2024年高中数学第一章空间几何体章末综合测评1含解析新人教A版必修2

PAGE9-章末综合测评(一)空间几何体(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2016·兰州高一检测)下列说法中正确的是()A．棱柱的侧面可以是三角形B．正方体和长方体都是特别的四棱柱C．全部的几何体的表面都能展成平面图形D．棱柱的各条棱都相等【解析】A不正确，棱柱的侧面都是四边形；C不正确，如球的表面就不能展成平面图形；D不正确，棱柱的各条侧棱都相等，但侧棱与底面的棱不肯定相等；B正确．【答案】B2．下列几何体中，正视图、侧视图、俯视图都相同的几何体的序号是()【导学号：09960037】①②③④图1A．①② B．②③C．③④ D．①④【解析】正方体的三视图都相同，都是正方形，球的三视图都相同，都为圆面．【答案】D3．(2016·成都高二检测)如图2，A′B′C′D′为各边与坐标轴平行的正方形ABCD的直观图，若A′B′＝3，则原正方形ABCD的面积是()图2A．9 B．3C.eq\f(9,4) D．36【解析】由题意知，ABCD是边长为3的正方形，其面积S＝9.【答案】A4．(2016·泰安高二检测)圆台的一个底面圆周长是另一个底面圆周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面圆的半径为()A．7 B．6C．5 D．3【解析】设圆台较小底面圆的半径为r，由题意，另一底面圆的半径R＝3r.所以S侧＝π(r＋R)l＝4πr×3＝84π，解得r＝7.【答案】A5．如图3所示的正方体中，M、N分别是AA1、CC1的中点，作四边形D1MBN，则四边形D1MBN在正方体各个面上的正投影图形中，不行能出现的是()图3ABCD【解析】四边形D1MBN在上下底面的正投影为A；在前后面上的正投影为B；在左右面上的正投影为C；故选D.【答案】D6．已知底面边长为1，侧棱长为eq\r(2)的正四棱柱(底面是正方形的直棱柱)的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为()【导学号：09960038】A.eq\f(32π,3) B．4πC．2π D.eq\f(4π,3)【解析】正四棱柱的外接球的球心为上下底面的中心连线的中点，所以球的半径r＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2)＝1，球的体积V＝eq\f(4π,3)r3＝eq\f(4π,3).故选D.【答案】D7．如图4所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的几何体，现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是()图4①②③④⑤A．①② B．①③C．①④ D．①⑤【解析】当该平面过圆柱上、下底中心时截面图形为①，当不过上、下底面的中心时，截面图形为⑤，故D正确．【答案】D8．(2016·郑州高一检测)一个多面体的三视图如图5所示，则该多面体的表面积为()图5A．21＋eq\r(3) B．18＋eq\r(3)C．21 D．18【解析】由几何体的三视图可知，该几何体的直观图如图所示．因此该几何体的表面积为6×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4－\f(1,2)))＋2×eq\f(\r(3),4)×(eq\r(2))2＝21＋eq\r(3).【答案】A9．若一圆锥与一球的体积相等，且此圆锥底面半径与此球的直径相等，则此圆锥侧面积与此球的表面积之比为()【导学号：09960039】A.eq\r(2)∶2 B.eq\r(5)∶2C.eq\r(3)∶2 D．3∶2【解析】设圆锥底面半径为r，高为h，则V球＝eq\f(4,3)πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(r,2)))3＝eq\f(1,6)πr3，V锥＝eq\f(1,3)πr2h，由于体积相等，∴eq\f(1,6)πr3＝eq\f(1,3)πr2h，∴h＝eq\f(r,2)，∴S球＝4πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(r,2)))2＝πr2，S锥＝eq\f(\r(5),2)πr2，S锥∶S球＝eq\r(5)∶2.