2024届上海市高考模拟测数学试卷07（考前手感卷）（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE2上海市2024届高考数学模拟测试卷07（考前手感卷）一、填空题1．已知集合，全集，则．〖答案〗〖解析〗集合，全集，所以，故〖答案〗为：2．已知，则在上的数量投影为．〖答案〗〖解析〗因为，设与的夹角为，则在上的数量投影为故〖答案〗为:3．过点与直线垂直的直线方程为.〖答案〗〖解析〗设所求直线方程为，将点的坐标代入所求直线方程可得，解得，故所求直线方程为.故〖答案〗为：.4．若函数是偶函数，则的单调递增区间是〖答案〗〖解析〗由题意，函数的定义域为，若函数为偶函数，则函数定义域关于原点对称，故，即，由于为开口向上的二次函数，对称轴为，故函数的单调递增区间为：.故〖答案〗为：5．若且满足，则的最小值为.〖答案〗〖解析〗因为，所以，则，当，即或时取等号，所以的最小值为.故〖答案〗为：.6．已知，且有，则.〖答案〗〖解析〗由二倍角公式可知：，化简得,可得又，，，故〖答案〗为：7．已知一组成对数据的回归方程为，则该组数据的相关系数（精确到0.001）．〖答案〗〖解析〗由条件可得，，，一定在回归方程上，代入解得，，，，，故〖答案〗为：8．设等差数列的前项和为，若，则.〖答案〗24〖解析〗是等差数列，∴，，．故〖答案〗为：24.9．分别掷3枚质地均匀的硬币，设事件A为“第1枚为正面”，事件B为“第2枚为反面”，事件C为“3枚结果相同”，则下列说法中正确的序号有．①事件AB与事件C互斥；②事件A与事件C相互独立；③；④，事件AB与事件对立〖答案〗①②〖解析〗对于①：互斥事件指不可能同时发生，因此事件AB指“第1枚为正面同时第2枚为反面”，很明显与事件C“3枚结果相同”不同时发生，所以该选项正确；对于②：，，，所以，故事件A与事件C相互独立该选项正确；对于③：，故该选项错误；对于④：，但事件与事件也可能同时发生，比如事件：“第1枚为正面，第2枚为反面，第3枚是正面”，对立事件必须前提是不能同时发生，因此本选项错误.故〖答案〗为：①②.10．双曲线的左右焦点分别为，过坐标原点的直线与相交于两点，若，则.〖答案〗4〖解析〗双曲线，实半轴长为1，虚半轴长为，焦距，由双曲线的对称性可得，有四边形为平行四边形，令，则，由双曲线定义可知，故有，即，即，，中，由余弦定理，，即，得，.故〖答案〗为：4.11．在中，，，，为线段上的一点（不与端点重合），交线段于（不与端点重合），将沿向上折起，使得平面垂直于平面，则四棱锥的体积的最大值为.〖答案〗〖解析〗∵在△ABC中，EF⊥AB,∴EF⊥AE,EF⊥EB,△ABC∽△FBE.设,则EF=.折叠后平面垂直于平面，∵BE⊂平面BEF,平面BEF∩平面ACFE=EF,EF⊥EB,由两个平面垂直的性质定理可得BE⊥平面ACFE,,四棱锥的体积,,令,,在内>0,单调递增；在内，<0，单调递减.∴故〖答案〗为：12．定义在区间上的函数的图象是一条连续不断的曲线，在区间上单调递增，在区间上单调递减，给出下列四个结论：①若为递增数列，则存在最大值；②若为递增数列，则存在最小值；③若，且存在最小值，则存在最小值；④若，且存在最大值，则存在最大值.其中所有错误结论的序号有．〖答案〗①③④〖解析〗①由条件可知，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，那么在区间，函数的最大值是，若数列为递增数列，则函数不存在最大值，故①错误；②由条件可知，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，若为递增数列，那么在区间的最小值是，且为递增数列，所以函数在区间的最小值是，故②正确；③若，取,,则，存在最小值，但此时的最小值是的最小值，函数单调递减，无最小值，故③错误；④若，取，则恒成立，则有最大值，但的最大值是的最大值，函数单调递增，无最大值，故④错误.故〖答案〗为：①③④二、单选题13．已知三个社区的居民人数分别为，现从中采用分层抽样方法抽取一个容量为的样本，若从社区抽取了15人，则（

