计算力学教学课件_第1页
计算力学教学课件_第2页
计算力学教学课件_第3页
计算力学教学课件_第4页
计算力学教学课件_第5页
已阅读5页,还剩98页未读 继续免费阅读

下载本文档

版权说明:本文档由用户提供并上传,收益归属内容提供方,若内容存在侵权,请进行举报或认领

文档简介

绪论计算力学简介.........................................................3

第一章有限元法简介.......................................................3

§1-1引言..............................................................3

§1-2简例..............................................................4

§1-3有限单元法计算过程概述............................................8

第二章平面问题的有限元法.................................................9

§2-1三角形常应变单元..................................................9

§2-2形函数的性质.....................................................11

§2-3刚度矩阵.........................................................12

§2-4等效结点力.......................................................16

§2-5热应力计算.......................................................19

§2-6收敛准则.........................................................20

§2-7实施步骤.........................................................22

§2-8矩形单元.........................................................25

§2-9三角形单元面积坐标...............................................28

§2-10习题讲解........................................................30

第三章空间问题..........................................................32

§3-1四面体常应变单元.................................................32

§3-2刚度阵、等效结点力...............................................33

第四章轴对称问题........................................................33

§4-1三角形截面环单元.................................................33

§4-2单刚阵...........................................................35

§4-3等效结点力.......................................................36

§4-4精确刚度阵计算...................................................38

第五章等参数单元........................................................39

§5-1平面等参元.......................................................39

§5-2高斯求积法.......................................................46

§5-3等参元形态.......................................................48

§5-4轴对称等参元.....................................................50

§5-5空间等参元.......................................................51

第六章杆件系统有限元法................................................53

§6-1等截面梁单元....................................................53

§6-2等效结点力.....................................................55

§6-3坐标变换.......................................................58

§6-4板与杆的组合结构...............................................61

§6-5空间杆件系统...................................................63

第七章板的弯曲..........................................................65

§7-1引言.............................................................65

§7-2矩形薄板单元...................................................66

§7-3考虑横向剪切影响的平板弯曲单元.................................71

第八章壳的弯曲..........................................................77

§8-1平板壳体单元...................................................77

第九章动力学问题有限元法................................................81

§9-1动力学方程和质量阵、阻尼阵.....................................81

§9-2无阻尼自由振动.................................................83

第十章材料非线性问题的有限元法.........................................86

§10-1非线性问题求解方法............................................86

§10-2弹塑性有限元法................................................94

§10-3弹塑性问题的求解方法..........................................97

第十一章加权残数法.....................................................98

§11-1方法概述......................................................98

§11-2分类..........................................................99

§11-3最小二乘法...................................................101

各种单元的特点..........................................................102

2

绪论计算力学简介

1、计算力学概念

以数值计算方法求解力学问题的方法。

实质:将求解复杂的微分方程组问题转化为求解代数方程组问题;

优点:①可求解解析法难以解决的问题,绘出趋近于精确解的近似解。

②可利用计算机解决十分庞大复杂的问题。

2、计算力学内容

有限差分法

有限单元法

边界学元法

加权残数法

第一章有限元法简介

§1-1引言

1、起源:50年代飞机结构矩阵分析

60年代推广到弹性平面应力问题,提出“有限单元法”。

2、方法:连续体一离散体

(1)将连续体分为有限个小单元体,彼此在结点处相连联结。

如图:

(2)选函数来近似单元位移分布规律,用虚功原理建立单元结点力与结点位移间的

关系。

3

如图:

(3)单元集合,得到以结点位移为未知量的代数方程组。

-[K]⑻=[R]

(4)求解方程组,得到结点位移,再求其他量。

3、实质:把具有无限自由度的连续体化为有限个自由度的单元集合体。

4、有限元法与经典解析法的区别

经典解析法从微元体入手,求解偏微分方程。

有限单元法从有限大小的单元体的力学特性入手,求解代数方程组。

5、有限单元法的优点

(1)概念浅,易掌握

(2)应用范围广

(3)矩阵表达式,易编程计算

§1-2简例

4

【单元分析】

对①单元

{/7=&:)/+k^vt+k^u2+k^v2

匕⑴=媚〃+成匕+成%2+%如2

叫)=燔〃+成匕+噌%+成乜

匕⑴=心:%+尺加+成%2+噌丫2

可写成

5

卜1)kK⑴

U,用)K\213%14W,

后⑴

匕⑴k⑴鼠23代24V)

