常微分方程答案-一二章

MACROBUTTONMTEditEquationSection2SEQMTEqn\r\hSEQMTSec\r1\hSEQMTChap\r1\h习题1.24.给定一阶微分方程，(1).求出它的通解；(2).求通过点的特解；(3).求出与直线相切的解；(4).求出满足条件的解；(5).绘出(2),(3),(4)中的解得图形。解：(1).通解显然为；(2).把代入得，故通过点的特解为；(3).因为所求直线与直线相切，所以只有唯一解，即只有唯一实根，从而，故与直线相切的解是；(4).把代入即得，故满足条件的解是；(5).图形如下：5.求下列两个微分方程的公共解：解：由可得所以或，代入原微分方程满足，而代入原微分方程不满足，故所求公共解是代入原微分方程不满足。6.求微分方程的直线积分曲线。解：设所求直线积分曲线是，则将其代入原微分方程可得所以所求直线积分曲线是或。8.试建立分别具有下列性质的曲线所满足的微分方程：(2).曲线上任一点的切线介于两坐标轴之间的部分等于定长；(5).曲线上任一点的切线的纵截距等于切点横坐标的平方。解：因为过点的切线的横截距和纵截距分别为和，故(2).；(5).。习题2.11.求下列方程的解：(2).，并求满足初值条件的特解；解：当，分离变量，得两边同时积分，得两边同时积分，得所求通解是2.作适当的变量变换求解下列方程：(1).解：令，则原方程化为两边同时积分，得将代入，得原方程的通解是即(3).解：因为令，则原方程化为再令，得两边同时积分，得将代入，得原方程的通解是(7).解：原方程可化为令，则原方程化为再令，得用分离变量法求解，得将代入，得原方程的通解是习题2.21.求下列方程的解：(5).；解：原方程可化为：对应的齐次方程为，用变量分离法求得其解为。令GOTOBUTTONZEqnNum320849REFZEqnNum320849\!(4)的解为，则将其代入GOTOBUTTONZEqnNum320849REFZEqnNum320849\!(4)可得所以原方程的通解为(8).；解：当时，原方程可化为：这是未知函数为的非齐次线性方程，对应的齐次方程为，用变量分离法求得其解为。令GOTOBUTTONZEqnNum503094REFZEqnNum503094\!(5)的解为，则将其代入GOTOBUTTONZEqnNum503094REFZEqnNum503094\!(5)可得所以GOTOBUTTONZEqnNum503094REFZEqnNum503094\!(5)的通解为又也是原方程的解，故原方程的通解为和(12).；解：原方程可化为：这是的Bernoulli方程。当时，GOTOBUTTONZEqnNum394809REFZEqnNum394809\!(6)两边同时除以，得令，则其对应的齐次方程的解为，令GOTOBUTTONZEqnNum766769REFZEqnNum766769\!(7)的解为，则将其代入GOTOBUTTONZEqnNum766769REFZEqnNum766769\!(7)可得所以GOTOBUTTONZEqnNum766769REFZEqnNum766769\!(7)的通解为将代入，得。又也是原方程的解，故原方程的通解为和(13).；解：原方程可化为：这是的Bernoulli方程，GOTOBUTTONZEqnNum665449REFZEqnNum665449\!(8)两边同时乘以，得令，则其对应的齐次方程的解为，令GOTOBUTTONZEqnNum737569REFZEqnNum737569\!(9)的解为，则将其代入GOTOBUTTONZEqnNum737569REFZEqnNum737569\!(9)可得所以GOTOBUTTONZEqnNum737569REFZEqnNum737569\!(9)的通解为将代入，得原方程的通解为(16).；解：原方程两边同时对求导可得在原方程中，当时，。故原方程等价于Cauchy问题由常数变易法易得的通解为，再由可得，故Cauchy问题GOTOBUTTONZEqnNum869187REFZEqnNum869187\!(10)的解为，这也是原方程的解。习题2.31.验证下列方程是恰当方程，并求出方程的解：(2).；解：因为，所以故原方程是恰当方程。令函数满足，则由可得再由可得所以，故原方程的通解是(2).；解：因为，所以故原方程是恰当方程。令函数满足，则由可得再由可得所以，故原方程的通解是2.求下列方程的解：(4).；解：原方程两边同时除以，得所以原方程的通解是(6).；解：因为，所以原方程不是恰当的。由可得积分因子，原方程两边同时乘以，得即所以故原方程的通解是(8).；解：因为，所以原方程不是恰当的。由可得积分因子，原方程两边同时乘以，得即所以此即为原方程的通解。5.试证齐次微分方程当时有积分因子。证明：齐次微分方程两边同时乘以得所以原方程可化为。因为原方程是齐次方程，故可设令，则又因为所以从而故是齐次微分方程当时的积分因子。习题2.41.求解下列方程：(1).；解：当时，原方程可化为令，则，两边对求导，得即又时，原方程恒不成立，所以原方程的参数形式的通解是(3).；解：令，则，两边对求导，得所以或所以原方程的通解是和习题2.51.