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文档简介
绪论计算力学简介.........................................................3
第一章有限元法简介.......................................................3
§1-1引言..............................................................3
§1-2简例..............................................................4
§1-3有限单元法计算过程概述............................................8
第二章平面问题的有限元法.................................................9
§2-1三角形常应变单元..................................................9
§2-2形函数的性质.....................................................11
§2-3刚度矩阵.........................................................12
§2-4等效结点力.......................................................16
§2-5热应力计算.......................................................19
§2-6收敛准则.........................................................20
§2-7实施步骤.........................................................22
§2-8矩形单元.........................................................25
§2-9三角形单元面积坐标...............................................28
§2-10习题讲解........................................................30
第三章空间问题..........................................................32
§3-1四面体常应变单元.................................................32
§3-2刚度阵、等效结点力...............................................33
第四章轴对称问题........................................................33
§4-1三角形截面环单元.................................................33
§4-2单刚阵...........................................................35
§4-3等效结点力.......................................................36
§4-4精确刚度阵计算...................................................38
第五章等参数单元........................................................39
§5-1平面等参元.......................................................39
§5-2高斯求积法.......................................................46
§5-3等参元形态.......................................................48
§5-4轴对称等参元.....................................................50
§5-5空间等参元.......................................................51
第六章杆件系统有限元法................................................53
§6-1等截面梁单元....................................................53
§6-2等效结点力.....................................................55
§6-3坐标变换.......................................................58
§6-4板与杆的组合结构...............................................61
§6-5空间杆件系统...................................................63
第七章板的弯曲..........................................................65
§7-1引言.............................................................65
§7-2矩形薄板单元...................................................66
§7-3考虑横向剪切影响的平板弯曲单元.................................71
第八章壳的弯曲..........................................................77
§8-1平板壳体单元...................................................77
第九章动力学问题有限元法................................................81
§9-1动力学方程和质量阵、阻尼阵.....................................81
§9-2无阻尼自由振动.................................................83
第十章材料非线性问题的有限元法.........................................86
§10-1非线性问题求解方法............................................86
§10-2弹塑性有限元法................................................94
§10-3弹塑性问题的求解方法..........................................97
第十一章加权残数法.....................................................98
§11-1方法概述......................................................98
§11-2分类..........................................................99
§11-3最小二乘法...................................................101
各种单元的特点..........................................................102
2
绪论计算力学简介
1、计算力学概念
以数值计算方法求解力学问题的方法。
实质:将求解复杂的微分方程组问题转化为求解代数方程组问题;
优点:①可求解解析法难以解决的问题,绘出趋近于精确解的近似解。
②可利用计算机解决十分庞大复杂的问题。
2、计算力学内容
有限差分法
有限单元法
边界学元法
加权残数法
第一章有限元法简介
§1-1引言
1、起源:50年代飞机结构矩阵分析
60年代推广到弹性平面应力问题,提出“有限单元法”。
2、方法:连续体一离散体
(1)将连续体分为有限个小单元体,彼此在结点处相连联结。
如图:
(2)选函数来近似单元位移分布规律,用虚功原理建立单元结点力与结点位移间的
关系。
3
如图:
(3)单元集合,得到以结点位移为未知量的代数方程组。
-[K]⑻=[R]
(4)求解方程组,得到结点位移,再求其他量。
3、实质:把具有无限自由度的连续体化为有限个自由度的单元集合体。
4、有限元法与经典解析法的区别
经典解析法从微元体入手,求解偏微分方程。
有限单元法从有限大小的单元体的力学特性入手,求解代数方程组。
5、有限单元法的优点
(1)概念浅,易掌握
(2)应用范围广
(3)矩阵表达式,易编程计算
§1-2简例
4
【单元分析】
对①单元
{/7=&:)/+k^vt+k^u2+k^v2
匕⑴=媚〃+成匕+成%2+%如2
叫)=燔〃+成匕+噌%+成乜
匕⑴=心:%+尺加+成%2+噌丫2
可写成
5
卜1)kK⑴
U,用)K\213%14W,
后⑴
匕⑴k⑴鼠23代24V)
>—研儿22
%⑴
kK⑴k⑴
碉32长33%34%
k⑴k⑴女⑴
公?鼠42%43K44」匕,
对②单元
.一»娟3)3
6)
6
(3
3一>u;'(3i
同理可得
烧)八2)
U?'鼠36u,
匕⑵喘)女⑵
陶长46V2
无⑵
up噌婿喈鼠56“3
女⑵
M⑵一党喈长66.匕.
