第七章 万有引力与宇宙航行考点清单（解析版）

第七章万有引力与宇宙航行一、思维导图二、考点通关考点1行星的运动项目定律内容图示意义开普勒第一定律(轨道定律)所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上否定了行星圆形轨道的说法，建立了正确的轨道理论，给出了太阳准确的位置开普勒第二定律(面积定律)对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等描述了行星在其轨道上运行时，线速度的大小不断变化。解决了行星绕太阳运动的速度大小问题开普勒第三定律(周期定律)所有行星轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比都相等eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a3,T2)＝k))表明了行星公转周期与轨道半长轴间的关系，椭圆轨道半长轴越长的行星，其公转周期越长；反之，其公转周期越短2．行星运动的近似处理实际上，行星的轨道与圆十分接近，在中学阶段的研究中我们可按圆轨道处理。这样就可以说：(1)行星绕太阳运动的轨道十分接近圆，太阳处在圆心。(2)对某一行星来说，它绕太阳做圆周运动的角速度(或线速度)大小不变，即行星做匀速圆周运动。(3)所有行星轨道半径r的三次方跟它的公转周期T的二次方的比值都相等，即eq\f(r3,T2)＝k。注：处理行星绕太阳(恒星)的运动问题时，根据题意判断行星轨道是需要按椭圆轨道处理，还是按圆轨道处理，当题中说法是轨道半径时，则可按圆轨道处理。【典例1】（22-23高一下·安徽滁州·期中）如图所示，卫星A绕地球做匀速圆周运动，轨道半径为r。卫星B的轨迹为椭圆，其远地点在卫星A的轨道上，近地点距地面的高度与地球半径相比，可忽略不计。已知地球半径为R，不考虑其他天体对卫星A、B的影响，则A、B的周期之比约为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】由开普勒第三定律可得解得故选D。规律点拨(1)行星绕太阳运行的轨道严格来说不是圆而是椭圆，行星与太阳间的距离是不断变化的。不同行星轨道半长轴不同，即各行星的椭圆轨道不同，但太阳是所有椭圆轨道的共同焦点。(2)同一行星，当其离太阳较近的时候，运行的速度较大，而离太阳较远的时候速度较小。近日点、远日点分别是行星距离太阳的最近点、最远点，同一行星在近日点时速度最大，在远日点时速度最小。(3)开普勒行星运动定律不仅适用于行星绕太阳的运动，也适用于行星绕其他恒星的运动，还适用于卫星绕行星的运动。其中公式eq\f(a3,T2)＝k，对于同一中心天体，k的数值相同；对于不同的中心天体，k的数值不同。【变式训练1】（22-23高一下·河南郑州·期中）如图所示，海王星绕太阳沿椭圆轨道运动，P为近日点，Q为远日点，M、N为轨道短轴的两个端点，运行的周期为，若只考虑海王星和太阳之间的相互作用，则海王星在从P经过M、Q到N的运动过程中（）A．海王星运行轨道半长轴的三次方与其运行周期的平方之比等于月球运行轨道半长轴的三次方与其运行周期的平方之比B．卫星在Q点的角速度大于P点的角速度C．从P到M所用时间小于D．从P到Q阶段，速率逐渐变小【答案】CD【详解】A．海王星绕太阳运动，月球绕地球运动，中心天体质量不同，海王星和月球运行轨道半长轴的三次方与其运行周期的平方之比不相等，故A错误；B．P为近日点，Q为远日点，卫星在Q点的线速度小于P点的线速度，根据，卫星在Q点的角速度小于P点的角速度，故B错误；C．P为近日点，近日点线速度大，远日点线速度小，所以从P到M所用时间小于，故C正确；D．从P到Q阶段，从近日点运动至远日点，速率逐渐变小，故D正确。故选CD。考点2万有引力定律1．万有引力定律F＝Geq\f(m1m2,r2)，式中G为引力常量，在数值上等于两个质量都是1kg的质点相距1m时的相互吸引力。引力常量由英国物理学家卡文迪什在实验室中比较准确地测出。测定G值的意义：①引力常量的普适性成了万有引力定律正确性的有力证据；②使万有引力定律有了真正的实用价值。2．