九年级数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪教版）第24章 相似三角形全章复习与测试（解析版）

第24章相似三角形全章复习与测试【知识梳理】1.相似形2.比例线段3.三角形一边的平行线4.三角形的重心5.平行线分线段成比例定理：两条直线被三条直线所截，截得的对应线段成比例；平行线等分线段定理：两条直线被三条平行的直线所截，如果在一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等.6.相似三角形的判定相似三角形的7.相似三角形的性质注：以上定理均要从文字、图形、符号三个方面去理解掌握.8.实数与向量相乘：设k是实数，是向量，那么k与相乘所得的积是一个向量，记作.若，则；若，则；9.运算律：（1）实数与向量相乘对于实数加法的分配律：；（2）实数与向量相乘对于向量加法的分配律：；（3）实数与向量相乘的结合律：.10.平行向量定理：如果向量与非零向量平行，那么存在唯一的实数m，使.11.单位向量：长度为1的向量；设与非零向量方向相同的单位向量为，则：，.12.向量的线性运算：向量加法、减法、实数与向量相乘以及它们的混合运算.已知是两个不平行的向量，向量可以用表示成（x，y是实数）的形式.那么：向量就是向量的合成（向量分解为两个向量）；向量是向量分别在方向上的分向量，或者是向量关于的分解式.【考点剖析】一．三角形的重心（共7小题）1．（2023•青浦区一模）三角形的重心是（）A．三角形三条角平分线的交点 B．三角形三条中线的交点 C．三角形三条边的垂直平分线的交点 D．三角形三条高的交点【分析】根据三角形的重心概念作出回答，结合选项得出结果．【解答】解：三角形的重心是三角形三条中线的交点．故选：B．【点评】考查了三角形的重心的概念．三角形的外心是三角形的三条垂直平分线的交点；三角形的内心是三角形的三条角平分线的交点．2．（2023•黄浦区二模）已知点G是△ABC的重心，设，，那么用、可表示为．【分析】根据重心的性质以及向量线性运算即可求出答案．【解答】解：设AB的中点为D，∴＝＝×（+）＝＝，故答案为：．【点评】本题考查平面向量运算，解题的关键是熟练运用平面向量的线性运算以及三角形的重心，本题属于基础题型．3．（2023•奉贤区一模）在△ABC中，AD是BC边上的中线，G是重心．如果AD＝6，那么线段DG的长是2．【分析】根据重心的性质三角形的重心到一顶点的距离等于到对边中点距离的2倍，直接求得结果．【解答】解：∵三角形的重心到顶点的距离是其到对边中点的距离的2倍，∴DG＝AG＝2．故答案为：2．【点评】本题考查的是三角形的重心，熟知心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1是解题的关键．4．（2023•浦东新区二模）如图4，AD过△ABC的重心G，设向量＝，＝，那么向量＝+．（结果用、表示）【分析】根据三角形的重心的性质以及三角形法则求解．【解答】解：∵AD过△ABC的重心G，∴AG＝AD，＝＝，∵＝+＝+，∴＝+．故答案为：+．【点评】本题考查三角形的重心，三角形法则等知识，解题的关键是掌握三角形的重心的性质，属于中考常考题型．5．（2023•金山区一模）如图，△ABC为等腰直角三角形，∠A＝90°，AB＝6，G1为△ABC的重心，E为线段AB上任意一动点，以CE为斜边作等腰Rt△CDE（点D在直线BC的上方），G2为Rt△CDE的重心，设G1、G2两点的距离为d，那么在点E运动过程中d的取值范围是0≤d≤．【分析】分别求出d的最小值和最大值，即可得到d的取值范围．【解答】解：当E与B重合时，G1与G2重合，此时d最小为0，当E与A重合时，G1G2最大，连接并延长AG1交BC于H，连接并延长DG2交AC于K，连接HK，过G2作G2T⊥AH于T，如图：∵G1为等腰直角三角形ABC的重心，∴H为BC中点，∴∠AHB＝∠AHC＝90°，∴△ABH和△ACH是等腰直角三角形，∴BH＝CH＝AH＝＝3，∵AG1＝2G1H，∴AG1＝2，G1H＝，∵G2是为等腰Rt△CDE的重心，∴K为AC中点，∴∠AKD＝∠CKD＝90°，∠AKH＝∠CKH＝90°，∴∠AKD+∠AKH＝180°，∴D，K，H共线，∵AK＝CK＝DK＝AC＝AB＝3＝HK，∴G2K＝DK＝1，G2D＝DK﹣G2K＝2，∴G2H＝G2K+HK＝4，∵TG2∥ED，∴＝＝＝＝，即＝＝，∴TG2＝2，TH＝2，∴TG1＝TH﹣G1H＝，∴G1G2＝＝，∴G1G2最大值为，∴G1G2的范围是0≤G1G2≤，故答案为：0≤d≤．【点评】本题考查三角形的重心，涉及等腰直角三角形的性质及应用，解题的关键是掌握三角形重心的性质．6．（2023•徐汇区一模）如图，已知G为△ABC的重心，过点G作BC的平行线交边AB和AC于点D、E．设＝，＝，试用x+y（x、y为实数）的形式表示向量＝﹣+．【分析】由三角形重心的性质，相似三角形的判定和性质，平面向量的减法公式，即可求解．【解答】解：连接AG并延长交BC于M，∵G为△ABC的重心，∴AG：AM＝2：3，∵DE∥BC，∴AD：AB＝AG：AM＝2：3，∵△ADE∽△ABC，∴DE：BC＝AD：AB＝2：3，∴＝，∵＝﹣＝﹣，∴＝（﹣）＝﹣+．故答案为：﹣+．【点评】本题考查平面向量，三角形的重心，关键是掌握平面向量的有关公式．7．（2023•松江区一模）已知△ABC，P是边BC上一点，△PAB、△PAC的重心分别为G1、G2，那么的值为．【分析】由重心的性质：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1，得到△AG1G2∽△ADE，推出△AG1G2的面积：△ADE的面积＝4：9，而△ADE的面积＝×△ABC的面积，即可解决问题．【解答】解：延长AG1交PB于D，延长AG2交PC于E，∵△PAB、△PAC的重心分别为G1、G2，∴AG1：AD＝AG2：AE＝2：3，D是PB中点，E是PC中点，∵∠G1AG2＝∠DAE，∴△AG1G2∽△ADE，∴△AG1G2的面积：△ADE的面积＝4：9，∵D是PB中点，E是PC中点，∴△ADE的面积＝×△ABC的面积，∴的值为．故答案为：．【点评】本题考查三角形的重心，三角形的面积，相似三角形的判定和性质，关键是掌握三角形重心的性质．二．*平面向量（共5小题）8．（2023•宝山区二模）已知点D、E分别在△ABC的边CA、BA的延长线上，DE∥BC，DE：BC＝1：3，设，那么用向量表示为（）A． B． C． D．【分析】由题意可得△ADE∽△ACB，则，可得AC＝3AD，进而可得＝，根据可得答案．【解答】解：∵DE∥BC，∴∠D＝∠C，∠B＝∠E，∴△ADE∽△ACB，∴，∴AC＝3AD，∵，∴＝，∴＝＝﹣．故选：D．【点评】本题考查平面向量、相似三角形的判定与性质，熟练掌握平面向量的运算法则、相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．9．（2023•浦东新区模拟）已知非零向量、、，下列条件中，能判定向量与向量方向相同的是（）A．， B．||＝2|| C． D．【分析】由，可得，则与的方向相同或相反；由可知，与的方向相同或相反；由，可得，则与的方向相反，由，，可得，则与的方向相同，即可得出答案．【解答】解：对于A选项，由，可得，∴与的方向相同或相反，故A选项不符合题意；对于B选项，与的方向相同或相反，故B选项不符合题意；对于C选项，由，可得，∴与的方向相反，故C选项不符合题意；对于D选项，由，，可得，∴与的方向相同，故D选项符合题意．故选：D．【点评】本题考查平面向量，熟练掌握平面向量的性质是解答本题的关键．10．（2023•奉贤区一模）如图，在△ABC中，点D在边BC上，BD＝AB＝BC，E是BD的中点．（1）求证：∠BAE＝∠C；（2）设＝，＝，用向量、表示向量．【分析】（1）根据三角形相似的判定和性质可得结论；（2）由三角形法则求得，然后根据BD＝AB＝BC可求出，再由三角形法则求得．