淅川2017年中考数学二模试卷

2017年河南省南阳市淅川县中考数学二模试卷

一、选择题（每小题3分，共30分）

1.下列各数中，最大的数是（）

A.|-3|B.-2C.01）.1

2.下列运算正确的是（）

A.a・a：'=a'B.（ab）3=a3bC.（a3）2=a6D.ax4-a'-a2

3.如图所示正三棱柱的主视图是（）

4.甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数都均为8.8环,方差分

别为S单W）.63,S丁=0.51,S丙2=0.48,S产=0.42,则四人中成绩最稳定的是（）

A.甲B.乙C.丙D.T

5.己知扇形的圆心角为45°,半径长为12,则该扇形的弧长为（）

3JT

A.-^―B.2nC.3JtD.12n

4

6.如图，过正五边形ABCDE的顶点A作直线1〃BE,则N1的度数为（)

A.30°B.36°C.38°D.45°

7.如图，点A是反比例函数y上的图象上的一点，过点A作AB_Lx轴，垂足为B.

点C为

X

y轴上的一点，连接AC,BC.若AABC的面积为3,则k的值是（)

8.如图，AABC内接于半径为5的。0,圆心0到弦BC的距离等于3,则NA的正切值等于

9.从标有号数1到10的10张卡片中，随意抽取一张，其号数为3的倍数的概率是（）

A.2B.C.——D.无法确定

5510

10.如图①，四边形ABCD中，BC〃AD,NA=90°,点P从A点出发，沿折线AB-BC-CD

运动，到点D时停止，己知4PAD的面积s与点P运动的路程x的函数图象如图②所示，则

二、填空题（每小题3分，共15分）

11.计算：2寸F.

12.如图，平面上直线a,b分别经过线段0K两端点（数据如图），则a,b相交所成的锐角

是

o

100°a

_®____b

K

13.如图，在等腰RtAOAAi中，/OAA尸90°,0A=l,以OAi为直角边作等腰RtZ\OA也，以

OAz为直角边作等腰RtaOA2A3,…则OAl；的长度为.

14.二次函数y=ax%bx+c（a#0）的图象如图所示，下列结论：①2a+b=0；②a+c>b；③抛

物线y=ax、bx+c与x轴的另一个交点为（3,0）；④abc>0.其中正确的结论是（填

15.如图，在平行四边形ABCD中，AB=6,BC=4,NB=60°,点E是边AB上的一点，点F

是边CD上一点，将平行四边形ABCD沿EF折叠，得到四边形EFGC,点A的对应点为点C,

点D的对应点为点G,则4CEF的面积.

三、解答题（本大题8个小题，共75分）

16.先化简，再求值：一^―+（时2」方），其中m是方程xZ+2x-3=0的根.

3n>--61nm-2

17.为实施“农村留守儿童关爱计划”，某校对全校各班留守儿童的人数情况进行了统计,

发现各班留守儿童人数只有1名、2名、3名、4名、5名、6名共六种情况，并制成了如下

两幅不完整的统计图：

（1）将该条形统计图补充完整；

(2)求该校平均每班有多少名留守儿童？

(3)某爱心人士决定从只有2名留守儿童的这些班级中，任选两名进行生活资助，请用列

表法或画树状图的方法，求出所选两名留守儿童来自同一个班级的概率.

全校留守儿童人数扇形统计图全校留守儿童人数条形统计图

18.如图，AB是半圆0的直径，点C是半圆0上一点，ZC0B=60°,点D是0C的中点，连

接BD,BD的延长线交半圆0于点E,连接OE,EC,BC.

(1)求证：△BDO丝ZXEDC.

(2)若0B=6,则四边形OBCE的面积为.

19.为解决江北学校学生上学过河难的问题，乡政府决定修建一座桥，建桥过程中需测量河

的宽度(即两平行河岸AB与MN之间的距离).在测量时，选定河对岸MN上的点C处为桥的

一端，在河岸点A处，测得/CAB=3O°,沿河岸AB前行30米后到达B处，在B处测得N

CBA=60°,请你根据以上测量数据求出河的宽度.(参考数据：值1.41,后1.73,结

20.某小区为了绿化环境，计划分两次购进A、B两种花草，第一次分别购进A、B两种花草

30棵和15棵，共花费675元；第二次分别购进A、B两种花草12棵和5棵.两次共花费940

元(两次购进的A、B两种花草价格均分别相同).

(1)A,B两种花草每棵的价格分别是多少元？

(2)若购买A、B两种花草共31棵，且B种花草的数量少于A种花草的数量的2倍，请你

给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用.

