备战2025年高考数学一轮复习(世纪金榜高中全程复习方略数学人教A版基础版)课时作业五十　直线的倾斜角与斜率、直线的方程

PAGE温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。板块。五十直线的倾斜角与斜率、直线的方程(时间:45分钟分值:90分)【基础落实练】1.(5分)(2024·昆明模拟)直线x+y-2023=0的倾斜角为()A.-π4 B.π4 C.π2【解析】选D.由于直线x+y-2023=0的斜率为-1,倾斜角范围是[0,π),所以倾斜角为3π42.(5分)(2024·重庆模拟)斜拉桥是桥梁建筑的一种形式,在桥梁平面上有多根拉索,所有拉索的合力方向与中央索塔一致.如图是重庆千厮门嘉陵江大桥,共有10对永久拉索,在索塔两侧对称排列.已知拉索上端相邻两个锚的间距|PiPi+1|(i=1,2,3,…,9)均为3.4m,拉索下端相邻两个锚的间距|AiAi+1|(i=1,2,3,…,9)均为16m.最短拉索的锚P1,A1满足|OP1|=66m,|OA1|=86m,则最长拉索所在直线的斜率为()A.±0.47 B.±0.45C.±0.42 D.±0.40【解析】选C.根据题意,最短拉索的锚P1,A1满足|OP1|=66m,|OA1|=86m,且|PiPi+1|(i=1,2,3,…,9)均为3.4m,拉索下端相邻两个锚的间距|AiAi+1|(i=1,2,3,…,9)均为16m,则|OA10|=|OA1|+|A1A10|=86+9×16=230,即点A10(230,0),同理B10(-230,0),又|OP10|=|OP1|+|P1P10|=66+9×3.4=96.6,即点P10(0,96.6),所以kA10P10=96.6-00-3.(5分)(2024·南京模拟)已知点A(1,3),B(-2,-1).若直线l:y=k(x-2)+1与线段AB相交,则k的取值范围是()A.[12B.(-∞,-2]C.(-∞,-2]∪[12D.[-2,12【解析】选D.由已知直线l恒过定点P(2,1),如图所示,若l与线段AB相交,则kPA≤k≤kPB,因为kPA=3-11-2=-2,kPB所以-2≤k≤12【加练备选】设点A(2,-3),B(-3,-2),若直线l过点P(1,1)且与线段AB相交,则直线l的斜率k的取值范围是()A.(-∞,-4]∪[34B.(-∞,-14]∪[3C.[-4,34D.[-34【解析】选A.如图所示:依题意,kPA=-3-12-1=-4,kPB=-2-1则k≥34或k≤-44.(5分)(2024·凉山模拟)已知直线ax+by+c=0经过第一、二、四三个象限,则()A.若c>0,则a>0,b>0B.若c>0,则a<0,b>0C.若c<0,则a>0,b<0D.若c<0,则a>0,b>0【解析】选D.ax+by+c=0经过第一、二、四三个象限,则b≠0,故变形为y=-abx-c故-ab<0,-cb>0,则a,b同号,b,若c>0,则a<0,b<0,若c<0,则a>0,b>0,D选项正确,其他三个选项均错误.5.(5分)(多选题)关于直线方程y=kx+2,下列表述正确的有()A.是过点0,B.是过点0,2且斜率为C.当直线到原点距离最远时,k=0D.当直线在两坐标轴上截距相等时,k=1【解析】选BC.对于A,直线方程y=kx+2,不能表示斜率不存在时的直线,所以A错误;对于B,根据直线方程y=kx+2,可得直线方程表示过定点0,2,且斜率为k的直线,所以B正确;对于C,易知原点与直线所过定点0,2的连线为直线与原点的最远距离,此时k=0,所以C正确;对于D,易知直线在y轴上的截距为2,在x轴上的截距为-2k,当直线在两坐标轴上的截距相等时,则有-6.(5分)(多选题)(2024·邯郸模拟)已知△ABC的三个顶点A(3,2),B(-2,3),C(4,5),则下列说法正确的是()A.直线AC的斜率为1B.直线AB的倾斜角为锐角C.BC边的中点坐标为(1,4)D.BC边上的中线所在的直线方程为x+y-5=0【解析】选CD.对于A,直线AC的斜率为5-对于B,直线AB的斜率为2-33+2=-1对于C,设BC边的中点为D(x0,y0),则x0=-2+42=1,y0=3+52对于D,BC边上的中线AD所在的直线方程为y-24-2=x-7.(5分)(2024·东营模拟)已知直线l:mx+2y+6=0,且向量(1-m,1)是直线l的一个方向向量,则实数m的值为()A.-1 B.1 C.2 D.-1或2【解析】选D.因为直线l:mx+2y+6=0,直线l的一个方向向量为(-2,m),又因为向量(1-m,1)是直线l的一个方向向量,所以-2-m(1-m)=0,解得m=-1或m=2.8.(5分)若光线沿倾斜角为120°的直线射向x轴上的点A(2,0),经x轴反射,则反射直线的点斜式方程是()A.y=-33(x-2) B.y=3(xC.y=-3(x-2) D.y=33(x【解析】选B.光线沿倾斜角为120°的直线射向x轴,经x轴反射,则反射直线的倾斜角为60°,反射光线斜率为k=tan60°=3,且反射光线过点A(2,0),则反射光线所在直线的点斜式方程是y=3(x-2).9.(5分)(2024·青岛模拟)过点(3,-2)且在x轴,y轴上截距相等的直线方程为.

