24版高中同步新教材选择性必修第一册苏教版数学-增分测评卷-02-第2章　圆与方程

姓名班级考号姓名班级考号密○封○装○订○线密○封○装○订○线密封线内不要答题密○封○装○订○线密○封○装○订○线密○封○装○订○线密○封○装○订○线密封线内不要答题第2章圆与方程全卷满分150分考试用时120分钟一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知p:t>1,q:关于x,y的方程x2+y2-6tx+8ty+25=0表示圆,则p是q的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.已知圆O:x2+y2=9与圆O1:(x-2)2+(y-3)2=16交于A,B两点,则AB=()A.6B.5C.67813D3.古希腊数学家阿波罗尼奥斯(约公元前262~前190年)的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果,著作中有这样一个命题:平面内与两定点距离的比为常数k(k>0且k≠1)的点的轨迹是圆,后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知O(0,0),A(3,0),圆C:(x-2)2+y2=r2(r>0)上有且仅有一个点P满足PA=2PO,则r的取值可以为()A.1B.2C.3D.44.若圆C与直线l1:x+y=0和l2:x+y-8=0都相切,且圆心在y轴上,则圆C的方程为()A.x2+(y+4)2=8B.x2+(y-4)2=8C.x2+(y+4)2=16D.x2+(y-4)2=165.已知圆C1:(x-2)2+(y-3)2=1和圆C2:(x-3)2+(y-4)2=9,M,N分别是圆C1,C2上的动点,P为x轴上的动点,则PM+PN的最小值为()A.52-4B.17-1C.6-22D.176.若圆M:x2+y2+ax+by-ab-6=0(a>0,b>0)平分圆N:x2+y2-4x-2y+4=0的周长,则2a+b的最小值为()A.8B.9C.16D.207.直线kx-y+3-3k=0与曲线y=2+−x2+2x+3有两个不同的交点,则实数kA.14,+∞8.已知圆O的圆心为原点O,且与直线x+y+42=0相切.点P在直线x=8上,过点P引圆O的两条切线PA,PB,切点分别为A,B,如图所示,则直线AB恒过的点的坐标为()A.(2,0)B.(0,2)C.(1,0)D.(0,1)二、多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分)9.已知直线l:mx+y+3m-3=0与圆x2+y2=12交于A,B两点,过A,B分别作l的垂线与x轴交于C,D两点.若AB=23,则下列说法正确的是()A.直线l过定点(-3,3)B.m的值为±3C.直线l的斜率为33D.CD10.瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理:三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上.这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中作△ABC,AB=AC,点B(-2,4),C(5,-3),且其“欧拉线”与圆M:(x-5)2+y2=r2(r>0)相切,则下列结论正确的是()A.圆M上的点到直线x-y+3=0的距离的最大值为42B.圆M上的点到直线x-y+3=0的距离的最小值为22C.若点(x,y)在圆M上,则x+y的最小值是3-22D.若圆N:(x-a-1)2+(y-a)2=2与圆M有公共点,则a的取值范围是[2-5,2+5]11.已知实数x,y满足方程x2+y2-4x+1=0,则下列说法错误的是()A.y-x的最大值为6-2B.x2+y2的最大值为7+43C.yx的最大值为32D.x12.已知圆C1:x2+y2=1,圆C2:(x-3)2+(y+4)2=r2(r>0),下列判断正确的是()A.若圆C1与圆C2无公共点,则0<r<4B.当r=5时,两圆的公共弦所在直线的方程为6x-8y-1=0C.当r=2时,P,Q分别是圆C1与圆C2上的点,则PQ的取值范围为[2,8]D.当0<r<4时,过直线6x-8y+r2-26=0上任意一点分别作圆C1、圆C2的切线,则切线长相等三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)13.圆O:x2+y2=1与圆O1:x2+y2-6x+8y+m=0外切,则实数m=.

14.设集合A={(x,y)|x2+(y-1)2=1},B={(x,y)|(x-t)2+y2=9},且A∩B≠⌀,则实数t的取值范围是.

15.在平面直角坐标系xOy中,已知圆C1:x2+y2=2,圆C2:(x-17)2+(y-17)2=8,若过第四象限的直线l是两圆的公切线,且两圆在公切线的同一侧,则直线l的方程为.