21.如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OEFG的顶点E的坐标为（4,0）,顶点G的坐标

为（0,2）,将矩形OEFG绕点0逆时针旋转，使点F落在y轴的点N处，得到矩形OMNP,

0M与GF交于点A.

（1）求图象经过点A的反比例函数的解析式；

（2）设（2）中的反比例函数图象交EF于点B,直接写出直线AB的解析式.

22.在aABC中，/ACB是锐角，点D在射线BC上运动，连接AD,将线段AD绕点A逆时针

旋转90°,得到AE,连接EC.

（1）操作发现：若AB=AC,ZBAC=90°,当D在线段BC上时（不与点B重合），如图①所

示，请你直接写出线段CE和BD的位置关系和数量关系是,；

（2）猜想论证：

在（1）的条件下，当D在线段BC的延长线上时，如图②所示，请你判断（1）中结论是否

成立，并证明你的判断.

（3）拓展延伸：

如图③，若AB#AC,NBAC¥90°,点D在线段BC上运动，试探究：当锐角ZACB等于度

时，线段CE和BD之间的位置关系仍成立（点C、E重合除外）？此时若作DF±AD交线段

CE于点F,且当AC=S时，请直接写出线段CF的长的最大值是

23.如图，抛物线y=-x'bx+c经过A（-1,0）,C（0,4）两点，与x轴交于另一点B,

（1）求抛物线的解析式；

（2）求P在第一象限的抛物线上，P点的横坐标为t,过点P向x轴做垂线交直线BC于点

Q,设线段PQ的长为m,求m与t之间的函数关系式并求出m的最大值；

（3）在（2）的条件下，抛物线上一点D的纵坐标为m的最大值，连接BD,在抛物线是否

存在点E（不与点A,B,C重合）使得/DBE=45°?若不存在.请说明理由；若存在请求E

2017年河南省南阳市淅川县中考数学二模试卷

参考答案与试题解析

一、选择题(每小题3分，共30分)

1.下列各数中，最大的数是()

A.|-3|B.-2C.0I).1

【考点】18：有理数大小比较.

【分析】有理数大小比较的法则：①正数都大于0;②负数都小于0;③正数大于一切负数;

④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可.

【解答】解：I-3|=3,

根据有理数比较大小的方法，可得3>1>0>-2,

所以|-3|>1>0>-2,

所以各数中，最大的数是I-3|.

故选：A.

2.下列运算正确的是()

A.a*a3=a3B.(ab)3=a3bC.(a3)2=a"D.a84-a-a2

【考点】48：同底数幕的除法；46：同底数幕的乘法；47：幕的乘方与积的乘方.

【分析】根据同底数幕的乘法与除法以及累的乘方与积的乘方的知识求解即可求得答案.

【解答】解:A、a-a3=a4,故A选项错误；

B、(ab)3=a3b3,故B选项错误；

C、(a3)2=a6,故C选项正确；

D、a84-a-a1,故D选项错误.

故选：C.

3.如图所示正三棱柱的主视图是()

【考点】U1：简单几何体的三视图.

【分析】找到从正面看所得到的图形即可.

【解答】解：如图所示正三棱柱的主视图是平行排列的两个矩形，故选B.

4.甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数都均为8.8环，方差分

别为S甲M).63,Sz?=o.51,S丙2=0.48,S)2=0.42,则四人中成绩最稳定的是()

A.甲B.乙C.丙D.T

【考点】W7：方差；W1：算术平均数.

【分析】根据方差的意义可作出判断.方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小,

表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定.

2

【解答】解：；S甲Jo.63,S/=0.51,Sw=0.48,ST-0.42,

222

.,.SI/>SZ.>SW>Sr>

故选D.

5.己知扇形的圆心角为45°,半径长为12,则该扇形的弧长为()

冗

A.—3B.2nC.3nD.12n

4

【考点】MN：弧长的计算.

【分析】根据弧长公式等，代入相应数值进行计算即可.

180

【解答】解：根据弧长公式：1/51二［12二3%

180

故选：C.

6.如图，过正五边形ABCDE的顶点A作直线1〃BE,则N1的度数为()

B

CD

A.30°B.36°C.38°D.45°

【考点】JA：平行线的性质；KH：等腰三角形的性质；L3：多边形内角与外角.

【分析】首先根据多边形内角和计算公式计算出每一个内角的度数，再根据等腰三角形的性

质计算出/AEB,然后根据平行线的性质可得答案.

【解答】解：；ABCDE是正五边形，

AZBAE=(5-2)X180°4-5=108°,

/AEB=+2=36°,

VI//BE,

；.N1=36°,

故选:B.