【单元组装】
①单元改写为
U”飞;)靖)噌0o-U】
乂⑴掰)成成碳00匕
邛00u
>—噌胤)噌噌2
VJ端理)嵋陶00V2
0000000lly
0000000*
②单元改写为
0000000M,
0000000W
00唠出噌牖M,
“(2)
'V产K
00c吠46之
uf)00噌点唠%
“⑵
M⑵00嘤嘤K66_73.
6
X」M)偿噌噌00'%、
XK⑴心)嫩噌或00W
局)成域+益)媚;媚喏媚
Xu,+u,«2
可得2
八匕⑴+匕⑵胤)爆爆+噌媚+媚媚牖丫2
X、00小)唠唠唠“3
7s.〔匕⑵J00党点牖嘤
解释:
Zx=OX2-U^-U^=0=x2=u=+up
(l)(2)
ZY=0丫2-匕⑴一匕⑵=0=>y2=v2+V2
=>{R}=[K]{6}
【刚度系数的计算】
A/=cos0
需轴向压力=r△/=^cos6
x、y方向分量为:
I7APA
结点1,=(-y-COS^)COS^=-y-COS20
内;=(岸■cos0)sin0=cos0sin0
结点2,噂=-噌=-"cos?。
[7A
&4:1;)=一招ZI)=---jcos8sing
7
§1-3有限单元法计算过程概述
1、结构离散化
2、选位移模式
位移模式:单元位移分布假定
[门-单元内任一点位移,{5}一单元结点位移,[N]-形函数阵
如:
3、分析单元特性
(1)几何方程:{£}=[B]{b},
(2)物理方程:{<T}=[D][B]{J}e
(3)平衡方程:[R「=[k]"L
[k]-单刚阵[R--结点载荷阵
4、等效结点力
将外力移置到结点上。
5、集合单刚体,形成结构平衡方程
[K]"]=[R]
6、引入边界条件后,求解结点位移,计算单元应力
8
第二章平面问题的有限元法
§2-1三角形常应变单元
一、离散化
结点位移表示为:
{盯=[%V,.UjVjun,vj=[邛或]7
假设代入i,/,机的结点坐标,
[v=a4+%x+。6y
Uj=ax+。2玉+戊3%匕-。4+二5巧
=><%=%+a2Xj+a3yjvy.=a4+a5x.+a(iyj位移模式
u
,n=%+a/m+a3ymvnt=%++a6ym
=>,,%,%,%,%q
将药,%,%代入位移模式,
"(也+3+a〃,+(%+㈠+3飒+a+〃x+,/)〃"』
其中A,q,e,q为:
9
%
2A=
a,j,机)
1
4=XjJ,“一xy;b;=y-y„,;q=-(x-x)
m五m
N
.-(q+6jX+qy)
/_
N
.-L
令形函数4J2(%+/?/X+c.y)贝lj:u=NM+N秒j+N“M
NA±
w-
2
同理:v=NR+AN匕+Nmvni
MON,。N0
其中[N]为形函数阵,[N]=m为二阶单位阵
oM0Nj0
三、应变
一、
£
X,〃0耳0bm0
l卜
-<£=
v
»
I:
£
z
)
+
a-v
ax
n{e}=[8]{3『
也O'
其中n[6]=困BjB,„],闻0%("M
cb
L(t.
四、应力
{(T}=<ay”=[D]{e}=回[8]{b『,[D]见书本。
巴.
i〃o
平面应力问题固=占〃10
1一Ni
O0〜
2
io
10
1一〃
平面应变问题:固=£(「〃)A10
L」(1-2〃)(1+〃)1-〃
001*
§2-2形函数的性质
形函数N,=」-(%+4x+qy)
2A
1、形函数在结点上的值
N,a,%)=亢3+%+纱,)=1
M(弓,刀)=*(《++q刀)=0
对乂,bixj
N,G“,》,“)=[(4
+3“+。,几)=0
[2A
Nj(x,,y,)=O'N〃G,X)=O
同理:<Nj(xj,yj)=l,■NQj,y)=O
巴区,,%)=0乂(%%)=1
2、单元任一点上三个形函数之和
Ni(x,y)+Nj(x,y)+Nm(x,y)=l即三个形函数中只有两个独立。
3、在三角单元的一个边上
0
如手边,"边的方程式为:y-~~~—(x-x,.)+y;=—~—(x-x(.)+y;
Xi-xtXj—Xj
对于①单元,bm=y,.-y.cm=-(x.-x.)