【解析】由题知,若在x轴,y轴上截距均为0,即直线过原点,又过(3,-2),则直线方程为y=-23x;若截距不为0,设在x轴,y轴上的截距为a,则直线方程为xa+又直线过点(3,-2),则3a+-2a=1,解得a=1,所以此时直线方程为x+答案:2x+3y=0或x+y=110.(5分)(2024·大连模拟)直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距小1,且过定点A(-3,8),则直线l的方程为.

【解析】设直线方程的截距式为xa+ya则-3a+8a+1=1,解得则直线方程是x3+y3+1=1或x1即4x+3y-12=0或2x+y-2=0.答案:4x+3y-12=0或2x+y-2=011.(10分)已知直线l:kx-y+2-k=0(k∈R).(1)设直线l过定点P,O为坐标原点,当直线l⊥OP时,求直线l的方程;【解析】(1)直线l:kx-y+2-k=0可化为y-2=k(x-1)(k∈R),所以直线过定点P(1,2).因为直线l⊥OP,所以kOP·k=-1,所以k=-12所以直线l的方程为-12x-y+2-(-12)=0,即直线l的方程为x+2y(2)若l交x轴正半轴于A,交y轴正半轴于B,△AOB的面积为S,求S取得最小值时直线l的方程.【解析】(2)解法1:设A(a,0),B(0,b),由直线xa+yb=1过P(1,2)得1a+2b=1(所以1=1a+2b≥22ab,当且仅当1a=2b,即a所以S=12ab≥4,当a=2,b=4时,S此时,直线l的方程为x2+y4=1,即2x+y解法2:由直线l的方程得A(k-2k,0),B(0,2-k所以S=12|OA|·|OB|=12|k-2k|·|2-k|=12×(2-k当且仅当k=-2时取等号.所以S取最小值4时,直线l的方程为2x+y-4=0.【能力提升练】12.(5分)(多选题)直线l:xa+yb=1中,已知a>0,b>0.若l与坐标轴围成的三角形的面积不小于10,则数对(a,b)可以是(A.(3,8) B.(1,9) C.(7,4) D.(5,3)【解析】选AC.因为a>0,b>0,所以直线l与坐标轴围成的三角形的面积为S=12ab,于是12ab≥10,解得ab≥20.13.(5分)(2024·广州模拟)在平面直角坐标系中,等边三角形ABC的边AB所在直线斜率为23,则边AC所在直线斜率的可能值为.

【解析】设直线AB的倾斜角为α,由已知得kAB=tanα=23,设直线AC的倾斜角为θ,则kAC=tanθ,因为在等边三角形ABC中,∠BAC=60°,所以θ=α±60°,当θ=α+60°,tanθ=tan(α+60°)=tanα+tan60°1-tanαtan60当θ=α-60°,tanθ=tan(α-60°)=tanα-tan60°1+tanαtan60°综上,kAC=-335或kAC=答案:-33514.(10分)已知在△ABC中,|AB|=|AC|,∠A=120°,A(0,2),边BC所在的直线方程为3x-y-1=0,求边AB,AC所在的直线方程.【解析】因为|AB|=|AC|,∠BAC=120°,所以△ABC是等腰三角形,且∠ABC=∠ACB=30°,由3x-y-1=0可知,该直线的斜率为3,所以该直线的倾斜角为60°.当过A(0,2)的直线不存在斜率时,此时该直线方程为x=0,与直线3x-y-1=0的夹角为30°,符合题意;不妨设B(0,-1).如图所示:当过A(0,2)的直线存在斜率k时,因为∠CAB=120°,所以直线AC的倾斜角为30°,k=33,直线方程为y=33x+2,所以边AB,AC所在的直线方程分别是x=0,y=3315.(10分)已知直线l:kx-y+1+2k=0(k∈R).(1)求证:直线l过定点;【解析】(1)方法一:设直线过定点(x0,y0),则kx0-y0+1+2k=0对任意k∈R恒成立,即(x0+2)k-y0+1=0恒成立.所以x0+2=0,-y0+1=0.解得x0=-2,y0=1,故直线l过定点(-2,1).方法二:kx-y+1+2k=0可化为y-1=k(x+2),显然x=-2,y=1时对任意k∈R方程都成立,故直线过定点(-2,1).(2)若直线l不经过第四象限,求k的取值范围;【解析】(2)直线l的方程为y=kx+2k+1,则直线l在y轴上的截距为2k+1,要使直线l不经过第四象限,则k解得k的取值范围是[0,+∞).(3)若直线与两坐标轴所围成三角形面积为4,求直线l的方程;【解析】(3)依题意,直线l在x轴上的截距为-1+2kk,在y轴上的截距为1+2由题意