7.如图，点A是反比例函数y二K的图象上的一点，过点A作ABLx轴，垂足为B.点C为

x

y轴上的一点，连接AC,BC.若AABC的面积为3,则k的值是()

【考点】G5：反比例函数系数k的几何意义.

【分析】连结0A,如图，利用三角形面积公式得到SMAFSACUFS,再根据反比例函数的比例

系数k的几何意义得到工|k1=3,然后去绝对值即可得到满足条件的k的值.

2

【解答】解：连结0A,如图，

；AB_Lx轴，

.,.0C/7AB,

SziOAB=Sz\CAB=3，

而$△（）.后万

k1=3,

Vk<0,

Ak=-6.

8.如图，AABC内接于半径为5的。0,圆心0至I」弦BC的距离等于3,则/A的正切值等于

()

c-iD4

【考点】M2：垂径定理；M5：圆周角定理；T7：解直角三角形.

【分析】过点0作ODLBC,垂足为D,根据圆周角定理可得出NB0D=NA,再根据勾股定理

可求得BD=4,从而得出/A的正切值.

【解答】解：过点0作OD_LBC,垂足为D,

V0B=5,0D=3,

.\BD=4,

,ZZA=-j-ZBOC,

NA=NBOD,

tanA=tanZBOD='-^1'--^,

0D3

故选：D.

A

9.从标有号数1到10的10张卡片中，随意抽取一张，其号数为3的倍数的概率是（）

A.B.?C.—D.无法确定

5510

【考点】X4：概率公式.

【分析】让3的倍数的个数除以数的总数即为所求的概率.

【解答】解：到10的数字中是3的倍数的有3,6,9共3个，

.••卡片上的号数为3的倍数的概率是之.

10

故选C.

10.如图①，四边形ABCD中，BC/7AD,NA=90°,点P从A点出发，沿折线AB-BC-CD

运动，到点D时停止，已知4PAD的面积s与点P运动的路程x的函数图象如图②所示，则

【考点】E7：动点问题的函数图象.

【分析】根据函数图象可以直接得到AB、BC和三角形ADB的面积，从而可以求得AD的长，

作辅助线AELAD,从而可得CD的长，进而求得点P从开始到停止运动的总路程，本题得以

解决.

【解答】解：作CELAD于点E,如下图所示,

由图象可知，点P从A到B运动的路程是2,当点P与点B重合时，4ADP的面积是5,由B

到C运动的路程为2,

.AD,ABADX2

••-~-=—"—=5c，

22

解得，AD=5,

又：BC〃AD,ZA=90°,CEXAD,

AZB=90°,ZCEA=90q,

...四边形ABCE是矩形，

；.AE=BC=2,

；.DE=AD-AE=5-2=3,

CD=7CE2+DE2=V22+32=V13>

=

点P从开始到停止运动的总路程为：AB+BC+CD=2+2+V134+V13.

故选D.

二、填空题（每小题3分，共15分）

11.计算：2

【考点】2C：实数的运算.

【分析】原式利用负整数指数基法则，以及立方根定义计算即可得到结果.

【解答】解：原式3-9-二，

故答案为:-~

4

12.如图，平面上直线a,b分别经过线段OK两端点（数据如图），则a,b相交所成的锐角

【考点】K8：三角形的外角性质.

【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解.

【解答】解：由三角形的外角性质得，a,b相交所成的锐角的度数是100。-70。=30。.

故答案为：30°.

13.如图，在等腰RtAOAAi中，N0AAi=90°,OA=1,以0A1为直角边作等腰Rt^OA也，以

【分析】利用等腰直角三角形的性质以及勾股定理分别求出各边长，进而得出答案.

【解答】解：：Z\OAAi为等腰直角三角形，OA=1,

AAi=0A=1,OAI=5/20A=5/2；

•••△0AA为等腰直角三角形，

AIA2=OAI=^^»OA2=V^OAI=2；

•••△0AA;为等腰直角三角形，

；・A2A3=0A2=2,OA3—^20A2=2^2；

•••△OAA为等腰直角三角形，

•*.A3AI=0A3=2^2，OA4=^2OAS=4.

•.•△OAA5为等腰直角三角形，

A,IA5=0A,I-4>OAs=J^0A」=4，^.

•••△OAsAe为等腰直角三角形，

ASA6=0A5=4^2，OAe=,\^2OA5=8.

故答案为：8.

14.二次函数y=ax2+bx+c（aWO）的图象如图所示，下列结论：①2a+b=0；②a+c>b；③抛

物线y=ax2+bx+c与x轴的另一个交点为（3,0）；@abc>0.其中正确的结论是①④（填

写序号）

【考点】HA：抛物线与x轴的交点；H4：二次函数图象与系数的关系.

