人教版高中数学必修2第三四章教案

Jt线的微斜角和斜率(3.1.1)

教学目标：

知识与技能

(1)正确理解直线的倾斜角和斜率的概念.

(2)理解直线的倾斜角的唯一性.

(3)理解直线的斜率的存在性.

(4)斜率公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式.

情感态度与价值观

(1)通过直线的倾斜角概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养学生观察、探索能力，运用数学语

言表达能力，数学交流与评价能力.

(2)通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合思想，培养学生树立辩证统一的观点,

培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神.

重点与难点：直线的倾斜角、斜率的概念和公式.

教学用具：计算机

教学方法：启发、引导、讨论.

教学过程：

(-)直线的倾斜角的概念

我们知道，经过两点有且只有(确定)一条直线.那么，经过一点P的直线1的位

置能确定吗？如图，过•点P可以作无数多条直线a,b,c,…易见，答案是否定的.这

些直线有什么联系呢？

(1)它们都经过点P.(2)它们的‘倾斜程度'不同.怎样描述这种‘倾斜程度’的不

同？

引入直线的倾斜角的概念：

当直线1与x轴相交时，取x轴作为基准,x轴正向与直线1向上方向之间所成的角a叫做直线1的候考•岁.特别地,

当直线I与x轴平行或重合时，规定a=0。.

问：倾斜角a的取值范围是什么？0°W“<180。.

当直线1与x轴垂直时，a=90°.

因为平面直角坐标系内的每一条直线都有确定的倾斜程度，引入直线的倾斜角

之后，我们就可以用倾斜角a来表示平面直角坐标系内的每一条直线的倾斜程

度.

如图，直线a〃b〃c,那么它们

的倾斜角a相等吗？答案是肯定的.所以一个倾斜角a不能确定一条直线.

确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素：一个点P和一个倾斜角a.

(―)直线的斜率：

一条直线的倾斜角a(aK90°)的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字

母k表示,也就是

k=tana

⑴当直线1与x轴平行或重合时，a=0。，k=tan0。=0;

⑵当直线1与x轴垂直时，a=90。，k不存在.

由此可知，一条直线1的倾斜角a一定存在,但是斜率k不一定存在.

例如，a=45°时,k=tan45°=1;

a=135°时，k=tanl35°=tan(180°—45°)=-tan45°=-1.

学习了斜率之后，我们又可以用斜率来表示直线的倾斜程度.

(三)直线的斜率公式：

给定两点Pl(xl>yl),P2(x2,y2),xlWx2,如何用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率？

可用计算机作动画演示：直线P1P2的四种情况，并引导学生如何作辅助线，

共同完成斜率公式的推导.(略)

斜率公式：

对于上面的斜率公式要注意卜面四点：

(1)当xl=x2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角a=90",直线与x轴垂直；

(2)k与Pl、P2的顺序无关，即yl,y2和xl,x2在公式中的前后次序可以同时交换，但分子与分母不能交换;

(3)斜率k可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得；

(4)当yl=y2时，斜率k=0,直线的倾斜角a=0。，直线与x轴平行或重合.

(5)求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到.

（四）例题:

例I已知A（3,2）,B（-4,l）,C（O,-l）,求直线AB,BC,CA的斜率，并判断它们的倾斜角是钝角还是锐角.（用计算机作直线,

图略）

分析：已知两点坐标，而且xlHx2,由斜率公式代入即可求得k的值；

而当k=tana<0时，倾斜角a是钝角；

而当k=tana>0时，倾斜角a是锐角；

而当k=tana=0时，倾斜角a是0°.

略解：直线AB的斜率kl=l/7>0,所以它的倾斜角a是锐角；

直线BC的斜率k2=-0.5<0,所以它的倾斜角a是钝角；

直线CA的斜率k3=l>0,所以它的倾斜角a是锐角.

例2在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率分别为1,-1,2,及-3的直线a,b,c,1.

分析:要画出经过原点的直线a,只要再找出a上的另外一点M.而M的坐标可以根据直线a的斜率确定；或者k=tan

a=l是特殊值，所以也可以以原点为角的顶点,x轴的正半轴为角的•边，在x轴的上方作45°的角，再把所作的这

一边反向延长成直线即可.