11
:.y^--(x-xi}+yi
c,“
N,“(x,)')=am+b,„x+c,“一F(X一苫,)+'J[=2(《,,+既,£+%y,)=0
x—xx—X
N,(x,y)=l---------,N,(x,y)=——
Xixrx.,
对于②单元,Nj(x,y),N/x,y)与①相同,而N,“(x,y)=O。
在相邻三角形公共边上,如〃边,
N„,(x,y)=N“(x,y)=。
u=NM+NjUj
*
v=NM+NM
因此在公共边ij边上,位移U,V完全由公共边的(/的位移确定,相邻单元位移是
连续的。
§2-3刚度矩阵
一、单元刚度阵
设单元结点力:{R『=[q匕U,v}umvj
单元结点位移:3}''=[%匕勺,
单元结点虚位移:{b*『=[阴阳8Uj8vj8um8vJ
则单元内各点的虚位移:{门=[;,=皿]{6*}'
12
*
J
单元内各点的虚应变:k}=£:
.4.
外力虚功为:
风"+见匕+8ujUj+6vyj+8unfJm+8vnym
=应叫8uj8vj3umSvm][UiViUjVjUmVm]'
=({bT)[R}'
单元内应力在虚应变上的虚功为:
/、
巴
[[,(£;%+£;%+匕%)”=[小,(£;£;匕)o-.vdV=^[e]{cy}tdxdy
虚功原理:
({bT)T[/?r=JJ{£*}{b}fdxdy
n{/?『=(
令[幻=\\[B][D][B]tdxdy——单元刚度矩阵
则位}'=内⑹'
对于三角形单元,伏]=[8『[0[8]也
原%kim
网=k'k/k》“
"刈%」6x6
JJ1—M7
„bb.+------cc.pbc.+23
Etrs2r
(r=i,j,ms=i,j,m)
4(1-〃2)△卜N卜
4c也+2"Jcc+—j,b,
rs2_
发M的向
.;做营贺号苧被腐d核‘4支水》'向夕"力
.•.一
-$.......~'
7金@------------
cmMNL
13
二、整体刚度阵
举例说明:
[幻=\\[B][D][B]tdxdy
乂⑴
单元①<
匕⑴
匕⑴
匕⑵
《2)
单元②
匕⑵
乂⑵
14
■U?
匕⑴
匕
K[噌o]
«2
〃⑴+“(2)>(1),n(2)卜⑵
匕⑴+匕⑵V,
单元组装:•>=
“⑴:去⑵"⑴+"⑵“(2)
u;)+u?矶)“32十凡32“33十”33*34«3
匕⑴+匕⑵“(2)L(2)7,(2)V3
0“42”43儿44J
《2)(
.匕⑵%
所以{R}=[K]{6}
Y
其中{R}={R【R;R;{/?,}=(i=l,2,3,4)
M}=⑻8[si3J=削G=1,2,3,4)
三、整刚阵性质
(1)刚度阵每一列元素的物理意义:要是弹性体某一结点在坐标方向发生单位位移,
而其他结点位移都保持为零的变形状态,在所有结点上需要施加的结点力。
(2)刚度阵主元素总是正的。
(3)刚度阵是对称阵。
(4)刚度阵是稀疏阵。
(5)刚度阵在排除刚体位移后是正定阵。
15
§2-4等效结点力
1、集中力等效载荷阵
等效结点力{a'=出几F—耳」
虚功原理:集中载荷在虚位移上做的功等于等效结点力在结点虚位移上的功。
集中载荷做虚功:Gx6u+Gy6v={f}'{G}
等效结点力做虚功:
FM+耳+与@〃)+以阳+工,科,“+Fmy8vm=(M*}]{月"
由虚功原理:{F}e={f}T{G}
而{门=网肛,即{/*『=({町),[町
=俯}『{尸『=(㈤)阿{G}
={丹=['/{G}
(M)」G}
其中:但}'=[此外原5七小/<(M)c{G}>
.(NJ{G}.
(.\Fix\G
{用=/=(M)cG=(M)c{G}(i,j,m)
(N)为形函数N,在集中力作用点处的值。
16
2、表面力等效载荷阵{。}"
设表面力(单位面积上的力){4}=/
4,
等效结点力{。『=[。八2,Qjx0,。““Q,”J
表面力做虚功:j(q@"+q0)tds={q/ds
等效结点力做虚功:(桓*},{。}“
由虚功原理:(•*}'『{。『=[{f}T{q}tds
={。}'=口呵{。}"
{板
Q.JM
,[N.q)tds'
其中:QiyQixQiyQmx2,J=0,
Qm.
Q.