）A．33 B．18 C．27 D．21〖答案〗A〖解析〗三个社区的居民人数分别为，从中抽取一个容量为的样本，从社区抽取了15人，则，解得.故选：A14．在空间四边形中，，那么必有（

）A．平面⊥平面B．平面⊥平面C．平面⊥平面D．平面⊥平面〖答案〗C〖解析〗在空间四边形中，,又由,且面，平面，平面，所以平面，又因为平面,所以平面⊥平面，故选：C.15．已知函数，，则“”是“的值域为”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件〖答案〗B〖解析〗充分性：取，，则成立，此时，则，可得，充分性不成立；必要性：函数的最小正周期为，因为函数在上的值域为，当函数在上单调时，取得最小值，且有，必要性成立.因此，“”是“的值域为”的必要而不充分条件.故选：B.16．将曲线()与曲线()合成的曲线记作．设为实数，斜率为的直线与交于两点，为线段的中点，有下列两个结论：①存在，使得点的轨迹总落在某个椭圆上；②存在，使得点的轨迹总落在某条直线上，那么（

）．A．①②均正确 B．①②均错误C．①正确，②错误 D．①错误，②正确〖答案〗C〖解析〗设，，，则.对①，当时，，，易得，故两式相减有，易得此时，故，所以，即.代入可得，所以，故存在，使得点的轨迹总落在椭圆上.故①正确；对②，，.由题意，若存在，使得点的轨迹总落在某条直线上，则，，两式相减有，即，又，故，即，又，故若存在，使得点的轨迹总落在某条直线上，则为常数.即为定值，因为分子分母次数不同，故若为定值则恒成立，即，无解.即不存在，使得点的轨迹总落在某条直线上故选：C.三、解答题17．在中，内角所对的边分别为，且.(1)求的大小；(2)若平分交于且，求面积的最小值.解：(1)依题意，，则，故，则，，，由于，所以，所以，则为锐角，且.(2)依题意平分，在三角形中，由正弦定理得，在三角形中，由正弦定理得，所以，由正弦定理得.在三角形中，由余弦定理得，在三角形中，由余弦定理得，所以，整理得，所以或.当时，三角形是等边三角形，，，，所以.当时，，当且仅当时等号成立，所以三角形.综上所述，三角形面积的最小值为.18．如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，.(1)若点，分别为，的中点，求证：直线平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值.(1)证明：如图，取的中点，连接，，由题意，点，分别为，的中点，∴，，又∵底面矩形中，，，∴，，∴四边形是平行四边形，则，又∵平面，平面，∴直线平面.(2)解：∵平面，平面，平面，∴，，又知在矩形中，∴以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图，则，，，，∴，，，设平面的法向量为，则，即，取，解得：，，∴平面的一个法向量为，设直线与平面所成角为，则，即直线与平面所成角的正弦值为.19．抽屉中装有5双规格相同的筷子，其中3双是一次性筷子，2双是非一次性筷子，每次使用筷子时，从抽屉中随机取出1双（2只都为一次性筷子或都为非一次性筷子），若取出的是一次性筷子，则使用后直接丢弃，若取出的是非一次性筷子，则使用后经过清洗再次放入抽屉中，求：(1)在第2次取出的是非一次性筷子的条件下，第1次取出的是一次性筷子的概率；(2)取了3次后，取出的一次性筷子的双数的分布列及数学期望.解：(1)设第1次取出的是一次性筷子为事件A，第2次取出的是非一次性筷子为事件B，则，，所以在第2次取出的是非一次性筷子的前提下，第1次取出的是一次性筷子的概率；(2)记取出的一次性筷子的双数为X，则，则，，，则，则X的分布列为X0123P0.0640.3660.470.1数学期望.20．设抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点．(1)若，求线段中点的轨迹方程；(2)若直线的方向向量，当焦点为时，求的面积；(3)若是抛物线准线上的点，直线，，的斜率分别为，，，求证：为的等差中项．解：(1)设，焦点，则由题意，即，故，将其代入抛物线中得：，即，所求的轨迹方程，(2)设，，，由于直线的方向向量，所以直线的斜率为2，故直线，即，由得，，，到直线的距离为，(3)点的坐标为、设直线，代入抛物线得，所以，因而，，因而，而，故，当直线轴时，，，，故，综上可知：命题得证．