【分析】根据抛物线对称轴方程对①进行判断：根据自变量为1时对应的函数值为负数可对

②进行判断；根据抛物线的对称性，由抛物线与x轴的一个交点为（-2,0）得到抛物线与

x轴的另一个交点为（4,0）,则可对③进行判断；由抛物线开口方向得到a>0,由对称轴

位置可得bVO,由抛物线与y轴的交点位置可得c<0,于是可对④进行判断.

【解答】解：•••抛物线的对称轴为直线*=-畀1,

.,.2a+b=0,所以①正确;

；x=-1时，y<0,

/.a-b+c<0,

即a+c<b,所以②错误；

•••抛物线与x轴的一个交点为（-2,0）

而抛物线的对称轴为直线x=l,

...抛物线与x轴的另一个交点为（4,0）,所以③错误;

；抛物线开口向上，

/.a>0,

b=-2a<0,

•・,抛物线与y轴的交点在x轴下方,

Ac<0,

.\abc>0,所以④正确.

故答案为①④.

15.如图，在平行四边形ABCD中，AB=6,BC=4,NB=60°,点E是边AB上的一点，点F

是边CD上一点，将平行四边形ABCD沿EF折叠，得到四边形EFGC,点A的对应点为点C,

点D的对应点为点G,则4CEF的面积1返.

—2-

【考点】PB：翻折变换(折叠问题)；L5：平行四边形的性质.

【分析】如图1，作CKLAB于K,过E点作EPJ_BC于P.想办法求出CK、EP、EC,再证明

△BCE^AGCF(ASA)推出CE=CF,根据三角形的面积公式计算即可.

【解答】解：如图1,作CKLAB于K,过E点作EPJ_BC于P.

VZB=60°,

.,.CK=BC«sin60°=4X华26,

VC到AB的距离和E到CD的距离都是平行线AB、CD间的距离，

***点E至(JCD的距离是2^3，

・・,四边形ABCD是平行四边形，

JAD=BC,ZD=ZB,NA二/BCD,

由折叠可知，AD=CG,ND=NG,ZA=ZECG,

ABC=GC,ZB=ZG,ZBCD=ZECG,

・,.NBCE二NGCF,

在ABCE和aGCF中，

2B二NG

,NBCE=NGCF，

BC=GC

.,.△BCE^AGCF(ASA)；

ACE=CF,

VZB=60°,ZEPB=90°,

AZBEP=30°,

ABE=2BP,

设BP=m,则BE=2m,

.,.EP=BE«sin600

由折叠可知，AE=CE,

VAB=6,

AAE=CE=6-2m,

VBC=4,

APC=4-m,

在RtZ\ECP中，由勾股定理得(4-m)“+2=(6-2m)解得m二

R7

/.EC-6-2n1=6-2X—=—,

42

三、解答题（本大题8个小题，共75分）

16.先化简，再求值：2+（/2—其中m是方程x'+2x-3=0的根.

3m’-6m所2

【考点】6D：分式的化简求值；A8：解一元二次方程-因式分解法.

【分析】首先根据运算顺序和分式的化简方法，化简+（"2=~），然后应用因

3m-6mm-2

数分解法解一元二次方程，求出m的值是多少；最后把求出的m的值代入化简后的算式，求

3R

出算式—2一+（时2TJ的值是多少即可.

3m-6m

【解答】解：.in2-，3+（时2RT）

3mJ6m所2

nr-3.（/3）（所3）

3m(m-2)m-2

一1

3m(m+3)

VX2+2X-3=0,

(x+3)(x-1)=0,

解得X1=-3,X2=l,

Vm是方程x?+2x-3=0的根,

・・m尸一3,叱二11

•・5+3#0,

.,.mW-3,

/.m=l,

所以原式二壶

1

-3Xix(i+3)

_1

~~12

17.为实施“农村留守儿童关爱计戈1‘，某校对全校各班留守儿童的人数情况进行了统计,

发现各班留守儿童人数只有1名、2名、3名、4名、5名、6名共六种情况，并制成了如下

两幅不完整的统计图：

(1)将该条形统计图补充完整：

(2)求该校平均每班有多少名留守儿童？

(3)某爱心人士决定从只有2名留守儿童的这些班级中，任选两名进行生活资助，请用列

表法或画树状图的方法，求出所选两名留守儿童来自同一个班级的概率.

▲班级个数

4钛“＜名

6名

、5名\20。9

1名2名3名4名5名6名人数

全校留守儿童人数扇形统计图全校留守儿童人数条形统计图

【考点】VC：条形统计图；VB：扇形统计图；W2：加权平均数；X6：列表法与树状图法.