【解答】（1）证明：∵BD＝AB＝BC，E是BD的中点，∴BE＝BD，∴＝，＝＝，又∵∠ABE＝∠CBA，∴△ABE∽△CBA，∴∠BAE＝∠C；（2）解：∵＝，＝，∴＝﹣＝﹣，∵BD＝AB＝BC，∴BD＝DC，∴＝＝﹣，∴＝+＝+﹣＝2﹣．【点评】本题主要考查了平面向量，掌握三角形法则即可解答该题，属于基础题．11．（2023•静安区校级一模）如图，已知在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且BD＝2AD，AE＝EC．（1）求证：DE∥BC；（2）设，，试用向量、表示向量．【分析】（1）由平行线分线段成比例进行证明；（2）由三角形法则求得，然后由AE与EC的比例关系求得向量．【解答】（1）证明：BD＝2AD，AE＝EC，∴＝＝．∴DE∥BC；（2）解：∵，，∴＝﹣＝﹣．∴＝﹣．【点评】本题主要考查了平面向量，掌握平行线的判定，三角形法则即可解答该题，属于基础题．12．（2022秋•嘉定区期中）已知：如图，已知两个不平行的向量、．求作：﹣2（写出结论，不要求写作法）．【分析】根据平面向量的方向和大小，先作出﹣2，然后根据三角形法则组图即可．【解答】解：向量与向量的方向相同，且向量的模是向量的模的．向量2与向量的方向相同，且其模的长度为的模的2倍．其图示如下：即为所求．【点评】本题考查了平面向量的知识，解答此题要熟悉三角形法则．三．比例的性质（共5小题）13．（2022秋•金山区校级期末）根据4a＝5b，可以组成的比例有（）A． B． C． D．【分析】根据比例的性质，进行计算即可解答．【解答】解：A、∵＝，∴5a＝4b，故A不符合题意；B、∵＝，∴5a＝4b，故B不符合题意；C、∵＝，∴4a＝5b，故C符合题意；D、∵＝，∴ab＝20，故D不符合题意．故选：C．【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．14．（2023•徐汇区一模）已知，则＝．【分析】由题干可得x＝y，再把x＝y代入式子即可解得答案．【解答】解：∵，∴x＝y，∴＝＝＝．故答案为：．【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是关键．15．（2023•崇明区一模）如果＝（x≠0），那么＝．【分析】根据＝（x≠0），可以得到＝，然后将所求式子变形，再将＝代入计算即可．【解答】解：∵＝（x≠0），∴＝，∴＝+1＝+1＝，故答案为：．【点评】本题考查比例的性质，解答本题的关键是明确题意，求出的值．16．（2022秋•奉贤区期中）已知：＝＝，2x﹣3y+4z＝33，求代数式3x﹣2y+z的值．【分析】设比值为k，用k表示出x、y、z，然后代入等式求出k，从而得到x、y、z，再代入代数式进行计算即可得解．【解答】解：设＝＝＝k，则x＝2k，y＝3k，z＝4k，∵2x﹣3y+4z＝33，∴4k﹣9k+16k＝33，解得k＝3，∴x＝6，y＝9，z＝12，∴3x﹣2y+z＝3×6﹣2×9+12＝18﹣18+12＝12．【点评】本题考查了比例的性质，利用“设k法”表示出x、y、z求解更简便．17．（2022秋•奉贤区期中）已知实数a、b、c满足，且a﹣3b+2c＝﹣8．求的值．【分析】设a＝3k，b＝5k，c＝4k，根据a﹣3b+2c＝﹣8，得k＝2，a＝6，b＝10，c＝8，即可求出答案．【解答】解：∵，∴设a＝3k，b＝5k，c＝4k，∵a﹣3b+2c＝﹣8，∴3k﹣15k+8k＝﹣8，∴k＝2，∴a＝6，b＝10，c＝8，∴＝＝1．【点评】本题考查了比例的基本性质，根据已知条件列方程是关键．四．比例线段（共3小题）18．（2023•长宁区一模）已知线段a、b、c、d是成比例线段，如果a＝1，b＝2，c＝3，那么d的值是（）A．8 B．6 C．4 D．1【分析】根据成比例线段的概念可得a：c＝c：b，可求d的值．【解答】解：∵线段a、b、c、d是成比例线段，a＝1，b＝2，c＝3，∴a：b＝c：d，即1：2＝3：d，解得：d＝6．故选：B．【点评】此题考查了比例线段，掌握比例线段的定义是解题的关键．19．（2023•奉贤区一模）已知线段a＝4，b＝16，如果线段c是a、b的比例中项，那么c的值是8．【分析】根据线段比例中项的概念a：c＝c：b，可得c2＝ab＝64，即可求出c的值．【解答】解：∵线段c是a、b的比例中项，∴c2＝ab＝64，解得：c＝±8，又∵线段是正数，∴c＝8．故答案为：8．【点评】此题考查了比例中项，掌握比例中项的定义是解题的关键．注意线段不能是负数．20．（2023•虹口区一模）已知线段b是线段a和c的比例中项，a＝2cm，c＝8cm，则b＝4cm．【分析】根据比例中项的定义，列出比例式即可求解．【解答】解：∵线段a＝2cm，c＝8cm，线段b是a、c的比例中项，∴b2＝ac＝2×8＝16，∴b1＝4，b2＝﹣4（舍去）．故答案为：4．【点评】此题考查了比例线段；理解比例中项的概念，这里注意线段不能是负数．五．黄金分割（共4小题）21．（2023•长宁区一模）已知P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，那么的值为（）A． B． C． D．【分析】利用黄金分割的定义，进行计算即可解答．【解答】解：∵P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，∴＝，∴＝＝，∴＝﹣1＝﹣1＝＝，故选：C．【点评】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．22．（2022秋•徐汇区期末）已知点P、点Q是线段AB的两个黄金分割点，且AB＝10，那么PQ的长为（）A．5（3﹣） B．10（﹣2） C．5（﹣1） D．5（+1）【分析】先由黄金分割的比值求出BP＝AQ＝5（﹣1），再由PQ＝AQ+BP﹣AB进行计算即可．【解答】解：如图，∵点P、Q是线段AB的黄金分割点，AB＝10，∴BP＝AQ＝AB＝5（﹣1），∴PQ＝AQ+BP﹣AB＝10（﹣1）﹣10＝10（﹣2），故选：B．【点评】本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，熟记黄金比是解题的关键．23．（2023•金山区一模）如图，已知上海东方明珠电视塔塔尖A到地地底部B的距离是468米，第二球体点P处恰好是整个塔高的一个黄金分割点（点A、B、P在同一条直线上），且BP＞AP，那么底部B到球体P之间的距离是（234﹣234）米（结果保留根号）．【分析】根据黄金分割为和题意，可以求得底部B到球体P之间的距离．【解答】解：由题意可得，底部B到球体P之间的距离是：468×＝（234﹣234）米，故答案为：（234﹣234）．【点评】本题考查黄金分割、认识立体图形，解答本题的关键是掌握黄金比是．24．（2023•杨浦区一模）已知点P是线段MN的黄金分割点（MP＞NP），如果MN＝10，那么线段MP＝5﹣5．【分析】由黄金分割的定义得PM＝MN，即可得出结论．【解答】解：∵点P是线段MN的黄金分割点，MP＞PN，MN＝10，∴PM＝MN＝×10＝5﹣5，故答案为：5﹣5．【点评】本题考查的是黄金分割的概念，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，比值叫做黄金比．六．平行线分线段成比例（共4小题）25．（2023•宝山区一模）在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，如果AD：BD＝1：3，那么下列条件中能判断DE∥BC的是（）A．＝ B．＝ C．＝ D．【分析】如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边，进而可得出结论．【解答】解：∵AD：BD＝1：3，∴，∴当时，，∴DE∥BC，故A选项能够判断DE∥BC；而C，B，D选项不能判断DE∥BC．故选：A．【点评】本题主要考查了由平行线分线段成比例来判定两条直线是平行线的问题，能够熟练掌握并运用．26．（2023•崇明区一模）四边形ABCD中，点F在边AD上，BF的延长线交CD的延长线于E点，下列式子中能判断AD∥BC的式子是（）A．＝ B．