汕头市2023届普通高考第二次模拟考试(理数)

精选汕头市2023届普通高考第

二次模拟考试（理数）

汕头市2023届普通高考第二次模拟考试

数学（理科）

本试卷共4页,21小题,总分值150分.考

试用时120分钟.

考前须知：

1.答卷前，考生首先检查答题卡是否整洁

无缺损，监考教师分发的考生信息条形

码是否正确；之后务必用0.5毫米黑色

字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自

己的学校、姓名和考生号，同时，将监

考教师发放的条形码正向准确粘贴在答

题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、

不污损.

2.选择题每题选出答案后，用2B铅笔把答

题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需

改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答

案，答案不能答在试卷上.不按要求填

涂的，答案无效.

3.非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签

字笔作答，答案必须写在答题卡各题目

指定区域内相应位置上，请注意每题答

题空间，预先合理安排；如需改动，先

划掉原来的答案，然后再写上新的答案;

不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求

作答的答案无效.

4.作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做

2

题的题号对应的信息点，再做答.漏涂、

错涂、多涂的答案无效.

5.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，

将答题卡交回.

参考公式：

①体积公式：唳体=$腺体=/其中匕分别

是体积、底面积和高；

一、选择题：（本大题共8小题，每题5分，总

分值40分.在每题给出的四个选项中，只有一

项为哪一项符合题目要求的）.

1、集合A={1,2z2,zi},B={2,4},i为虚数单位,假设

AAB={2},那么纯虚数z为（）

A.iB.-iC.2i

D.-2i

2、随机变量x服从正态分布N（5,4）,且

P（X>Z）=P（X<"4）,那么人的值为（）

A.6B.7

C.8D.9

3、抛物线y=%的焦点到准线的距离为（）

4

A、2B、1C>1D>1

28

4、以下说法错误的选项是（）

A・"log、a>log3b〃是“打吗），充分不必要条件；

B.aa,0WR,使sin（a+0）=sina+sin0；

3

C.ameR,使f(x)=H。是塞函数,且在(0,

+◎上单调递增；

D.命题叼x£R,x2+l>3x的否认是

“Vx£R,x2+l<3xz,；

x+y-2<0

5、口满足约束条件<x-2>'-2<0,假设z=y—ax取得最

2x-y+2>0

大值的最优解不唯一，那么实数〃的值为

A、；或一1B、2或；/\K

C、2或tD、2或1

6.某师傅用铁皮制作一封闭的工件，料视图值

如下图(单位长匕平

度：w图中水平线与竖线垂直)，班玄制作

该工件用去的铁皮

的面积为(制作过程铁皮的损耗和厚度忽略不

计)()

A・100(3+6)由2B.200(3+75w

2

C.300(3+石)a/D.300cw

7.某教研机构随机抽取某校20个班黑，蠲查各班

关蹩爆^学生人数,根据所得数显&湛羲

以组距为5

将数据分组成[0,5),[5,10),[10,15),[15,20),[20,25),[25,30),

[30,35),[35,40]时,所作的频率分布直方图如下图，

那么

原始茎叶图可能是()

4

(■174076074074

1764410176544017744401764440

27554210275542102755521028765210

395320395320395320395520

ABCD

8.定义：假设函数小)的图象经过变换T后所得

图象对应函数的值域与小)的值域相同，那么称

变换T是小)的同值变换.下面给出四个函数及其

对应的变换7,其中T不属于小)的同值变换的是

()

A./(x)=(x-1)2,T：将函数“X)的图象关于y轴对称

B.f(x)=2*T-1,将函数/(x)的图象关于x轴对称

C./(x)=2x+3,T*将函数小)的图象关于点(』)对

称

D./(x)=sin"升T：将函数“X)的图象关于点(—1,0)对

称

二、填空题：(本大题共7小题，考生作答6小

题，每题5分，总分值30分.本大题分为必做

题和选做题两局部.)

(一)必做题(9〜13题)

9、不等式的解集为o

10.等差数列｛叫满足。2+。4+。2012+。2014=8,且S,是该数

列的前〃和，那么立片O

11、如图，设甲地到乙地有4条路可走，乙地到

5

丙地有5条路可走,那么，由甲地经乙地到丙地,

再由丙地经乙地返回甲地，共有种不同走

法。

第11题图A

12.如图，在AA6C中fNB=9点。在RCH9

那么cosZBA£>=•//

13.执行如下图的程序框图,如果输入的;eR谓,

第12题图

那么输出的S的取值范围是o

（二）选做题（14〜15题，考生只能从中选做

一题）

14.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，

定点小,?,点8在直线

「cos6+G/?sin9=09当线段.最短时,卢B的

极坐标为

15.（几何证明选做题）如图4,必与圆。相切于A,

PCB为圆0

的割线，并且不过圆心09ZBPA^30°9PA=2y/3f

PC、那么圆。的半径等于.