略解：设直线a上的另外一点M的坐标为（x,y）,根据斜率公式有

l=（y-0）/（x-0）

所以x=y

可令x=l,则y=l,于是点M的坐标为（1,1）.此时过原点和点

M（l,l）,可作直线a.

同理，可作直线b,c,1.（用计算机作动画演示画直线过程）

（五）练习：P911.2.3.4.

（六）小结：

（1）直线的倾斜角和斜率的概念.

（2）直线的斜率公式.

（七）课后作业:P94习题3.11.3.

（八）板书设计：

§3.1.1……

1.直线倾斜角的概念3.例1……练习1练习3

2.直线的斜率

4.例2……练习2练习4

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两条直线的平行与垂直（3.1.2）

教学目标

（一）知识教学

理解并掌握两条直线平行与垂直的条件，会运用条件判定两直线是否平行或垂宜.

（二）能力训练

通过探究两直线平行或垂直的条件，培养学生运用已有知识解决新问题的能力，以及数形结合能力.

（三）学科渗透

通过对两直线平行与垂直的位置关系的研究，培养学生的成功意识，合作交流的学习方式，激发学生的学习兴趣.

重点：两条直线平行和垂直的条件是重点，要求学生能熟练掌握，并灵活运用.

难点：启发学生，把研究两条直线的平行或垂直问题，转化为研究两条直线的斜率的关系问题.

注意：对于两条直线中有一条直线斜率不存在的情况，在课堂上老师应提醒学生注意解决好这个问题.

教学过程

（）先研究特殊情况下的两条直线平行与垂直

上一节课，我们已经学习了直线的倾斜角和斜率的概念，而且知道，可以用倾斜角和斜率来表示直线相对于x轴的倾斜程度,

并推导出了斜率的坐标计算公式.现在，我们来研究能否通过两条直线的斜率来判断两条直线的平行或垂直.

讨论：两条直线中有一条直线没有斜率,（1）当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90°,它们互相平行：（2）

当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为90。，另一条直线的倾斜角为0°,两直线互相垂直.

（二）两条直线的斜率都存在时，两直线的平行与垂直

设直线L1和L2的斜率分别为kl和k2.我们知道，两条直线的平行或垂直是

由两条直线的方向决定的，而两条直线的方向又是由直线的倾斜角或斜率决定

的.所以我们下面要研究的问题是：两条互相平行或垂直的直线，它们的斜率

有什么关系？

首先研究两条直线互相平行（不重合）的情形.如果L1〃L2（图1-29）,那么它们

的倾斜角相等：al=a2.（借助计算机，让学生通过度量，感知a1,a2的关系）

.".tgal=tga2.

图1-29

即kl=k2.

反过来,如果两条直线的斜率相等：即kl=k2,那么tgal=tga2.

由于0°a1<180°,0°a<180°,

/.al=a2.

又•.•两条直线不重合，

.\L1//L2.

结论：两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，

即h，UOI=。

注意：上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立.即如果kl=k2,那么

一定有L1〃L2;反之则不一定.

卜.面我们研究两条直线垂直的情形.

如果L1_LL2,这时alWa2,否则两直线平行.

设a2Va1(图1-30),甲图的特征是L1与L2的交点在x轴上方；乙图的特征是L1与L2的交点在x轴下方；丙图的特征是

L1与L2的交点在x轴上，无论哪种情况下都有

al=90°+a2.

因为Ll、L2的斜率分别是kl、k2,即al#90°,所以a2W0°.

即ki=S或r.igGi=w9ir+<ia)=

反过来,如知］=-七》

那匕・％=」.不失一雌.设匕<0,

匕)0,鼻么的5=-合=颐须”力

可以推出：a1=90°+a2.L11L2.

结论：两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，那么它们

hJLla=电―okik：■>-1

互相垂直，即k?

图1-30

注意：结论成立的条件.即如果kl・k2=-l,那么一定有L1_LL2;反之则不一定.

(借助计算机，让学生通过度量，感知kl,k2的关系，并使L1(或L2)转动起来，但仍保持L1_LL2,观察kl,k2的关系，得到猜

想，再加以验证.转动时，可使a1为锐角，钝角等).

例题

例1已知A(2,3),B(-4,0),P(-3,l),Q(-l,2),试判断直线BA与PQ的位置关系，并证明你的结论.