＝ C．＝ D．＝【分析】根据各个选项中的条件和图形，利用相似三角形的判定和性质、平行线的判定，可以判断哪个选项符合题意．【解答】解：当时，无法判断AD∥BC，故选项A不符合题意；当＝时，∠AFB＝∠DFE，则△AFB∽△DFE，故∠ABF＝∠DEF，AB∥CD，但无法判断AD∥BC，故选项B不符合题意；当时，无法判断AD∥BC，故选项C不符合题意；当时，∠FED＝∠BEC，则△FED∽△BEC，故∠EFD＝∠EBC，可以判断判断AD∥BC，故选项D符合题意；故选：D．【点评】本题考查平行线分线段成比例、平行线的判定、相似三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．27．（2023•徐汇区模拟）如图，AD是△ABC的中线，P为AD上任意一点，连接BP并延长，交AC于F，连接CP并延长，交AB于E，连接EF．求证：EF∥BC．【分析】延长PD到M，使DM＝PD，连接BM、CM．由对角线互相平分的四边形是平行四边形可得四边形BPCM是平行四边形，于是BP∥MC，即PF∥MC，再根据平行线分线段成比例定理1的推论得出AF：AC＝AP：AM，同理AE：AB＝AP：AM，等量代换得到AE：AB＝AF：AC，然后根据平行线分线段成比例定理2即可证明EF∥BC．【解答】证明：如图，延长PD到M，使DM＝PD，连接BM、CM．∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD，∵DM＝PD，∴四边形BPCM是平行四边形，∴BP∥MC，即PF∥MC，∴AF：AC＝AP：AM，同理AE：AB＝AP：AM，∴AE：AB＝AF：AC，∴EF∥BC．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理：（1）定理1：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．（2）定理2：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．（3）定理3：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．28．（2022秋•浦东新区校级月考）如图，已知点A、C、E和点B、F、D分别是∠O两边上的点，且AB∥ED，BC∥EF，AF、BC交于点M，CD、EF交于点N．（1）求证：AF∥CD；（2）若OA：AC：CE＝3：2：4，AM＝1，求线段DN的长．【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理，由AB∥DE得到OA•OD＝OE•OB，由BC∥EF得到OC•OF＝OE•OB，所以OA•OD＝OC•OF，即＝，于是可判断AF∥CD；（2）先利用BC∥EF得到＝＝，则可设OB＝5x，BF＝4x，再由AF∥CD得到＝＝，＝＝，所以FD＝6x，接着由FN∥BC得到＝＝，于是可设DN＝3a，则CN＝2a，然后证明四边形MFNC为平行四边形得到MF＝CN＝2a，最后利用＝得到＝，求出a从而得到DN的长．【解答】（1）证明：∵AB∥DE，∴＝，即OA•OD＝OE•OB，∵BC∥EF，∴＝，即OC•OF＝OE•OB，∴OA•OD＝OC•OF，即＝，∴AF∥CD；（2）解：∵OA：AC：CE＝3：2：4，∴OC：CE＝5：4，∵BC∥EF，∴＝＝，设OB＝5x，则BF＝4x，∵AF∥CD，∴＝＝，＝＝∴FD＝OF＝×9x＝6x，∵FN∥BC，∴＝＝＝，设DN＝3a，则CN＝2a，∵FN∥CM，MF∥CN，∴四边形MFNC为平行四边形，∴MF＝CN＝2a，∵＝，即＝，解得a＝1，∴DN＝3a＝3．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．七．相似图形（共4小题）29．（2022秋•奉贤区期中）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝a，点E、F是对角线BD上的点（点E、F不与B、D重合），分别联结AE、EC、AF、CF，若四边形AECF是菱形，且与菱形ABCD是相似形，那么菱形AECF的边长是a.（用a的代数式表示）．【分析】连接AC，交BD于O．根据菱形的性质得出∠ABO＝∠ABC＝30°，AC⊥BD，OC＝OA，利用含30°的直角三角形的性质得出OC＝OA＝AB＝a．再根据相似图形的性质及锐角三角函数定义求解即可．【解答】解：如图，连接AC，交BD于O．∵在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝a，∴∠ABO＝∠ABC＝30°，AC⊥BD，OC＝OA，∴OC＝OA＝AB＝a．由题意，可得菱形ABCD∽菱形ECFA，∴∠ECO＝∠ECF＝∠ABC＝30°，∴CE＝＝＝a．故答案为：a．【点评】本题考查了相似图形的性质，菱形的性质，含30°的直角三角形的性质，锐角三角函数定义等知识，难度适中．准确作出辅助线求出OA的长是解题的关键．30．（2022秋•浦东新区期中）下列各组中两个图形不相似的是（）A． B． C． D．【分析】根据相似图形的定义一一判断即可．【解答】解：A、两个三角形相似，相似比为4：3．本选项不符合题意；B、两个图形不相似，对应边不成比例．本选项符合题意．C、两个矩形相似，相似比为3：2．本选项不符合题意；D、两个正方形相似．本选项不符合题意；故选：B．【点评】本题考查相似图形，解题的关键是掌握相似图形的定义，属于中考常考题型．31．（2022秋•金山区校级期末）如果梯形的一条对角线把梯形分成的两个三角形相似，那么我们称该梯形为“优美梯形”．如果一个直角梯形是“优美梯形”，它的上底等于2，下底等于4，那么它的周长为8+2．【分析】过D作DE⊥BC于E，根据矩形的性质得到BE＝AD＝2，求得BD＝CD，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】解：如图，过D作DE⊥BC于E，∵梯形是直角梯形，∴∠A＝∠ABC＝∠DEB＝90°，∴四边形ABED是矩形，∴BE＝AD＝2，∵BC＝4，∴CE＝BE＝2，∴BD＝CD，∵梯形的一条对角线把梯形分成的两个三角形相似，∴△ABD∽△DBC，∴＝，∴＝＝1，∴AB＝AD＝2，∴BD＝CD＝AD＝2，∴它的周长为2+2+4+2＝8+2，故答案为：8+2．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，直角梯形，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键，32．（2022秋•黄浦区校级期末）下列说法中，正确的是（）A．两个矩形必相似 B．两个含45°角的等腰三角形必相似 C．两个菱形必相似 D．两个含45°角的直角三角形必相似【分析】直接利用相似图形的判定方法得出答案．【解答】解：A、两个矩形对应边不一定成比例，故此选项不符合题意；B、两个含45°角的等腰三角形，45°不一定是对应角，故不一定相似，故此选项不符合题意；C、两个菱形的对应角不一定相等，不一定相似，故此选项不符合题意；D、两个含45°角的直角三角形必相似，故此选项符合题意．故选：D．【点评】此题主要考查了相似图形，正确掌握相似图形的判定方法是解题关键．八．相似三角形的性质（共4小题）33．（2023•崇明区一模）如果两个相似三角形的周长之比是4：9，那么它们的对应角平分线的比为4：9．【分析】直接利用相似三角形的性质解决问题．【解答】解：∵两个相似三角形的周长之比是4：9，∴两个相似三角形的相似比为4：9，∴它们的对应角平分线的比为4：9．故答案为：4：9．【点评】本题考查了相似三角形的性质：相相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比等于相似比．34．（2023•虹口区一模）已知△ABC∽△A1B1C1，顶点A、B、C分别与A1、B1、C1对应，AC＝12，A1C1＝9，∠A1的平分线的长为6，那么∠A的平分线的长为8．