万有引力的特点普适性万有引力不仅存在于太阳与行星、地球与月球之间，宇宙间任何两个物体之间都存在着这种相互吸引的力相互性两个物体之间的万有引力是一对作用力和反作用力，总是大小相等，方向相反，作用在彼此上宏观性地面上的一般物体之间的万有引力比较小，与其他力比较可忽略不计，但在质量巨大的天体之间或天体与其附近的物体之间，万有引力的作用不可忽略3．应用公式F＝Geq\f(m1m2,r2)的注意事项(1)求两个质点间的万有引力，或者当两物体间距离远大于物体本身大小时，物体可看成质点，此时公式中的r表示两质点间的距离。(2)求两个质量分布均匀的球体间的万有引力时，公式中的r为两个球心间的距离。(3)求一个质量分布均匀的球体与球外一个质点间的万有引力时，r指质点到球心的距离。(4)对于两个不能看成质点的物体间的万有引力，不能直接用万有引力公式求解，切不可依据F＝Geq\f(m1m2,r2)得出r→0时F→∞的结论，违背公式的物理含义。【典例2】（多选）（21-22高三上·江西九江·期中）对于质量为m1和质量为m2的两个物体间的万有引力的表达式，下列说法正确的是（）A．若m1>m2，则m1对m2的引力大于m2对m1的引力B．两个物体间的引力总是大小相等，方向相反，是一对相互作用力C．公式中的G是引力常量，它是由实验得出的，而不是人为规定的D．当两个物体间的距离r趋于零时，万有引力趋于无穷大【答案】BC【详解】AB．相互作用的两个物体，两者的万有引力大小与质量的乘积与正比，并不是质量大的引力大，也不是质量小的引力小；m1和m2所受的万有引力大小总是相等的，方向相反，是一对作用力与反作用力。故A错误，B正确；C．公式中的G是引力常量，它是由卡文迪许通过实验得出的，而不是人为规定的，故C正确；D．当两物体间的距离趋向于零时，万有引力定律公式不再适用。故D错误。故选BC。【变式训练2】（多选）（22-23高一下·黑龙江佳木斯·期中）某行星的卫星A、B绕以其为焦点的椭圆轨道运行，作用于A、B的引力随时间的变化如图所示，其中，行星到卫星A、B轨道上点的距离分别记为rA、rB。假设A、B只受到行星的引力，下列叙述正确的是（）A．B与A的绕行周期之比为B．rB的最大值与rB的最小值之比为3：1C．rA的最大值与rA的最小值之比为3：2D．rB的最小值小于rA的最大值【答案】ABD【详解】A．由图可知，A、B的周期为所以B与A的绕行周期之比为故A正确；B．由图可知，当rB最小时卫星B受到的万有引力最大，有当rB最大时卫星B受到的引力最小，有所以rB的最大值与rB的最小值之比为故B正确；C．同理，当rA最小时卫星A受到的万有引力最大，，有当rA最大时卫星A受到的引力最小，，有所以rA的最大值与rA的最小值之比为故C错误；D．根据开普勒第三定律，有解得所以rB的最小值小于rA的最大值，故D正确。故选ABD考点3万有引力与重力的关系1．万有引力和重力的关系如图，地球对物体的万有引力F＝Geq\f(m地m,R2)可分解为F1、F2两个分力，其中F1为物体随地球自转做圆周运动的向心力Fn，F2就是物体的重力mg。所以重力是万有引力的一个分力，重力的大小mg≤Geq\f(m地m,R2)，重力的方向可能偏离地心。2．重力与纬度的关系地面上物体的重力随纬度的升高而变大。在南北两极和赤道上重力和引力的方向是一致的。在地球两极处重力就是引力，在赤道上，重力和引力不等，但在一条直线上。(1)赤道上：重力和向心力在一条直线上，F＝Fn＋mg，即Geq\f(m地m,R2)＝mω2r＋mg，所以mg＝Geq\f(m地m,R2)－mω2r。地球上任何一点自转的角速度都相等，同一物体赤道上的转动半径最大，需要的向心力最大，故物体在赤道上的重力是最小的。(2)两极处：因为向心力为零，所以mg＝F＝Geq\f(m地m,R2)，故物体在两极处的重力是最大的。3．重力与高度的关系由于地球的自转角速度很小，故地球自转带来的影响很小，一般情况下认为在地面附近：mg＝Geq\f(m地m,R2)。若距离地面的高度为h，则mg′＝Geq\f(m地m,R＋h2)(R为地球半径，g′为离地面h高度处的重力加速度)，可得g′＝eq\f(Gm地,R＋h2)＝eq\f(R2,R＋h2)g，所以距地面越高，物体的重力加速度越小，则物体所受的重力也越小。【典例3】（22-23高一下·山东泰安·期中）一宇航员在某未知星球的表面上做平抛运动实验：在离地面高处让小球以某一初速度水平抛出，他测出小球落地点与抛出点的水平距离和落地时间，又已知该星球的半径为，引力常量为，若不考虑星球自转的影响，求：（最后结果必须用题中已知物理量表示）（1）小球抛出的初速度大小；（2）该星球表面的重力加速度；（3）该星球的质量。