分析•：借助计算机作图，通过观察猜想:BA〃PQ,再通过计算加以验证.(图略)

解：直线BA的斜率kl=(3-0)/(2-(-4))=0.5,

直线PQ的斜率k2=(2-l)/(-l-(-3))=0.5,

因为kl=k2=0.5,所以直线BA〃PQ.

例2已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(0,0),B(2,-l),C(4,2),D(2,3),试判断四边形ABCD的形状，并给出证明.(借助计

算机作图，通过观察猜想：四边形ABCD是平行四边形，再通过计算加以验证)

解同上.

例3已知A(-6,0),B(3,6),P(0,3),Q(-2,6),试判断直线AB与PQ的位置.关系.

解:直线AB的斜率kl=(6-0)/(3-(-6))=2/3,

直线PQ的斜率k2=(6-3)(-2-0)=-3/2,

因为kl-k2=-l所以AB1PQ.

例4已知A(5,-l),C(2,3),试判断三角形ABC的形状.

分析：借助计算机作图，通过观察猜想：三角形ABC是直角三角形，其中ABJ_BC,再通过计算加以验证.(图略)

课堂练习

P94练习1.2.

课后小结

(1)两条直线平行或垂直的真实等价条件；(2)应用条件，判定两条直线平行或垂直.

(3)应用直线平行的条件，判定三点共线.

布置作业

P94习题3.15.8.

板书设计

s।.9两条gorr行号■■

RWmrRIR3

M2M4

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3.2.1直线的点斜式方程

一、教学目标

1、知识与技能

(1)理解直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围；

(2)能正确利用直线的点斜式、斜截式公式求直线方程。

(3)体会直线的斜截式方程与一次函数的关系.

2、过程与方法

在已知直角坐标系内确定一条直线的几何要素一直线上的一点和直线的倾斜角的基础上，通过师生探讨，得出直线的

点斜式方程；学生通过对比理解“截距”与“距离”的区别。

3、情态与价值观

通过让学生体会直线的斜截式方程与一次函数的关系，进一步培养学生数形结合的思想，渗透数学中普遍存在相互联系、

相互转化等观点，使学生能用联系的观点看问题。

二、教学重点、难点：

(1)重点：直线的点斜式方程和斜截式方程。

(2)难点：直线的点斜式方程和斜截式方程的应用。

三、教学设想

问题设计意图师生活动

1、在直线坐标系内确定一条直线，应使学生在已有知识和经学生回顾，并回答。然后教师指出，直线的

知道哪些条件？验的基础上，探索新知。方程，就是直线上任意一点的坐标(x,y)满

足的关系式。

2、直线/经过点［(/，凡)，且斜率培养学生自主探索的能学生根据斜率公式，可以得到，当I。％。

力，并体会直线的方程，

为k0设点P(x,y)是直线1上的任意

就是直线上任意一点的坐时，k-y~y°,即

一点,请建立％,y与攵之间的标(1,y)满足的关系式，

从而掌握根据条件求直线

关系。y-y^k(X-X)(1)

方程的方法。Q0

y,教师对基础薄弱的学生给予关注、引导，使

每个学生都能推导出这个方程。

0X

3、⑴过点4(%0，%),斜率是攵的使学生了解方程为直线学生验证，教师引导。

方程必须满两个条件。

直线/上的点，其坐标都满足方程(1)

吗？

(2)坐标满足方程(1)的点都在经过使学生了解方程为直线学生验证，教师引导。然后教师指出方程(1)

方程必须满两个条件。由直线上一定点及其斜率确定，所以叫做直线

4（演），为），斜率为左的直线/上的点斜式方程，简称点斜式.