16.过直线x-y+9=0上一点P作圆O:x2+y2=36的切线PA,PB,切点为A,B,则直线AB过定点,若AB的中点为D,则点D的轨迹方程为.

四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)从下面两个条件中任选一个,补充在问题中并进行求解.①与直线x=0相切,②直线y=3截圆C所得的弦长为215.问题:已知圆C经过点A(2,2)和B(10,6),且,求圆C的方程.

注:如果选择多个条件进行解答,则按第一个解答计分.18.(本小题满分12分)已知点M(1,0),N(1,3),圆O:x2+y2=1,直线l过点N.(1)若直线l与圆O相切,求l的方程;(2)若直线l与圆O交于不同的两点A,B,设直线MA,MB的斜率分别为k1,k2,证明:k1+k2为定值.19.(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中,已知圆N过点(-1,0),(1,0),且圆心N在直线l:x+y-1=0上,圆M:(x-3)2+(y-4)2=8.(1)求圆N的标准方程,并判断圆M与圆N的位置关系;(2)直线MN上是否存在点B,使得过点B分别作圆M与圆N的切线,切点分别为T,S(不重合),满足BS=2BT?若存在,求出点B的坐标;若不存在,请说明理由.20.(本小题满分12分)如图所示,为保护河上古桥OA,规划建一座新桥BC,同时设立一个圆形保护区.规划要求:新桥BC与河岸AB垂直;保护区的边界是以线段OA上的M为圆心,且与BC相切的圆,且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不小于80m.经测量,点A位于点O正北方向60m处,点C位于点O正东方向170m处(OC为河岸),tan∠BCO=43(1)求新桥BC的长;(2)当OM为多少时,圆形保护区的面积最大?21.(本小题满分12分)已知圆C:(x+3)2+(y-4)2=16,直线l:(2m+1)x+(m-2)y-3m-4=0(m∈R).(1)若圆C截直线l所得的弦AB的长为211,求m的值;(2)若圆C与直线l相离,设MN为圆C的动直径,作MP⊥l,NQ⊥l,垂足分别为P,Q,当m变化时,求四边形MPQN的面积的最大值.22.(本小题满分12分)已知圆C:(x-1)2+y2=16,直线l:x+y-5=0,P(x0,y0)是l上的动点,点D在圆C上运动,且点T满足DT=3TO(O为原点),记点T(1)求曲线E的方程;(2)过点C且不与x轴重合的直线与曲线E交于A,B两点,问在x轴正半轴上是否存在定点N,使得x轴平分∠ANB?若存在,求出点N的坐标;若不存在,请说明理由.答案全解全析1.A2.D3.A4.B5.A6.A7.C8.A9.ACD10.BD11.CD12.BCD1.A由方程x2+y2-6tx+8ty+25=0表示圆可知(-6t)2+(8t)2-4×25>0,即t2>1,显然t>1⇒t2>1,t2>1/⇒t>1,故p是q的充分不必要条件.故选A.2.D如图,连接OO1,AO,AO1,由已知得圆O的圆心O(0,0),半径r=3,圆O1的圆心O1(2,3),半径r1=4,则OO1=13,在△AOO1中,cos∠AOO1=r2∴sin∠AOO1=23913,∴AB=2rsin∠AOO1=12393.A设动点P(x,y),由PA=2PO,得(x-3)2+y2=4x2+4y2,整理得(x+1)2+y2=4,又圆C上有且仅有一个点P满足条件,所以两圆相切.圆(x+1)2+y2=4的圆心坐标为(-1,0),半径为2,圆C:(x-2)2+y2=r2(r>0)的圆心坐标为(2,0),半径为r,两圆的圆心距为3,当两圆外切时,r+2=3,得r=1;当两圆内切时,r-2=3,得r=5.