【答案】（1）；（2）；（3）【详解】（1）设小球抛出的初速度大小为，则有解得（2）设该星球表面的重力加速度为，则有解得（3）在星球表面上，由万有引力等于物体的重力，得解得该星球的质量为【变式训练3】（22-23高一下·黑龙江哈尔滨·期中）2022年11月30日，我国六名航天员在空间站首次“太空会师”，向世界展示了中国航天工程的卓越能力。中国空间站已基本成型，质量约91吨，它在离地面高度约400km的轨道上绕地球做近似的匀速圆周运动，已知地球半径约为6400km，地球表面重力加速度为，则地球对空间站的万有引力约为（）A． B． C． D．【答案】C【详解】在地球表面，万有引力近似等于重力，有地球对空间站的万有引力为代入数据解得故选C。【答案】B【解析】由万有引力定律得物体在“两极”处有Geq\f(Mm,R2)＝1.1mg，在赤道处有Geq\f(Mm,R2)－mg＝mω2R，联立以上两式解得，该行星自转的角速度为ω＝eq\r(\f(GM,11R3))，B正确，A、C、D错误。考点4天体质量和密度的计算1．天体质量的计算(1)重力加速度法若已知天体(如地球)的半径R及其表面的重力加速度g，根据在天体表面上物体的重力近似等于天体对物体的万有引力，得mg＝Geq\f(Mm,R2)，解得天体的质量为M＝eq\f(gR2,G)，g、R是天体自身的参量，所以该方法俗称“自力更生法”。(2)环绕法借助环绕中心天体做圆周运动的行星(或卫星)计算中心天体的质量，俗称“借助外援法”。常见的情况如下：万有引力提供向心力中心天体的质量说明Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)M＝eq\f(rv2,G)r为行星(或卫星)的轨道半径，v、ω、T为行星(或卫星)绕中心天体运动的线速度、角速度和周期Geq\f(Mm,r2)＝mω2rM＝eq\f(ω2r3,G)Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)rM＝eq\f(4π2r3,GT2)2．天体密度的计算方法一：若天体的半径为R，由“重力加速度法”可知天体的质量为M＝eq\f(gR2,G)，那么由ρ＝eq\f(M,V)及V＝eq\f(4,3)πR3求得天体的密度ρ＝eq\f(3g,4πRG)。方法二：若中心天体的半径为R，由“环绕法”可知中心天体的质量M＝eq\f(4π2r3,GT2)(r、T为环绕天体的轨道半径和公转周期)，那么由ρ＝eq\f(M,V)及V＝eq\f(4,3)πR3求得中心天体的密度ρ＝eq\f(3πr3,GT2R3)。当行星(或卫星)环绕中心天体表面运动时，其轨道半径r等于天体半径R，则ρ＝eq\f(3π,GT2)。ρ＝eq\f(3π,GT2)给出了一种简单地求中心天体密度的方法，但是要注意这里的T是环绕中心天体表面运动时对应的周期，而不是在其他轨道上运动时的周期，也不是随中心天体自转的周期。注意区分R、r、h的意义，一般情况下，R指中心天体的半径，r指行星(或卫星)的轨道半径，h指卫星距离行星表面的高度，r＝R＋h。【典例4】（22-23高一下·河南·期中）2020年11月24日成功发射的“嫦娥五号”是中国首个实施无人月面取样返回的月球探测器。已知月球半径为R，地心与月球中心之间的距离为r，月球绕地球做圆周运动的公转周期为，“嫦娥五号”探测器绕近月轨道做圆周运动的周期为，引力常量为G，由以上条件可知（）A．月球质量为 B．地球质量为C．月球的密度为 D．地球的密度为【答案】C【详解】AC．“嫦娥五号”探测器绕近月轨道做圆周运动，万有引力提供向心力有解得月球质量为又有则月球的密度为故A错误，C正确；BD．月球绕地球做圆周运动，万有引力提供向心力有解得地球质量为又有解得地球的密度为地球半径未知，地球密度不可求，故BD错误。故选C。【变式训练4】（22-23高三上·云南保山·期中）2018年2月，我国口径射电望远镜（天眼）发现毫秒脉冲星“J0318+0253”，其自转周期为T，假设星体为质量均匀分布的球体，已知万有引力常量为G。