吗？

4、直线的点斜式方程能否表示坐标平使学生理解直线的点斜式学生分组互相讨论，然后说明理由。

面上的所有直线呢？方程的适用范围。

5、（1）X轴所在直线的方程是什么？进•步使学生理解直线教师学生引导通过画图分析，求得问题的解

y轴所在直线的方程是什么？的点斜式方程的适用范决。

围，掌握特殊直线方程的

（2）经过点《）（10，,0）且平行于兀轴

表示形式。匚k

（即垂直于y轴）的直线方程是什么？

<3）经过点8（%,%）且平行于y

轴（即垂直于x轴）的直线方程是什么？

6、例1的教学。学会运用点斜式方程解决教师引导学生分析要用点斜式求宜线方

问题，清楚用点斜式公式程应已知那些条件？题目那些条件已经直接

求直线方程必须具备的两给予，那些条件还有待已去求。在坐标平面内，

个条件：（1）-■个定点；（2）要画一条直线可以怎样去画。

有斜率。同时掌握已知直

线方程画直线的方法。

7、已知直线/的斜率为攵，且与y轴引入斜截式方程，让学学生独立求出直线/的方程：

生懂得斜截式方程源于点y=kx+b（2）

的交点为（0,。），求直线/的方程。斜式方程，是点斜式方程

的一种特殊情形。再此基础上，教师给出截距的概念，引导

学生分析方程（2）由哪两个条件确定，让学

生理解斜截式方程概念的内涵。

8、观察方程y=kx+b,它的形式深入理解和掌握斜截学生讨论，教师及时给予评价。

式方程的特点？

具有什么特点？

9、直线y=履+b在x轴上的截使学生理解“截距”学生思考回答，教师评价。

与“距离”两个概念的区

距是什么？

别。

10、你如何从直线方程的角度认识一次体会直线的斜截式方程学生思考、讨论，教师评价、归纳概括。

函数y=履+匕？一次函数中k和与一次函数的关系.

b的儿何意义是什么？你能说出诙函

数

y=2x—1,y=3%,y=—％+3

图象的特点吗？

11、例2的教学。掌握从直线方程的角度教师引导学生分析：用斜率判断两条直线平

判断两条直线相互平行，行、垂直结论。思考（1）/J4时，

或相互垂直；进一步理解

斜截式方程中3b的几匕,22也乃2有何关系?时，

何意义。左，左2；加打有何关系？在此由学生得出结

论：

1]//12ok]=12，且<

/j_L/2<=>k1k2=—1

12、课堂练习第10（）页练习第1,2,3,巩固本节课所学过的知学生独立完成，教师检查反馈。

4题。识。

13、小结使学生对本节课所学的知教师引导学生概括：（1）木节课我们学过那些

识有一个整体性的认识，知识点；（2）直线方程的点斜式、斜截式的形

了解知识的来龙去脉。式特点和适用范围是什么？（3）求•条直线

的方程，要知道多少个条件？

14、布置作业：第106页第1题的（1）、巩固深化学生课后独立完成。

（2）、（3）和第3、5题

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3.2.2直线的两点式方程

-、教学目标

1、知识与技能

(1)掌握直线方程的两点的形式特点及适用范围；

(2)了解直线方程截距式的形式特点及适用范围。

2、过程与方法

让学生在应用旧知识的探究过程中获得到新的结论，并通过新旧知识的比较、分析、应用获得新知识的特点。

3、情态与价值观

(1)认识事物之间的普遍联系与相互转化；

(2)培养学生用联系的观点看问题。

二、教学重点、难点：

1、重点：直线方程两点式。

2、难点：两点式推导过程的理解。

三、教学设想

问题设计意图师生活动

1、利用点斜式解答如下问题：遵循由浅及教师引导学生：根据已有的知识，要求直线方程，应知道什

(1)已知直线/经过两点深，由特殊到么条件？能不能把问题转化为已经解决的问题呢？在此基础

,般的认知规上，学生根据已知两点的坐标，先判断是否存在斜率，然后求

<(1,2),g(3,5)，求直线/的方律。使学生在出直线的斜率，从而可求出直线方程：

程.已有的知识基3

(2)已知两点础上获得新结(1)y-2=—(X-1)

4(4X2)，舄(%，%)其中论，达到温故

知新的目的。

(2)y/=%%(x

(王。z，y1。％，求通过这两

点的宜线方程。x2-X]

教师指出：当W>2时，方程可以写成

y—Xx一%/、

=(否UW%)

%一%光2一毛

由于这个直线方程由两点确定，所以我们把它叫直线的两点式

方程，简称两点式(two-pointform).

