2023人教版新教材高中数学必修第一册同步练习-23 二次函数与一元二次方程、不等式

2023人教版新教材高中数学必修第一册

2.3二次函数与一元二次方程、不等式

基础过关练

题组一一元二次不等式的解法

1.（2021河北邢台期中）不等式x2+5x>0的解集为（）

A.{x|x<0或x>5}B.{x|0<x<5}

C.{x[x<-5或x>0}D.{x|-5<x<0}

2.不等式-X2-X+220的解集为（）

A.{x|xW-2或x21}B.{x|xWT或x22}

C.{x|TWxW2}D.{x|-2WxWl}

3.（2021浙江五湖联盟期中联考）若a>2,则关于x的不等式ax2-（2+a）x+2>0的解

集为（）

A.（x|xV：或x>1}B.（x|<x<11

C.卜[x>:或xV1}D.{%|1VxV：}

4.（2022河南南阳一中月考）用列举法表示集合B={x£N12x2-5x-3<0}

5.（2021上海浦东新区期中）不等式（x-2VW4的解集为.

6.（2022江苏南京师范大学附属中学月考）求下列不等式的解集:

（l）2x-7x+3<0;（2）-3x2+6x<2;（3）4x2+4x+l>0;（4）-x2+6x-10>0.

7.(2022北京一零一中学期中)求关于x的不等式x2+(a-l)x-a>0(aGR)的解集.

题组二三个“二次”之间的关系

8.不等式ax2+bx+c>0的解集为｛x则函数y=ax2+bx+c的图象大致为

()

9.（2022安徽合肥六中段考）已知不等式ax2+bx+c>0的解集为{幻-g<%<2）,则

不等式cx2+bx+a<0的解集为（）

A.{工|-3<x<|jB.{x|xV-3或x>g}

C.{%卜2<x<|jD.{%|x4-2或x>芬

10.（2022江苏张家港期中）若一元二次不等式kx2-2x+k<0的解集为{x|xWm},

则m+k=()

A.-lB,0C.-2D.2

11.（2022北京房山期中）已知关于x的不等式x2+px-q<0的解集是{x[l<x<2},则

p=,q=.

12.（2020湖南长沙雅礼中学检测）若二次函数y=x2-（2k+l）x+1^+1的图象与x轴的

两个交点分别为（X],O）,区,0）,且x1,X2都大于1.

⑴求实数k的取值范围；

⑵若之三,求k的值.

X22

题组三一元二次不等式的恒（能）成立问题

13.（2021浙江台州七校联盟联考）关于x的不等式x2-mx+l>0的解集为R,则实数

m的取值范围是（）

A.{m10<m<4}

B.{m[m<-2或m>2}

C.{m|-2WmW2}

D.{m|-2<m<2}

14.（2022北京丰台期中）若关于x的不等式ax2-x+a<0的解集为R,则a的取值范

围是（）

A.a〈一;或a>；B.a<-1

C.-1<a<iD.-i<a<0

15.若关于x的不等式-x2+mx-120有解,则实数m的取值范围是（）

A.{m|mW-2或m22}

B.{m|-2^m^2}

C.或或2}

D.{m|-2<m<2}

16.（2022北京首师大附中月考）若不等式ax2+ax-l>0的解集为。,则实数a的取值

范围是.