以周期T稳定自转的星体的密度最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】毫秒脉冲星恰好稳定自转时由万有引力提供其表面物体做圆周运动的向心力，根据解得脉冲星体积为所以密度最小值为故选C。规律总结：利用环绕法只能求中心天体质量，而不能求环绕中心天体运行的卫星(或行星)的质量。考点5天体运动中各物理量与轨道半径的关系1．天体运动的分析与计算(1)基本思路：行星绕太阳的运动和卫星绕地球的运动一般情况可看作匀速圆周运动，所需向心力由太阳或地球这样的中心天体对它的万有引力提供，即F引＝F向。(2)常用关系：①Geq\f(Mm,r2)＝ma＝meq\f(v2,r)＝mω2r＝meq\f(4π2,T2)r。②忽略自转时，Geq\f(Mm,R2)＝mg(物体在天体表面时受到的万有引力等于物体重力)，整理可得：GM＝gR2，该公式通常被称为“黄金代换式”，即当GM不知道时，可以用gR2来代换GM。2．天体运动中的各物理量与轨道半径的关系设质量为m的天体绕另一质量为M的中心天体做半径为r的匀速圆周运动。(1)由Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)得v＝eq\r(\f(GM,r))，r越大，v越小。(2)由Geq\f(Mm,r2)＝mω2r得ω＝eq\r(\f(GM,r3))，r越大，ω越小。(3)由Geq\f(Mm,r2)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))2r得T＝2πeq\r(\f(r3,GM))，r越大，T越大。(4)由Geq\f(Mm,r2)＝ma得a＝eq\f(GM,r2)，r越大，a越小。以上结论可总结为：“一定四定(即：r定了，v、ω、T、a都定了)，越远越慢(即：r越大，v、ω、a越小，T越大)”。【典例5】（22-23高一下·黑龙江佳木斯·期中）人造卫星以地心为圆心，做匀速圆周运动，下列说法正确的是（）A．半径越大，环绕速度越小，周期越大B．半径越大，环绕速度越大，周期越小C．卫星的向心加速度与它的质量有关D．卫星的向心加速度与质量、半径均无关【答案】A【详解】AB．根据周期半径越大，环绕速度越小，周期越大，故A正确，B错误；CD．根据卫星的向心加速度与它的质量无关，与半径有关，故CD错误。故选A。【变式训练5】（23-24高一下·内蒙古通辽·期中）据报道，天文学家近日发现了一颗距地球40光年的“超级地球”，名为“55Cancrie”。该行星绕母星（中心天体）运行的周期约为地球绕太阳运行周期的，母星的体积约为太阳的60倍。假设母星与太阳密度相同，“55Cancrie”与地球均做匀速圆周运动，则“55Cancrie”与地球的（）。A．轨道半径之比约为 B．轨道半径之比约为C．向心加速度之比约为 D．向心加速度之比约为【答案】B【详解】因为母星的体积为太阳的60倍。假设母星与太阳密度相同，所以母星的质量时太阳的60倍，根据万有引力提供向心力有解得，行星绕母星（中心天体）运行的周期约为地球绕太阳运行周期的，则，故选B。规律总结：(1)由于某个因素的影响使卫星的轨道半径发生缓慢的变化时，因半径变化缓慢，故卫星每一周的运动仍可以看成是匀速圆周运动。(2)环绕同一中心天体运动的行星(或卫星)的线速度v、角速度ω、周期T、加速度a均由中心天体的质量及行星(或卫星)的轨道半径r确定。中心天体质量给定时，已知v、ω、T、a、r中的一个，即可求解出其他四个量。考点6双星及多星问题1．双星系统的特点(1)两颗星体各自所需的向心力由彼此间的万有引力相互提供(如图)，即Geq\f(m1m2,L2)＝m1ω2r1＝m2ω2r2。(2)两颗星体的运动周期及角速度都相同，即T1＝T2，ω1＝ω2。(3)两颗星体的轨道半径与它们之间距离的关系为：r1＋r2＝L。2．多星系统在宇宙中存在“三星”“四星”等多星系统，在多星系统中：(1)各个星体做圆周运动的周期、角速度相同。(2)某一星体做圆周运动的向心力是由其他星体对它的万有引力的合力提供的。【典例6】（22-23高一下·福建龙岩·期末）中国天眼FAST已发现约500颗脉冲星，成为世界上发现脉冲星效率最高的设备，如在球状星团M92第一次探测到“红背蜘蛛”脉冲双星。如图，距离为L的A、B双星绕它们连线上的某点O在二者万有引力作用下做匀速圆周运动，运动周期为T，万有引力常量为G，则双星总质量为（

