数学探究杨辉三角的性质与应用（第一课时杨辉三角与二项式系数的性质）教学设计高二下学期数学人教A版选择性

教学设计

课程基本信息学科高中数学年级高二学期春季课题数学探究：杨辉三角的性质与应用第一课时教科书书名：普通高中教科书数学选择性必修第三册（A版）出版社：人民教育出版社教学目标1.通过观察“杨辉三角”，探究其性质的学习活动，让学生感受我国古代数学成就及其数学美，激发学生的民族自豪感。2.通过从函数的角度研究二项式系数的性质，建立知识的前后联系，体会用函数知识研究问题的方法，培养学生观察发现，抽象概括及分析问题、解决问题的能力。3.通过直观感知，再上升到理性认识，使学生掌握二项式系数的一些性质，体会应用数形结合、特殊到一般、赋值法等重要的数学思想方法解决问题的“再创造”过程。4.通过课上自主探究、合作探究，课后拓展延伸的学习方法，培养学生的问题意识，提高学生的思维能力，激发学生数学学习兴趣。教学内容教学重点：利用杨辉三角性质发现并掌握二项式系数的性质，体会用函数思想、数形结合、比较法、赋值法、特殊到一般等研究问题的方法。

教学难点：1.杨辉三角性质的发现与证明。教学过程主要分为五个流程：温故知新、历史溯源、性质探秘、知识升华、课后作业。环节一：温故知新教学过程1：回顾上节课所学内容（学生回答）设计意图：通过复习二项式定理和组合数的有关知识，为发现和证明二项式系数的有关性质打下基础，形成知识储备。师生活动：教师提问，学生回答，回顾上节课所学及组合数有关知识。教学过程2：分别写出当n=1,2,3,4,5,6时，展开式中的二项式系数，观察对应的二项式系数。设计意图:通过观察，使学生直观感知“杨辉三角”与二项式系数的性质之间的关系。师生活动：学生独立观察、思考环节二：历史溯源教学过程：介绍“杨辉三角”及其与二项式系数的关系杨辉，南宋著名数学家．早在1261年“杨辉三角”就出现在《详解九章算法》一书中，杨辉指出他所用方法出于《释锁》算书，且我国北宋数学家贾宪(约公元11世纪)已经用过它，这表明我国发现这个表不晚于11世纪。在欧洲，这个表被认为是法国数学家帕斯卡(16231662)首先发现的，他们把这个表叫做帕斯卡三角。从上述几个时间可以看出，杨辉三角的发现要比欧洲早五百年左右。设计意图：让学生了解“杨辉三角”的历史背景、地位和作用，让学生感受我国古代数学成就及其数学美，激发学生的民族自豪感。师生活动：教师介绍。环节三：性质探秘教学过程1：师：“杨辉三角”中蕴含着许多二项式系数规律，你能发现哪些？你能证明吗？设计意图：培养学生发现问题的能力、逻辑推理能力和抽象概括的能力；培养学生严谨的科学态度，数学的发现需要大胆猜测、小心求证。师生活动：教师引导，学生自主探究，通过观察、分析、归纳、猜想归纳总结。当遇到困难时，教师点拨或合作探究。性质归纳：对称性：每行两端都是1

；与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.

（运用组合数性质1证明）传递性：从第二行起，每行除1以外的每一个数都等于它肩上的两个数的和。（运用组合数性质2证明）增减性及最值：每一行的数都是先增后减，中间的数最大。（运用数列增减性证明方法证明）二项式系数和性质：各二项式系数的和为2n（运用二项式定理赋值证明）注：当学生对于③④两个性质难以发现时，教师引导：观察每一行的数有什么特点？每一行数的和是多少？当学生发现其他性质时，一一验证。教学过程2：从函数角度在探究二项式系数增减性与最值师:刚才的分析过程，我们是将二项式系数中n看作常数，r看作变量来思考的，所以从函数的角度，可以看成是以r为自变量的函数f(r)=，请问它的定义域是什么?从函数的角度分析这个函数的性质如何?（PPT展示n=5和n=6时函数f(r)=的图像。）师:n=7时二项式系数的最大值是什么?是第几项?n=8呢?(学生回答)设计意图:让学生从图像直观感知二项式系数的对称性、增减性与最大值，从而加深印象。师生活动:师生对话教学过程3:二项式系数和的证明与赋值法师引导：思考展开式中有哪些项？观察二项式系数的和与二项式定理有什么联系？如何根据不同的需要对a，b赋值？设计意图：引导学生利用赋值法推导各二项式系数的和，并掌握赋值法解题。师生活动：师生对话，将学生引向赋值法。学生自己动手操作，熟悉赋值法解题。教师总结：在二项式定理中，对a，b赋予一些特定的值，是解决二项式有关问题的一种重要方法。环节四：知识升华教学过程：用组合数的意义来解释二项式系数之和师引导：如何用组合数的意义来解释这个等式呢？之前学过的组合公式是用什么实际意义来解释的？设计意图：用转化的思想把二项式系数的证明转化为组合数的证明，把思路打开，深化理解。师生活动：师生对话，将学生引向组合的思想。师总结：还可以利用这个组合等式来解决集合的子集个数问题。环节五：课后作业教学过程：课堂性质小结，布置课后作业师：本节课，你都学习了什么？知识小结：二项式系数的性质思想方法小结：函数思想、数形结合思想、观察法、比较法、赋值法等设计意图：通过课堂的整理、总结与反思，使学生更好的掌握主干知识，体会探究过程中渗透的数学思想方法，再次感受我国古代数学成就，激励自己努力学习.师生活动：由学生小结本节课学到了哪些知识，哪些数学思想方法。课后作业：探究与发现杨辉三角中的更多奥妙.搜集资料，了解杨辉三角的历史和研究成果以及在实际生活中的应用。设计意图:多角度