使学生懂得两

2、若点片(再,%),/(%,%)中教师引导学生通过画图、观察和分析，发现当％=%2时，

点式的适用范

有再=尤2，或H=,2，此时这两围和当已知的直线与％轴垂直，所以直线方程为：%=%;当乂=>2时，

点的直线方程是什么？两点不满足两

点式的条件时直线与y轴垂直，直线方程为：丁=丁|。

它的方程形

式。

3、例3教学使学生学会用教师引导学生分析题目中所给的条件有什么特点？可以用多少

已知直线/与X轴的交点为两点式求直线方法来求直线/的方程？那种方法更为简捷？然后由求出直线

方程；理解截

A(。,0),与y轴的交点为方程：

距式源于两点

B(0,Z?),其中。w0,力中0,求式，是两点式"=1

的特殊情形。

直线/的方程。ab

教师指出：a,b的几何意义和截距式方程的概念。

4、例4教学让学生学会教师给出中点坐标公式，学生根据自己的理解，选择恰当方

已知三角形的三个顶点A(-5,0),根据题目中所法求出边BC所在的直线方程和该边上中线所在直线方程。在此

B(3,-3),C(0,2),求BC边所在给的条件，选基础上，学生交流各自的作法，并进行比较。

直线的方程，以及该边上中线所在直择恰当的直线

线的方程。方程解决问

题。

5、课堂练习学生独立完成，教师检簧、反馈。

第102页第1、2、3题。

6、小结增强学生对直教师提出：(D到目前为止，我们所学过的直线方程的表达形

线方种四种形式有多少种？它们之间有什么关系？

式(点斜式、(2)耍求一条直线的方程，必须知道多少个条件？

斜截式、两点

式、截距式)

互相之间的联

系的理解。

7、布置作业巩固深化，培学生课后完成

养学生的独立

解决问题的能

力。

3.2.3直线的一般式方程

一、教学目标

1、知识与技能

(1)明确直线方程一般式的形式特征；

(2)会把直线方程的一般式化为斜截式，进而求斜率和截距；

(3)会把直线方程的点斜式、两点式化为一般式。

2、过程与方法

学会用分类讨论的思想方法解决问题。

3、情态与价值观

(1)认识事物之间的普遍联系与相互转化；

(2)用联系的观点看问题。

二、教学重点、难点：

1、重点：直线方程的一般式。

2、难点：对直线方程一般式的理解与应用。

三、教学设想

问题设计意图师生活动

1、(1)平面直角坐标系中的每一条直使学生理解直线教师引导学生用分类讨论的方法思考探究问题(1),即

线都可以用•个关于的二元一和二元一次方程直线存在斜率和直线不存在斜率时求出的直线方程是否都

次方程表示吗？的关系。为二元一次方程。对于问题(2),教师引导学生理解要判

(2)每一个关于尤，y的二元一次方断某一个方程是否表示一条直线，只需看这个方程是否可

以转化为直线方程的某种形式。为此要对B分类讨论，即

程Ax+By+C—0(A,B不当8W0时和当B=0时两种情形进行变形。然后由学生

同时为o)都表示一条直线吗？去变形判断，得出结论：

关于的二元一次方程，它都表示一条直线。

教师概括指出：由于任何•条直线都可以用•个关于

%,y的二元一次方程表示；同时，任何一个关于的

二元一次方程都表示一条直线。

我们把关于关于x,y的二元一次方程

Ax+By+C=0(A,B不同时为o)叫做直线的一

般式方程，简称,般式(generalform).