{2}={0'}=jM⑷心(bj,m)
匕5J
特例:
3、体积力等效载荷阵{P}‘
17
等效结点力{尸}'=出p,pjxpjyp心
体积力做虚功:+py3v)dV=J,{/"}'{p}tdxdy
等效结点力做虚功:(W}丁{P『
由虚功原理:(B}『{P},=\\{f}r{q}tdxdy
={0}'=[p}tdxdy
{p}tdxdy
P.
其中:{P『=出P,PjxPjyPmx%]'=1><JjNj{p*dxdy>
P",.JjN„,{p}fdxdy
7
{《}=,M>=JJM{p}tdxdy(i,j,m)
%
特例:自重p=<>
1-/J
若三种载荷同时作用在单元上,则等效结点力为:{R}'={F『+{Q『+{P『
18
§2-5热应力计算
1、应力应变关系
设a为热膨胀系数,T为温度改变值,卜。}为温度变化造成的应力。
对于平面应力问题:{/}=aT[l10]r
对于平面应变问题:{%}=(l+〃)ani1Of
则应力应变关系为:Q}=。](㈤-{%})
=>{"=⑵(闻⑶{岛})
如:平面应力问题,温度变化和载荷共同作用
2、热载荷阵
考虑热应力,弹性体内应力在虚应变上做的虚功为:
e
价*}'{cr}tdxdy=JJ{Zf[D]([B]{S}-{s0})tdxdy
=^*}C)r(\\[B]T[D][B]{^}etdxdy⑹-JJ网,[。电。}汕办)
外力在结点虚位移上做虚功:
e
由虚功原理得:{R}'+\\[BY[D]{£0}tdxdy^[k]{^}
令{//}'=JJ网,[£>]{£()}冠xdy---热载荷阵,
则:{??}'+{"}'=伙]{阡
对于平面应力问题,如三角形单元:
19
{"}'=0W,[0aTU1Oftdxdy二费/,qh
j%bm%/[,。哂
【说明】
§2-6收敛准则
一、收敛准则
收敛性要求满足:
1、位移模式需包含单元刚体位移
,一工V…一伍=%+%x+a3y
如二角形单兀,1123)
v=a4+%冗+。6y
【从应变角度分析】
单元发生刚体运动且无外力时,应变邑与右,应为零,即:
du-dvdudv八
—=0;—=0;—+—=0
dxdydydx
得:a2=a6=0;%+%=0
[u=a,、
/J13)(1)
[v=a4+a5x
【从刚体位移角度分析】
东若三角形单元绕z轴做刚体转动跳角,则:
s,、〜口«=sin0=-co^y
任后、一点A(x,y)的位移是:,
v=rcoQcos0=co[}x
20
*若三角形还有沿x轴和y轴的刚体平移位移“0,%
则总位移为:…。一阳⑵
+为x
-&,
对比(1)、(2)可得:a}-M();%=%;«3-0;。5=。0
最终可得:/=〃0;。2=0;a3=-COQ;%=%;%=利);。6=0
可见:«,%4%提供刚体位移。
2、位移模式须包含常应变
应变包括常应变和变应变,
dudvdudv
£*==%;f=—=<z-,r,=—+—=a+a
oxoyv6•onyoxi5
可见:a?aba3%提供常应变。
结论:位移模式中应包含一次项和常数项(对于三角单元,4%不仅是刚体位移的需
要,也是常应变的需要)。
3、位移模式须在单元内位移连续、相邻单元间位移协调
单元内连续(单元位移不间断)——选多项式构造位移模式即可满足。
单元间协调(单元间不开裂,也不挤入)——单元交界面上位移由该交界面上的结点位
移确定。
总结:满足条件1、2——完备单元
满足条件3——协调单元
满足条件1、2、3——完备协调单元(收敛性要求)。
二、多项式位移模式的选择
21
要求:1、几何各向同性——不应有一个偏惠的坐标方向
1
x:y
x2xyy2
x3x2y:xy2y3
x4x2y2xy3y4
2、多项式项数等于或稍大于单元结点自由度数
§2-7实施步骤
一、求解步骤
二、注意事项
1、对称性的利用
22
结构对称、受力反对称——变形反对称
2、结点选择、单元划分
(1)以集中载荷作用点,分布载荷起终点,约束支承点作为结点。
(2)物体厚度有变,或有不同材料组成,则不要把厚度不同或材料不同的区域划在
一个单元内。
(3)在应力变化剧烈的区域,单元应划分的密一些。
(4)单元各条边长度不要悬殊太大。
3、结点编号
同一单元相邻结点号之差应尽量小。
23
4、边界条件处理
采取指定位移处理方法。如:
方法一:修改矩阵法
方程改写为:
1000[〃[B、
。七2夫2-后2圈-氏23夕3