【答案】B10．已知三棱锥S­ABC，D、E分别是底面的边AB、AC的中点，则四棱锥S­BCED与三棱锥S­ABC的体积之比为()A．1∶2 B．2∶3C．3∶4 D．1∶4【解析】由于D、E分别为边AB、AC的中点，所以eq\f(S△ADE,S△ABC)＝eq\f(1,4)，所以eq\f(S梯形BCED,S△ABC)＝eq\f(3,4)，又因为四棱锥S­BCED与三棱锥S­ABC的高相同．所以它们的体积之比也即底面积之比，为3∶4.【答案】C11．(2016·深圳高一检测)如图6是某几何体的三视图，则该几何体的体积是()图6A．26 B．27C.eq\f(57,2) D．28【解析】由三视图知，该几何体由棱长为3的正方体和底面积为eq\f(9,2)，高为1的三棱锥组成，所以其体积V＝33＋eq\f(1,3)×eq\f(9,2)×1＝eq\f(57,2).【答案】C12．已知三棱锥S­ABC的全部顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC＝2，则此棱锥的体积为()A.eq\f(\r(2),6) B.eq\f(\r(3),6)C.eq\f(\r(2),3) D.eq\f(\r(2),2)【解析】由于三棱锥S­ABC与三棱锥O­ABC底面都是△ABC，O是SC的中点，因此三棱锥S­ABC的高是三棱锥O­ABC高的2倍，所以三棱锥S­ABC的体积也是三棱锥O­ABC体积的2倍．在三棱锥O­ABC中，其棱长都是1，如图所示，S△ABC＝eq\f(\r(3),4)×AB2＝eq\f(\r(3),4)，高OD＝eq\r(12－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)))2)＝eq\f(\r(6),3)，∴VS­ABC＝2VO­ABC＝2×eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)×eq\f(\r(6),3)＝eq\f(\r(2),6).【答案】A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．一个圆台上、下底面的半径分别为3cm和8cm，若两底面圆心的连线长为12cm，则这个圆台的母线长为________cm.【解析】如图，过点A作AC⊥OB，交OB于点C.在Rt△ABC中，AC＝12cm，BC＝8－3＝5cm.∴AB＝eq\r(122＋52)＝13(cm)．【答案】1314．设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2.若它们的侧面积相等，且eq\f(S1,S2)＝eq\f(9,4)，则eq\f(V1,V2)的值是________.【导学号：09960040】【解析】设两个圆柱的底面半径和高分别为r1，r2和h1，h2，由eq\f(S1,S2)＝eq\f(9,4)，得eq\f(πr\o\al(2,1),πr\o\al(2,2))＝eq\f(9,4)，则eq\f(r1,r2)＝eq\f(3,2).由圆柱的侧面积相等，得2πr1h1＝2πr2h2，即r1h1＝r2h2，所以eq\f(V1,V2)＝eq\f(πr\o\al(2,1)h1,πr\o\al(2,2)h2)＝eq\f(r1,r2)＝eq\f(3,2).【答案】eq\f(3,2)15．(2016·太原高一检测)若各顶点都在一个球面上的长方体的高为4，底面边长都为2，则这个球的表面积是________．【解析】长方体的体对角线长为eq\r(22＋22＋42)＝2eq\r(6)，球的直径是2R＝2eq\r(6)，所以R＝eq\r(6)，所以这个球的表面积S＝4π(eq\r(6))2＝24π.【答案】24π16．(2016·马鞍山高一检测)在棱长为a的正方体ABCD­A1B1C1D1中，EF是棱AB上的一条线段，且EF＝b(b<a)．若Q是CD上的动点，则三棱锥Q­D1EF图7【解析】VQ­D1EF＝VD1­QEF＝eq\f(1,3)S△QEF·DD1＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)b×a×a＝eq\f(1,6)a2b.