第九章　第五节　第3课时　直线和椭圆

PAGE温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。板块。第3课时直线和椭圆【核心考点·分类突破】考点一直线与椭圆位置关系的判断[例1](1)(2024·长沙模拟)椭圆x28+y22=1与直线y=k(A.相离 B.相交C.相切 D.无法确定【解析】选B.直线过定点M(1,0)在椭圆内,故直线与椭圆相交.(2)(2024·福州模拟)当m取何值时,直线l:y=x+m与椭圆9x2+16y2=144.①无公共点;【解析】①依题意,联立y=消去y,得25x2+32mx+16m2-144=0,所以Δ=(32m)2-4×25×(16m2-144)=-576m2+14400,要使直线l:y=x+m与椭圆9x2+16y2=144无公共点,则Δ<0,即-576m2+14400<0,解得m<-5或m>5,所以当m<-5或m>5时,直线和椭圆无公共点.②有且仅有一个公共点;【解析】②要使直线l:y=x+m与椭圆9x2+16y2=144有且仅有一个公共点,则Δ=0,即-576m2+14400=0,解得m=±5,所以当m=±5时,直线和椭圆有且仅有一个公共点.③有两个公共点.【解析】③要使直线l:y=x+m与椭圆9x2+16y2=144有两个公共点,则Δ>0,即-576m2+14400>0,解得-5<m<5,所以当-5<m<5时,直线和椭圆有两个公共点.解题技法判断直线与椭圆位置关系的方法(1)一般转化为研究直线方程与椭圆方程组成的方程组解的个数.(2)对于过定点的直线,也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆公共点个数.对点训练1.直线y=2x-1与椭圆x29+y2A.相交 B.相切C.相离 D.不确定【解析】选A.因为029+(-1)2因为y=2x-1恒过点0,-1,所以直线y=2x-1与椭圆x292.若直线mx+ny=4与☉O:x2+y2=4没有交点,则过点P(m,n)的直线与椭圆x29+y2A.至多为1 B.2C.1 D.0【解析】选B.由题意知4m2+所以点P(m,n)在椭圆x29+故所求交点个数是2.【加练备选】已知直线l:kx+y+1=0,椭圆C:x216+y24=1,则直线l与椭圆A.相离 B.相切C.相交 D.无法确定【解析】选C.由直线l:kx+y+1=0,得直线l过定点(0,-1),因为016+14<1,所以该点在椭圆C:x216所以直线l与椭圆C相交.考点二直线与椭圆相交的有关问题角度1弦长问题[例2]已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(-c,0)和F2(c,0),离心率是3(1)求椭圆C的标准方程;【解析】(1)由题意可得ca=3所以椭圆C的标准方程为x216+(2)若直线l:x+2y-2=0与椭圆相交于A,B两点,O为坐标原点,求△OAB的面积.【解析】(2)设直线l与椭圆的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),联立x+2y-2=0x2显然Δ>0,故x1+x2=2,x1x2=-6,所以|AB|=1+k2|x1-x2|=1+k2·(x1+x2)2-4x1所以S△OAB=12·d·|AB|=12×25×35=7,所以△OAB解题技法1.弦长的求解方法(1)当弦的两端点坐标易求时,可直接利用两点间的距离公式求解.(2)当直线的斜率存在时,斜率为k的直线l与椭圆相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两个不同的点,则①|AB|=1+k2|x1-x2|=②|AB|=1+1k2|y1-y2|=1+12.弦长公式的运用技巧在利用曲线方程和直线方程联立时,设直线方程也很讲究.(1)若直线经过的定点在纵轴上,一般设为斜截式方程y=kx+b便于运算,即“定点落在纵轴上,斜截式帮大忙”;(2)若直线经过的定点在横轴上,一般设为my=x-a可以减小运算量,即“直线定点落横轴,斜率倒数作参数”.提醒:联立直线与曲线方程后得到一元二次方程,一定要考虑判别式Δ.角度2中点弦问题[例3](一题多法)(2022·新高考Ⅱ卷)已知直线l与椭圆x26+y23=1在第一象限交于A,B两点,l与x轴、y轴分别交于M,N两点,且|MA|=|NB|,|MN|=23,则l【解析】方法一:设直线l的方程为xm+yn=1(m>0,n>0),分别令y=0,x=0,得点M(m,0),N(0,n).设A(x1,y1),B(x2,y2).由题意知线段AB与线段所以x1+因为kAB=kMN,所以y1-y2x将A(x1,y1),B(x2,y2)代入椭圆方程,得x126+y由题意知x1+x2≠0,x1≠x2,所以y1+y2x即nm·(-nm)=-12,整理得m2=2n又|MN|=23,所以由勾股定理,得m2+n2=12,②由①②并结合m>0,n>0,得m所以直线l的方程为x22+即x+2y-22=0.方法二:设直线l的方程为xm+yn=1(m>0,n>0),分别令y=0,x=0,得点M(m,0),N(0,n由题意知线段AB与线段MN有相同的中点,设为Q,则Q(m2,n2),则kAB=0-nm-0=-nm由椭圆中点弦的性质知,kAB·kOQ=-b2a2即(-nm)·nm=-1答案:x+2y-22=0解题技法处理中点弦问题常用的求解方法对点训练1.(2024·南昌模拟)已知直线l交椭圆C:y29+x24=1于A,B两点,若点M(1,2)为A,B两点的中点,则直线A.29 B.-29 C.98 【解析】选D.椭圆C:y29+依题意可知直线l的斜率存在,设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1两式相减并化简得-94=y1+y2x1+x2·y1所以直线l的斜率为-982.若椭圆x24+y22=1的弦AB的中点为(-1,-1),则弦A.303 B.263 C.103【解析】选A.设A(x1,y1),B(x2,y2),因为弦AB的中点为(-1,-1),可得x1+x2=-2,y1+y2=-2,又因为A,B在椭圆上,可得x124+y可得y1-y2x1-x2=-2所以弦AB的直线方程为y+1=-12(x+1),即y=-12x-联立y=-12x-32x24+y22=1,整理得3x2由弦长公式,可得|AB|=1+(-12)

2·(x【加练备选】已知椭圆G:x2a2+y2b2=1(1)求椭圆G的方程;【解析】(1)由题意,e=ca=639a2+(2)斜率为1的直线l与椭圆G交于A,B两点,以AB为底边作等腰三角形,顶点为P(-3,2),求△ABP的面积.【解析】(2)令AB为y=x+n,则AB中垂线方程为y=-(x+3)+2=-x-1,联立AB与椭圆方程得,x2+3(x+n)2=12,整理得4x2+6nx+3n2-12=0