第4章根轨迹法

第四章根轨迹法Chapter4ROOTLOCUS

本章重点内容根轨迹的基本概念根轨迹绘制的基本规则参量根轨迹的绘制用根轨迹法分析闭环控制系统的性能!系统特征根的图解方法根轨迹：当系统某一参数在规定范围内变化时，相应的系统闭环特征方程根在s平面上的位置也随之变化移动，形成一条轨迹。1、希望按性能要求置于合适的位置。闭环极点（即闭环特征方程根）闭环控制系统稳定性、瞬态响应特性2、系统的某些参数（如开环增益）变化时，反复求解，不方便。4.1.1根轨迹的概念4.1根轨迹法的基本概念设系统开环传递函数为广义根轨迹:系统的任意一变化参数形成根轨迹。狭义根轨迹（通常情况）：变化参数为开环增益K，且其变化取值范围为0到∞。闭环特征方程式为显然，特征方程式的根是

由上式可见，特征根s1和s2都将随着参变量K的变化而变化。下表列出了当参变量K由零变化到无穷大时，特征根s1和s2相应的变化关系。K＝0时两个负实根K值增加相对靠近移动离开负实轴，分别s=-1/2直线向上和向下移动。一对共轭复根-1-1/204.1.2根轨迹与系统性能1.稳定性当开环增益从零变到无穷时，右图中的根轨迹不会越过虚轴进入右半s平面，因此例1系统对所有的K值都是稳定的。如果分析高阶系统的根轨迹图，那么根轨迹就有可能越过虚轴进入s右半平面，此时根轨迹与虚轴交点处的K值，就是临界开环增益。2.稳态性能由右图可见，开环系统在坐标原点有一个极点，所以系统属I型系统，因而根轨迹上的K值就是静态速度误差系数。如果给定系统的稳态误差要求，则由根轨迹图可以确定闭环极点位置的容许范围。在一般情况下，根轨迹图上标注出来的参数不是开环增益，而是所谓根轨迹增益。

3.动态性能由右图可见，当时，所有闭环极点位于实轴上，系统为过阻尼系统，单位阶跃响应为非周期过程；当时，闭环两个实数极点重合，系统为临界阻尼系统，单位阶跃响应仍为非周期过程，但响应速度较情况为快；当时，闭环极点为复数极点，系统为欠阻尼系统，单位阶跃响应为阻尼振荡过程，且超调量将随K值的增大而增大，但调节时间变化不会显著。、闭环零、极点与开环零、极点间的关系前向通道传递函数G(S)的一般表达式前向通道增益前向通道根轨迹增益开环系统根轨迹增益前向通道零点反馈通道零点前向通道极点反馈通道极点m个零点(m=f+l)n个极点(n=q+h)反馈通道根轨迹增益m个开环零点(m=f+l)n个开环极点(n=q+h)开环传递函数3）闭环系统根轨迹增益=开环系统前向通道的根轨迹增益。1）闭环系统的零点=前向通道的零点+反馈通道的极点；2）闭环系统的极点与开环系统的极点、零点以及根轨迹增益均有关；

！根轨迹法：由开环系统的零点和极点，不通过解闭环特征方程找出闭环极点。单位反馈系统（1）闭环系统的根轨迹增益就等于开环系统的根轨迹增益；（2）闭环系统的零点就是开环系统的零点。、根轨迹方程根轨迹是系统闭环极点的集合闭环系统的特征方程：如果已知有m个开环零点和n个开环极点幅角条件和幅值条件m个零点n个极点（nm）幅值条件1）幅值条件不但与开环零、极点有关，还与开环根轨迹增益有关；幅角条件（k=0,1,2,…）2）幅角条件只与开环零、极点有关幅角条件是确定s平面上的根轨迹的充分必要条件。

由上述两式可见，幅值条件与k有关，而相角条件与k无关。因此，把满足相角条件的值代入到幅值条件中，一定能求得一个与之相对应的k值。这就是说，相角条件是确定s平面上的根轨迹的充分必要条件。换言之,凡是满足相角条件的点必然也同时满足幅值条件,反之,满足幅值条件的点未必都能满足相角条件.综上所述，根轨迹就是平面上满足相角条件点的集合。

由于相角条件是绘制根轨迹的基础，因而绘制根轨迹的一般步骤是：先找出s平面上满足相角条件的点，并把它们连成曲线；然后根据实际需要，用幅值条件确定相关点对应的值。模值条件与相

角条件的应用s1=-0.825s2,3=-1.09±j2.07-1.5-1-20.52.2678.8o2.112.61127.53o92.49o2.072K*=2.26×2.11×2.612.072=6.006892.49o-66.27o-78.8o-127.53o=–180o-1.09+j2.0766.27o求模求角例题已知根轨迹如图所示求增益例4-1利用幅值条件和相角条件绘制如图所示系统的根轨迹。解：(1)本例的开环传递函数为它的开环极点为0和–1，没有开环零点。(2)用相角条件绘制根轨迹本例的相角条件为根据上式，用试探法寻求s平面上满足相角条件的点。1)在正实轴上任取一试验点s1，如图4-4(a)所示，由于，因而该点不满足根轨迹的相角条件。由此可知，在正实轴上不存在系统的根轨迹。。因而该点不满足相角条件，即–1点左侧的实轴上不存在该系统的根轨迹。。因而该点满足相角条件。由此可知，(0,–1)间的实轴是该系统的根轨迹。

2)在(0,–1)间的实轴上任取一试验点s2，如图4-4(b)所示，由于，3)在–1点左侧实轴上任取一试验点s3，如图4-4(c)所示，由于4)在s平面上任取一点s4，如图4-4(d)所示，令，。如果点s4位于根轨迹上，则应满足相角条件，即。

显然，只有当时，才能满足此条件。由此可知，坐标原点与–1之间的实轴的垂直平分线上的点均能满足相角条件，因而该垂直平分线也是系统根轨迹的一部分。(3)用幅值条件确定增益K系统的幅值条件为由上式可以求得根轨迹上各点所对应的K值。例如，图4-4(d)中的重根s1,2=–0.5，其对应的K值为幅值条件K＝2幅值条件成立！