>—研儿22

%⑴

kK⑴k⑴

碉32长33%34%

k⑴k⑴女⑴

公?鼠42%43K44」匕,

对②单元

.一»娟3)3

6)

6

(3

3一>u;'(3i

同理可得

烧)八2)

U?'鼠36u,

匕⑵喘)女⑵

陶长46V2

无⑵

up噌婿喈鼠56“3

女⑵

M⑵一党喈长66.匕.

【单元组装】

①单元改写为

U”飞;)靖)噌0o-U】

乂⑴掰)成成碳00匕

邛00u

>—噌胤)噌噌2

VJ端理)嵋陶00V2

0000000lly

0000000*

②单元改写为

0000000M,

0000000W

00唠出噌牖M,

“(2)

'V产K

00c吠46之

uf)00噌点唠%

“⑵

M⑵00嘤嘤K66_73.

6

X」M)偿噌噌00'%、

XK⑴心)嫩噌或00W

局)成域+益)媚;媚喏媚

Xu,+u,«2

可得2

八匕⑴+匕⑵胤)爆爆+噌媚+媚媚牖丫2

X、00小)唠唠唠“3

7s.〔匕⑵J00党点牖嘤

解释:

Zx=OX2-U^-U^=0=x2=u=+up

(l)(2)

ZY=0丫2-匕⑴一匕⑵=0=>y2=v2+V2

=>{R}=[K]{6}

【刚度系数的计算】

A/=cos0

需轴向压力=r△/=^cos6

x、y方向分量为:

I7APA

结点1,=(-y-COS^)COS^=-y-COS20

内;=(岸■cos0)sin0=cos0sin0

结点2,噂=-噌=-"cos?。

[7A

&4:1;)=一招ZI)=---jcos8sing

7

§1-3有限单元法计算过程概述

1、结构离散化

2、选位移模式

位移模式:单元位移分布假定

[门-单元内任一点位移,{5}一单元结点位移,[N]-形函数阵

如:

3、分析单元特性

(1)几何方程:{£}=[B]{b},

(2)物理方程:{<T}=[D][B]{J}e

(3)平衡方程:[R「=[k]"L

[k]-单刚阵[R--结点载荷阵

4、等效结点力

将外力移置到结点上。

5、集合单刚体,形成结构平衡方程

[K]"]=[R]

6、引入边界条件后,求解结点位移,计算单元应力

8

第二章平面问题的有限元法

§2-1三角形常应变单元

一、离散化

结点位移表示为:

{盯=[%V,.UjVjun,vj=[邛或]7

假设代入i,/,机的结点坐标,

[v=a4+%x+。6y

Uj=ax+。2玉+戊3%匕-。4+二5巧

=><%=%+a2Xj+a3yjvy.=a4+a5x.+a(iyj位移模式

u

,n=%+a/m+a3ymvnt=%++a6ym

=>,,%,%,%,%q

将药,%,%代入位移模式,

"(也+3+a〃,+(%+㈠+3飒+a+〃x+,/)〃"』

其中A,q,e,q为:

9

%

2A=

a,j,机)

1

4=XjJ,“一xy;b;=y-y„,;q=-(x-x)

m五m

N

.-(q+6jX+qy)

/_

N

.-L

令形函数4J2(%+/?/X+c.y)贝lj:u=NM+N秒j+N“M

NA±

w-

2

同理:v=NR+AN匕+Nmvni

MON,。N0

其中[N]为形函数阵,[N]=m为二阶单位阵

oM0Nj0

三、应变

一、

£

X,〃0耳0bm0

l卜

-<£=

v

»

I:

£

z

)

+

a-v

ax

n{e}=[8]{3『

也O'

其中n[6]=困BjB,„],闻0%("M

cb

L(t.