【分析】直接利用相似三角形的性质得出相似比等于对角平分线的比得出答案．【解答】解：∵△ABC∽△A1B1C1，AC＝12、A1C1＝9，∴相似比为：＝，∵∠A1的平分线的长为6，设∠A的平分线的长为x，则＝，∴x＝8．故答案为：8．【点评】此题主要考查了相似三角形的性质，熟知相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比等于相似比是解题关键．35．（2023•宝山区一模）已知一个三角形的三边之比为2：3：4，与它相似的另一个三角形ABC的最小边长为4厘米，那么三角形ABC的周长为18厘米．【分析】相似三角形的对应边的比相等，因而与已知三角形相似的三角形的三边的比也是2：3：4，即可求得三角形的三边，从而求得周长．【解答】解：所求三角形的三边的比是2：3：4，设最短边是2x厘米，则2x＝4，解得x＝2，因而另外两边的长是3x＝6厘米，4x＝8厘米．则三角形的周长是6+8+4＝18（厘米）．故答案为：18．【点评】本题考查了相似三角形的性质，相似三角形对应边的比相等，由此得到所求三角形的三边的比也是2：3：4，是解题关键．36．（2023•徐汇区一模）两个相似三角形的对应边上的中线之比4：5，则这两个三角形面积之比为16：25．【分析】由相似三角形的性质：相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可计算．【解答】解：∵两个相似三角形的对应边上的中线之比4：5，则这两个相似三角形的相似比是4：5，∴这两个三角形面积之比为42：52＝16：25．故答案为：16：25．【点评】本题考查相似三角形的性质，关键是掌握相似三角形的性质：相似三角形面积的比等于相似比的平方．九．相似三角形的判定（共5小题）37．（2023•杨浦区三模）新定义：由边长为1的小正方形构成的网格图中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都在格点上的三角形称为格点三角形．如图，已知△ABC是6×6的网格图中的格点三角形，那么该网格中所有与△ABC相似且有一个公共角的格点三角形的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根据格点三角形的定义进行分析，结合相似三角形的判定定理进行求解即可．【解答】解：如图，符合条件的三角形有：△ADE，△BDF，△CEF，△BHG共4个．故选：D．【点评】本题主要考查相似三角形的判定，解答的关键是熟记两组对应边成比例并夹角相等的两个三角形相似．38．（2023•松江区一模）如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝3，AD＝2，BC＝4．P是BA延长线上一点，使得△PAD与△PBC相似，这样的点P的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】延长CD交射线BA于点E，由AD∥BC，得△EAD∽△EBC，再分三种情况讨论，一是点P与点E重合，此时△PAD∽△PBC；二是点P在点E与点A之间，因为∠PAD＝∠CBP，所以当＝时，△PAD∽△CBP，可由＝，求得AP＝，这样就验证了此时存在点P，使△PAD与△CBP相似；三是点P在AE的延长线上，可通过计算证明此时△PAD与△PBC不相似．【解答】解：延长CD交射线BA于点E，∵AD∥BC，∴△EAD∽△EBC，如图1，点P与点E重合，则△PAD与△EAD完全重合，∴△PAD∽△PBC；如图2，点P在点E与点A之间，∵∠PAD＝∠CBP，∴当＝时，△PAD∽△CBP，∵AB＝3，AD＝2，BC＝4，∴＝，解得AP＝或AP＝（不符合题意，舍去），∴此时存在点P，使△PAD与△CBP相似；如图3，点P在AE的延长线上，若△PAD∽△PBC，则＝＝＝，∴PA＝PB，∴A为BP的中点，∴AP＝AB＝3＝AE，显然与点P在AE的延长线上不符，∴此时△PAD与△PBC不相似，综上所述，这样的点P有2个，故选：B．【点评】此题重点考查相似三角形的判定与性质、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确理解与应用相似三角形的判定定理是解题的关键．39．（2023•杨浦区一模）如图，在△ABC中，AG平分∠BAC，点D在边AB上，线段CD与AG交于点E，且∠ACD＝∠B，下列结论中，错误的是（）A．△ACD∽△ABC B．△ADE∽△ACG C．△ACE∽△ABG D．△ADE∽△CGE【分析】根据相似三角形的判定逐一判定即可．【解答】解：∵∠ACD＝∠B，∠CAD＝∠BAC，∴△ACD∽△ABC，故A正确；∵△ACD∽△ABC，∴∠ADC＝∠ACB，又∵∠BAG＝∠CAE，∴△ADE∽△ACG，故B正确；∵AG平分∠BAC，∴∠BAG＝∠CAE，又∵∠ACD＝∠B，∴△ACE∽△ABG，故C正确；由已知条件无法证明△ADE∽△CGE，故D错误；故选：D．【点评】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．40．（2023•徐汇区模拟）如图所示，给出下列条件：①∠B＝∠ACD；②∠ADC＝∠ACB；③；④AC2＝AD•AB．其中能够判定△ABC∽△ACD的个数为（）​A．1 B．2 C．3 D．4【分析】由相似三角形的判定方法，即可判断．【解答】解：①∠B＝∠ACD，∠DAC＝∠BAC，由有两角对应相等的两三角形相似，能够判定△ABC∽△ACD，故①正确；②∠ADC＝∠ACB，∠DAC＝∠BAC，由有两角对应相等的两三角形相似，能够判定△ABC∽△ACD，故②正确；③，△ABC和△ACD两边对应出比例，但两边的夹角∠ACD和∠ABC不一定相等，因此不能判定△ABC∽△ACD，故③错误；④由AC2＝AD•AB，得到＝，又∠DAC＝∠BAC，由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，能够判定△ABC∽△ACD，故④正确．因此正确的个数是3个．故选：C．【点评】本题考查相似三角形的判定，关键是掌握相似三角形的判定方法．41．（2023•普陀区一模）在△ABC和△DEF中，已知AB＝AC，DE＝DF，如果从下列条件中增添一个条件，△ABC与△DEF仍不一定相似，那么这个条件是（）A．∠A＝∠D B．∠B＝∠E C．∠A＝∠E D．【分析】利用等腰三角形的性质以及相似三角形的判定解决问题即可．【解答】解：A、由∠A＝∠D，可以根据两边成比例夹角相等，推出两三角形相似．本选项不符合题意；B、由∠B＝∠E，可以推出∠A＝∠D根据两边成比例夹角相等，推出两三角形相似．本选项不符合题意；C、由∠A＝∠E，不能判定两三角形相似．本选项符合题意；D、由＝，可以推出＝＝，根据三边成比例两三角形相似，本选项不符合题意．故选：C．【点评】本题考查相似三角形的判定，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法，属于中考常考题型．一十．相似三角形的判定与性质（共13小题）42．（2023•嘉定区二模）如图，已知点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，DE∥BC，AD：DB＝1：3，那么S△DEC：S△DBC等于（）A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．1：4【分析】根据题意可得AD：AB＝1：4，再证明△ADE∽△ABC，得，即BC＝4DE，根据平行线间的距离处处相等可得C到DE的距离为等于点D到BC的距离，以此即可求解．【解答】解：∵AD：DB＝1：3，∴AD：AB＝1：4，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，∴BC＝4DE，设点C到DE的距离为h1，点D到BC的距离为h2，∵DE∥BC，∴h1＝h2，∴，即S△DEC：S△DBC＝1：4．故选：D．【点评】本题主要考查平行线的性质、相似三角形的判定与性质，灵活运用相关知识解决问题是解题关键．