）

A． B． C． D．【答案】C【详解】双星A、B之间的万有引力提供向心力，有其中联立解得故选C。【变式训练6】（22-23高一下·吉林延边·期中）“双星系统”由两颗相距较近的恒星组成，每个恒星的线度远小于两个星体之间的距离，而且双星系统一般远离其他天体。如图所示，两颗星球组成的双星，在相互之间的万有引力作用下，绕连线上的O点做周期相同的匀速圆周运动。现测得两颗星之间的距离为L，质量之比为m1：m2＝3：2。则可知（）A．m1、m2做圆周运动的线速度之比为3：2B．m1、m2做圆周运动的角速度之比为2：3C．m1做圆周运动的半径为LD．其他条件不变,只两颗星之间的距离增大时两颗星的周期变小【答案】C【详解】ABC．根据万有引力提供向心力解得因为双星靠相互间的万有引力提供向心力，即向心力大小相等，具有相同的角速度，根据可得线速度之比为2：3，又得故AB错误，C正确；D．根据化简可得两式相加，得解得所以其他条件不变,只两颗星之间的距离增大时，周期增大，故D错误。故选C。规律总结：木星的质量为M木＝1.8982×1027kg，木星与太阳的平均距离为d木＝7.78×108km，而太阳的质量为M日＝1.9891×1030kg，半径为R日＝6.955×105km，由此可算出木星与太阳组成的双星系统中，太阳的轨道半径为r日＝eq\f(M木,M木＋M日)d木＝7.4×105km≈R日≪d木，木星的轨道半径r木＝eq\f(M日,M木＋M日)d木＝7.77×108km≈d木，该双星系统的环绕中心几乎在太阳上，所以木星与太阳组成的系统可看成以太阳为中心的单星系统。由上述分析可知，双星系统中质量越大其轨道半径越小，因为木星的质量是太阳系其他行星质量之和的2.5倍，所以一般上可认为太阳系是单星系统。考点7宇宙速度1．对三种宇宙速度的理解(1)第一宇宙速度：是物体在地球附近绕地球做匀速圆周运动的速度，也是人造地球卫星的最小发射速度，其大小为7.9km/s。(2)第二宇宙速度：在地面附近发射飞行器，使之能够克服地球的引力，永远离开地球的最小发射速度，其大小为11.2km/s。(3)第三宇宙速度：在地面附近发射飞行器，使其挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系外的最小发射速度，其大小为16.7km/s。2．第一宇宙速度的推导已知地球的质量为m地＝5.98×1024kg，近地卫星的轨道半径近似等于地球半径R＝6.4×106m，重力加速度g＝9.8m/s2。思路一：万有引力提供向心力，由Geq\f(mm地,R2)＝meq\f(v2,R)得v＝eq\r(\f(Gm地,R))＝7.9km/s。思路二：由mg＝meq\f(v2,R)得v＝eq\r(gR)＝7.9km/s。说明：由第一宇宙速度的两种表达式可知，第一宇宙速度的大小由地球决定。其他天体的第一宇宙速度可以用v＝eq\r(\f(GM,R))或v＝eq\r(g天体R)表示，式中G为引力常量，M为天体的质量，g天体为天体表面的重力加速度，R为天体的半径。3．发射速度与环绕速度(1)当v发＝7.9km/s时，卫星在地球表面附近绕地球做匀速圆周运动。(2)当7.9km/s<v发<11.2km/s时，卫星绕地球在椭圆轨道运动，且发射速度越大，卫星的轨道半长轴越大，在近地点速度越大，在远地点速度越小。(3)当11.2km/s≤v发<16.7km/s时，卫星绕太阳转动成为太阳系的一颗“小行星”，或绕太阳系内其他星体运动。(4)当v发≥16.7km/s时，卫星可以挣脱太阳引力的束缚到达太阳系以外的空间。【典例7】（22-23高一下·陕西西安·期中）我国“嫦娥奔月”工程已开始实施，若宇航员将质量为m的金属球带到月球上，用弹簧测力计测得重力为G′，月球半径为R，据上述信息推断，飞船在月球表面附近绕月球做匀速圆周运动应具有的速率为（）A． B． C． D．【答案】A【详解】设月球表面重力加速度为，根据题意有设飞船在月球表面附近绕月球做匀速圆周运动的线速度大小为，则有联立解得故选A。【变式训练7】（2023高二·辽宁沈阳·学业考试）如图所示，牛顿在思考万有引力定律时就曾设想，把物体从高山上O点以不同的速度v水平抛出，速度一次比一次大，落地点也就一次比一次远。如果速度足够大，物体就不再落回地面，它将绕地球运动，成为人造地球卫星，则下列说法正确的是（）A．