四、应力

{(T}=<ay”=[D]{e}=回[8]{b『,[D]见书本。

巴.

i〃o

平面应力问题固=占〃10

1一Ni

O0〜

2

io

10

1一〃

平面应变问题:固=£(「〃)A10

L」(1-2〃)(1+〃)1-〃

001*

§2-2形函数的性质

形函数N,=」-(%+4x+qy)

2A

1、形函数在结点上的值

N,a,%)=亢3+%+纱,)=1

M(弓,刀)=*(《++q刀)=0

对乂,bixj

N,G“,》,“)=[(4

+3“+。,几)=0

[2A

Nj(x,,y,)=O'N〃G,X)=O

同理:<Nj(xj,yj)=l,■NQj,y)=O

巴区,,%)=0乂(%%)=1

2、单元任一点上三个形函数之和

Ni(x,y)+Nj(x,y)+Nm(x,y)=l即三个形函数中只有两个独立。

3、在三角单元的一个边上

0

如手边,"边的方程式为:y-~~~—(x-x,.)+y;=—~—(x-x(.)+y;

Xi-xtXj—Xj

对于①单元,bm=y,.-y.cm=-(x.-x.)

11

:.y^--(x-xi}+yi

c,“

N,“(x,)')=am+b,„x+c,“一F(X一苫,)+'J[=2(《,,+既,£+%y,)=0

x—xx—X

N,(x,y)=l---------,N,(x,y)=——

Xixrx.,

对于②单元,Nj(x,y),N/x,y)与①相同,而N,“(x,y)=O。

在相邻三角形公共边上,如〃边,

N„,(x,y)=N“(x,y)=。

u=NM+NjUj

*

v=NM+NM

因此在公共边ij边上,位移U,V完全由公共边的(/的位移确定,相邻单元位移是

连续的。

§2-3刚度矩阵

一、单元刚度阵

设单元结点力:{R『=[q匕U,v}umvj

单元结点位移:3}''=[%匕勺,

单元结点虚位移:{b*『=[阴阳8Uj8vj8um8vJ

则单元内各点的虚位移:{门=[;,=皿]{6*}'

12

*

J

单元内各点的虚应变:k}=£:

.4.

外力虚功为:

风"+见匕+8ujUj+6vyj+8unfJm+8vnym

=应叫8uj8vj3umSvm][UiViUjVjUmVm]'

=({bT)[R}'

单元内应力在虚应变上的虚功为:

/、

[[,(£;%+£;%+匕%)”=[小,(£;£;匕)o-.vdV=^[e]{cy}tdxdy

虚功原理:

({bT)T[/?r=JJ{£*}{b}fdxdy

n{/?『=(

令[幻=\\[B][D][B]tdxdy——单元刚度矩阵

则位}'=内⑹'

对于三角形单元,伏]=[8『[0[8]也

原%kim

网=k'k/k》“

"刈%」6x6

JJ1—M7

„bb.+------cc.pbc.+23

Etrs2r

(r=i,j,ms=i,j,m)

4(1-〃2)△卜N卜

4c也+2"Jcc+—j,b,

rs2_

发M的向

.;做营贺号苧被腐d核‘4支水》'向夕"力

.•.一

-$.......~'

7金@------------

cmMNL

13

二、整体刚度阵

举例说明:

[幻=\\[B][D][B]tdxdy

乂⑴

单元①<

匕⑴

匕⑴

匕⑵

《2)

单元②

匕⑵

乂⑵

14

■U?