43．（2023•杨浦区一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，下列结论中，错误的是（）A． B． C． D．【分析】根据题意，易证明△ADC∽△ACB，△ADC∽△CDB，根据相似三角形的性质即可选择．【解答】解：∵CD⊥AB，∴∠ADC＝∠ACB＝90°，∵∠A＝∠A，∴△ADC∽△ACB，∴，故A、B选项正确，不符合题意；故C选项错误，符合题意；∵CD⊥AB，∴∠ADC＝∠CDB＝90°，∵∠A+∠B＝90°，∠DCB+∠B＝90°，∴∠A＝∠DCB，∴△ADC∽△CDB，∴，故D选项正确，不符合题意．故选：C．【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质，三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．44．（2023•松江区二模）如图，点G是△ABC的重心，四边形AEGD与△ABC面积的比值是（）A． B． C． D．【分析】根据重心的定义得出D是AC的中点，E是AB的中点，DG：BD＝1：3，进而得出ED∥BC，得出△AED∽△ABC，根据相似三角形面积比等于相似比的平方得出S△ADE＝S△ABC，进而根据S△DEG＝S△BDE＝S△ABC，即可得出答案．【解答】解：如图，连接DE，∵点G是△ABC的重心，∴D是AC的中点，E是AB的中点，∴DE∥BC，DE＝BC，∴△AED∽△ABC，∴＝（）2＝，∴S△ADE＝S△ABC，∵AE＝BE，∴S△BDE＝S△ABC，∵点G是△ABC的重心，∴DG：BD＝1：3，∴S△DEG＝S△BDE＝S△ABC，∴S四边形AEGD＝S△AED+S△DGE＝S△ABC+S△ABC＝S△ABC，∴四边形AEGD与△ABC面积的比值＝．故选：B．【点评】本题考查了三角形的重心，相似三角形的判定和性质，解决本题的关键是掌握相似三角形面积比等于相似比的平方．45．（2023•崇明区一模）如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为点D，以下条件中不能推出△ABC为直角三角形的是（）A．∠A＝∠BCD B．＝ C．＝ D．＝【分析】根据题意和各个选项中的条件，可以判断各个选项中的条件能否推出△BCD∽△CAD，从而可以判断△ABC是否为直角三角形．【解答】解：∵CD⊥AB，∴∠CDA＝∠CDB＝90°，∴∠A+∠ACD＝90°∴若∠A＝∠BCD，则∠ACD+∠BCD＝90°，故∠ACB＝90°，选项A不符合题意；若＝，则△BCD∽△CAD，∠BCD＝∠A，故∠ACD+∠BCD＝90°，∠ACB＝90°，选项B不符合题意；若＝，则△BCD∽△CAD，∠BCD＝∠A，故∠ACD+∠BCD＝90°，∠ACB＝90°，选项C不符合题意；若，无法判断△BCD∽△CAD，从而可以不能推出△ABC为直角三角形，故选项D不符合题意；故选：D．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．46．（2023•浦东新区二模）如图，已知正方形DEFG的顶点D、E在△ABC的边BC上，顶点G、F分别在边AB、AC上，如果BC＝8，△ABC的面积是32，那么这个正方形的边长是（）A．4 B．8 C． D．【分析】过点A作AH⊥BC于点H，交FG于点K，利用正方形的性质得到GF∥BC，KH＝GF，利用相似三角形的判定得到△AGF∽△ABC，再利用相似三角形的性质：相似三角形的对应高的比等于相似比，解比例式即可得出结论．【解答】解：过点A作AH⊥BC于点H，交FG于点K，如图，∵四边形DEFG为正方形，∴FG＝GD，FG∥BC，∵AH⊥BC，∴AK⊥GF，∴四边形GDHK为矩形，∴GD＝KH，∴GF＝KH．∵FG∥BC，∴△AGF∽△ABC，∴．∵BC＝8，△ABC的面积是32，∴BC•AH＝32，∴AH＝8．设GF＝KH＝x，∴，∴x＝4．∴这个正方形的边长是4．故选：A．【点评】本题主要考查了正方形的性质，三角形的面积，相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的对应高的比等于相似比列出比例式是解题的关键．47．（2023•上海）如图，在梯形ABCD中AD∥BC，点F，E分别在线段BC，AC上，且∠FAC＝∠ADE，AC＝AD．（1）求证：DE＝AF；（2）若∠ABC＝∠CDE，求证：AF2＝BF•CE．【分析】（1）证明△ACF≌△ADE（ASA），即可解决问题；（2）证明△ABF∽△CDE，得AF•DE＝BF•CE，结合（1）AF＝DE，即可解决问题．【解答】证明：（1）∵AD∥BC，∴∠ACF＝∠DAC∵∠FAC＝∠ADE，AC＝AD，∴△ACF≌△ADE（ASA），∴AF＝DE；（2）∵△ACF≌△ADE，∴∠AFC＝∠DEA，∴∠AFB＝∠DEC，∵∠ABC＝∠CDE，∴△ABF∽△CDE，∴＝，∴AF•DE＝BF•CE，∵AF＝DE，∴AF2＝BF•CE．【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定，梯形，勾股定理，熟练运用相似三角形的性质和判定是本题的关键．48．（2023•奉贤区二模）已知：如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E、F，射线EF交AD的延长线于点G．（1）求证：CE＝CF；（2）如果FG2＝AG⋅DG，求证：．【分析】（1）根据菱形的性质和AAS可以证明△ABE和△ADF全等，即可得到BE＝DF，然后即可证明结论成立；（2）根据FG2＝AG•DG和相似三角形的判定和性质，可以得到∠GFD＝∠GAF，再根据（1）中△ABE≌△ADF，可以得到BE＝DF，AE＝AF，再根据∠AFD＝90°，可以得到∠ADF＝∠AEG，然后根据这两个角的正切值，可以证明结论成立．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴∠B＝∠ADF，AB＝AD，BC＝DC，∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠AEB＝∠AFD＝90°，在△ABE和△ADF中，，∴△ABE≌△ADF（AAS），∴BE＝DF，∴BC﹣BE＝DC﹣DF，∴CE＝CF；（2）∵FG2＝AG•DG，∴，∵∠DGF＝∠FGA，∴△DGF∽△FGA，∴∠GFD＝∠GAF，由（1）知：△ABE≌△ADF，∴BE＝DF，AE＝AF，∴∠AEF＝∠AFE，∵∠AFD＝90°，∴∠GAF+∠ADF＝90°，∠AFE+∠GFD＝90°，∴∠ADF＝∠AFE，∴∠ADF＝∠AEF，∵tan∠ADF＝，tan∠AEF＝，∴＝，∴，即．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、菱形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．49．（2023•普陀区二模）已知：如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠BAD＝90°，对角线AC、BD相交于点O，点E在边BC上，AE⊥BD，垂足为点F，AB•DC＝BF•BD．（1）求证：四边形ABCD为矩形；（2）过点O作OG⊥AC交AD于点G，求证：EC＝2DG．【分析】（1）利用相似证出∠BCD的度数为90°，根据三个角是直角的四边形是矩形来判断即可．（2）证明△AEC和△OGD相似，通过AC与OD的关系证出EC＝2DG即可．【解答】（1）证明：∵AB∥CD，∴∠ABF＝∠CDB，∵AB•DC＝BF•BD，∴△ABF∽△BCD，∴∠AFB＝∠BCD，∵AE⊥BD，∴∠AFB＝∠BCD＝90°∵AB∥CD，∠BAD＝90°，∴∠ADC＝∠BAD＝90°，∴四边形ABCD为矩形；（2）证明：∵四边形ABCD为矩形，∴OA＝OB＝OC＝OD，∴∠OAD＝∠ODA＝∠OBC＝∠OCB，∵OG⊥OA，AF⊥BF，∴∠GOA+∠OAG＝∠BFE+∠FBE，∴∠OGD＝∠AEC，∴△AEC∽△OGD，∴AC：OD＝EC：GD＝2：1，即EC＝2DG．