题组四一元二次不等式的实际应用

17.某产品的总成本y（万元）与产量x（台）之间的关系为y=3

000+20x-0.1X2（X£N*）,假设生产的产品均可售出，若每台产品的售价为25万元，

则生产者不亏本（销售收入不小于总成本）时的最低产量是（）

A.100台B.120台

C.150台D.180台

18.将进货价为每个80元的商品按90元一个售出时，能卖出400个,每涨价1元,

销售量就减少20个,为了使商家的利润有所增加,则售价式元/个）的取值范围是

（）

A.90<a<100B.90<a<110

C.100<a<110D.80<a<100

19.现要规划一块长方形绿地,且长方形绿地的长与宽的差为30米.若使长方形绿

地的面积不小于4000平方米,则这块绿地的长与宽至少应为多少米？

能力提升练

题组一一元二次不等式的解法

1.（2021广东中山实验中学等四校联考）关于实数x的不等式

a（x-a）（x+l）〉0（a£R）的解集不可能是（）

A.{x|x<_l或x>a}B.R

C.{x|-l<x<a}D.{x|a<x<-l}

2.（多选）（2022河北石家庄一中适应性测试）关于x的不等式ax2+（2-4a）x-8>0,

下列说法正确的是（）

A.当a=0时,不等式的解集为{x|x>4）

B.当a<0时，不等式的解集为lxx>4或x〈二）

a

C.当a<0时,不等式的解集为回-：<%<4）

D.当时,不等式的解集为。

3.（2022江苏南通如东高级中学阶段测试）不等式也W2的解集为.

X

4.（2022北京首师大附中月考）关于x的不等式x2-（a+l）x4-a<0的解集中恰有两个

整数,则实数a的取值范围是.

5.（2022安徽合肥六中段考）解关于x的不等式:mx2+（m-2）x-2>0.

题组二三个“二次”的综合应用

6.（2022河南南阳一中月考）若不等式ax2-x-c>0的解集为上卜1<x<g,则函数

y二ex?-x-a的图象大致为（）

7.（2021安徽合肥第一中学段考）已知函数y=x2+ax+b（a,b£R）的最小值为0,若关

于x的不等式x2+ax+b<c的解集为{x|m<x<m+4},则实数c的值为（）

A.9B.8C.6D.4

8.（多选）（2022湖北武汉中学月考）已知不等式ax2+bx+c>0的解集为{x[m<x<n},

其中n>m>0,则以下选项正确的有（）

A.a<0

B.c>0

C.cx2+bx+a>0的解集为卜|：V汇V'}

D.cx2+bx+a>0的解集为{x|x〈3或x>'}

9.（2021上海华东师范大学第二附属中学月考）已知关于x的不等式-1<注<1的

X-1

解集是{x|-2<x<0},则所有满足条件的实数a组成的集合是.

10.（2020山西大同中学月考）已知关于x的不等式kx2-2x+6k<0（k7^0）.

(1)若不等式的解集为｛X|x<-3或x>-2｝，求k的值;

⑵若不等式的解集为1|x转｝,求k的值；

⑶若不等式的解集是R,求k的取值范围；

(4)若不等式的解集是。,求k的取值范围.

题组三一元二次不等式的恒（能）成立问题

11.（2021江苏南京师范大学附属中学月考）已知命题pFxCR,mx2+lW0;命题

q：VxER,x2+mx+l>0.若p,q都是假命题,则实数m的取值范围为（）

A.m^-2B.m22

C.m，2或mW-2D.-2〈后2

12.（2022重庆缙云教育联盟质检）在R上定义运算:a㊉b=（a+l）b.已知l〈x<2

时,存在x使不等式（m-x）㊉（m+x）<4成立,则实数m的取值范围为（）

A.{m|-2<m<2}B.{m|-l<m<2}

C.{m|-3<m<2}D.{m|l<m<2}

13.（2022豫西名校联考）当x>0时,不等式x2+mx+9>0恒成立,则实数m的取值范

围是.

14.若不等式a2+8b2,入b（a+b）对于任意的a,b£R恒成立，则实数X的取值范围

为.

题组四一元二次不等式的应用

15.某商家一月份至五月份的累计销售额达3860万元,预测六月份的销售额为

500万元,七月份的销售额比六月份增长x%,八月份的销售额比七月份增长x%,九、

十月份的销售总额与七、八月份的销售总额相等.若一月份至十月份的销售总额

至少达7000万元，则x的最小值是.

16.（2022湖北武汉部分学校期中）若使集合A={x|（kx-k2-2k-2）（2x-5）>0,x^Z}

中的元素个数最少,则实数k的取值范围是.

17.（2022安徽合肥六中段考）已知a,b£R,且a2+b2+ab=l,则b的取值范围

是.

18.一个小型服装厂生产某种风衣,月产量x（件）与售价P（元/件）之间的关系为

P=160-2x,生产x件的成本为（500+30x）元.