【分析】(1)根据留守儿童有6名的班级占20%,可求得有留守儿童的总班级数，再减去其

它班级数，即可补全统计图；

(2)根据班级个数和班级人数，求出总的留守儿童数，再除以总班级数，即可得出答案；

(3)根据(1)可知，只有2名留守儿童的班级有2个，共4名学生，再设A”船来自一个

班，B„Bz来自一个班，列出树状图可得出来自一个班的共有4种情况，再根据概率公式即

可得出答案.

【解答】解：（1）该校班级个数为4+20%=20（个），

只有2名留守儿童的班级个数为：20-（2+3+4+5+4）=2（个）,

补图如下：

（2）该校平均每班留守儿童的人数为：

（1X2+2X2+3X3+4X4+5X5+6X4）4-20=4（个）；

（3）由（1）得只有2名留守儿童的班级有2个，共4名学生，设A”生来自一个班，B,,

B2来自一个班，如图；

由树状图可知，共有12种可能的情况，并且每种结果出现的可能性相等，其中来自一个班

的共有4种情况，

则所选两名留守儿童来自同一个班级的概率为：盘*.

123

18.如图，AB是半圆0的直径，点C是半圆0上一点，ZC0B=60°,点D是0C的中点，连

接BD,BD的延长线交半圆0于点E,连接0E,EC,BC.

（1）求证：△BDO丝ZXEDC.

（2）若0B=6,则四边形OBCE的面积为18、怎.

AB

【考点】KD：全等三角形的判定与性质；M5：圆周角定理.

【分析】(1)证明方法比较多，根据全等三角形判定方法判定即可.

(2)先证明四边形OBCE是菱形，求出对角线的长即可求面积.

【解答】(1)证明：VZC0B=60°且OB=OC,

...△BOC为等边三角形，Z0BC=60°,

又：点D是0C的中点，

；.OD=CD,Z0BD=yZ0BC=30°,

又•.•点C是半圆上一点且NC0B=60°,

AZCEB=yZCOB=30°,

ZOBD=ZCEB,

在△BDO与4EDC中，

rZ0BD=ZCED

-NBDO=NEDC，

,OD=CD

.".△BDO^AEDC(AAS)；

(2)V.，.△BDO^AEDC,

.,.EC=OB,

AOBC是等边三角形，

.,.OB=BC=EC=EO,

四边形OBCE是菱形，

S菱形OBCE=2•OOEB+6・6后18y.

19.为解决江北学校学生上学过河难的问题，乡政府决定修建-一座桥，建桥过程中需测量河

的宽度（即两平行河岸AB与MN之间的距离）.在测量时，选定河对岸MN上的点C处为桥的

一端，在河岸点A处，测得NCAB=30°,沿河岸AB前行30米后到达B处，在B处测得N

CBA=60°,请你根据以上测量数据求出河的宽度.（参考数据：加弋1.41,45-1.73,结

果保留整数）

【考点】T8：解直角三角形的应用.

【分析】如图，过点C作CD_LAB于点D,通过解直角4ACD和直角4BCD来求CD的长度.

【解答】解：如图，过点C作CDLAB于点D,

设CD=x.

;在直角△ACD中，ZCAD=30°,

CD小

同理，在直角ABCD中，BD=•X.

tan60°3

又•.•AB=30米,

.,.AD+BD=30米,x=30.

解得x=13.

20.某小区为了绿化环境，计划分两次购进A、B两种花草，第一次分别购进A、B两种花草

30棵和15棵，共花费675元；第二次分别购进A、B两种花草12棵和5棵.两次共花费940

元（两次购进的A、B两种花草价格均分别相同）.

（1）A、B两种花草每棵的价格分别是多少元？

（2）若购买A、B两种花草共31棵，且B种花草的数量少于A种花草的数量的2倍，请你

给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用.

【考点】C9：一元一次不等式的应用；9A：二元一次方程组的应用.

【分析】（1）设A种花草每棵的价格x元，B种花草每棵的价格y元，根据第一次分别购进

A、B两种花草30棵和15棵，共花费940元；第二次分别购进A、B两种花草12棵和5棵,

两次共花费675元；列出方程组，即可解答.

（2）设A种花草的数量为m株，则B种花草的数量为（31-m）株，根据B种花草的数量少

于A种花草的数量的2倍，得出m的范围，设总费用为W元，根据总费用=两种花草的费用

之和建立函数关系式，由一次函数的性质就可以求出结论.

【解答】解：（D设A种花草每棵的价格x元，B种花草每棵的价格y元，根据题意得：

p0x+15y=675

112x+5y=940-675

解得：卜w°,

AA种花草每棵的价格是20元，B种花草每棵的价格是5元.