【点评】本题考查了矩形的判定、三角形的相似的判定，判定定理的熟练掌握及矩形性质的应用是解题关键．50．（2023•青浦区二模）如图，在平行四边形ABCD中，已知BD平分∠ABC，点E在边BC上，连接AE交BD于点F，且AB2＝BF•BD．（1）求证：点F在边AB的垂直平分线上；（2）求证：AD•AE＝BE•BD．【分析】（1）根据平行四边形的性质及角平分线的定义推∠ADB＝∠ABD，再根据AB2＝BF•BD证明△ABF∽△DBA，进而证明角相等，也就得到点F在边AB的垂直平分线上；（2）证△BEA∽△FEB，推比例线段，与（1）的比例线段结合得出，根据∠ADB＝∠ABD，得到AB＝AD，等量代换后得出AD•AE＝BE•BD．【解答】证明：（1）在平行四边形ABCD中，AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∴∠ADB＝∠ABD，∵AB2＝BF⋅BD，∴，又∵∠ABD＝∠FBA，∴△ABF∽△DBA，∴∠FAB＝∠ADB，∴∠FAB＝∠ABD，∴AF＝BF，∴即点F在边AB的垂直平分线上；（2）由上题可知∠FAB＝∠CBD，又∠BEA＝∠FEB（公共角），∴△BEA∽△FEB，∴，∵，∴，∵∠ADB＝∠ABD，∴AB＝AD，∴，即AD•AE＝BE•BD．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、线段垂直平分线性质、平行四边形的性质，掌握这三个知识点的综合应用，其中找相似三角形是解题关键．51．（2023•虹口区二模）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，点E为BC延长线上一点，∠ADB＝∠CDE，点F在BD上，联结CF．（1）求证：AD•DE＝AC•DC；（2）如果AD•CE＝DF•DB，求证：四边形DFCE为梯形．【分析】（1）利用等腰梯形的性质和全等三角形的判定与性质得到∠DAC＝∠CDE，利用平行线的性质和相似三角形的判定与性质解答即可得出结论；（2）由（1）的结论AD•CE＝DC2，利用等量代换的性质和相似三角形的判定与性质得到∠DCF＝∠DBC，利用平行线的性质，等量代换得到∠DCF＝∠CDE，则CF∥DE，再利用梯形的定义解答即可．【解答】证明：（1）∵在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，∴∠ADC＝∠DAB．在△ABD和△DCA中，，∴△ABD≌△DCA（SAS），∴∠DAC＝∠ADB，∵∠ADB＝∠CDE，∴∠DAC＝∠CDE．∵AD∥BC，∴∠ADC＝∠DCB，∴△ADC∽△DCE．∴，∴AD•DE＝AC•DC；（2））∵△ADC∽△DCE，∴，∴AD•CE＝DC2．∵AD•CE＝DF•DB，∴DC2＝DF•DB，∴，∵∠FDC＝∠CDB，∴△FDC∽△CDB，∴∠DCF＝∠DBC，∵AD∥BC，∴∠DBC＝∠ADB，∵∠ADB＝∠CDE，∴∠DCF＝∠CDE，∴CF∥DE．又∵DF与CE不平行，∴四边形DFCE为梯形．【点评】本题主要考查了等腰梯形的性质，梯形的判定，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．52．（2023•宝山区二模）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AC、BD交于点O，OB＝OC．（1）求证：AB＝CD；（2）E是边BC上一点，联结DE交AC于点F，如果AO2＝OF•OC，求证：四边形ABED是平行四边形．【分析】（1）由等腰三角形的性质和判定及平行线的性质，说明△AOB和△DOC全等，利用全等三角形的性质得结论；（2）先说明△AOB∽△FOD，再说明AB∥DE，结合已知由平行四边形的判定可得结论．【解答】证明：（1）∵OB＝OC，∴∠DBC＝∠ACB．∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，∠ADB＝∠DBC．∴∠DAC＝∠ADB．∴OA＝DO．在△AOB和△DOC中，，∴△AOB≌△DOC（SAS）．∴AB＝CD．（2）∵AO2＝OF•OC，OA＝OD，OC＝OB，∴AO•OD＝OF•OB，即．∵∠AOB＝∠DOC，∴△AOB∽△FOD．∴∠BAO＝∠DFO．∴AB∥DE．又∵AD∥BC，∴四边形ABED是平行四边形．【点评】本题主要考查了三角形全等和相似，掌握全等三角形的性质和判定、相似三角形的判定和性质、平行线的性质、等腰三角形的判定和性质及平行四边形的判定是解决本题的关键．53．（2023•崇明区二模）已知：如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于E，M是边DC延长线上的一点，联结AM，与边BC交于F，与对角线BD交于点G．（1）求证：AG2＝GF•GM；（2）联结CG，如果∠BAG＝∠BCG，求证：平行四边形ABCD是菱形．【分析】（1）由平行线的性质和相似三角形的平行判定法，可得到△ABG∽△MDG、△ADG∽△FBG，再利用相似三角形的性质得结论；（2）利用“两角对应相等”先说明△GCF∽△GMC，再利用等腰三角形的三线合一说明BD⊥AC，最后利用菱形的判定方法得结论．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DM，AD∥BC．∴△ABG∽△MDG，△ADG∽△FBG．∴＝，＝．∴＝．∴AG2＝GF•GM．（2）∵AB∥DM，∴∠BAG＝∠M．∵∠BAG＝∠BCG，∴∠M＝∠BCG．∵∠MGC＝∠FGC，∴△GCF∽△GMC．∴＝，即CG2＝GF•GM．∵AG2＝GF•GM，∴CG2＝AG2．∴CG＝AG．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AE＝CE．∴GE⊥AC，即BD⊥AC．∴平行四边形ABCD是菱形．【点评】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，掌握相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质、菱形的判定方法、等腰三角形的判定和性质等知识点是解决本题的关键．54．（2023•金山区二模）如图，已知△ABC是等边三角形，过点A作DE∥BC（DE＜BC），且DA＝EA，联结BD、CE．（1）求证：四边形DBCE是等腰梯形；（2）点F在腰CE上，联结BF交AC于点G，若CF2＝GF•BF，求证：CG＝DE．【分析】（1）证明△DAB≌△EAC，根据全等三角形的性质得到DB＝EC，根据等腰梯形的概念证明；（2）证明△CFG∽△BFC，根据相似三角形的性质得到∠FCG＝∠FBC，∠CGF＝∠BCF，得到∠AEC＝∠CGF，证明△AEC≌△CGB，根据全等三角形的性质证明即可．【解答】证明：（1）∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB，∵DE∥BC，∴∠DAB＝∠ABC，∠EAC＝∠ACB，∴∠DAB＝∠EAC，在△DAB和△EAC中，，∴△DAB≌△EAC（SAS），∴DB＝EC，∵DE∥BC，∴四边形DBCE是等腰梯形；（2）∵CF2＝GF•BF，∴＝，∵∠CFG＝∠BFC，∴△CFG∽△BFC，∴∠FCG＝∠FBC，∠CGF＝∠BCF，∵DE∥BC，∴∠AEC+∠BCF＝180°，∵∠CGF+∠CGB＝180°，∴∠AEC＝∠CGF，在△AEC和△CGB中，，∴△AEC≌△CGB（AAS），∴CG＝AE＝DE．【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质、等腰梯形的概念，掌握相似三角形的判定定理、全等三角形的判定和性质是解题的关键．一十一．相似三角形的应用（共4小题）55．