故选A.4.B易知l1∥l2,则l1与l2间的距离d=|−8−0|12+12=42,因为圆C与l1,l2都相切,所以圆的半径为22,又圆心在y轴上,所以可设圆心坐标为(0,b)(0<b<8),由圆心到直线l1的距离等于半径,得b12+12=22,解得b=4或b=-4(舍去),所以圆心坐标为(05.A如图,作圆C1关于x轴的对称圆圆A,则圆心坐标A(2,-3),半径为1,圆C2的圆心C2(3,4),半径为3,设点M关于x轴的对称点为M',则PM=PM',即PM+PN=PM'+PN,由图易知,当P,N,M',C2,A五点共线时,PM'+PN取得最小值,∴(PM+PN)min=AC2-3-1=(2−3)2+(−3−4)26.A两圆方程相减得(a+4)x+(b+2)y-ab-10=0,此为相交弦所在直线的方程,圆N的标准方程是(x-2)2+(y-1)2=1,圆心为N(2,1),将(2,1)代入相交弦所在直线的方程,得2(a+4)+b+2-ab-10=0,则1a+因为a>0,b>0,所以2a+b=(2a+b)1a+2b=4+ba+4ab≥4+2ba·7.C由kx-y+3-3k=0得k(x-3)-y+3=0,则直线过定点(3,3),记C(3,3),由y=2+−x2+2x+3得(x-1)2+(y-2)2=4(y当直线与半圆相切时,圆心(1,2)到直线的距离d=k−2+3−3k1+k2=2,解得当直线过点A(-1,2)时,-k-2+3-3k=0,解得k=14由于直线与曲线有两个不同的交点,故-34<k≤148.A依题意得圆O的半径r=4212+12=4,所以圆O的方程为x连接OA,OB,OP.因为PA,PB是圆O的两条切线,所以OA⊥AP,OB⊥BP,所以A,B在以OP为直径的圆上,设点P的坐标为(8,b),b∈R,则线段OP的中点坐标为4,b2,所以以OP为直径的圆的方程为(x-4)2+y−b22=42+b22,化简得x2+y2-8x-by=0,因为AB为两圆的公共弦,所以直线AB的方程为8x+by=16,即8(x-2)+by=0,b9.ACD直线l的方程可变形为m(x+3)+y-3=0,故l过定点(-3,3),A正确;圆心到直线l的距离d=|3m−3|m得3m−3m2+12+(3)2=12,直线l的斜率k=-m=33,C正确如图所示,过点C作CE⊥BD,垂足为E,因为AB⊥BD,所以AB∥CE,因为AC⊥AB,所以四边形ABEC为矩形,设直线l的倾斜角为α,且α=π6,则∠DCE=α=π在Rt△CDE中,CD=CEcos∠DCE=ABcosα10.BD由题意可得三角形ABC的欧拉线为BC的中垂线,由B(-2,4),C(5,-3)可得BC的中点为32,12,且kBC所以线段BC的中垂线方程为y-12=x-32,即x-y因为三角形ABC的“欧拉线”与圆M:(x-5)2+y2=r2(r>0)相切,所以圆心(5,0)到直线x-y-1=0的距离为|5−1|1所以圆M的方程为(x-5)2+y2=8,故圆心(5,0)到直线x-y+3=0的距离d=|5+3A中,圆M上的点到直线x-y+3=0的距离的最大值为d+r=42+22=6B中,圆M上的点到直线x-y+3=0的距离的最小值为d-r=42−22=2C中,令t=x+y,所以y=t-x,代入圆M的方程,可得(x-5)2+(t-x)2=8,整理可得2x2-(10+2t)x+t2+17=0,由于点(x,y)在圆M上,所以方程2x2-(10+2t)x+t2+17=0有根,则Δ=[-(10+2t)]2-4×2×(t2+17)≥0,整理可得t2-10t+9≤0,解得1≤t≤9,所以t的最小值为1,即x+y的最小值为1,C错误;D中,圆N:(x-a-1)2+(y-a)2=2的圆心坐标为N(a+1,a),半径为2,要使圆N与圆M有公共点,则22−2≤MN≤22+2,所以2≤(a+1−5)2+a211.CD将x2+y2-4x+1=0变形得(x-2)2+y2=3,它表示圆心为(2,0),半径为3的圆.