（2）设A种花草的数量为m株，则B种花草的数量为（31-m）株，

•••B种花草的数量少于A种花草的数量的2倍，

.*.31-m<2m,

解得：m>着，

•.5是正整数，

•'•ma小他=11,

设购买树苗总费用为W=20m+5（31-m）=15m+155,

Vk>0,

•••W随x的增大而增大，

当m=ll时，口”小值=15义11+155=320（元）.

答：购进A种花草的数量为11株、B种20株，费用最省；最省费用是320元.

21.如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OEFG的顶点E的坐标为（4,0）,顶点G的坐标

为（0,2）,将矩形OEFG绕点0逆时针旋转，使点F落在y轴的点N处，得到矩形OMNP,

0M与GF交于点A.

（1）求图象经过点A的反比例函数的解析式；

（2）设（2）中的反比例函数图象交EF于点B,直接写出直线AB的解析式.

【分析】(1)先根据两个角对应相等，即可证明AOGA和AOMN相似，要求反比例函数的解

析式，则需求得点A的坐标，即要求得AG的长，根据旋转的两个图形全等的性质以及相似

三角形的对应边的比相等可以求解；

(2)要求直线AB的解析式，主要应求得点B的坐标.根据点B的横坐标是4和(1)中求

得的反比例函数的解析式即可求得.再根据待定系数法进行求解.

【解答】解：(1)VZ0GA=ZM=90°ZGOA=ZMON

.,.△OGA^AOMN,

.AG二OG

"NM

.AG2

•..二一.,

24

解得AG=1.

设反比例函数y上，把A(1,2)代入得k=2,

X

过点A的反比例函数的解析式为：y=2.

(2):点B的横坐标为4,x=4代y=2中y卷，故(4,

设直线AB的解析式y=mx+n,把A(1,2)、B(4,£■)代入，得

2

irrf-n=2

，

I4"।n=1,

(1

解得I”.

/.直线AB的解析式y=-Lx+包

22

22.在AABC中，/ACB是锐角，点D在射线BC上运动，连接AD,将线段AD绕点A逆时针

旋转90°,得到AE,连接EC.

（1）操作发现：若AB=AC,ZBAC=90°,当D在线段BC上时（不与点B重合），如图①所

示，请你直接写出线段CE和BD的位置关系和数量关系是CE=BD,CELBD；

（2）猜想论证：

在（1）的条件下，当D在线段BC的延长线上时，如图②所示，请你判断（1）中结论是否

成立，并证明你的判断.

（3）拓展延伸：

如图③，若ABWAC,NBACW90。，点D在线段BC上运动，试探究：当锐角/ACB等于45

度时，线段CE和BD之间的位置关系仍成立（点C、E重合除外）？此时若作DFLAD交线段

【考点】RB：几何变换综合题.

【分析】（1）线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE,根据旋转的性质得到AD=AE,/BAD=

ZCAE,得到4BAD丝ZXCAE,CE=BD,ZACE=ZB,得到/BCE=NBCA+NACE=90°,于是有CE=BD,

CE±BD.

（2）证明的方法与（1）一样.

（3）过A作AM_LBC于M,EN_LAM于N,根据旋转的性质得到NDAE=90°,AD=AE,利用等

角的余角相等得到/NAE=NADM,易证得Rt^AMD之Rt^ENA,则NE=MA,由于/ACB=45°,

则AM=MC,所以MC=NE,易得四边形MCEN为矩形，得到/DCF=90°,

得:;嘤,设DC=x,而NACB=45°,AC=&,

由此得至IJRtAAMD^RtADCF,得AM=CM=3,

MD=3-x,利用相似比可得到CF=-£X2+1,再利用二次函数即可求得CF的最大值.