2、直线方程的一般式与其他几种形式使学生理解直线学生通过对比、讨论，发现宜线方程的一般式与其他形

的直线方程相比，它有什么优点？方程的一般式的式的直线方程的一个不同点是：

与其他形

式的不同点。直线的一般式方程能够表示平面1:的所有直线，而点斜式、

斜截式、两点式方程，都不能表示与X轴垂直的直线。

3、在方程Ax+By+C=0中，使学生理解二元教师引导学生回顾前面所学过的与入轴平行和重合、与

一次方程的系数y轴平行和重合的直线方程的形式。然后由学生自主探索

A,B,C为何值时，方程表示的直线

和常数项对直线

(1)平行于x轴；(2)平行于y轴；得到问题的答案。

的位置的影响。

(3)与入轴重合：(4)与y重合。

4、例5的教学使学生体会把学生独立完成。然后教师检查、评价、反馈。指出：对于

已知直线经过点A(6,-4),斜率直线方程的点斜直线方程的•般式，一般作如下约定：微按含x项、含y

4式转化为一般式，项、常数项顺序排列；x项的系数为正；x,y的系数和

为----，求直线的点斜式和一般式方把握直线方程一

常数项一般不出现分数；无特加要时，求直线方程的结果

3般式的特点。

写成一般式。

程。

5、例6的教学使学生体会直线先由学生思考解答，并让一个学生上黑板板书。然后教

把直线/的一般式方程方程的一般式化师引导学生归纳出由直线方程的一般式，求直线的斜率和

九-2y+6=0化成斜截式，求为斜截式，和已知截距的方法：把一般式转化为斜截式可求出直线的斜率的

直线方程的一般

出直线/的斜率以及它在x轴与y式求直线的斜率和直线在y轴上的截距。求直线与％轴的截距，即求直线

和截距的方法。

轴上的截距，并画出图形。与x轴交点的横坐标，为此可在方程中令y=o,解出工

值，即为与直线与入轴的截距。

在直角坐标系中画直线时，通常找出直线下两个坐标

轴的交点。

6、二元一次方程的每•个解与坐标平使学生进步理学生阅读教材第105页，从中获得对问题的理解。

面中点的有什么关系？直线与二元一解二元一次方程

次方程的解之间有什么关系？与直线的关系，体

会直解坐标系把

直线与方程联系

起来。

7、课堂练习巩固所学知识和学生独立完成，教师检查、评价。

第105练习第2题和第3(2)方法。

8、小结使学生对直线方(1)请学生写出直线方程常见的几种形式，并说明它们

程的理解有一个之间的关系。

整体的认识。(2)比较各种宜线方程的形式特点和适用范围。

(3)求直线方程应具有多少个条件？

(4)学习本节用到了哪些数学思想方法？

9、布置作业巩固课堂上所学学生课后独立思考完成。

第106页习题3.2第10题和第11的知识和方法。

题。

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3.3-1两直线的交点坐标

三维目标

知识与技能：1。直线和直线的交点

2.二元一次方程组的解

过程和方法：1。学习两直线交点坐标的求法，以及判断两直线位置的方法。

2.掌握数形结合的学习法。

3.组成学习小组，分别对直线和直线的位置进行判断，归纳过定点的

直线系方程。

情态和价值：1。通过两直线交点和二元一次方程组的联系，从而认识事物之间的内

的联系。

2.能够用辩证的观点看问题。

教学重点，难点

重点：而断两直线是否相交，求交点坐标。

难点：两直线相交与二元一次方程的关系。

教学方法：启发引导式

在学生认识直线方程的基础上，启发学生理解两直线交点与二元一次方程组的的相互关系。引导学生将两直线

交点的求解问题转化为相应的直线方程构成的二元一次方程组解的问题。由此体会“形”的问题由“数”的运算来解决。

教具：用POWERPOINT课件的辅助式教学

教学过程：

情境设置，导入新课

用大屏幕打出直角坐标系中两直线，移动直线，让学生观察这两直线的位置关系。

课堂设问一：由直线方程的概念，我们知道直线上的一点与二元一次方程的解的关系，那如果两直线相交于一

点，这•点与这两条直线的方程有何关系？

二.讲授新课

1.分析任务，分组讨论，判断两直线的位置关系

已知两直线LI：Alx+Bly+C1=O,L2：A2x+B2y+C2=0

如何判断这两条直线的关系？

教师引导学生先从点与直线的位置关系入手，看表一，并填空。

儿何元素及关系代数表示

点AA(a,b)