求解下列方程：(3).；解：原方程两边同时乘以，得令，则用常数变易法易得其解为，故原方程的通解为(11).；解：原方程可化为由可得，这是一个恰当方程，即所以原方程通解为(19).；解：令，则由原方程可得，故原方程可化为两边对求导，得所以或又时，原方程恒不成立，所以原方程的参数形式的通解是和(29).；解：令，则，故所以原方程通解为习题3.11.求方程通过点(0,0)的第三次近似解。解：，令，则为所求的第三次近似解。3.求初值问题的解的存在区间，并求第二次近似解，给出在解的存在空间的误差估计。解：因为，，，所以，从而解得存在区间为，即。又因为在上连续，且由可得在上关于满足Lipschitz条件，所以Cauchy问题GOTOBUTTONZEqnNum567725REFZEqnNum567725\!(12)在有唯一解。令，则误差为：10.给定积分方程(*)其中是上的已知连续函数，是，上的已知连续函数。证明当足够小时(是常数)，(*)在上存在唯一的连续解。证明：分四个步骤来证明。㈠.构造逐步逼近函数序列由是上的连续函数可得在上连续，故再由是，上的连续函数可得在上连续，由数学归纳法易证在上连续。㈡.证明函数列在上一致收敛。考虑级数由知，的一致收敛性与级数GOTOBUTTONZEqnNum271173REFZEqnNum271173\!(13)的一致收敛性等价。令，。由GOTOBUTTONZEqnNum271173REFZEqnNum271173\!(13)有所以假设对正整数，有不等式则所以GOTOBUTTONZEqnNum375706REFZEqnNum375706\!(14)对任意正整数都成立。因为为正项级数，且当足够小时，故收敛，从而由Weierstrass判别法，级数一致收敛，故级数GOTOBUTTONZEqnNum271173REFZEqnNum271173\!(13)一致收敛，所以函数列在上一致收敛。㈢.证明是积分方程(*)在上的连续解。因为由㈠和㈡可得在上连续，在上一致收敛，故在上连续，且函数列在上一致收敛，所以对两边取极限可得从而所以是积分方程(*)在上的连续解。㈣.证明是积分方程(*)在上的唯一解。设是积分方程(*)在上的另一连续解，则令，则对都成立，上式两边对取最大值可得如果，则由上式有这与GOTOBUTTONZEqnNum966488REFZEqnNum966488\!(15)矛盾，故，即，所以，从而是积分方程(*)在上的唯一解。证毕。习题3.21.求的解的存在区间及延拓解的饱和区间。解：对任意充分大的，令，则在上连续且关于满足Lipschitz条件，故GOTOBUTTONZEqnNum197541REFZEqnNum197541\!(16)存在唯一解。由可得，解的存在区间为，。由于充分大，故存在充分小的，使得GOTOBUTTONZEqnNum197541REFZEqnNum197541\!(16)的解的存在区间为。由于在上连续和关于满足局部Lipschitz条件，故解，可延拓。又当时，；时，，故由推论，延拓解的饱和区间为。习题4.13.已知齐次线性微分方程的基本解组，求下列方程对应的非齐次线性微分方程的通解：(2)解：令所求通解为则所以，所求通解为(5)解：令所求通解为则所以，所求通解为4.已知方程有基本解组为，试求此方程适合初值条件及的基本解组（称为标准基本解组，即有），并由此求出方程的适合初值条件的解。解：因为是方程的基本解组，故的通解为由可得，由可得，又和线性无关，所以适合初值条件及的基本解组为，，从而的通解又可表示为故由可得，于是适合初值条件的解为习题4.22.求解下列常系数线性微分方程：(1)解：特征方程：特征根：基本解组：所求通解：(2)解：特征方程：特征根：基本解组：所求通解：(3)解：特征方程：特征根：基本解组：所求通解：(4)解：特征方程：特征根：基本解组：所求通解：(5)（属于类型Ⅰ）解：齐次方程：特征方程：特征根：当，齐次方程通解：，此时0不是特征根，故设特解为，将其代入原方程可得，从而特解为，所以所求通解：当，0是二重特征根，故齐次方程通解：，设特解为，则将其代入原方程可得，从而特解为，所以所求通解：(6)（属于类型Ⅰ）解：齐次方程：特征方程：特征根：齐次方程通解：0不是特征根，故设特解为，将其代入原方程可得，从而特解为，所以所求通解：(7)（属于类型Ⅰ）解：齐次方程：特征方程：特征根：齐次方程通解：方法一：常数变易法求解设原方程通解为，则所以将代入中即得原方程通解：方法二：比较系数法求解由于0不是特征根，故设特解为，将其代入原方程可得，从而特解为，所以所求通解：(10)（属于类型Ⅱ）解：齐次方程：特征方程：特征根：齐次方程通解：由于1是一重特征根，故设特解为，将其代入原方程可得，从而特解为，所以所求通解：(12)（属于类型Ⅱ）解：齐次方程：特征方程：特征根：齐次方程通解：由于2不是特征根，故设特解为，将其代入原方程可得，从而特解为，所以所求通解：(14)（属于类型Ⅲ的混合，注意和中的系数不一样）解：齐次方程：特征方程：特征根：齐次方程通解：①对于，由于是一重特征根，故设其特解为，则将其代入可得，从而的特解为；②对于，由于不是特征根，故设其特解为，则将其代入可得，从而的特解为。所以原方程特解为，故所求通解：(15)（