【解答】解：(1)@VAB=AC,ZBAC=90°,

线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE,

AAD=AE,ZBAD=ZCAE,

，ABAD^ACAE,

・・・CE=BD,ZACE=ZB,

・\NBCE=NBCA+NACE=90°,

・・・线段CE,BD之间的位置关系和数量关系为：CE=BD,CE±BD；

故答案为：CE=BD,CE1BD；

(2)(1)中的结论仍然成立.理由如下：

如图2,

・・•线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE,

・・・AE=AD,ZDAE=90°,

VAB=AC,ZBAC=90°

・・・NCAE二NBAD,

.'.△ACE^AABD,

ACE=BD,ZACE=ZB,

・・・NBCE=90°,

所以线段CE,BD之间的位置关系和数量关系为：CE=BD,CE±BD；

(3)45°；—；

4

过A作AMLBC于M,过E点作EN垂直于MA延长线于N,如图3,

•・•线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE,

/.ZDAE=900,AD=AE,

・・・NNAE二NADM,易证得RtAAMD^RtAENA,

ANE=AM,

VCE1BD,即CE_LMC,.\ZNEC=90o,

・・・四边形MCEN为矩形，

ANE=MC,AAM=MC,

・・・NACB=45°,

・・•四边形MCEN为矩形，

ARtAAMD^RtADCF,

・・•在RtZXAMC中,ZACB=45°,AC=3证,

3-y3

AAM=CM=3,MD=3-x,

CFx

CF=---x2+x="-(x-—)2+—>

3324

当时有最大值，最大值为摄

24

23.如图，抛物线y=-x'+bx+c经过A(-1,0),C(0,4)两点，与x轴交于另一点B,

(1)求抛物线的解析式；

(2)求P在第一象限的抛物线上，P点的横坐标为t,过点P向x轴做垂线交直线BC于点

Q,设线段PQ的长为m,求m与t之间的函数关系式并求出m的最大值：

(3)在(2)的条件下，抛物线上一点D的纵坐标为m的最大值，连接BD,在抛物线是否

存在点E(不与点A,B,C重合)使得NDBE=45°?若不存在.请说明理由；若存在请求E

点的坐标.

【分析】(1)把点A、B的坐标代入抛物线解析式，解关于b、c的方程组求出b、c的值即

可得到抛物线解析式，令y=0,解关于x的一元二次方程即可得到点C的坐标；

(2)根据抛物线的解析式y=-r+3x+4,令y=0求得点B的坐标为(4.0),设直线BC的解

析式为y=kx+a

把点B、C的坐标代入直线BC的解析式为y=kx+a,解关于k、a的方程组求出k、a的值，

所以直线BC的解析式为y=-x+4,设P点的坐标为(t,-t2+3t+4),则Q点的坐标为(t,

-t+4),所以m=(-t2+3t+4)-(-t+4),整理得m=-(t-2).+4,根据关于m、t的二

次函数即可求得.

(3)根据m的最大值是4,代入y=-x?+3x+4,可求得D点的坐标(3,4),过D点作DH_L

BC,过E点作EFLx轴，由0C=0B=4得4DCB为等腰直角三角形，从而得出ACDH为等腰直

角三角形，通过等腰直角三角形求得CN、BH的值，然后根据三角形相似求得EF、BF的关系,

设出E点的坐标，然后代入y=-X2+3X+4即可求得.

【解答】解：(1)抛物线y=-x?+bx+c经过A(-1,0)、C(0,4)两点，

.f-l-b+c=0

\c=4

解得产3

1c=4

...抛物线的解析式y=-X2+3X+4

(2)令-x、3x+4=0,

解得xi=-l,X2=4,

AB(4,0)

设直线BC的解析式为y=kx+a

4k+a=0

a=4

解得产T,

\a=4

直线BC的解析式为y=-x+4

设P点的坐标为(t,-t，3t+4),则Q点的坐标为(t,-t+4)

m=(-t2+3t+4)-(-t+4)=-(t-2)2+4

整理得m=-(t-2)2+4,

.•.当t=2时，m的最大值为4

(3)存在

••抛物线一点D的纵坐标为m的最大值4,

2

-X+3X+4=4,解得XLO(舍)，X2=3

\D(3,4),CD=3

；C(0,4),

，.CD〃x轴，

/OC=OB=4,

•.△BOC为直角三角形，

过点D作DHLBC于H,过点E作EFLx于点F,在aCDB中，CD=3,ZDCB=45°

.,.CH=DH=5巨，

2

.•CB=4A/2＞，BH=CB-方=岑2

ZZDBE=ZCB0=45°

ZDBE-ZCBE=ZCB0-ZCBE,

即/DBC=/EBF

；.tanNDBODH_EF_3

IffiBF

设EF=3a.3BF=5a

.\0F=5a-4

：.F(4-5a,0),E(4-5a,3a)

•••点E在抛物线上

；.3a=-(4-5a)2+3(4-5a)+4

解得ai=0a2=-^-

25

2019-2020学年中考数学模拟试卷

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的.）

1.如图，在正方形ABCD中，点E,F分别在BC,CD上，AE=AF,AC与EF相交于点G,

下列结论：①AC垂直平分EF；②BE+DF=EF；③当NDAF=15。时，AAEF为等边三角形;

④当/EAF=60。时，SAABE=：SACEF,其中正确的是（）

A.①③B.②④C.①③④D.②③④

2.估算囱+厉+逐的运算结果应在（）

A.2到3之间B.3到4之间

C.4到5之间D.5到6之间

3.二次函数y=62+笈+以。。0）的图像如图所示，下列结论正确是（）

A.abc>0B.2a+b<0C.3a+c<Q

D.一3=0有两个不相等的实数根

4.下列各式：①3,"+3=6②g币=1;③近+瓜=瓜=2垃;@=272；

其中错误的有（）.