（2023•徐汇区一模）小明和小杰去公园游玩，小明给站在观景台边缘的小杰拍照时，发现他的眼睛、凉亭顶端、小杰的头顶三点恰好在一条直线上（如图所示）．已知小明的眼睛离地面的距离AB为1.6米，凉亭的高度CD为6.6米，小明到凉亭的距离BD为12米，凉亭与观景台底部的距离DF为42米，小杰身高为1.8米．那么观景台的高度为22.3米．【分析】作AM⊥EF于M，交DC于N，由△ACN∽△AEM，求出EM的长，即可解决问题．【解答】解：作AM⊥EF于M，交DC于N，∵CD＝6.6米，AB＝1.6米，∴CN＝CD﹣AB＝5米，FM＝AB＝1.6米，∵CN∥EM，∴△ACN∽△AEM，∴CN：EM＝AN：AM，∴5：EM＝12：54，∴EM＝22.5（米），∴EF＝EM+FM＝22.5+1.6＝24.1（米），∴观景台的高度为24.1﹣1.8＝22.3米．故答案为：22.3．【点评】本题考查相似三角形的应用，关键是通过辅助线构造相似三角形．56．（2022秋•黄浦区期末）将一张直角三角形纸片沿一条直线剪开，将其分成一张三角形纸片与一张四边形纸片，如果所得四边形纸片ABCD如图5所示，其中∠A＝∠C＝90°，AB＝7厘米，BC＝9厘米，CD＝2厘米，那么原来的直角三角形纸片的面积是54或平方厘米．【分析】分两种情况讨论，由勾股定理求出AD长，由三角形面积公式求出四边形ABCD的面积，由相似三角形的性质，即可解决问题．【解答】解：（1）分别延长CD，BA交于M，连接BD，设△MBC的面积是S（cm2），∵∠C＝∠DAB＝90°，∴DC2+BC2＝AB2+AD2＝BD2，∴22+92＝72+AD2，∴AD＝6（cm），∴△ADB的面积＝AD•AB＝×6×7＝21（cm2），△DCB的面积＝DC•BC＝×2×9＝9（cm2），∴四边形ABCD的面积＝21+9＝30（cm2），∴△DMA的面积＝（S﹣30）（cm2），∵∠M＝∠M，∠MAD＝∠MCB，∴△MDA∽△MBC，∴＝＝＝，∴＝，∴S＝54（cm2）．（2）分别延长AD，BC交于N，设△NAB的面积是S′（cm2），由（1）知四边形ABCD的面积＝30（cm2），∵∠N＝∠N，∠NCD＝∠A＝90°，∴△NCD∽△NAB，∴＝＝＝，∴＝，∴S′＝（cm2），∴原来的直角三角形纸片的面积是54cm2或cm2．故答案为：54或．【点评】本题考查相似三角形的应用，关键是应用相似三角形的性质，分两种情况讨论．57．（2022秋•黄浦区期末）如图是一个零件的剖面图，已知零件的外径为10cm，为求出它的厚度x，现用一个交叉卡钳（AC和BD的长相等）去测量零件的内孔直径AB．如果＝＝，且量得CD的长是3cm，那么零件的厚度x是0.5cm．【分析】根据相似三角形的判定和性质，可以求得AB的长，再根据某零件的外径为10cm，即可求得x的值．【解答】解：∵＝＝，∠COD＝∠AOB，∴△COD∽△AOB，∴AB：CD＝3，∵CD＝3cm．∴AB＝9cm．∵某零件的外径为10cm，∴零件的厚度x为：（10﹣9）÷2＝0.5（cm），故答案为：0.5．【点评】本题考查相似三角形的应用，解答本题的关键是求出AB的值．58．（2022秋•宝山区校级月考）现有不等臂跷跷板AB，当AB的一端点A碰到地面时（如图（1）），另一端点B到地面距离为3米；当AB的另一端点B碰到地面时（如图（2）），端点A到地面距离为2米，那么跷晓板AB的支撑点O到地面的距离OH＝1.2米．【分析】直接利用相似三角形的判定与性质分别得出，，再进行比例变换即可得出答案．【解答】解：如图所示：过点B作BN⊥AH于点N，AM⊥BH于点M，∴HO∥BN，∴△AOH∽△ABN，∴，即①，同理可得：△BOH∽△BAM，∴，即②，①+②，得，∴OH＝1.2（米），故答案为：1.2．【点评】此题主要考查了相似三角形的应用，正确得出比例式是解题关键．一十二．向量的线性运算（共2小题）59．（2022•黄浦区二模）如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，＝，＝，请用向量，表示向量＝+．【分析】首先根据已知求得向量CD，再根据向量的知识求得，代入数值即可求得．【解答】解：∵AB＝2CD，＝，∴，∵，∵＝，∴．故答案为：．【点评】此题考查向量的知识．题目比较简单，要注意识图．60．（2021•徐汇区二模）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AD＝2，AB＝4，CD＝5，如果，那么向量是﹣（用向量、表示）．【分析】过点D作DE⊥BC于E．想办法求出，，可得结论．【解答】解：过点D作DE⊥BC于E．∵AD∥BC，∴∠A+∠ABC＝180°，∵∠A＝90°，∴∠ABE＝90°，∵DE⊥BC，DEB＝90°∴四边形ABED是矩形，∴AD＝BE＝2，AB＝DE＝4，∵CD＝5，∠CED＝90°，∴CE＝＝＝3，∴＝BC＝，∵AB∥DE，AB＝DE，∴＝，＝+＝﹣，故答案为：﹣．【点评】本题考查梯形的性质三角形法则等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．【过关检测】一、单选题(本大题共6题，每题4分，满分24分)1．若ac=bd（ac≠0），则下列比例式中不成立的是(

)A． B． C． D．【答案】C【分析】根据比例的性质，两內项之积等于两外项之积对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】解：A、由得，ac=bd，故本选项错误；B、由得，ac=bd，故本选项错误；C、由得，ad=bc，故本选项正确；D、由得，ac=bd，故本选项错误．故选C．【点睛】本题考查了比例的性质，主要利用了两內项之积等于两外项之积的性质，熟记性质是解题的关键．2．如果点D、E分别在△ABC的两边AB、AC上，下列条件中可以推出DE∥BC的是(

)A．， B．，C．, D．，【答案】C【分析】根据各个选项的条件只要能推出或，即可得出△ADE∽△ABC，推出∠ADE=∠B，根据平行线的判定推出即可．【详解】解：A、根据和，不能推出DE∥BC，故本选项错误；B、根据和，不能推出DE∥BC，故本选项错误；C、∵，∴，∵，∴=∵∠A=∠A，∴△ABC∽△ADE，∴∠ADE=∠B，∴DE∥BC，故本选项正确；D、根据=和=,不能推出DE∥BC，故本选项错误；故选C．【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，平行线的判定的应用，解题的关键是推出△ABC∽△ADE．3．如图，∠ABC=∠CDB=90°，BC=3，AC=5，如果△ABC与△CDB相似，那么BD的长(

)A． B． C． D．或【答案】D【分析】分两种情况：①△ABC∽△CDB，②△ABC∽△BDC；根据相似三角形的对应成比例，从而可求得BD的长．【详解】解：分两种情况：①∵△ABC∽△CDB，∴，即，∴BD=；②由勾股定理得：AB==4，∵△ABC∽△BDC，∴，即，解得：BD=；综上可知：BD的长为；或故选D．【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质、勾股定理；熟练掌握相似三角形的性质是解决问题的关键．4．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC中点，AE⊥AD交CB的延长线于E，则下列结论正确的是(

)A．△AED∽△ACB B．△AEB∽△ACD C．△BAE∽△ACE D．△AEC∽△DAC【答案】C【详解】：∵∠BAC=90°，D是BC中点，∴DA=DC，∴∠DAC=∠C，又∵AE⊥AD，∴∠EAB=∠DAC，∴∠EAB=∠C，而∠E是公共角，∴△BAE∽△ACE故选C．5．已知小丽同学身高米，经太阳光照射，在地面的影长为2米，她此时测得一建筑物在同一地面的影长为40米，那么这个建筑物的高为（