三、解答题，本大题共6小题，总分值80分.解

答须写出文字说明、证明过程、演算步骤。

16.（此题总分值12分）函数/（九）=Asin（£x+?）,xeR,

且/（—2015）=3・

⑴求A的值；

（2）指出函数小）在心幽上的单调区间（不要求

过程）

（3）假设+/（7+1）=|,ae[0,^]9求cos2a.

17.（此题总分值12分）随着三星S6手机的上市,

很多消费者觉得价格偏高，尤其是大局部学生可

望而不可及，因此我市沃尔玛”三星手机专卖

店〃推出无抵押分期付款购置方式，该店对最近

100名采用分期付款的购置者进行统计，统计结

果如下表所示：

7

付款分1分2分3分4分5

方式期期期期期

频

3525a10b

数

分3期付款的频率为0.15,并且该店销售一部三

星S6手机，顾客分1期付款，其利润为1000元;

分2期或3期付款，其利润为1500元；分4期

或5期付款，其利润为2000元，以频率作为概

率，以此样本估计总体，试解决以下问题.

(1)求事件A：“购置的3名顾客中，恰好有1

名顾客分4期付款〃的概率；

蕨搦慈舞重部三星s'手机的利润，求x

18.(本小题总分值14分)如图，在三棱锥P下ABC

中，PA1面ABC9ZBAC=120°f且AB=AC^APfM为PB的中

点，N在BcJl，且4、)

(1)求证：MN1AB；

⑵求二面角P-AN-M的余弦值.V

19.(此题总分值14分)数列⑷的前〃项和为s”,

首项可=i,且对

于任意〃eM都有2s,一〃6用=0.数列也J满足”,=工,T(n)

是数

8

列h｝的前〃项和，

(1)求数列㈤的通项公式；

(2)用数学归纳法证明：当心2时，

n+7(1)+T⑵+7(3)+……+T("-1)=nT(n).

(3)设A,=Ja。+M&3+.….•+Ja,a“+i,试证：

〃(〃+D,.,5+1)2

<&<•

22

20.(本小题总分值14分)a>0,且awl函数

x

f(x)=loSa(l-a)o

(1)求函数小)的定义域，判断并证明个)的单

调性；

(2)当a=eQ为自然对数的底数)时，设

h(x)=(1-efM)(x2-m+l),假设函数h(x)的极值存在，求

实数”的取值范围以及函数3)的极值。

2L(本小题总分值14分)椭圆CM讨

£+£=l(a>…)的一个焦点为F(V2,0)

其短轴上的一个端点到厂的距

M

(1)求椭圆C的离心率及其械

(2)点P是圆G：，+y2=4上的动总

过点。作椭圆。的切线/从交圆G于点

求证：线段W的长为定值。

数学(理科)参考答案

9

一、选择题：DBADCAAB

二、填空题：

13

9、(-oo,l)10、403011、40012、

14

13、[-3,6]

14、/

111乃_,],

1,----FLKTCZ£Z

6)

15、r=7•

说明:

14.填0,阴•【解析】A点的直角坐标为4(0-2),直线

的直角坐标方程x+^/3y=0,

AB9

ll,nin此时夕=|。/=’(-2)2一(⑹2f,由

41+网

夕cos0+\/3/9sin6=0

知，*等，所以点B的极坐标为］用.

15.填7.【解析】因为ZBPA=30。，PA=2』9所以PD=4f

AD=2f由切割线定理可得灰=PC依，由此可得PB=12,

于是08=89CD=39由相交弦定理可得

CDDB=ADED9即3x8=2(2r-2),于是r=7•

10

三、解答题：

16、解：（1）由题意：

，/OA1CA”—2015万吟—」（一1007吟Zk\

/（-2015）=A人sinl--------F（—I=Asm\-ZJ/

-1007^+1008^-

=Asin

2

=Asin]=A••….（2分）

所以A=3.......（4

分）

⑵函数f（x）的单调增区间为同、[5,8],……（5

分）

单调减区间为[⑸……（6分）

⑶因为

/4a八/4a八）「乃Aa八，乃1,0•（万，4a，八，不、

'（乃）（乃）（4乃4J14兀4J

=3sina+3sin（a+=3sina+3cosa=（（7分）

J^T以sina+cosa=（,ae[0,7i\（8分）

方法一:

由（sina+cosa）2=与可得：2sinacosa=~~~<。,

即sin2a=—II......（9分）

又因为ae[0,乃]，sina+cosa=—>0

5

11

91

所:以白^]洋所以2ae乃,芳9所以cos2a<0...........(10

分）

所以由sin22a+cos2la-1得到：……（U分）

cos2a=-Jl-sin22a=-Jl-（--）2=---••….（12分）

24

方法二：由(sina+cosa)2=上可得:2sinacosa=-----<0,

25

又因为ae[0,»],所以W，乃，所以

coscr<0,sincr>0（9分）

49

所以1-2sinacosa=（sincr-cosa）2

25

所以sina-cosa=（.,，….（10分）

分

律

1解4z1

(1

一

联立sina+cosa一-5-5\

月f以cos2a=cos?a-sin2a=-]...........（12分）

也可以cos2a=2cos2a-1=-（••••••（12分）

还可以cos2a=l-2sin2a-~~•.….(12分)

说明:此题主要考察三角函数的性质，倍角公式,

三角特殊值的理解记忆，诱导公式，同角三角函

数的根本关系以及取值的符号规律。看似简单,

由于涉及的根底知识很多，很容易出错。能很好

12

的考查学生的耐心与细心。

17、解：（1）由题意知：随机抽取一位购置者,

分4期付款的概率为O』……（1分）

所以

P（A）-CjxO.lx0.92-0.243.................................................................（3分）

（2）由j^=0.15,得”=15,

因为35+25+4+10+6=100,所以

b=\5,..................（4分）

记分期付款的期数为一依题意得?（"1）=。35,

PC=2）=0.25,PC=3）=0.15,p（g=4）=0.1,PC=5）=0.15,

因为X的可能取值为1000元,1500元，2000元

并且易知

P（X=1000）=24=1）=0.35,......................................................................（5

分）

P(X=1500)=P(g=2)+PC=3)=0.4,.................................................................

(6分)

P(X=2500)=P4=4)+PC=5)=0.1+0.15=0.25...............................................

…(7分)

101520

X

000000

所以X的分布0.30.2列

P0.4

55

为...........（10分）

所以x的数学期望为

E（X）=1000x0.35+1500x0.4+2000x0.25=1450（7G）.........................（12

分）

说明：此题考查独立重复事件的概率，离散型随

机事件的分布列与数学期望。

18、解：（1）不妨设AC=AP=lf

在AABC

BC2=12+12-2xlxlcosl20°=3,

・・BC—、/5,

BN=gc=与,..........................（2分）

所以空=网，

BCAB'

