高中数学教学中数学思维品质的培养

高中数学教学中数学思维品质的培养

通山职教赵锋

我校是通山县职业教育中心，学生整体基础较差。较多学生进入高中之后，不能

适应高中阶段的数学思维要求。究其原因：由于初中数学教学受升学考试指挥棒的影

响，在教学过程中注重了知识的传授，而忽视了思维品质的培养。

高中学生一般年龄为15-18岁，处于青年初期。他们的身心急剧发展、变化和成

熟，学习的内容更加复杂、深刻，生活更加丰富多采。这种巨大的变化对高中学生的

思维发展提出了更高的要求。研究表明，从初中二年级开始，学生的思维由经验型水

平向理论型水平转化，到高中一、二年级，逐步趋向成熟。作为高中教学教师，应抓

住学生思维发展的飞跃时期，利用成熟期前可塑性大的特点，做好思维品质的培养工

作，使学生的思维得到更好的发展。

思维的灵活性指思维活动的灵活程度，指善于根据事物的发展变化，及时地用新

的观点看待已经变化了的事物，并提出符合实际的解决问题的新设想、新方案和新方

法。学生思维的灵活性主要表现于：（1）思维起点的灵活：能从不同角度、不同层次、

不同方法根据新的条件迅速确定思考问题的方向。（2）思维过程的灵活：能灵活运用各

种法则、公理、定理、规律、公式等从一种解题途径转向另一种途径。（3）思维迁移的

灵活：能举一反三，触类旁通。

如何使更多的学生思维具有灵活特点呢？我在教学实践中作了一些探索：

一、以“发散思维”的培养提高思维灵活性。

美国心理学家吉尔福特（J•P•Guilford）提出的"发散思维"（divergent

thinking）的培养就是思维灵活性的培养。“发散思维”指“从给定义的信息中产生信

息，其着重点是从同一的来源中产生各种各样为数众多的输出，很可能会发生转换作

用。”

在当前的数学教学中，普遍存在着比较重视集中思维的训练，而相对忽视了发散

思维的培养。发散思维是理解教材、灵活运用知识所必须的，也是迎接信息时代、适

应未来生活所应具备的能力。

1、引导学生对问题的解法进行发散。

在教学过程中，用多种方法，从各个不同角度和不同途径去寻求问题的答案，用

一题多解来培养学生思维过程的灵活性。

l-cos20+sin20.

〈例》求证:----------=tg0

l+cos20+sin20

证法1：（运用二倍角公式统一角度）

,2sin20+2sin0cos02sin0(sin0+cos0)十

2cos0+2sin0cos02cos0(sin0+cosO)

证法2：(逆用半角公式统一角度)

l-cos20+]

左二=29+=tge+i=右

l+cos29+]ctgO+1

sin20

证法3：(运用万能公式统一函数种类)设tgO=t

1-t22t

左=.YiTtl二”乌二仁右

,1-t22t2t+2

1+----+-

1+t271+t?2

证明4：..1-co^e(构法分母sin2e并促使分子重新组合,

sin20

在运算形式上得到统一。)

十(1-cos20+sin29)sin201-cos20+

/.左=--------------------------=----------=石

(1+cos20+sin20)sin20sin20

证法5：可用变更论证法。只要证下式即可。

(1-cos20+sin20)sin20=(1-cos20)(l+cos20+sin20)

证法6：由正切半角公式tge=l-c°s29=sin2。，利用合分比性质，则命题得

sin20l+cos20

证。

通过一题多解引导学生归纳证明三角恒等式的基本方法：(1)统一函数种类；(2)

统一角度；(3)统一运算。

一题多解可以拓宽思路，增强知识间联系，学会多角度思考解题的方法和灵活的

思维方式。

2、引导学生对问题的结论进行发散。

对结论的发散是指确定了已知条件后没有现成的结论.让学生自己尽可能多地探

究寻找有关结论，并进行求解。

〈例〉已知：sina+sin0=；⑴，cosa+cosP=^-(2),由此可得到哪些结论？

让学生进行探素，然后相互讨论研究，各抒己见。

8[3

想法一：⑴4(2)2可得cos@-似=-二(两角差的余弦公式)。

288

想法二：(1)X(2),再和差化积：sin(a+p)[cos^-p)+l]=—

74

结合想法一可知：sin(a+P)=—

7

想法三：(I)?-(2)2再和差化积：2cos(a+p)[cos^c-p)+1]=

,7

结合想法一可知：可得cos(a+B)=----

想法四；色，再和差化积约去公因式可得：tg生虫=4,进而用万能公式可

(2)23

求：sin(a+P)>cosQ+P)、t城a+。)。

2s

想法五：由sin?a+cos2a=1消去a得：4sinP+3cosP=—

消去°可得4sina+3cosa=1|(消参思想)

想法六：(1)+(2)并逆用两角和的正弦公式：

sin(a+—)+sin(P+—)=

7

4产424

(1)-(2)并逆用两角差的正弦公式。

sin(a-^)+sin(p-^)=^

想法七：(1)X3-(2)X4：3sina-4cosa+3sinp-4cosp=0

4

sin(a-0)+sin(p-9)=0(0=arctgj)