【答案】eq\f(1,6)a2b三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)如图8所示，四边形ABCD是一个梯形，CD∥AB，CD＝BO＝1，△AOD为等腰直角三角形，O为AB的中点，试求梯形ABCD水平放置的直观图的面积.【导学号：09960041】图8【解】在梯形ABCD中，AB＝2，高OD＝1，由于梯形ABCD水平放置的直观图仍为梯形，且上底CD和下底AB的长度都不变，如图所示，在直观图中，O′D′＝eq\f(1,2)OD，梯形的高D′E′＝eq\f(\r(2),4)，于是梯形A′B′C′D′的面积为eq\f(1,2)×(1＋2)×eq\f(\r(2),4)＝eq\f(3\r(2),8).18．(本小题满分12分)一个半径为1的球体经过切割后，剩余部分几何体的三视图如图9所示，求剩余几何体的体积和表面积．图9【解】如图，该几何体是把球的上半部分平均分为4份后，切去相对的两部分后剩余的几何体，体积V＝eq\f(4,3)π－eq\f(4,3)π×eq\f(2,8)＝π，表面积S＝4π－4π×eq\f(2,8)＋eq\f(1,4)π×3×2＝eq\f(9π,2).19．(本小题满分12分)(2016·河源市高一检测)已知一个圆柱的侧面绽开图是边长为6π和8π的矩形，求该圆柱的表面积．【解】如图所示，以AB边为底面周长的圆柱时，底面圆半径r1＝eq\f(6π,2π)＝3，高h1＝8π，所以S表＝2πreq\o\al(2,1)＋2πr1h1＝2π·32＋2π·3·8π＝18π＋48π2.以AD边为底面周长的圆柱时，底面圆半径r2＝eq\f(8π,2π)＝4，高h2＝6π，所以S表＝2πreq\o\al(2,2)＋2πr2h2＝2π·42＋2π·4·6π＝32π＋48π2.综上，所求圆柱的表面积是48π2＋32π或48π2＋18π.20．(本小题满分12分)(2016·临沂高一检测)如图10所示，正方体ABCD­A′B′C′D′的棱长为a，连接A′C′，A′D，A′B，BD，BC′，C′D，得到一个三棱锥．求：图10(1)三棱锥A′­BC′D的表面积与正方体表面积的比值；(2)三棱锥A′­BC′D的体积．【解】(1)∵ABCD­A′B′C′D′是正方体，∴六个面都是正方形，∴A′C′＝A′B＝A′D＝BC′＝BD＝C′D＝eq\r(2)a，∴S三棱锥＝4×eq\f(\r(3),4)×(eq\r(2)a)2＝2eq\r(3)a2，S正方体＝6a2，∴eq\f(S三棱锥,S正方体)＝eq\f(\r(3),3).(2)明显，三棱锥A′­ABD、C′­BCD、D­A′D′C′、B­A′B′C′是完全一样的，∴V三棱锥A′­BC′D＝V正方体－4V三棱锥A′­ABD＝a3－4×eq\f(1,3)×eq\f(1,2)a2×a＝eq\f(1,3)a3.21．(本小题满分12分)(2016·中山高二检测)如图11所示，在边长为4的正三角形ABC中，E，F依次是AB，AC的中点，AD⊥BC，EH⊥BC，FG⊥BC，D，H，G为垂足，若将△ABC绕AD旋转一周，求阴影部分形成的几何体的体积.【导学号：09960042】图11【解】所形成几何体是一个圆锥挖去一个圆柱，由已知可得圆柱的底面半径为1，高为eq\r(3)，圆锥底面半径为2，高为2eq\r(3)，所以V圆锥＝eq\f(1,3)·π·22·2eq\r(3)＝eq\f(8\r(3),3)π，V圆柱＝π·12·eq\r(3)＝eq\r(3)π，所以所求几何体的体积为V＝V圆锥－V圆柱＝eq\f(8\r(3),3)π－eq\r(3)π＝eq\f(5\r(3),3)π.22．(本小题满分12分)养路处建立圆锥形仓库用于贮藏食盐(供溶化高速马路上的积雪之用)，已建的仓库的底面直径为12m，高4m．养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐．现有两种方案：一是新建的仓库的底面直径比原来大4m(高不变)；二是高度增加4m(底面直径不变)．(1)分别计算按这两种方案所建的仓库的体积；(2)分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积；(3)哪个方案更经济些？【解】(1)假如按方案一，仓库的底面直径变成16m，则仓库的体积：V1＝eq\f(1,3)×π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,2)))2×4＝eq\f(256,3)π(m3)．假如按方案二，仓库