的平行与垂直：已知直线和直线.（1）且；（2）.四、解答题4．（2324高二上·重庆黔江·阶段练习）（1）已知斜率为负的直线过点，且与两坐标轴围成的面积是54，求直线的方程；（2）在中，