（1）该厂的月产量为多少时,每月获得的利润不少于1300元？

（2）当月产量为多少时,可获得最大利润?最大利润是多少元？

（注:假设生产的风衣均能售出）

答案全解全析

基础过关练

1.C易得方程x?+5x=0的两根分别为-5,0,由函数y=x?+5x的图象(图略)知，不等

式X5+5X>0的解集为｛x|x<-5或x>0｝.故选C.

2.D由-X2—X+220,可得X2+X-2^0,即(x-1)(x+2)<0,.,.-2WxWl,.,•不等式

-x2-x+2^0的解集为｛x|-2<xW1｝.故选D.

3.A由ax2-(2+a)x+2>0,得(x_l)(ax_2)>0.

7

Va>2,AO<-<1,

a

・,・原不等式的解集为｛x|xV：或x>1｝.

故选A.

4.答案｛0,1,2)

解析由2x2-5x-3<0,得3<x<3,又xeN,Ax=0,1,2,故B=｛0,1,2).

5.答案｛x0<xW4｝

解析由(X-2TW4,得-2Wx-2<2,解得0«4,

・,・原不等式的解集为｛x10Wx<4｝.

6.解析(1)由2x2-7x+3<0,可得(2x-l)(x-3)<0,解得gx<3,

所以原不等式的解集为3|<x<3).

⑵原不等式可化为3X2-6X+2^0,易知方程3X2-6X+2=0的两根为x=l土手,结合函

数yW-6x+2的图象(图略)，可得原不等式的解集为｛%|xK1-日或x>14-^].

⑶原不等式可化为(2x+l)2>0,所以原不等式的解集为｛%|x£R,且％。-i｝*

(4)原不等式可化为X2-6X+10<0,即(x-3)2+l<0,所以原不等式的解集为。.

7.解析由x2+(aT)x-a>0,可得(x+a)(xT)>0①，

则当-即a>-l时,解不等式①,得x<-a或x>l;

当a-l时，解不等式①，得xWl;

当-a>l,即a<-l时,解不等式①,得x〈l或x>-a.

综上所述,当a>-l时,不等式的解集为｛x|x<-a或x>l｝;当a=-l时,不等式的解集

为｛x|xWl｝;当a<-l时,不等式的解集为｛x|x〈l或x>-a｝.

8.A..•不等式ax'+bx+c>0的解集为｛x-2<x<l｝,

・・・函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点为(-2,0),(1,0),且开口向下,故选A.

9.A•・•不等式ax2+bx+c>0的解集为｛划-；<x<2),

工方程ax'+bx+c=0的实数根为和2,且a<0,

(--+2=--,ffe=--a,

・・・:。解得I

匕X2=,(5=一六，

则不等式cx2+bx+a<0可化为‘ax'-^ax+aVO,

33

即2X2+5X-3<0,解得-3<X0,

，所求不等式的解集为｛制-3<x<1｝.故选A.

10.C由题意可得函数y=kx2-2x+k的图象开口向下,且与x轴只有1个交

点，・',£二表”2=0,解得k=T,

Ik<0,

・,•不等式为一X2—2X—1<0,艮［Ix\Zx+lX),其解集为｛x|x#一1｝,/.m+k=_2.

故选C.

11.答案-3;-2

解析因为不等式x2+px-q<0的解集为｛x|l<x<2｝,

所以1和2是方程x2+px-q=0的两个实数根，

由根与系数的关系，知[；：：=一十

(1x2=-q,

解得E=I'

(Q=-2.

22

12.解析(1)由题意可知,xbX2是关于x的方程x-(2k+l)x+k4-l=0的两个不相等

的实数根，

2

；・Xi+x2=2k+l,XiX2=k+l.

又X|>1,X2>1,

A=[-(2k+l)]2-4(fc2+1)>0,

Xi+%2>2,

、(%-1)(%2-l)=X1X2-(%1+%2)+1>°，

(4k-3>0,

即12/c+l>2,

U2-2k+1>0,

可得k>*且kWL

・・・实数k的取值范围是(kIk>：且kW1).

fXi+%2=2k+1,fxt=

⑵由｛&=工得｛4、

"2'62=丁，

•标二1?+1,即k2-8k+7=0,

解得k尸7,k2=l(舍去).

・・・k的值为7.