以的速度抛出的物体可能落在A点B．以的速度抛出的物体将沿B轨道运动C．以的速度抛出的物体可能沿B轨道运动D．以的速度抛出的物体可能沿C轨道运动【答案】A【详解】AB．物体抛出速度v<7.9km/s时必落回地面，物体抛出速度v＝7.9km/s时，物体刚好能不落回地面，绕地球做圆周运动，故A正确，B错误；C．当物体抛出速度7.9km/s<v<11.2km/s时，物体在抛出点做离心运动，但物体不能脱离地球引力束缚，故物体做椭圆运动，可能沿C轨道运动，故C错误；D．当物体抛出速度v>11.2km/s时，物体会脱离地球引力束缚，不可能沿C轨道运动，故D错误。故选A。考点8人造地球卫星1．人造地球卫星(1)轨道形状①椭圆轨道：地心位于椭圆的一个焦点上。②圆轨道：卫星绕地球做匀速圆周运动，卫星所需的向心力由地球对它的万有引力提供，由于万有引力指向地心，所以卫星的轨道圆心必然是地心，即卫星在以地心为圆心的轨道上绕地球做匀速圆周运动。(2)轨道位置：过地心，与地心在同一平面。可以在赤道平面内(赤道轨道)，可以通过两极上空(极地轨道)，也可以和赤道平面成任意角度。(3)运行规律人造地球卫星绕地球做圆周运动时，地球对卫星的万有引力提供向心力，由Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)＝mω2r＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))2r＝ma，可得v＝eq\r(\f(GM,r))、ω＝eq\r(\f(GM,r3))、T＝2πeq\r(\f(r3,GM))、a＝eq\f(GM,r2)，所以卫星的v、ω、a随r的增大而减小，周期T随r的增大而增大。2．地球同步卫星(1)定义：周期与地球自转周期相同的卫星。(2)同步卫星的特点：五个“一定”①周期一定：同步卫星的运转周期与地球自转周期相同，即T＝24h。②角速度大小一定：同步卫星绕行的角速度大小等于地球自转的角速度大小。③高度一定：同步卫星高度约为3.6×104km。由Geq\f(Mm,r2)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))2r知，r＝eq\r(3,\f(GMT2,4π2))。由于T一定，故r一定，而r＝R＋h，R为地球半径，则h＝eq\r(3,\f(GMT2,4π2))－R。又因GM＝gR2，代入数据T＝24h＝86400s，g取9.8m/s2，R＝6.4×106m，得h≈3.6×104km。④线速度大小一定：同步卫星的环绕速度大小为3.1×103m/s。设其运行速度为v，由于Geq\f(Mm,R＋h2)＝meq\f(v2,R＋h)，所以v＝eq\r(\f(GM,R＋h))＝eq\r(\f(gR2,R＋h))＝3.1×103m/s。⑤向心加速度大小一定：同步卫星的向心加速度等于轨道处的重力加速度(0.23m/s2)。由Geq\f(Mm,R＋h2)＝ma得a＝Geq\f(M,R＋h2)＝gh＝0.23m/s2。注：一种特殊的地球同步卫星——静止卫星，还具有以下两个特点：①绕行方向一定：静止卫星的绕行方向与地球自转方向一致，即自西向东。②轨道平面一定：所有的静止卫星都在赤道的正上方，其轨道平面与赤道平面重合。3．卫星的追及相遇问题的分析如果有两颗卫星在同一轨道平面内两个不同轨道上同向绕地球做匀速圆周运动，a卫星的角速度为ωa，b卫星的角速度为ωb，某时刻两卫星正好同时通过地面同一点正上方，相距最近，如图甲所示；当它们转过的角度之差Δθ＝π，即满足ωaΔt－ωbΔt＝π时，两卫星第一次相距最远，如图乙所示。两卫星相距最远的条件是ωaΔt－ωbΔt＝(2n＋1)π(n＝0,1,2…)，相距最近的条件是ωaΔt－ωbΔt＝2nπ(n＝0,1,2…)。【典例8】（22-23高一下·江西萍乡·期中）有a、b、c、d四颗地球卫星，a还未发射，在地球赤道上随地球表面一起转动，b处于地面附近的近地轨道上做圆周运动，c是地球同步卫星，d是高空探测卫星，各卫星排列位置如图所示，则下列说法错误的是（）