21．设是定义域均为的三个函数.是的一个子集.若对任意，点与点都关于点对称，则称是关于的“对称函数”.(1)若和是关于的“对称函数”，求；(2)已知是关于的“对称函数”.且对任意，存在，使得，求实数的取值范围；(3)证明：对任意，存在唯一的，使得和是关于的“对称函数”.(1)解：由题意，和是关于的“对称函数”，∴，∴.(2)解：由题意及(1)得，是关于的“对称函数”，∴，设，则，∴.另一方面，由于，∴函数在上恰有一个驻点，从而当时，比较和处的函数值得，.因此，，故，即.(3)证明：由题意，(1)及(2)得原命题等价于证明：对任意，关于的方程有唯一解考虑，则当时，由知.而当时，由于，∴函数在区间上唯一极小值点，∴从而.令，则.∴函数在区间上有唯一的极小值点.而，∴.综上，当时，，函数严格增.从而对任意，关于的方程，也即至多有一解.由知，当时，∴当且时，；而当时，.从而由零点存在定理，关于的方程，也即一定有解.综上，对任意，关于的方程有唯一解.上海市2024届高考数学模拟测试卷07（考前手感卷）一、填空题1．已知集合，全集，则．〖答案〗〖解析〗集合，全集，所以，故〖答案〗为：2．已知，则在上的数量投影为．〖答案〗〖解析〗因为，设与的夹角为，则在上的数量投影为故〖答案〗为:3．过点与直线垂直的直线方程为.〖答案〗〖解析〗设所求直线方程为，将点的坐标代入所求直线方程可得，解得，故所求直线方程为.故〖答案〗为：.4．若函数是偶函数，则的单调递增区间是〖答案〗〖解析〗由题意，函数的定义域为，若函数为偶函数，则函数定义域关于原点对称，故，即，由于为开口向上的二次函数，对称轴为，故函数的单调递增区间为：.故〖答案〗为：5．若且满足，则的最小值为.〖答案〗〖解析〗因为，所以，则，当，即或时取等号，所以的最小值为.故〖答案〗为：.6．已知，且有，则.〖答案〗〖解析〗由二倍角公式可知：，化简得,可得又，，，故〖答案〗为：7．已知一组成对数据的回归方程为，则该组数据的相关系数（精确到0.001）．〖答案〗〖解析〗由条件可得，，，一定在回归方程上，代入解得，，，，，故〖答案〗为：8．设等差数列的前项和为，若，则.〖答案〗24〖解析〗是等差数列，∴，，．故〖答案〗为：24.9．分别掷3枚质地均匀的硬币，设事件A为“第1枚为正面”，事件B为“第2枚为反面”，事件C为“3枚结果相同”，则下列说法中正确的序号有．①事件AB与事件C互斥；②事件A与事件C相互独立；③；④，事件AB与事件对立〖答案〗①②〖解析〗对于①：互斥事件指不可能同时发生，因此事件AB指“第1枚为正面同时第2枚为反面”，很明显与事件C“3枚结果相同”不同时发生，所以该选项正确；对于②：，，，所以，故事件A与事件C相互独立该选项正确；对于③：，故该选项错误；对于④：，但事件与事件也可能同时发生，比如事件：“第1枚为正面，第2枚为反面，第3枚是正面”，对立事件必须前提是不能同时发生，因此本选项错误.故〖答案〗为：①②.10．双曲线的左右焦点分别为，过坐标原点的直线与相交于两点，若，则.〖答案〗4〖解析〗双曲线，实半轴长为1，虚半轴长为，焦距，由双曲线的对称性可得，有四边形为平行四边形，令，则，由双曲线定义可知，故有，即，即，，中，由余弦定理，，即，得，.故〖答案〗为：4.11．在中，，，，为线段上的一点（不与端点重合），交线段于（不与端点重合），将沿向上折起，使得平面垂直于平面，则四棱锥的体积的最大值为.〖答案〗〖解析〗∵在△ABC中，EF⊥AB,∴EF⊥AE,EF⊥EB,△ABC∽△FBE.设,则EF=.折叠后平面垂直于平面，∵BE⊂平面BEF,平面BEF∩平面ACFE=EF,EF⊥EB,由两个平面垂直的性质定理可得BE⊥平面ACFE,,四棱锥的体积,,令,,在内>0,单调递增；在内，<0，单调递减.∴故〖答案〗为：12．定义在区间上的函数的图象是一条连续不断的曲线，在区间上单调递增，在区间上单调递减，给出下列四个结论：①若为递增数列，则存在最大值；②若为递增数列，则存在最小值；③若，且存在最小值，则存在最小值；④若，且存在最大值，则存在最大值.其中所有错误结论的序号有．〖答案〗①③④〖解析〗①由条件可知，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，那么在区间，函数的最大值是，若数列为递增数列，则函数不存在最大值，故①错误；②由条件可知，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，若为递增数列，那么在区间的最小值是，且为递增数列，所以函数在区间的最小值是，故②正确；③若，取,,则，存在最小值，但此时的最小值是的最小值，函数单调递减，无最小值，故③错误；④若，取，则恒成立，则有最大值，但的最大值是的最大值，函数单调递增，无最大值，故④错误.故〖答案〗为：①③④二、单选题13．已知三个社区的居民人数分别为，现从中采用分层抽样方法抽取一个容量为的样本，若从社区抽取了15人，则（