13.D•・♦不等式x2-mx+l>0的解集为R,

J函数y=x2-mx+l的图象在x轴上方，

，方程x2-mx+l=0无实数解，，A<0,即m2-4<0,解得-2<m<2,

J实数m的取值范围是{m|-2<m<2}.

故选D.

14.B当a=0时,原不等式为-x<0,即x>0,不满足题意；

当a#0时,若关于x的不等式ax2-x+a<0的解集为R,则片<、2(2八解得

(4=(-1)-4a2<0,

a<-|.故选B.

15.A二•关于x的不等式-x'mxT》。有解,且函数y=-x'mx-l的图象开口向

下，，函数图象与x轴有交点，，△=m2-4^0,解得m22或m^-2.故选A.

16.答案{a|-4〈aW0}

解析当a=0时,不等式化为-1>0,解集为0,满足题意；

当aWO时,若不等式ax2+ax-l>0的解集为。,则巧<—…解得-4Wa<0.

综上,实数a的取值范围是{a|-4WaW0}.

17.C令3000+20x-0.1X2^25X,得x2+50x-3000020,解得x<-200(舍去)或

x2150.故选C.

18.A设每个涨价x元,涨价后的利润与原利润之差为y元,则

a=x+90,y=(10+x)(400-20x)-10X400=-20x2+200x.要使商家的利润有所增加，则

必须使y>0,即x2-10x<0,得0<x<10,A90<x+90<100,即90<a<100.

19.解析设长方形绿地的长与宽分别为a米与b米.由题意可得a-b=30①,ab24

000②，

由①②可得b?+30b-400020,即(b+15)224225,

所以b+以265或b+15W-65(舍去)，所以b250,

所以b至少为50,则a至少为80,

所以这块绿地的长至少为80米,宽至少为50米.

能力提升练

1.B当a>0时，不等式a(x-a)(x+1)>0可化为(x-a)(x+1)>0,解得x>a或x<-l;

当a=0时,不等式a(x-a)(x+l)〉0可化为0>0,此时不等式的解集为。；

当-时,不等式a(x-a)(x+1)>0可化为(x-a)(x+1)<0,解得-!Xx〈a;

当时,不等式a(x-a)(x+l)〉0可化为(x+1)2<0,此时不等式的解集为0；

当a〈T时，不等式a(x-a)(x+1)>0可化为(x-a)•(x+1)<0,解得a〈x<T.

故A、C、D都有可能,B不可能.

故选B.

2.AD当a=0时,不等式为2x-8>0,解得x>4,所以不等式的解集为{x|x>4},故A

正确；由ax2+(2-4a)x-8>0可得(ax+2)(x-4)>0,当a7^0时，对应方程

(ax+2)(x-4)=0的两根为二,4,若2/人即a<4,则原不等式的解集为

a~~<4,2

a

{%|-|<%<4),若4即*则原不等式的解集为{%|4<x<-1,若

Ia'

--=4,则a=-i,此时(ax+2)(x-4)>0的解集为。,故B、C不正确,D正确.故选AD.

a2

3.答案{x|x21或x<0}

解析不等式把1W2即凶-2W0,・・・叶工冬忘0,即三W0,即

XXXX

曰20,.♦.汽以、n.・.x21或x<0,

X(%(x-l)>0,

故原不等式的解集为{X|X21或x<0}.

易错警示解分式不等式,一要注意在分母符号不确定时不能直接去分母,而要

移项、通分;二要注意分子可以为零，分母不能为零.

4.答案-2^a<-l或3<aW4

解析关于x的不等式x2-(a+l)x+a<0可化为(xT)•(x-a)<0,

当a>l时,不等式的解集为｛x|l<x<a),由不等式的解集中恰有两个整数,可知两整

数为2,3,所以36W4;

当a=l时,不等式的解集为Q不满足题意；

当a<l时,不等式的解集为｛x|a<x<l｝,

由不等式的解集中恰有两个整数,可知两整数是-1和0,所以-2Wa<-1.

综上,a的取值范围是-2Wa〈-l或3<aW4.

易错警示解决参数的取值范围问题要注意两点:一是对参数进行分类讨论时要

全面,二是参数取值范围的端点能否取到需单独考虑.