A．a的向心加速度大于b的向心加速度 B．b在相同时间内转过的弧长最长C．c在4h内转过的圆心角是 D．d的运动周期一定大于一天【答案】A【详解】A．地球同步卫星的角速度与地球自转的角速度相同，可知a与c的角速度相同，由，可知a的向心加速度小于c的向心加速度，对于b和c，由牛顿第二定律可得可知卫星的轨道半径越大，向心加速度越小，c的向心加速度小于b的向心加速度，则有a的向心加速度小于b的向心加速度，A错误，符合题意；

B．对于在轨运行的卫星，由万有引力提供向心力可得解得可知轨道半径越大，线速度越小，则有，又，可知，则有b的线速度最大，b在相同时间内转过的弧长最长，B正确，不符合题意；

C．c是地球同步卫星，周期是24h，则在4h内转过的圆心角C正确，不符合题意；

D．由开普勒第三定律，可知卫星的轨道半径越大，周期越大，可知d的运动周期大于c的周期24h，即d的运动周期一定大于一天，D正确，不符合题意。故选A。【变式训练8】（22-23高一下·浙江嘉兴·期中）2021年4月29日，长征运载火箭在海南文昌成功将空间站“天和”核心舱送入高度约400km的预定轨道，中国空间站在轨组装建造全面展开。今年还将发射“问天”和“梦天”两个实验舱，完成与核心舱对接，并再发射“天舟”货运飞船、“神舟”载人飞船各两艘，为空间站送去乘组和物资，最终完成中国第一座空间站“天宫”的建造。下列说法正确的是（）

A．空间站绕地稳定飞行，其内宇航员处于完全失重状态B．空间站绕地飞行周期大于24小时C．空间站绕地飞行速度大于第一宇宙速度D．要实现实验舱与核心舱的对接，需要把实验舱送入核心舱轨道后再加速追上核心舱【答案】A【详解】A．空间站绕地稳定飞行，重力刚好提供向心力，其内宇航员处于完全失重状态，故A正确；BC．根据万有引力提供向心力可得可得，空间站绕地飞行周期小于同步卫星周期，则空间站绕地飞行周期小于24小时；空间站绕地飞行速度小于近地卫星飞行速度，则空间站绕地飞行速度小于第一宇宙速度，故BC错误；D．把实验舱送入核心舱轨道后再加速，实验舱将做离心运动变轨到更高的轨道，不可能追上核心舱，故D错误。故选A。规律总结：同步卫星、近地卫星和赤道上物体的运动比较(1)同步卫星和近地卫星都是万有引力提供向心力，即都满足eq\f(GMm,r2)＝meq\f(v2,r)＝mω2r＝meq\f(4π2,T2)r＝man。由上式比较各运动参量的大小关系，即r越大，v、ω、an越小，T越大。(2)同步卫星与赤道上随地球自转的物体的共同点是具有相同的角速度大小和周期。赤道上物体不是卫星，赤道上物体随地球自转的向心力只是地球对物体的万有引力的一个分力，即Geq\f(Mm,R2)＝mg＋mω2R，由圆周运动的规律v＝ωr，an＝ω2r，比较同步卫星和赤道上物体的线速度大小和向心加速度大小。(3)当比较近地卫星和赤道上物体的运动时，往往借助同步卫星这一纽带。考点9卫星变轨问题1．人造卫星沿圆轨道和椭圆轨道运行的条件如图所示，设卫星的速度为v，卫星到地心的距离为r，卫星以速度v绕地球做圆周运动所需要的向心力为F向＝meq\f(v2,r)，卫星所受地球的万有引力F＝Geq\f(Mm,r2)。当F＝F向时，卫星将做圆周运动。当F<F向时，卫星将做离心运动，沿椭圆轨道运动。当F>F向时，卫星将做近心运动，沿椭圆轨道运动。2．人造卫星的变轨卫星由低轨道变到高轨道必须加速，由高轨道变到低轨道必须减速。如图所示，卫星在圆轨道Ⅰ上稳定运行时，Geq\f(Mm,r\o\al(2,A))＝meq\f(v\o\al(2,A),rA)(rA为A点到地心的距离)。若要使卫星变轨到椭圆轨道Ⅱ上运行，则使卫星运动到圆轨道Ⅰ上的A点时加速，万有引力不足以提供向心力，卫星做离心运动，变轨到椭圆轨道Ⅱ上运动。若要使卫星在圆轨道Ⅲ上运行，则当卫星在椭圆轨道Ⅱ上运动到B点时，必须在B点再次加速。反之，则需要减速。3．飞船对接问题(1)低轨道飞船与高轨道空间实验室对接时，如图甲所示，让低轨道飞船通过合理地加速，沿椭圆轨道追上高轨道空间实验室与其完成对接。(2)同一轨道飞船与空间实验室对接时，如图乙所示，通常使后面的飞船先减速降低高度，再加速提升高度，通过适当控制，使飞船追上空间实验室时恰好具有相同的速度。【典例9】（22-23高一下·广东深圳·期中）中国在2022年发射的实践二十一号（SJ-21）卫星，实施了一项“太空城管”的“轨道清扫”任务，捕获并拖走了一颗失效的北斗二号地球同步轨道卫星。发射地球同步卫星的过程如图所示，卫星首先进入椭圆轨道Ⅰ，然后在Q点通过改变卫星速度，让卫星进入地球同步轨道Ⅱ，则（）