）A．33 B．18 C．27 D．21〖答案〗A〖解析〗三个社区的居民人数分别为，从中抽取一个容量为的样本，从社区抽取了15人，则，解得.故选：A14．在空间四边形中，，那么必有（

）A．平面⊥平面B．平面⊥平面C．平面⊥平面D．平面⊥平面〖答案〗C〖解析〗在空间四边形中，,又由,且面，平面，平面，所以平面，又因为平面,所以平面⊥平面，故选：C.15．已知函数，，则“”是“的值域为”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件〖答案〗B〖解析〗充分性：取，，则成立，此时，则，可得，充分性不成立；必要性：函数的最小正周期为，因为函数在上的值域为，当函数在上单调时，取得最小值，且有，必要性成立.因此，“”是“的值域为”的必要而不充分条件.故选：B.16．将曲线()与曲线()合成的曲线记作．设为实数，斜率为的直线与交于两点，为线段的中点，有下列两个结论：①存在，使得点的轨迹总落在某个椭圆上；②存在，使得点的轨迹总落在某条直线上，那么（

）．A．①②均正确 B．①②均错误C．①正确，②错误 D．①错误，②正确〖答案〗C〖解析〗设，，，则.对①，当时，，，易得，故两式相减有，易得此时，故，所以，即.代入可得，所以，故存在，使得点的轨迹总落在椭圆上.故①正确；对②，，.由题意，若存在，使得点的轨迹总落在某条直线上，则，，两式相减有，即，又，故，即，又，故若存在，使得点的轨迹总落在某条直线上，则为常数.即为定值，因为分子分母次数不同，故若为定值则恒成立，即，无解.即不存在，使得点的轨迹总落在某条直线上故选：C.三、解答题17．在中，内角所对的边分别为，且.(1)求的大小；(2)若平分交于且，求面积的最小值.解：(1)依题意，，则，故，则，，，由于，所以，所以，则为锐角，且.(2)依题意平分，在三角形中，由正弦定理得，在三角形中，由正弦定理得，所以，由正弦定理得.在三角形中，由余弦定理得，在三角形中，由余弦定理得，所以，整理得，所以或.当时，三角形是等边三角形，，，，所以.当时，，当且仅当时等号成立，所以三角形.综上所述，三角形面积的最小值为.18．如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，.(1)若点，分别为，的中点，求证：直线平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值.(1)证明：如图，取的中点，连接，，由题意，点，分别为，的中点，∴，，又∵底面矩形中，，，∴，，∴四边形是平行四边形，则，又∵平面，平面，∴直线平面.(2)解：∵平面，平面，平面，∴，，又知在矩形中，∴以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图，则，，，，∴，，，设平面的法向量为，则，即，取，解得：，，∴平面的一个法向量为，设直线与平面所成角为，则，即直线与平面所成角的正弦值为.19．抽屉中装有5双规格相同的筷子，其中3双是一次性筷子，2双是非一次性筷子，每次使用筷子时，从抽屉中随机取出1双（2只都为一次性筷子或都为非一次性筷子），若取出的是一次性筷子，则使用后直接丢弃，若取出的是非一次性筷子，则使用后经过清洗再次放入抽屉中，求：(1)在第2次取出的是非一次性筷子的条件下，第1次取出的是一次性筷子的概率；(2)取了3次后，取出的一次性筷子的双数的分布列及数学期望.解：(1)设第1次取出的是一次性筷子为事件