又NABC=/NBA,

•\△NBAs/\ABC,且ANBA也为等腰三角

形......（4分）

也可以利用勾股定理证明/NAC=90。

（也可以直接过点A作BC的垂线,

垂足为点H,然后证明点H与点N重合。）

14

（法一）取AB中点Q,连接MQ、NQ,JNQ工AB,

MQ//PA

,**PAI.面ABC，

•e•PALABfMQLABf...............（6分）

所以AB_L平面MNQ,又MNu平面

MNQ

AAB±MN.................（7分）

oo

（法二）NBAN-30°f那么ZA^C-120-30-90°,以A为坐

标原点，丽的方向为x轴正方向，建立

如下图的空间直角坐标系

可得A（0,0,0），B（g,—2,0）,

22

M（坐,—：，］,N（9,0,0）,...........................（5分）

,~TD1/百11、

••AB=（-；；-,一不0）,MN=（：,：,一二）

221242

那么初痂=0,所以MN1AB...................（7

分）

.Z

（2）同（1）法二建立空间直角坐标系,

C（0,l,0）,/

平面PAN的法向量可取为前=（0,1,0）,.............（9

分）

设平面ANM的法向量为m=（x,y,z），

AM=g,—；$,AN=（y-,0,0）,.............（10分）

15

—x--y+-z=Q

那么m-AM=0即4：2，可取

m•AN=02=0

I3

m=（0,2,1）f（12分）

/.cos<m,AC>=竺"=撞9（13分）

\m\\AC\5

故平面MAN与平面PAN的夹角的余弦值

..........................（14分）

说明：此题考查空间点线面的位置关系，空

间垂直关系，二面角的求法等。

19、解：（1）由题意可知：①当〃=1时，2s「％=0,

所以％=2,=2%=2（1分）

②又有2s,M一（〃+1）*=。，所以

2（S“T一S,.）-（〃+Da.+〃。，,+1=。

所以2a田一（〃+1）氏+2+〃4用=0・・•・.....................（2分）

所以（〃+1）。/2=（〃+2）。“+1艮口对任意〃e=

%+in+1

由①可知”=申,所以对

q1

如.......（3分）

an«

以an=a〕x—x—x……x=1X—X—x……x—^―=n

%a2a„_,12n-\

即知=〃对任意〃€也成立。.......（5分）

（2）由（1）可知勿,，现用数学归纳法

n

证明如下

①当“=2时，左边=2+T⑴=2+々=2+1=3,

右边=2T（2）=2x（l+g）=3=左边，所以〃=2时结论

成立.......（6分J?

16

②假设当”女人2)时结论成立，即

左+T⑴+T(2)+T(3)++T(k1)=kT(k)成立........

(7分)

③那么当〃=左+1时，

女+1+7(1)+T(2)+7(3)++T(Z—1)+T(k)

=kT(k)+T(k)+1=(左+V)T(k)+1

一+D(™+出)=伏+1)小1)..........(9分)

综上，当心2时，

n+T(l)+7(2)+T(3)+……+T("-1)=nT(n)结论成立。

.......(10分)

(3)由(1)知=JlX2+X3+...+J〃(几+1)9

先证左边式子：

由于向77-1-1)>4^=2

所以

4=71^2+72^3+….+,〃5+1)>1+2+3+….+〃=1)

.......(12分)

再证右边式子：由于历而〈生产=〃+4

22

所以A〃=JlX2+5/2x3+...+J九(AZ+1)<1+2+...+n+~

_n(n+1)।〃—+2几，(〃+1)2.......(14分)

2222〃

综上，对任意都有誓以从

说明：本小题第一小问5分，由于做法写法不一,

17

可以根据情况，只要能够有效算出通项公式％=〃

的都给5分。第二小问5分，能表达归纳法步骤

没有做对的给1分，做对的情况根据标准给分，

第3问两个不等式各2分，共4分。此题考查了

通项公式的求法，数学归纳法，以及放缩法证明

数列型不等式的根本方法。方法指向明确，属于

常见的通性通法的考查。

20、解：本小题主要考查函数、导数应用等根底

知识、考查分类整合思想、推理和运算能力。(1)

由题意知1-优>0,....................(1分)

所以对于任意"。，且"1都有

……口分)

所以①当0<”1时,函数小)的定义域为(。,同；且

在(04)是减函数。……在分)

②当4>1时，函数/(x)的定乂域为(一8,0)；且在(-8,0)

是减函数。……(5分)

说明：也可以利用复合函数的单调性来说明单

调性(判断单调性2分，定义域各1分，给出1.优>0

给1分，本小题共5分)。

(2)由(1)知

Mx)=ex(x2-〃?+l)(x<0),所以/(x)=ex(x24-2x-m+l)••….(6分)

令〃(x)=0,即f+2x—m+1=0,由题意应有ANO,即加20........(7分)

①当m=0时，//(x)=o有实根X=-1,在x=-l点左右两

18

侧均有如）〉0故无极值

……（8分）

②当0<m<l时，如）=0有两个实根玉=—1—Vm,x2=—l+Vm•••

（9分）

当x变化时，如）、砥）的变化情况如下表所示:

X（一00,玉）为(%,%)X2(々,0)

hf(x)+0■0+

极极

h(x)/

大值小值

③••小幻的极大值为2e+赤（1+疯）,〃（x）的极小值为

2e-"诟（1一诟）...（12分）

④当於1时，仇x）=0在定义域内有一个实根，

x=-1-Vm

同上可得网幻的极大值为2/3（1+而.......[13

分）

综上所述，me（0,+oo）时，函数/z（x）有极值；

当0<机<1时〃（x）的极大值为2e»诟（1+诟），〃（x）的极小值

为2e*篇（1-诟）

当m>\时，〃（x）的极大值为

2e+而（1+而）..........（14分）

说明：此题考查由指数函数与对数函数构造的复

合函数的定义域，单调性，以及利用导数研究函

19

数性质的根本方法，此题很好的考查学生对数学

本质的认识与理解。

21＞解：（1）由题意容易知道：

a=V3,c=V29••...............（1分）

所以b=yja1-c1=1.........................（2

分）

所以e，邛，.......