A.3个B.2个C.1个D.0个

5.如图，直线a〃b,一块含60。角的直角三角板ABC（NA=60。）按如图所示放置.若N1

=55。，则N2的度数为（）

6.若一元二次方程x2-2x+m=0有两个不相同的实数根，则实数m的取值范围是（）

A.m>lB.m<lC.m>lD.m<l

7.制作一块3mx2m长方形广告牌的成本是120元，在每平方米制作成本相同的情况下，

若将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，那么扩大后长方形广告牌的成本是（）

A.360元B.720元C.1080元D.2160元

8.如图，在R3ABC中，NBAC=90。，AB=AC,AD1BC,垂足为D、E,F分另U是CD,AD

上的点，且CE=AF.如果NAED=62。，那么/DBF的度数为（）

9.如图，AB切O。于点B,OA=2A/3>AB=3,弦BC〃OA,则劣弧BC的弧长为（）

（X>0）交于点C,过点C作CD_Lx轴，垂足为D,且OA=AD,则以下结论:

①S^ADB=S14Aoe•

②当ovxV3时，

Q

③如图，当x=3时，EF=-；

④当x>0时，X随x的增大而增大，必随x的增大而减小.

其中正确结论的个数是（）

C.3D.4

11.一家商店将某种服装按成本价提高40%后标价，又以8折（即按标价的80%）优惠卖

出，结果每件作服装仍可获利15元，则这种服装每件的成本是（）

A.120元B.125元C.135元D.140元

12.如图，在正方形ABCD外侧，作等边三角形ADE,AC,BE相交于点F,则NBFC为（）

A.75°B.60°C.55°D.45°

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）

13.轮船沿江从A港顺流行驶到B港，比从B港返回A港少用3h,若静水时船速为26km/h,

水速为2km/h,则A港和B港相距km.

14.函数y=的自变量x的取值范围是.

15.一个扇形的弧长是|万，它的面积是日万，这个扇形的圆心角度数是.

16.我们知道：1+3=4,1+3+5=9,1+3+5+7=16,观察下面的一列数：・1,2,,-3,4,

・5,6・・.,将这些数排列成如图的形式，根据其规律猜想，第20行从左到右第3个数是.

2-34

-56-78-9

10-11127314-1516

17.如图，在等腰RtAABC中，NBAC=90。，AB=AC,BC=4&,点D是AC边上一动点,

连接BD,以AD为直径的圆交BD于点E,则线段CE长度的最小值为.

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19.（6分）如图，四边形AOBC是正方形，点C的坐标是（4起,0）.正方形AOBC的边

长为，点A的坐标是.将正方形AOBC绕点。顺时针旋转45。，点A,B,C

旋转后的对应点为A，，B',C,求点A，的坐标及旋转后的正方形与原正方形的重叠部分的面

积；动点P从点0出发，沿折线OACB方向以1个单位/秒的速度匀速运动，同时，另一动

点Q从点O出发，沿折线OBCA方向以2个单位/秒的速度匀速运动，运动时间为t秒，当

它们相遇时同时停止运动，当AOPQ为等腰三角形时，求出t的值（直接写出结果即可）.

20.（6分）随着交通道路的不断完善，带动了旅游业的发展，某市旅游景区有A、B、C、D、

E等著名景点，该市旅游部门统计绘制出2017年"五•一"长假期间旅游情况统计图，根据以

下信息解答下列问题：

某市2017年“五一”长假期间旅游情况统计图

人数万人

E入2017年"五•一"期间,

有

2想

30%/

昌

点

该市周边景点共接待游客一万人，扇形统计图中A景点所对应的圆心角的度数是一，

并补全条形统计图.根据近几年到该市旅游人数增长趋势，预计2018年"五•一”节将有80

万游客选择该市旅游，请估计有多少万人会选择去E景点旅游？甲、乙两个旅行团在A、B、

D三个景点中，同时选择去同一景点的概率是多少？请用画树状图或列表法加以说明，并列

举所用等可能的结果.

21.（6分）现在，某商场进行促销活动，出售一种优惠购物卡（注：此卡只作为购物优惠

凭证不能顶替货款），花300元买这种卡后，凭卡可在这家商场按标价的8折购物.顾客购

买多少元金额的商品时，买卡与不买卡花钱相等？在什么情况下购物合算？小张要买一台

标价为3500元的冰箱，如何购买合算？