1 1．3.1　空间直角坐标系

1．3空间向量及其运算的坐标表示1．3.1空间直角坐标系第一章空间向量与立体几何学习指导核心素养1.在平面直角坐标系的基础上，了解空间直角坐标系，感受建立空间直角坐标系的必要性，会用空间直角坐标系刻画点的位置．2．掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．数学抽象：空间直角坐标系的建系方式．直观想象：空间向量的正交分解及其坐标表示．01必备知识落实知识点一空间直角坐标系(1)空间直角坐标系在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}．以点O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴：________、________、________，它们都叫做坐标轴，这时就建立了一个空间直角坐标系________．x轴y轴z轴Oxyz(2)相关概念______叫做原点，i，j，k都叫做__________，通过每两条坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为______平面，______平面，______平面，它们把空间分成八个部分．(3)右手直角坐标系在空间直角坐标系中，让右手拇指指向______的正方向，食指指向______的正方向，如果中指指向______的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．O坐标向量OxyOyzOzxx轴y轴z轴(x，y，z)与向量坐标有关的重要结论(1)向量a的坐标实质是向量a的单位正交分解的系数．(2)两向量相等等价于它们对应的坐标相等，即设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则a＝b⇔x1＝x2，y1＝y2，z1＝z2.解析：观察题中图形，知点B1的坐标为(2，3，1)，故选C.√02关键能力提升用坐标表示空间向量的步骤考点二空间中点的对称问题

在空间直角坐标系中，已知点P(－2，1，4).(1)求点P关于x轴的对称点的坐标；【解】

由于点P关于x轴对称后，它在x轴的分量不变，在y轴、z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为P1(－2，－1，－4).(2)求点P关于Oxy平面的对称点的坐标；【解】

由于点P关于Oxy平面对称后，它在x轴、y轴的分量不变，在z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为P2(－2，1，－4).(3)求点P关于点M(2，－1，－4)的对称点的坐标．【解】

设对称点为P3(x，y，z)，则点M为线段PP3的中点，由中点坐标公式，可得x＝2×2－(－2)＝6，y＝2×(－1)－1＝－3，z＝2×(－4)－4＝－12，所以

P3(6，－3，－12).求空间中点的对称问题的方法

关于x轴对称的点，横坐标不变，纵坐标、竖坐标变为原来的相反数；关于Oxy坐标平面对称的点，横、纵坐标不变，竖坐标变为原来的相反数．

已知点P(2，3，－1)关于坐标平面Oxy的对称点为P1，点P1关于坐标平面Oyz的对称点为P2，点P2关于z轴的对称点为P3，则点P3的坐标为________．解析：点P(2，3，－1)关于坐标平面Oxy的对称点P1的坐标为(2，3，1)，点P1关于坐标平面Oyz的对称点P2的坐标为(－2，3，1)，点P2关于z轴的对称点P3的坐标是(2，－3，1).答案：(2，－3，1)03课堂巩固自测1．设{e1，e2，e3}是空间向量的一个单位正交基底，a＝4e1－8e2＋3e3，b＝－2e1－3e2＋7e3，则a＋b的坐标为(

)A．(2，－11，10) B．(－2，11，－10)C．(－2，11，10) D．(2，11，－10)解析：a＋b＝2e1－11e2＋10e3，由于{e1，e2，e3}是空间向量的一个单位正交基底，所以a＋b＝(2，－11，10).√2341√23413．设{i，j，k}是空间向量的一个单位正交基底，则向量a＝3i＋2j－k，b＝－2i＋4j＋2k的坐标分别是________．解析：因为{i，j，k}是单位正交基底，根据空间向量坐标的概念知a＝(3，2，－1)，b＝(－2，4，2).答案：(3，2，－1)，(－2，4，2)2341234104课后达标检测√234567891012．在空间直角坐标系中，点A(2，－2，4)与点B(－2，－2，－4)关于(

)A．原点对称 B．x轴对称C．y轴对称 D．z轴对称解析：因为点A和点B的纵坐标相同，横坐标和竖坐标都互为相反数，所以点A和点B关于y轴对称．√23456789101√23456789101解析：因为A点不一定为坐标原点，所以A不正确；同理，B，C都不正确；234567891014．点P(2，3，4)在三条坐标轴上的射影的坐标分别是________，________，________．解析：P(2，3，4)在x轴上的射影为(2，0，0)，在y轴上的射影为(0，3，0)，在z轴上的射影为(0，0，4).答案：(2，0，0)

(0，3，0)

(0，0，4)23456789101234567891012345678910123456789101[B能力提升]7．在空间直角坐标系中，点P(4，3，－1)关于Oxz平面对称的点的坐标是(

)A．(4，－3，－1)

B．(4，3，－1)C．(3，－4，1) D．(－4，－3，1)解析：过点P向Oxz平面作垂线，垂足为N(图略)，则N就是点P与其关于Oxz平面对称的点P′连线的中点．又N