匕⑴

K[噌o]

«2

〃⑴+“(2)>(1),n(2)卜⑵

匕⑴+匕⑵V,

单元组装:•>=

“⑴:去⑵"⑴+"⑵“(2)

u;)+u?矶)“32十凡32“33十”33*34«3

匕⑴+匕⑵“(2)L(2)7,(2)V3

0“42”43儿44J

《2)(

.匕⑵%

所以{R}=[K]{6}

Y

其中{R}={R【R;R;{/?,}=(i=l,2,3,4)

M}=⑻8[si3J=削G=1,2,3,4)

三、整刚阵性质

(1)刚度阵每一列元素的物理意义:要是弹性体某一结点在坐标方向发生单位位移,

而其他结点位移都保持为零的变形状态,在所有结点上需要施加的结点力。

(2)刚度阵主元素总是正的。

(3)刚度阵是对称阵。

(4)刚度阵是稀疏阵。

(5)刚度阵在排除刚体位移后是正定阵。

15

§2-4等效结点力

1、集中力等效载荷阵

等效结点力{a'=出几F—耳」

虚功原理:集中载荷在虚位移上做的功等于等效结点力在结点虚位移上的功。

集中载荷做虚功:Gx6u+Gy6v={f}'{G}

等效结点力做虚功:

FM+耳+与@〃)+以阳+工,科,“+Fmy8vm=(M*}]{月"

由虚功原理:{F}e={f}T{G}

而{门=网肛,即{/*『=({町),[町

=俯}『{尸『=(㈤)阿{G}

={丹=['/{G}

(M)」G}

其中:但}'=[此外原5七小/<(M)c{G}>

.(NJ{G}.

(.\Fix\G

{用=/=(M)cG=(M)c{G}(i,j,m)

(N)为形函数N,在集中力作用点处的值。

16

2、表面力等效载荷阵{。}"

设表面力(单位面积上的力){4}=/

4,

等效结点力{。『=[。八2,Qjx0,。““Q,”J

表面力做虚功:j(q@"+q0)tds={q/ds

等效结点力做虚功:(桓*},{。}“

由虚功原理:(•*}'『{。『=[{f}T{q}tds

={。}'=口呵{。}"

{板

Q.JM

,[N.q)tds'

其中:QiyQixQiyQmx2,J=0,

Qm.

Q.

{2}={0'}=jM⑷心(bj,m)

匕5J

特例:

3、体积力等效载荷阵{P}‘

17

等效结点力{尸}'=出p,pjxpjyp心

体积力做虚功:+py3v)dV=J,{/"}'{p}tdxdy

等效结点力做虚功:(W}丁{P『

由虚功原理:(B}『{P},=\\{f}r{q}tdxdy

={0}'=[p}tdxdy

{p}tdxdy

P.

其中:{P『=出P,PjxPjyPmx%]'=1><JjNj{p*dxdy>

P",.JjN„,{p}fdxdy

7

{《}=,M>=JJM{p}tdxdy(i,j,m)

%

特例:自重p=<>

1-/J

若三种载荷同时作用在单元上,则等效结点力为:{R}'={F『+{Q『+{P『

18

§2-5热应力计算

1、应力应变关系

设a为热膨胀系数,T为温度改变值,卜。}为温度变化造成的应力。

对于平面应力问题:{/}=aT[l10]r

对于平面应变问题:{%}=(l+〃)ani1Of

则应力应变关系为:Q}=。](㈤-{%})

=>{"=⑵(闻⑶{岛})

如:平面应力问题,温度变化和载荷共同作用

2、热载荷阵

考虑热应力,弹性体内应力在虚应变上做的虚功为:

e

价*}'{cr}tdxdy=JJ{Zf[D]([B]{S}-{s0})tdxdy

=^*}C)r(\\[B]T[D][B]{^}etdxdy⑹-JJ网,[。电。}汕办)

外力在结点虚位移上做虚功:

e

由虚功原理得:{R}'+\\[BY[D]{£0}tdxdy^[k]{^}

令{//}'=JJ网,[£>]{£()}冠xdy---热载荷阵,

则:{??}'+{"}'=伙]{阡

对于平面应力问题,如三角形单元:

19

{"}'=0W,[0aTU1Oftdxdy二费/,qh

j%bm%/[,。哂

【说明】

§2-6收敛准则

一、收敛准则

收敛性要求满足:

1、位移模式需包含单元刚体位移

,一工V…一伍=%+%x+a3y

如二角形单兀,1123)

v=a4+%冗+。6y

【从应变角度分析】

单元发生刚体运动且无外力时,应变邑与右,应为零,即:

du-dvdudv八

—=0;—=0;—+—=0

dxdydydx

得:a2=a6=0;%+%=0

[u=a,、

/J13)(1)

[v=a4+a5x

【从刚体位移角度分析】

东若三角形单元绕z轴做刚体转动跳角,则:

s,、〜口«=sin0=-co^y

任后、一点A(x,y)的位移是:,

v=rcoQcos0=co[}x

20

*若三角形还有沿x轴和y轴的刚体平移位移“0,%

则总位移为:…。一阳⑵

+为x

-&,

对比(1)、(2)可得:a}-M();%=%;«3-0;。5=。0

最终可得:/=〃0;。2=0;a3=-COQ;%=%;%=利);。6=0

可见:«,%4%提供刚体位移。

2、位移模式须包含常应变

应变包括常应变和变应变,

dudvdudv

£*==%;f=—=<z-,r,=—+—=a+a

oxoyv6•onyoxi5

可见:a?aba3%提供常应变。

结论:位移模式中应包含一次项和常数项(对于三角单元,4%不仅是刚体位移的需

要,也是常应变的需要)。

3、位移模式须在单元内位移连续、相邻单元间位移协调

单元内连续(单元位移不间断)——选多项式构造位移模式即可满足。

单元间协调(单元间不开裂,也不挤入)——单元交界面上位移由该交界面上的结点位

移确定。

总结:满足条件1、2——完备单元

满足条件3——协调单元

满足条件1、2、3——完备协调单元(收敛性要求)。

二、多项式位移模式的选择

21

要求:1、几何各向同性——不应有一个偏惠的坐标方向

1

x:y

x2xyy2

x3x2y:xy2y3

x4x2y2xy3y4

2、多项式项数等于或稍大于单元结点自由度数

§2-7实施步骤

一、求解步骤

二、注意事项

1、对称性的利用

22

结构对称、受力反对称——变形反对称

2、结点选择、单元划分

(1)以集中载荷作用点,分布载荷起终点,约束支承点作为结点。

(2)物体厚度有变,或有不同材料组成,则不要把厚度不同或材料不同的区域划在

一个单元内。

(3)在应力变化剧烈的区域,单元应划分的密一些。

(4)单元各条边长度不要悬殊太大。

3、结点编号

同一单元相邻结点号之差应尽量小。

23

4、边界条件处理

采取指定位移处理方法。如:

方法一:修改矩阵法

方程改写为:

1000[〃[B、

。七2夫2-后2圈-氏23夕3

0010%A

。”44_了2七一”414一火43A

0%42

求出匕后代入原式,可求/?1,尺2。

方法二:置大数法

方程改写为:

%「十%12匕3%14MrW5

“21及22^23%24

匕>—<

儆31。」

2。5

&32攵34〃2

人攵42上43攵44_

近似求出匕,岭后代入原式,可求飞,凡。

24

5、应力计算结果处理

(1)绕结点平均法

=/4加+(%)⑵+(%)⑶+(%)(4)+(q)⑸+(q)⑹]

(2)单元平均法

=,9儿)+C

3)=;[(%)⑵+(/)(”]

A、B、C为公共边界中点。

W)c=g3、)⑶+。)(4)】

§2-8矩形单元

25

设任一点坐标:]x=%+殆一点位置映射

其中(了0,汽)为矩形单元中点坐标。

设该点位移为:

।2:3/4:/―一点位移映射(位移模式)

由结点位移,如(-1,-1)—>(%,匕)

4

Z

〃=

E

nw

r-//

l=

4lAI

NV

V=z匕

/=i

0NQN.0N0

其中[N]=<24

N、0N20华0%

N,=(l+4)(1+%)/4,4。=基,%=mi=l,2,3,4

总结:

u=u{x,y)

v=v(xj)

v=v(f,〃)