对于A,设z=y-x,则y=x+z,z表示直线y=x+z在y轴上的截距,当此直线与圆有公共点时,|2+z2≤3,解得-6-2≤z≤6-2,所以y-x的最大值为6-2,故A中说法正确;对于B,x2+y2的几何意义是圆上的点与原点的距离的平方,易知原点与圆心的距离为2,则原点与圆上的点的距离的最大值为2+3,所以x2+y2的最大值为(2+3)2=7+43,故B中说法正确;对于C,设过原点的直线的斜率为k,则直线方程为y=kx,令|2kk2+1≤3,得-3≤k≤3,即yx的最大值为3,故C中说法错误;对于D,设m=x+y,则y=-x+m,m表示直线y=-x+m在y轴上的截距,当此直线与圆有公共点时,|2−m2≤312.BCD圆C1:x2+y2=1的圆心为C1(0,0),半径r1=1;圆C2:(x-3)2+(y+4)2=r2(r>0)的圆心为C2(3,-4),半径为r,则C1C2=(0−3)2+(0+4)2=5.若圆C1与圆C2无公共点,则只需C1C2<|r-1|或C1C2>r+1,解得r>6或0<r<4,故A错;若r=5,则圆C2:(x-3)2+(y+4)2=25,由x2+y2=1与(x-3)2+(y+4)2=25两式作差,可得两圆的公共弦所在直线的方程为6x-8y-1=0,故B正确;若r=2,则圆C2:(x-3)2+(y+4)2=4,此时C1C2=5>2+1=3,所以圆C1与圆C2外离,又P,Q分别是圆C1与圆C2上的点,所以C1C2-(1+2)≤PQ≤C1C2+1+2,即2≤PQ≤8,故C正确;当0<r<4时,两圆外离,记直线6x-8y+r2-26=0上任意一点为M(x0,y0),则6x0-8y0+r2-26=0,所以MC1=x02+y02,MC2=(x0−3)2+(y0+4)2=x013.答案9解析圆O的圆心O(0,0),半径r1=1,圆O1的圆心O1(3,-4),半径r2=25−m,则O1O=5根据题意可得O1O=r1+r2,即5=1+25−m,∴m=914.答案[-15,-3]∪[3,解析圆(x-t)2+y2=9的半径大于圆x2+(y-1)2=1的半径.当两圆外切时,有(0−t)2+(1−0)2=3+1当两圆内切时,有(0−t)2+(1−0)2=3-1当t>0,即圆(x-t)2+y2=9的圆心在y轴右侧时,实数t的取值范围为[3,当t<0,即圆(x-t)2+y2=9的圆心在y轴左侧时,实数t的取值范围为[-15,-3].故实数t的取值范围为[-15,-3]∪[3,1515.答案3x-5y-217=0解析由圆的方程可知圆C1的圆心为C1(0,0),半径r1=2,圆C2的圆心为C2(17,17),半径r2=22,则kC1C2=1,C由题意知直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=kx+b,直线l与圆C1,圆C2的切点分别为A,B,连接C1C2,AC1,BC2,过C1作C1D∥AB交BC2于点D,如图.∵l为圆C2的切线,∴BC2⊥AB,又C1D∥AB,∴C1D⊥C2D,∴tan∠DC1C2=C2DC1D=22−234−(22−2)2∴直线l的方程为y=35x+b,即3x-5y+5b=0又直线l与圆C1相切,∴|5b34=2,又直线l过第四象限,∴b=-2175,∴直线l的方程为3x-5y-21716.答案(-4,4);x2+y2+4x-4y=0解析设P(t,t+9),圆O的圆心为(0,0),半径r=6,则PA2=OP2-r2,故以P为圆心,PA为半径的圆的方程为(x-t)2+[y-(t+9)]2=PA2=OP2-r2,即x2+y2-2tx-2(t+9)y+t2+(t+9)2=t2+(t+9)2-36,即x2+y2-2tx-2(t+9)y+36=0①,圆O:x2+y2-36=0②,②-①并化简得直线AB的方程为tx+(t+9)y-36=0,即(x+y)·t+9y-36=0,所以x+y=0,9y−36=0,解得设D(x,y),由于D是弦AB的中点,所以OD⊥AB,设定点为M(-4,4),则OD2+DM2=OM2,即x2+y2+(x+4)2+(y-4)2=(-4)2+42,化简得x2+y2+4x-4y=0,所以点D的轨迹方程为x2+y2+4x-4y=0.17.解析由题意得AB的中点坐标为(6,4),kAB=6−210−2=12,设AB的中垂线的斜率为k,故k2=-1,则k=-2,故中垂线方程为y-4=-2(x-6),即y=16-2x由于圆C经过A,B,所以圆心C一定落在AB的中垂线上,设圆心C(t,16-2t).