日口c.a+0—20a—13八

即2sin---------cos-----=0

22

..a=2k7c+7i+p(与已知矛盾舍去)或a+B=2k7i+26(keZ)

则sin(a+B)、cos(a+p)>tg(a+B)均可求。

开放型题目的引入，可以引导学生从不同角度来思考，不仅仅思考条件本身，而

且要思考条件之间的关系。要根据条件运用各种综合变换手段来处理信息、探索结

论，有利于思维起点灵活性的培养，也有利于孜孜不倦的钻研精神和创造力的培养。

3、引导学生对问题的条件进行发散。

对问题的条件进行发散是指问题的结构确定以后，尽可能变化已知条件，进而从

不同角度和用不同知识来解决问题。

对于等差数列的通项公式：an=ai+(n-l)d,显然，四个变量中知道三个即可求

另一个(解方程)。如“{aj为等差数列，ai=1,d=—2.问一9为第几项”等

等。然后，放手让学生自己编写题目。编题过程中.学生要对公式中变量的取值范

围、变量之间的内在关系、公式的适用范围等有全面的掌握。否则，信手拈来会闹出

笑话。上题中，若改d=—3,则一9为第1项，显然荒谬。如此，学生对于等差数列

的通项公式与求和公式的掌握会比较全面，而且能站在较高层次来看待问题，提高思

维迁移的灵活性。

二、以思维灵活性的提高带动思维其他品质的提高，以思维其他品质的培养来促

进思维灵活性的培养。

由于思维的各种品质是彼此联系、密不可分的，处于有机的统一体中，所以，思

维其他品质的培养能有力地促进思维灵活性的提高。

1、思维的深刻性指思维过程的抽象程度，指是否善于从事物的现象中发现本质，

是否善于从事物之间的关系和联系中揭示规律。

〈例〉方程sinx=lgx的解有()个。(A)1(B)2(C)3(D)4

学生习惯于通过解方程求解，而此方程无法求解常令学生手足无进。若能运用灵

活的思维换一个角度思考：此题的本质为求方程组的公共解。运用数形结合

y=igx

思想转化为求函数图家交点问题，寻求几何性质与代数方程之间的内在联系。通过知

识串联、横向沟通牢牢抓住事物的本质，在思维深刻性的基础上，思维灵活性才有了

用武之地。

2、思维的广阔性是指善于抓住问题的各个方面，又不忽视其重要细节的思维品

质。要求学生能认真分析题意，调动和选择与之相应的知识，寻找解答关键。

〈例》已知抛物线在y轴上的截距为3,对称轴为直线x=—1,在x轴上截得线段

长为4,求抛物线方程。

解法一：截距为3,可选择一般式方程：y=ax?+bx+c(a/0)

显然有c=3,利用其他条件可列方程组求a,b值。

解法二：由对称轴为直线x=—1,可选择顶点式方程：

y=a(x-m)2+k(aw0)

显然有m=—1,利用其他条件可列方程组求a,k的值。

另外，由图象对称性可知x轴上交点为(1,0)和(一3,0)o

解法三：由截距为3,即过三点(0,3)、(L0)和(一3,0),

可选择一般式方程：y=ax2+bx+c(a0)

代人点坐标，列方程组求a,b,c值。

解法四：由一元二次方程与一元二次函数关系可选择两根式

y=a(x-Xi)(x-x2)(a^O)(必须与x轴有交点)

显然；xi=-3,x2=lo由截距3,可求a值。

在把握整体的前提下，侧重某一条件作为解答突破口，在思维广阔性的基础上，

充分运用思维灵活性调动相关知识、技能寻找解题途径。

3、思维的敏捷性指思维活动的速度。它的指标有二个：一是速度，二是正确率。

具有这一品质的学生能缩短运算环节和推理过程。思维灵活性对于思维速度和准确率

的提高起着决定性作用。

4、思维的独创性指思维活动的独创程度，具有新颖善于应变的特点。思维的灵活

性为思维的独创性提供了肥沃的土壤，为解题“灵感”的闪现提供了燃料。

在教学实线中，我常发现，学生提出富有个性的见解的时候,往往是“思维火花”

闪烁的时候.

5、思维的批判性指思维活动中独立分析的程度，是否善于严格地估计思维材料和

仔细地检查思维过程。我在数学教学中，鼓励学生提出不同的甚至怀疑的意见，注意

引导和启发，提倡独立思考能力的培养。

学生对结论的可靠程度进行怀疑，在独立分析的基础上，灵活运用三角函数的单

调性来确定三角形内角的取值范围，严密论证了三角函数值取值的可能性。

三、灵活新颖的教法探求和灵活扎实的学法指导。

教师的教法常常影响到学生的学法。灵活多变的教学方法对学生思维灵活性的培

养起着潜移默化的作用，而富有新意的学法指导能及时为学生注人灵活思维的活力。

“导入出新”一一良好的开端是成功的一半。引人入胜的教学导入可以激发学习

兴趣和热情。以“创设情境”，“叙述故事”、“利用矛盾”、“设置悬念”、“引

用名句”、“巧用道具”等新颖多变的教学手段，使学生及早进入积极思维状态。

“错解剖析”一一提供给学生题解过程，但其中有错误的地方。让学生反串角

色，扮演教师批改作业。换