直线LL：Ax+By+C=0

点A在直线上

直线L1与L2的交点A

课堂设问二：如果两条直线相交，怎样求交点坐标？交点坐标与二元一次方程组有什关系？

学生进行分组讨论，教师引导学生归纳出两直线是否相交与其方程所组成的方程组有何关系？

(1)若二元一次方程组有唯一解，L1与L2相交。

(2)若二元一次方程组无解，则L1与L2平行。

(3)若二元一次方程组有无数解，则L1与L2重合。

课后探究：两直线是否相交与其方程组成的方程组的系数有何关系？

2.例题讲解，规范表示，解决问题

例题1：求卜列两直线交点坐标

LI：3x+4y-2=0

LI：2x+y+2=0

3x+4y-2=0

解：解方程组

2x+2y+2=0

得x=-2,y=2

所以L1与L2的交点坐标为M(-2,2),如图3。3.1。

教师可以让学生自己动手解方程组，看解题是否规范，条理是否清楚，表达是否简洁，然后才进行讲解。

同类练习：书本110页第1,2题。

例2判断卜列各对直线的位置关系。如果相交，求出交点坐标。

(1)LI：x-y=0,L2：3x+3y-10=0

(2)LI：3x-y=0,L2：6x-2y=0

(3)LI：3x+4y-5=0,L2：6x+8y-10=0

这道题可以作为练习以巩固判断两直线位置关系。

三.启发拓展，灵活应用。

课堂设问一。当几几变化时，方程3x+4y-2+2(2x+y+2)=0表示何图形，图形

有何特点？求出图形的交点坐标。

(1)可以一用信息技术，当取不同值时，通过各种图形，经过观察，让学生从直观上得出结论，同

时发现这些直线的共同特点是经过同一点。

(2)找出或猜想这个点的坐标，代入方程，得出结论。

(3)结论，方程表示经过这两条直线L1与L2的交点的直线的集合。

例2已知a为实数，两直线/］：ax+y+l=0,/2：x+y—a=0相交于一点，求证交点不可能在第一象

限及x轴上.

分析：先通过联立方程组将交点坐标解出，再判断交点横纵坐标的范围.

解：解方程组若------->0,则。>1.当。>1时，--------<0,此时交点在第二象限内.

a-1a-\

乂因为。为任意实数时，都有。2+1之i>o,故"+l#o

CI—1

4+1。~+1

因为awi(否则两直线平行，无交点)，所以，交点不可能在光轴上-得交点(-------，-------)

a-1a-1

四.小结：直线与直线的位置关系，求两直线的交点坐标，能将几何问题转化为代数问题来解决，并能进行应用。

五.练习及作业：

1.光线从M(-2,3)射到x轴上的•点P(1,0)后被x轴反射，求反射光线所在的直线方程。

2.求满足下列条件的直线方程。

经过两直线2x-3y+10=0与3x+4y-2=0的交点，且和直线3x-2y+4=0垂直。

板书设计：略

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3..3.…2直线与直线之间的位置关系-两点间距离

三维目标

知识与技能：掌握直角坐标系两点间距离，用坐标法证明简单的几何问题。

过程和方法：通过两点间距离公式的推导，能更充分体会数形结合的优越性。

情态和价值：体会事物之间的内在联系，，能用代数方法解决几何问题

教学重点，难点：重点，两点间距离公式的推导。难点，应用两点间距离公式证明几何问题。

教学方式：启发引导式。

教学用具：用多媒体辅助教学。

教学过程：

一，情境设置，导入新课

课堂设问一：回忆数轴上两点间的距离公式，同学们能否用以前所学的知识来解决以下问题

平面直角坐标系中两点归鸟|=(》2一》2)2+(>2一%)近，分别向X轴和y轴作垂线，垂足分别为

N"0,)，J,M2(X2.0)

直线与「2%相交于点Q。

在直角ABC1中，山鸟『=山02+也马2,为了计算其长度，过点A向x轴作垂线，垂足为M(%,0)过点向y

轴作垂线，垂足为M曲乃)，于是有

何Q「=MM『=民-=加也「二昆一才

所以，山用2=山。『+也闻2HX’一城+昆一城。

由此得到两点间的距离公式

山8]=&2-3)2+(%一%(

在教学过程中，可以提出问题让学生自己思考，教师提示，根据勾股定理，不难得到。

二，例题解答，细心演算，规范表达。例1：以知点A(-1,2),B(2,V7),在x轴上求一点,使|PA|=|P8|,并

求归川的值。

解：设所求点P(X,0),于朝_________________

7(X+1)2+(0-2)2=^(X-2)2+(0-V7)2

由|P'=|P8|得

x2+2x+5=x2-4x+11解得x=io

所以，所求点p(1,0)且|PA|=J(1+1)2+(0_2『=20通过例题，使学生对两点间距离公式理解。应用。

得，线段AB的中点为乂上，2+61

解法二：由已知直线AB的斜率为