(4分)若选①,圆与直线x=0相切,等价于圆心到直线x=0的距离等于半径,即|t|=CA=(t−2)2+(16−2t−2)2,整理可得t2-15t+50=0,解得t当t=5时,圆心为(5,6),半径为5,故圆的方程为(x-5)2+(y-6)2=25;当t=10时,圆心为(10,-4),半径为10,故圆的方程为(x-10)2+(y+4)2=100.(10分)若选②,如图所示,设直线y=3和圆C交于D,E两点,过C作CH⊥DE,垂足为H,连接CD,易得DH=15,又CH=|16-2t-3|=|13-2t|,CD=CA=(t−2)2+(16−2由勾股定理可得15+(13-2t)2=(t-2)2+(16-2t-2)2,整理得(t-4)2=0,故t=4,此时圆心为(4,8),半径为210,故圆的方程为(x-4)2+(y-8)2=40.(10分)18.解析(1)若直线l的斜率不存在,则l的方程为x=1,此时直线l与圆O相切,故x=1符合条件;(2分)若直线l的斜率存在,设为k0,其方程为y=k0(x-1)+3,即k0x-y-k0+3=0,由直线l与圆O相切,得|−k0+3|k02所以直线l的方程为y=43(x-1)+3,即4x-3y+5=0.(4分)综上所述,直线l的方程为x=1或4x-3y+5=0.(5分)(2)证明:由(1)可知,l与圆O有两个交点时,斜率存在,设为k,则l的方程为y=k(x-1)+3,联立y得(1+k2)x2-(2k2-6k)x+k2-6k+8=0,则Δ=[-(2k2-6k)]2-4(1+k2)(k2-6k+8)=24k-32>0,解得k>43,(8分)设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=2k2−6kk2+1①,x所以k1+k2=y1x1−1+y2x2−1=k(将①②代入上式并整理,得k1+k2=2k+−18k故k1+k2为定值-23.(12分)19.解析(1)∵圆N过点(-1,0),(1,0),∴圆心N在直线x=0上,∵圆心N在直线l:x+y-1=0上,∴x+y−1=0,x=0,∴x=0,y=1,∴N设A(-1,0),∴圆N的半径rN=NA=2,∴圆N的标准方程为x2+(y-1)2=2.易知圆M的圆心M(3,4),半径rM=22,∵MN=(3−0)2+(4−1)2=32,且rM∴MN=rM+rN=32,∴圆M与圆N外切.(5分)(2)∵N(0,1),M(3,4),∴直线MN的方程为x-y+1=0,不妨设直线MN上存在点B(a,a+1)满足题意,如图,连接MT,NS.∵BS=2BT,∴BS2=4BT2,∴BN2-rN2=4(BM2-rM2),∴BN2-2=4(BM2-8),∴BN2=4BM2-30.又BN2=a2+(a+1-1)2,BM2=(a-3)2+(a+1-4)2,∴a2+(a+1-1)2=4[(a-3)2+(a+1-4)2]-30,∴a2-8a+7=0,∴a=1或a=7,∴B(1,2)或B(7,8).(10分)当B(1,2)时,点B为圆N与圆M的公切点,不符合题意;当B(7,8)时,满足BS=2BT.(11分)综上所述,存在点B(7,8),满足BS=2BT.(12分)20.解析(1)如图,以O为坐标原点,OC,OA所在直线分别为x轴、y轴,建立平面直角坐标系xOy.由条件知,A(0,60),C(170,0),kBC=-tan∠BCO=-43.又因为AB⊥BC,所以kAB=34.(2分)设点B的坐标为(a,b),则kBC=b−0a−170=−43解得a=80,b=120,即B(80,120).(4分)所以BC=(170−80)2+(0−120)2=150(m).因此新桥BC的长为150m(2)设保护区的边界圆M的半径为rm,OM=dm(0≤d≤60).由(1)知,直线BC的方程为y=-43(x-170),即4x+3y-680=0由于圆M与直线BC相切,故点M(0,d