A．卫星在同步轨道Ⅱ上的运行速度可能大于7.9km/sB．卫星在Q点通过减速实现由轨道Ⅰ进入轨道ⅡC．在轨道Ⅰ上，卫星在P点的加速度小于在Q点的加速度D．在Q点，卫星在轨道Ⅰ时的加速度等于在轨道Ⅱ时的加速度【答案】D【详解】A．第一宇宙速度是环绕地球做圆周运动的所有卫星的最大速度，则卫星在同步轨道Ⅱ上的运行速度不可能大于7.9km/s，选项A错误；B．卫星在Q点通过加速做离心运行实现由轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ，选项B错误；C．在轨道Ⅰ上，根据可知，卫星在P点的加速度大于在Q点的加速度，选项C错误；D．根据可知，在Q点，卫星在轨道Ⅰ时的加速度等于在轨道Ⅱ时的加速度，选项D正确。故选D。【变式训练9】（22-23高一下·山东青岛·期中）飞天揽月，奔月取壤，“嫦娥五号”完成了中国航天史上一次壮举。如图所示为“嫦娥五号”着陆月球前部分轨道的简化示意图，Ⅰ是地月转移轨道，Ⅱ、Ⅲ是绕月球运行的椭圆轨道，Ⅳ是绕月球运行的圆形轨道。P、Q分别为椭圆轨道Ⅱ的远月点和近月点。已知圆轨道Ⅳ到月球表面的距离为h，月球半径为R，月球表面的重力加速度为，不考虑月球的自转。下列关于“嫦娥五号”的说法正确的是（）

A．由Ⅰ轨道进入Ⅱ轨道，需在P点向后喷气B．由Ⅱ轨道进入Ⅲ轨道，需在Q处向后喷气C．在Ⅲ轨道上的动能一定比在Ⅳ轨道上的动能小D．在Ⅳ轨道上绕月运行的速度大小为【答案】D【详解】AB．由Ⅰ轨道进入Ⅱ轨道，需在P处向前喷气制动减速，由Ⅱ轨道进入Ⅲ轨道，需在Q处向前喷气制动减速，故AB错误；C．由轨道Ⅲ到轨道Ⅳ，要在Q点制动减速，则此时在Ⅲ轨道上的动能比在Ⅳ轨道上的动能大，故C错误；D．在月球表面时，有在Ⅳ轨道上绕月运行时，有解得速度大小为故D正确。故选D。规律总结：卫星变轨问题中速度、加速度大小变化的判断方法(1)根据v＝eq\r(\f(GM,r))(“越远越慢”)判断卫星在不同圆轨道上运行速度大小。(2)根据开普勒第二定律或一般曲线运动的动力学分析，判断卫星在同一椭圆轨道上不同点的速度大小。(3)根据离心运动或近心运动的条件分析判断卫星由圆轨道进入椭圆轨道或由椭圆轨道进入圆轨道时的速度大小如何变化。(4)根据a＝eq\f(F,m)＝eq\f(GM,r2)判断卫星的加速度大小。考点10相对论时空观在牛顿力学理论与电磁波理论的矛盾与冲突面前，一些物理学家仍坚持原有理论的基础观念，进行一些修补的工作，而爱因斯坦、庞加莱等人则主张彻底放弃某些与实验和观测不符的观念，如绝对时间的概念，提出能够更好地解释实验事实的假设。爱因斯坦假设：(1)在不同的惯性参考系中，物理规律的形式都是相同的。(2)真空中的光速在不同的惯性参考系中大小都是相同的。在爱因斯坦假设的基础上，可得出“同时”的相对性、时间延缓效应、长度收缩效应等结论。1．“同时”的相对性假设一列火车沿平直轨道飞快地匀速行驶。车厢中央的光源发出了一个闪光，闪光照到了车厢的前壁和后壁。车上的观察者以车厢为参考系，因为车厢是个惯性系，光向前、后传播的速率相同，光源又在车厢的中央，闪光当然会同时到达前后两壁(图甲)。对于车下的观察者来说，他以地面为参考系，因闪光向前、后传播的速率对地面也是相同的，在闪光飞向两壁的过程中，车厢向前行进了一段距离，所以向前的光传播的路程长些。他观测到的结果应该是：闪光先到达后壁，后到达前壁(图乙)。因此，这两个事件不是同时发生的。2．对时间延缓、长度收缩效应的理解(1)Δt＝eq\f(Δτ,\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(v,c)))2))表明Δt>Δτ，即时间间隔变长，时钟变慢。非但如此，惯性系中的一切物理、化学和生命过程都变慢了。这种时间的变化是相对的，如果两个观察者做相对运动，他们都会认为对方所在参考系的时间变慢了。(2)对于l＝l0eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(v,c)))2)，只适用于沿杆的运动方向上。在垂直于杆的运动方向上，杆的长度没有变化。这种长度的变化是相对的，如果两条平行的杆沿长度方向做相对运动，与它们一起运动的两位观测者都会认为对方的杆缩短了。(3)时间间隔、长度的变化都是由于物体的相对运动引起的一种观测效应，它与所选的参考系有关，而物体