）．A．20米 B．30米 C．40米 D．50米【答案】B【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．【详解】解：根据相同时刻的物高与影长成比例，设建筑物的高度为xm，则可列比例为：,解得：x=30，故选B．【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用，利用同一时刻物高和影长成正比得出是解题关键．6．若向量与均为单位向量，则下列结论中正确的是（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】由向量与均为单位向量，可得向量与的模相等，但方向不确定．【详解】解：∵向量与均为单位向量，∴向量与的模相等，∴.故答案是：D.【点睛】此题考查了单位向量的定义．注意单位向量的模等于1，但方向不确定．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G，且AG＝2，GD＝1，DF＝5，那么的值等于________．【答案】【详解】∵AB∥CD∥EF，∴，故答案为．8．如图，在中，点、分别在边、上，平分，，如果，，那么．【答案】15【分析】因为平分，，可证DE=EC,【详解】解：根据，即BC=15.考点：三角形一边平行线的性质．9．两个相似三角形面积比为1：9，小三角形的周长为4cm，则另一个三角形的周长为___________cm．【答案】12【详解】试题分析：设另一个三角形的周长是xcm，根据相似三角形的性质得：=，解得：x=12．故答案为12．考点：相似三角形的性质．点评：本题考查了对相似三角形的性质的应用，注意：相似三角形的面积之比等于相似比的平方，周长之比等于相似比，主要培养了学生运用性质进行计算的能力，题型较好，但是一道比较容易出错的题目．10．把长为10cm的线段黄金分割后，其中较短的线段长度是_____cm．【答案】5(3-)【分析】把一条线段分成两部分,使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项,这样的线段分割叫做黄金分割,他们的比值叫做黄金比.【详解】由题意知,则较短线段==.故答案为:.【点睛】本题考查了黄金分割的概念，熟练掌握黄金比是解答本题的关键.11．在比例尺为的地图上，上海与香港之间的距离为厘米，则上海与香港之间的实际距离为______千米．【答案】1230【分析】根据比例尺=图上距离：实际距离，列出比例式，求解即可得出两地的实际距离．【详解】解：设上海与香港之间的实际距离为x厘米，根据比例尺为1：10000000，列出比例式得：1：10000000=12.3：x，解得x=123000000，则123000000厘米=1230千米，答：上海与香港之间的实际距离为1230千米．故答案为1230．【点睛】本题主要考查了比例线段，掌握比例尺=图上距离：实际距离是本题的关键，注意单位的统一．12．如果，那么______．【答案】1【分析】根据等式的性质，可用y表示x，根据分式的性质，可得答案．【详解】解：解：由3x=2y，得∴故答案为1．【点睛】本题考查了比例的性质，利用等式的性质得出是解题关键，又利用了分式的性质．13．在△ABC中，若D、E分别是边AB、AC上的点，且DE∥BC，AD=1，DB=2，则△ADE与△ABC的面积比为____________.【答案】1:9【分析】由已知可证△ADE∽△ABC，可求相似比为1：3，所以△ADE与△ABC的面积比为1：9．【详解】解：∵在△ABC中，若D、E分别是边AB、AC上的点，且DE∥BC．∴△ADE∽△ABC．∵AD=1，DB=2∴AD：AB=1：3∴△ADE与△ABC的面积比为1：9．14．在中，,那么这个三角形的重心到BC的距离是________，【答案】1【详解】∵AB=AC=5cm∴△ABC是等腰三角形∴三角形的重心G在BC边的高根据勾股定理设该高为a，∴a2+42=52则a=3cm，根据三角形的重心性质∴G到BC的距离是1cm.15．如图，在中，，，为上的一点，四边形为菱形，则菱形的边长为______．【答案】【分析】由DF∥AB，推出△CFD∽△CAB，于是得到，设菱形的边长为x，列出方程，求解即可．【详解】解：∵四边形AEDF为菱形，∴DF∥AB，∴△CFD∽△CAB，∴设菱形的边长为x，∴解得故答案为.【点睛】本题主要考查了菱形的性质，相似三角形的判定和性质，能根据比例线段正确列出方程是解题的关键．16．如图，在矩形ABCD中，F是DC上一点，BF⊥AC，垂足为E，，△CEF的面积为S1，△AEB的面积为S2，则的值等于_________．【答案】【详解】∵，∴设AD=BC=a，则AB=CD=2a，∴AC=a，∵BF⊥AC，∴△CBE∽△CAB，△AEB∽△ABC，∴BC2=CE•CA，AB2=AE•AC∴a2=CE•a，2a2=AE•a，∴CE=，AE=，∴，∵△CEF∽△AEB，∴故答案为17．如图，在中，，，，则的值为______．【答案】【分析】根据条件证得：∠ADC=∠CDB，∠ACD=∠B，得到△BCD∽△CAD，再由相似三角形面积的比等于相似的平方，即可求解．【详解】解：∵S△BCD=3S△CAD，∵∠ADC=∠CDB=90°，∠C=90°，∴∠ACD=∠B=90°-∠A，∴△BCD∽△CAD，故答案为.【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定：有两角对应相等的三角形相似，相似三角形的性质：相似三角形的性质：面积之比等于相似比的平方，熟记定理是解决问题的关键．18．如图，在直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，AD=4，AB=5，BC=6，点P是AB上一个动点，当PC+PD的和最小时，PB的长为___________．【答案】3【分析】要求PC+PD的和的最小值，PC，PD不能直接求，可考虑通过作辅助线转化PC，PD的值，从而找出其最小值求解．【详解】解：延长CB到E，使EB=CB，连接DE交AB于P．则DE就是PC+PD的和的最小值．∵AD∥BE，∴∠A=∠PBE，∠ADP=∠E，∴△ADP∽△BEP，∴AP：BP=AD：BE=4：6=2：3，∴PB=PA，又∵PA+PB=AB=5，∴PB=AB=3．三、解答题（19、20、21、22题每题满分10分，23、24题每题满分12分，25题满分14分）19．如图，已知点F在AB上，且AF：BF=1：2，点D是BC延长线上一点，BC：CD=2：1，连接FD与AC交于点N，求FN：ND的值．【答案】FN：ND=2：3．【分析】过点F作FE∥BD，交AC于点E，求出，得出FE=BC，根据已知推出CD=，根据平行线分线段成比例定理推出，代入化简即可．【详解】解：过点F作FE∥BD，交AC于点E，∴，∵AF：BF=1：2，∴=，∴，即FE=BC，∵BC：CD=2：1，∴CD=BC，∵FE∥BD，∴．即FN：ND=2：3．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，注意：平行线分的线段对应成比例，此题具有一定的代表性，但是一定比较容易出错的题目．20．如图，在矩形ABCD中，P是BC边上一点，连结DP并延长，交AB的延长线于点Q．（1）求证：△DCP∽△QBP．（2）若，求的值．

【答案】（1）详见解析；（2）【分析】（1）根据矩形的性质得到CD∥BQ，于是得结论；（2）根据矩形的性质AB=CD，AB∥CD，AD=BC，AD∥BC，推出△DCP∽△QBP，根据相似三角形的性质得到，于是得到，即可得到结论．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴CD∥AB，∴CD∥BQ，∴△DCP∽△QBP；（2）解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，AB∥CD，AD=BC，AD∥BC，∴△DCP∽△QBP，∴，∴，∴==．【点睛】本题主要考查了矩形的性质以及相似三角形的判定及性质问题，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．21．已知：如图，Rt△CDE中，∠ABC=∠CDE=90°，且BC与CD共线，联结A