5.解析当m=0时,不等式化为-2x-2>0,解得x<-l;

当m>0时,不等式可化为

解得x<-l或x>—;

m

当m<0时,不等式可化为(%-A)(x+D〈°，

若二〈-1,则-2<m<0,

m

此时不等式的解集为｛x

m

若m=-2,则不等式可化为(x+l)2<0,此时不等式的解集为。，

若mT,则m<-2,此时不等式的解集为卜卜1VxV《｝.

综上,m=0时,不等式的解集是｛x|x<-l);

m>0时,不等式的解集是｛x|xVT或x>5｝；

-2<m<0时,不等式的解集是｛制£V%<-1｝；

m=-2时，不等式的解集是。；

m<-2时;不等式的解集是卜卜1<xV《｝.

6.C由题可得-1和混方程ax2-x-c=O的两个根,且a<0,

,1_1

•••八!二！解得｛二=

、2a'

则y=cx2-x-a=-x2-x+2=-(x+2)(x-l),

则函数图象开口向下,与x轴的交点为(-2,0),(1,0).故选C.

7.D..•函数y=x2+ax+b(a,bER)的最小值为0,

/.A=a2-4b=0,/.b-,

4

・・・函数y=x2+ax4-b=(x+其图象的对称轴为直线x=-].

不等式x2+ax+b<c的解集为{x|m<x<m+4},

2

工方程x2+ax+--c=0的根为m,m+4,

4

.•.m+m+4=一a,解得

2

・・.c=(?n+|)=4.

故选D.

8.AC因为不等式ax2+bx+c>0的解集为｛x|m〈x〈n｝,

所以a<0,m,n是方程ax2+bx+c=0的两个根,所以A正确;

,b

m+n=

由根与系数的关系可得ca

mn=

解得的=-(6+九)内

(c=mna,

因为n>m>0,所以c=mna<0,所以B错误；

cx2+bx+a>0可化为mnax2-(m+n)ax+a>0,

即mnx2-(m+n)x+l<0,即(mx-l)(nx-l)<0,

因为n>m>0,所以od〈工

nm

所以不等式cx2+bx+a>0的解集为｛x[；<%<、｝，

所以C正确，D错误.故选AC.

解题模板运用“三个二次”的关系解决一元二次不等式问题的关键是由一元

二次不等式的解集得到对应二次函数的图象和对应方程的两根，再利用根与系数

的关系建立参数间的关系,解题时要关注二次项系数的符号、二次函数的对称轴

等特征.

9.答案⑵

解析不等式—1<箸<1等价于]箸卜1,即(ax+l)2〈(x-1)：即

(a2-l)X2+2(a+1)x<0,

・・•不等式的解集是｛x卜2<x<0｝,

Aa2-l>0且-竽工-2,解得a=2.

a2T

故答案为｛2｝.

10.解析(1)由不等式的解集为｛x|x<-3或x>-2｝可知k<0,且x=-3与x=-2是方

程kx--2x+6k=0的两根，

一3+(-2)=々解得k=-1.

k5

⑵由不等式的解集为｛小。胃可知忆，钝2=0,解得k=4

V6一

⑶依题意知｛鼠6

wk<-

/乃

»k

⑷依题意知忆:6一

11.R若命题P为假命题,则命题P的否定为真命题，即vxeR,mx2+l>0为真命题,

当m=0时，1>0恒成立,满足条件，当mWO时,可得m>0,故GO.

若命题q为假命题,则命题q的否定为真命题，BIJseR,x2+mx+lW0为真命题，

所以△=m-4^0,解得m^2或启-2.

rm>0,

故若P,q都是假命题，则［一、「今即m22.故选B.

(m>2或m<-2,

12.C(m-x)®(m+x)<4即(m-x+1)(m+x)=m2-x2+m+x<4,

2222

则当l〈x<2时,存在x使不等式m+m<x-x+4成立,等价于m+m<(x-x+4)max,

由x'-x+4=(x-0+拳可得x=2时,X2-X+4取得最大值,为6,

所以m2+m<6,解得-3<m<2.故选C.

13.答案｛m|m>-6｝

解析当x>0时,不等式x2+mx+9>0可化为-水x+=

X

又当x>0