0010%A
。”44_了2七一”414一火43A
0%42
求出匕后代入原式,可求/?1,尺2。
方法二:置大数法
方程改写为:
%「十%12匕3%14MrW5
“21及22^23%24
匕>—<
儆31。」
2。5
&32攵34〃2
人攵42上43攵44_
近似求出匕,岭后代入原式,可求飞,凡。
24
5、应力计算结果处理
(1)绕结点平均法
=/4加+(%)⑵+(%)⑶+(%)(4)+(q)⑸+(q)⑹]
(2)单元平均法
=,9儿)+C
3)=;[(%)⑵+(/)(”]
A、B、C为公共边界中点。
W)c=g3、)⑶+。)(4)】
§2-8矩形单元
25
设任一点坐标:]x=%+殆一点位置映射
其中(了0,汽)为矩形单元中点坐标。
设该点位移为:
।2:3/4:/―一点位移映射(位移模式)
由结点位移,如(-1,-1)—>(%,匕)
4
Z
〃=
E
nw
r-//
l=
4lAI
NV
V=z匕
/=i
0NQN.0N0
其中[N]=<24
N、0N20华0%
N,=(l+4)(1+%)/4,4。=基,%=mi=l,2,3,4
总结:
u=u{x,y)
v=v(xj)
v=v(f,〃)
,13
〃
a3g
£史
X1aN
由
于㈤
-£>--<
y/axb18-
a-v
£I
Z史1a1
ay〃
/++
a-w-1一451
私b8"S
ayk
=>{£}=网.『
=>{<7}=[0网同
n{k}=^[BY[D][B]tdxdy=ff[BY[D][B]tabd^d?j
26
等效结点力计算同三角形单元。
【说明】
(1)位移模式中有常数项、一次项——完备元。
(2)边界位移协调——协调元。
例如图中单元:在kj边上,
对于①单元,J=1
u-ay+a2+a3rj+a4rl=@+a2)+(%+%)〃=4+
_uj+uk
,1-2
由「
uk=At+A2._Uk-Uj
.2-2
对于②单元,^=-1
u=a;-a2+a3rl-%〃=(a;-&)+Q-%j〃=A;+A2rj
由<J_=><
限=4+44=七乜=4
I2-
所以〃在以边上协调,同理v在灯边上也协调。
(3)矩形单元不是常应力常应变单元。
q沿y方向线性分布,o■,沿x方向线性分布,%沿小y两方向线性分布。
(4)矩形单元的缺点:
1)不能适应斜边界,曲线边界;
2)不便于对不同部位采用不同大小的单元。
27
§2-9三角形单元面积坐标
ATAijin的面积;
A.->\pjm的面积;Apini的面积;即炉的面积
令L=幺,L=当,L=4
AAA
4,4,L,“为p点面积坐标。
A+匕+Lm=14,乙,4中只有两个独立。
可以证明:L:=Ni,Lm=Nm
x=xiLi+xjLj+xmLmuL+UjLj+u“,L“,
y=+刀4+y,„L„,v=v.L.+v,L.+vmLm
【说明】
我为弟无
点.我船
注:Lm=\-L-Lj
28
X=xL+XjLj+xJ,“
单元内任意一点坐标:
y=M,+yjLj+y“L“
u=uL+uL+uL
而位移模式:iiJJmm
VVLVLVL
^ii+jj+,nm
{/}=:=卬]的
0L,0L0
其中W]=m
L,0儿0Lm
可见:
点坐标(见”,疝,协一|点位移(U,V)
变换飞
位置映於
\/
局部坐标&也)
注:点位置映射的变换与位移模式的变化在形式上可以相同,也可以不相同。
史
&
V加
--一»=网{亚
办
包dv
办十一
dx
Q}=⑵网⑶
{k}=\\[Bir[D][B]tdxdy
三角形面积上积分:口"阻9=31省产-,⑼
a邛、
三角形边上积分:'以4ds■I(ijm)
(a+〃+l)!
其中a;/?7为整常数。
1!1!…1
如:jj^Ljdxdy----------2A=-----------2A=A(a=1;£=l;y=0)
(1+1+2)!4x3x2xl
29
§2-10习题讲解
一
力
彳
一
N
已知:平板尺寸如图所示,厚度为f,受载荷集度为4的均布载荷作用,划分2个单元
求:单元应力。
解:
1、划分单元,结点编号
2、求单刚阵
对单元①:对单元②:
噌K7
伙]⑴=噌成
图)成
3、组装总刚阵
7-4-4-2-3-200
413-2-12-2-100
靖)k⑴
鼠12〜30-4-27004-3-2
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