,13

a3g

£史

X1aN

于㈤

-£>--<

y/axb18-

a-v

£I

Z史1a1

ay〃

/++

a-w-1一451

私b8"S

ayk

=>{£}=网.『

=>{<7}=[0网同

n{k}=^[BY[D][B]tdxdy=ff[BY[D][B]tabd^d?j

26

等效结点力计算同三角形单元。

【说明】

(1)位移模式中有常数项、一次项——完备元。

(2)边界位移协调——协调元。

例如图中单元:在kj边上,

对于①单元,J=1

u-ay+a2+a3rj+a4rl=@+a2)+(%+%)〃=4+

_uj+uk

,1-2

由「

uk=At+A2._Uk-Uj

.2-2

对于②单元,^=-1

u=a;-a2+a3rl-%〃=(a;-&)+Q-%j〃=A;+A2rj

由<J_=><

限=4+44=七乜=4

I2-

所以〃在以边上协调,同理v在灯边上也协调。

(3)矩形单元不是常应力常应变单元。

q沿y方向线性分布,o■,沿x方向线性分布,%沿小y两方向线性分布。

(4)矩形单元的缺点:

1)不能适应斜边界,曲线边界;

2)不便于对不同部位采用不同大小的单元。

27

§2-9三角形单元面积坐标

ATAijin的面积;

A.->\pjm的面积;Apini的面积;即炉的面积

令L=幺,L=当,L=4

AAA

4,4,L,“为p点面积坐标。

A+匕+Lm=14,乙,4中只有两个独立。

可以证明:L:=Ni,Lm=Nm

x=xiLi+xjLj+xmLmuL+UjLj+u“,L“,

y=+刀4+y,„L„,v=v.L.+v,L.+vmLm

【说明】

我为弟无

点.我船

注:Lm=\-L-Lj

28

X=xL+XjLj+xJ,“

单元内任意一点坐标:

y=M,+yjLj+y“L“

u=uL+uL+uL

而位移模式:iiJJmm

VVLVLVL

^ii+jj+,nm

{/}=:=卬]的

0L,0L0

其中W]=m

L,0儿0Lm

可见:

点坐标(见”,疝,协一|点位移(U,V)

变换飞

位置映於

\/

局部坐标&也)

注:点位置映射的变换与位移模式的变化在形式上可以相同,也可以不相同。

&

V加

--一»=网{亚

包dv

办十一

dx

Q}=⑵网⑶

{k}=\\[Bir[D][B]tdxdy

三角形面积上积分:口"阻9=31省产-,⑼

a邛、

三角形边上积分:'以4ds■I(ijm)

(a+〃+l)!

其中a;/?7为整常数。

1!1!…1

如:jj^Ljdxdy----------2A=-----------2A=A(a=1;£=l;y=0)

(1+1+2)!4x3x2xl

29

§2-10习题讲解

N

已知:平板尺寸如图所示,厚度为f,受载荷集度为4的均布载荷作用,划分2个单元

求:单元应力。

解:

1、划分单元,结点编号

2、求单刚阵

对单元①:对单元②:

噌K7

伙]⑴=噌成

图)成

3、组装总刚阵

7-4-4-2-3-200

413-2-12-2-100

靖)k⑴

鼠12〜30-4-27004-3-2

码)成+磴掰)+成)唠_3Et-2-1201340-2-1

[勺=

6⑴4〃2)~12

研假32十人32“33十代33媾-3-20470-4-2

0娉)-2-140013-2-12

00-3-2-4-274

00-2-1-2-12413

4、计算等效结点力:

[01

q=\\

{。}'=]阿{加5=[&Qy&Q3y*Q,J=[0000_乎了

原结构变为:

30

7-4-4-2-3-20

温馨提示

  • 1. 本站所有资源如无特殊说明,都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
  • 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等,如果需要附件,请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
  • 3. 本站RAR压缩包中若带图纸,网页内容里面会有图纸预览,若没有图纸预览就没有图纸。
  • 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
  • 5. 人人文库网仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑,并不能对任何下载内容负责。
  • 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容,请与我们联系,我们立即纠正。
  • 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。

评论

0/150

提交评论