2 1．1.2　空间向量的数量积运算

1．1.2空间向量的数量积运算第一章空间向量与立体几何学习指导核心素养1.掌握空间向量的数量积．2．了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义．3．能利用空间向量数量积解决简单的立体几何问题．1.数学抽象：空间向量的夹角及数量积的定义．2．数学运算、逻辑推理：空间向量数量积的运算及应用．01必备知识落实知识点一空间向量的夹角∠AOB〈a，b〉0≤〈a，b〉≤π⊥(1)只有两个非零向量才有夹角，零向量与任何向量不定义夹角，并规定0与任何向量a都共线，即0∥a.(2)当两个非零向量同向时，它们的夹角为0，反向时，它们的夹角为π，即〈a，b〉＝0或〈a，b〉＝π⇔a∥b(a，b为非零向量).√√知识点二空间向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作________．即a·b＝______________．(2)运算律：①结合律：(λa)·b＝_______，(λ∈R)；②交换律：a·b＝_______；③分配律：(a＋b)·c＝______________．a·b|a||b|cos

〈a，b〉λ(a·b)b·aa·c＋b·c(3)性质a·b＝0|a||a|cos

〈a，a〉求空间向量数量积的步骤(1)将待求数量积的两向量的模长及它们的夹角理清；(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角余弦值的乘积；(3)代入a·b＝|a||b|cos〈a，b〉求解．

已知a＝3p－2q，b＝p＋q，p和q是相互垂直的单位向量，则a·b＝(

)A．1

B．2C．3 D．4解析：因为p⊥q且|p|＝|q|＝1，所以a·b＝(3p－2q)·(p＋q)＝3p2＋p·q－2q2＝3＋0－2＝1.√

已知向量a，b，|a|＝6，|b|＝8，〈a，b〉＝120°，则a在b上的投影向量为________，b在a上的投影向量为________．02关键能力提升√【解析】

因为A1A⊥平面ABC，所以A1A⊥AB，A1A⊥AC.因为异面直线所成的角为(0°，90°]，所以AE，A1C所成的角是60°.利用数量积求夹角或其余弦值的步骤[注意]

求两向量的夹角，必须特别关注两向量的方向，应用向量夹角定义确定夹角是锐角、直角还是钝角．利用空间向量解决垂直问题的方法(1)证明线线垂直的关键是确定直线的方向向量，看方向向量的数量积是否为0来判断两直线是否垂直．(2)证明与空间向量a，b，c有关的向量m，n垂直，应先用向量a，b，c表示向量m，n，再求解向量m，n的数量积并判断是否为0.

如图，在空间四边形O－ABC中，OB＝OC，AB＝AC，求证：OA⊥BC.考点三利用数量积求距离

正三棱柱(底面是正三角形的直三棱柱)ABC­A1B1C1的各棱长都为2，E，F分别是AB，A1C1的中点，求EF的长．

如图所示，在▱ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠D＝60°，PA⊥平面ABCD，PA＝6，求PC的长．03课堂巩固自测√23412．已知i，j，k是两两垂直的单位向量，a＝2i－j＋k，b＝i＋j－3k，则a·b＝(

)A．－2B．－1C．±1D．2解析：a·b＝(2i－j＋k)·(i＋j－3k)＝2i2－j2－3k2＝－2.√2341√234123414.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求异面直线A1B与AC所成的角．2341234104课后达标检测√2345678910111211314151623456789101112113141516√234567891011121131415163．已知a，b是异面直线，且a⊥b，e1，e2分别为取自直线a，b上的单位向量，且m＝2e1＋3e2，n＝ke1－4e2，m⊥n，则实数k的值为(

)A．－6 B．6C．3 D．－3解析：由题意得e1·e2＝0，由m⊥n，得m·n＝0，即(2e1＋3e2)·(ke1－4e2)＝0，所以2k－12＝0，所以k＝6.√23456789101112113141516√23456789101112113141516√√√234567891011121131415162345678910111211314151623456789101112113141516√√2345678910111211314151623456789101112113141516234567891011121131415162345678910111211314151623456789101112113141516答案：0

<234567891011121131415162345678910111211314151623456789101112113141516√2345678910111211314151623456789101112113141516√√√23456789101112113141516234567891011121131415162345678910111211314151623456789101112113141516答案：60°

12345678910111211314151614.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝60°，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD.用向量法求证：PA⊥BD.2345678910111211314151623456789101112113141516234567891011121131415162345678910